Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Wir machen nun für den Dipolanteil eine identische Umformung: ”nahrhafte Null”
d�r ′ (�r �r ′ ) = 1
2 [d�r ′ (�r �r ′ ) − �r ′ (�r d�r ′ )]
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+ 1
2 [d�r ′ (�r �r ′ ) + �r ′ (�r d�r ′ )]
1. Summand: Zerlegung eines doppelten Vektorprodukts (markierte Ausdrücke sind identisch)
Leiter
d�r ′ (�r �r ′ ) = 1
2 (�r ′ × d�r ′ ) ×�r
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Dieses Resultat setzen wir nun ein und erhalten
�A Dipol (�r) = µI
4π
1
r3 �
⎡
⎣ 1
2 (�r ′ × d�r ′ ) ×�r + 1
2
�A Dipol (�r) = µI
8π
�
Leiter
(�r ′ × d�r ′ ) × �r
r 3
+ 1
2 d (�r (�r �r ′ ))
d (�r (�r �r ′ ))
� �� �
=0, Umlaufint. über totales Diff.
Wir definieren das magnetische Dipolmoment �m der Stromverteilung nun wie folgt:
�m = µI
2
�
Leiter
(�r ′ × d�r ′ ) [ �m] = VS · m (5.9)
�A Dipol (�r) =
�m �r
4 π r 3
⎤
⎦
(5.10)
Bem.: Der Ausdruck für � A Dipol gilt allgemein. Allerdings wird �m für dicke Leiter oder Permanentmagneten
anders berechnet.
An dieser Stelle wollen wir noch eine äquivalente Darstellung für das Vektorpotential des Dipolfeldes
geben.
�
1 α =
Hilfsformel: rot(α �a) = grad α × �a + α rot �a
r
�a = �m
rot �m
� �
1
= grad × �m +
r r
1
r
rot �m
r
� �� �
− �r
r 3
= �m �r
r 3
rot �m
� �� �
0, �m=const.
�A Dipol (�r) = 1
4 π rot
� �
�m
r
Wir wollen nun das Dipolmoment �m anhand ebener Leiter geometrisch Veranschaulichen.
�m = µI
�
(�r
2
′ × d�r ′ )
1
2 (�r ′ × d�r ′ ) = �n 1
2 | �r ′ × d�r ′ |
� �� �
dF
Daß man mit dem Kreuzprodukt die Fläche des Parallelogramms, welches von den
beiden Vektoren aufgespannt wird, berechnen kann, ist eine geometrische Bedeutung.
⇒ �m = µ I �n � dF = µ I F �n (∗) F . . . die von der Leiterschleife eingeschlossene Fläche