Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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In äußeren magnetischen Feldern kommt es wieder zu speziellen Kraftwirkungen auf magnetische Dipole.
Sei � H a ein äußeres Feld, dann gilt (ohne Beweis):
Wechselwirkungsenergie : WWW mag = − �m � Ha Kraft :
�F = ( �m grad) H� a
Drehmoment :
M � = �m × H� a
Nachtrag: Nichtexistenz magnetischer Monopole
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
→ Wir hatten den Nachweis nur für den Spezialfall dünner Leiter geführt.
→ Jetzt wollen wir diesen Sachverhalt allgemein nachweisen.
Ausgangspunkt: Allgemeine Lösung des Vektorpotentials (5.4)
�A(�r) = µ
4π
���
Leiter
� j(�r ′ )
| �r −�r ′ |
Wir machen jetzt eine Multipolentwicklung für lokalisierte Stromverteilungen.
1
| �r −�r ′ | =
�A(�r) = µ
4π r
1
r
����
interessant, da nur dieser Anteil zum Monopol führt
���
� ′ ′
j(�r ) dV + . . .
Leiter
⎫
⎪⎬
⎪⎭
dV ′
+ �r
r 3 �r ′ + . . .
Beweise analog wie in der
Elektrostatik
Es bleibt zu zeigen, daß das Integral verschwindet ⇔ Monopolanteil ist identisch Null.
Wir führen für die x-Komponente von � j eine explizite Rechnung durch. Aufgrund der Schreibarbeit lassen
wir den ”Strich” weg (�r ′ = �r).
���
jx(�r) dV =
Hilfsformel: div(α �a) = �a grad α + α div �a
� �� �
=0, Kontinuitätsgl.
���
���
jx(�r) dV = (x · � ���
j) dV
jx(�r) dV Gauß
��
= ◦ x · �j d�F ���
jx(�r) dV = 0
∂V
��� ���
�j �ex dV = �j grad(x) dV
� �a = � j
α = x
Abb. 5.6: Wir wählen ∂V so, daß sie außerhalb von � j �= � 0
liegt.
Diese Rechnung können wir nun analog für die y- und z- Komponente von � j machen. Das Resultat ist:
Wir können jetzt allgemein sagen:
Es gibt in der Maxwell’schen Theorie keine magnetischen Monopole; zumindest
nicht für lokalisierte Stromverteilungen!