Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

7.2 Retardierte Potentiale 71
3,4 Differentiation nach r
Insgesamt:
�GR/A = δ(r) · δ � t ∓ r
�
v
�GR/A = δ(r) · δ(t)
∂
∂r
� �
1
= −
r
1
r2 ⇒ Kompensation der Terme
| erste δ − Funktion nur bei r = 0 verschieden von Null
Wir betrachten nun eine beliebige (lokalisierte) Quellverteilung am Beispiel des skalaren Potentials ϕ(�r, t).
� ϕ(�r, t) = ρel(�r, t)
ε
δ−Fkt.
= 1
ε
��
ρel(�r ′ , t ′ ) δ(�r −�r ′ ) δ(t − t ′ )
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ dV ′ dt ′
Wir setzen hier jetzt die Definitionsgleichung der Green’schen Funktion (nur G R ) ein:
� G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) = δ(�r −�r ′ ) δ(t − t ′ )
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Hierbei ist die Invarianz von � unter Verschiebungen in Raum und Zeit verwendet (vgl. Elektrostatik).
� ϕ(�r, t) = 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) � (�r,t)G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
� ϕ(�r, t) = � 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
�
0 = � ϕ(�r, t) − 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
�
⇒ ϕ(�r, t) = Ψ(�r, t) + 1
��
ρel(�r
ε
′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
Hierbei ist Ψ(�r, t) eine beliebige Lösung von � Ψ(�r, t) = 0, d.h. sie löst die homogene Wellengleichung.
Wir lassen die Lösung des homogenen Problems weg (⇔ Ψ(�r, t) = 0) und interessieren uns nur für den
Lösungsanteil, der direkt mit der Inhomogenität ρel verknüpft ist.
Spezielle Lösung !!!: Ψ(�r, t) = 0 und G = G R
⇒ ϕ(�r, t) = 1
ε
Einsetzen der Green’schen Funktion:
G R (�r −�r ′ , t − t ′ 1
) =
4π (�r −�r ′ ) δ
�
t − t ′ − | �r −�r ′ �
|
v
→ ϕ(�r, t) = 1
��
ρel(�r
4πε
′ , t ′ )
| �r −�r ′ | δ
�
t − t ′ − | �r −�r ′ �
|
v
��
ρel(�r ′ , t ′ ) G R (�r −�r ′ , t − t ′ ) dV ′ dt ′
dV ′ dt ′
Integration bzgl. t’ trivial: Liefert den Integranden an der Stelle
t ′ = t − | �r −�r ′ |
(vgl. Abs. 2)
v
ϕ(�r, t) = 1
4πε
�
Quellen
ρel
In analoger Weise erhält man für das Vektorpotential:
�A(�r, t) = µ
4π
�
Quellen
�
�r ′ , t − |�r−�r ′ �
|
v
| �r −�r ′ dV
|
′
�
�j �r ′ , t − |�r−�r ′ �
|
v
| �r −�r ′ dV
|
′
(7.8)
(7.9)