Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
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8.3 Beugung von Licht (und alle anderen elektromagnetischen Wellen) 95<br />
8.3.2 Fraunhofer’sche Beugung<br />
Wir machen nun eine Potenzreihenentwicklung bzgl. �r ′ in Φ:<br />
|�r −�r ′ � �<br />
2�r �r ′ �r ′2<br />
| = r 1 − −<br />
r2 r2 �<br />
| Taylor bis zur 2. Ordnung<br />
|�r −�r ′ �<br />
�r ′ 1<br />
| ≈ r − �r + �r<br />
r 2r<br />
′2 � � �<br />
2<br />
�r<br />
− �r ′ + . . .<br />
r<br />
Analog:<br />
|�r0 −�r ′ | ≈ r0 − �r0<br />
�r<br />
r0<br />
′ + 1<br />
�<br />
�r<br />
2r0<br />
′2 �<br />
�r0<br />
− �r<br />
r0<br />
′<br />
� �<br />
2<br />
+ . . .<br />
� �<br />
�r �r0<br />
⇒ Φ ≈ − + �r<br />
r r0<br />
′ + 1<br />
�<br />
�r<br />
2r<br />
′2 � � �<br />
2<br />
�r<br />
− �r ′ +<br />
r 1<br />
�<br />
�r<br />
2r0<br />
′2 �<br />
�r0<br />
− �r<br />
r0<br />
′<br />
� �<br />
2<br />
+ . . .<br />
Bedingung für die Fraunhofer’sche Beugung:<br />
�<br />
r → ∞<br />
Quelle und Beoachtungspunkt ins Unendliche<br />
r0 → ∞<br />
Experimentell: Licht wird durch Linsen parallelisiert.<br />
In der mathematischen Behandlung: Kugelwelle → ebene Welle<br />
Wir betrachten nun die Kirchhoff’sche Formel der Art:<br />
��<br />
ϕ(�r) = k C e −ikΦ dF, wobei Φ = −<br />
Öff<br />
Damit: ϕ(�r) = k C<br />
��<br />
Öff<br />
e ik�r ′� �r<br />
r + �r �<br />
0<br />
r0 dF ′<br />
Anwendung: ebene Schirme + ebene Öffnungen<br />
�r = (x, y, z) �r0 = (x0, y0, z0)<br />
�r ′ = (ξ, η, 0) ⇒ Schirm in x-y-Ebene<br />
� �r<br />
r<br />
�<br />
�r0<br />
+ �r r0<br />
′ + . . .<br />
C . . . konstanter Faktor für den Versuchsaufbau<br />
⇒ �r<br />
r �r ′ xξ + yη �r0<br />
= , �r<br />
r r0<br />
′ = x0ξ + y0η<br />
, dF<br />
r0<br />
′ = dξdη<br />
cos α = x<br />
r , cos α0 = − x0<br />
r0<br />
cos β = y<br />
r , cos β0 = − y0<br />
�<br />
Winkelpaare α, α0 und β, β0 spezifizieren die Richtung von P und<br />
Q<br />
r0<br />
setzen wir jetzt alles ins Beugungsintegral ein:<br />
ϕ = k C<br />
ϕ = k C<br />
Abb. 8.2: Festlegung der Koordinaten / Variablen<br />
��<br />
e ik<br />
�<br />
a<br />
�� � �<br />
b<br />
�� �<br />
(cos α − cos α0) ξ ik<br />
e<br />
(cos β − cos β0) η<br />
dξdη<br />
��<br />
e ik(aξ+bη) dξdη | ξ, η Koordinaten auf der Öffnung<br />
Öff<br />
Öff<br />
Im Fall, daß α = α0 und β = β0 ergibt sich eine wesentliche Vereinfachung. Es ergibt sich, daß a=0<br />
und b=0. Man erhält also den geometrischen Bildpunkt der Quelle Q auf dem Beobachtungsschirm. Da<br />
nur in unmittelbarer Umgebung des Bildes der Quelle nennenswerte Intensitäten beobachtbar sind, kann<br />
Dies
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