Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

24
Wir gehen zunächst von der Ladungsverteilung einer Punktladung am Orte �r ′ aus.
ρel(�r) =
�
0 ,�r �= �r ′
∞ ,�r = �r ′ ���
Q =
V
ρel(�r) dV
Dies sind die Eigenschaften der Dirac’schen δ-Funktion . Mehr über sie findet man im Abschnitt 2. Mit
ihren Eigenschaften können wir für die Ladungsverteilung einer Punktladung schreiben:
ρel(�r) = Q δ(�r −�r ′ )
Wenn wir dies nun in die Poisson-Gleichung (4.5) einsetzen, erhalten wir:
Wenn wir nun vom Vorfaktor Q
ε
∆· ϕ(�r) = − Q
ε δ(�r −�r ′ ) Randbed.: lim ϕ = 0
|�r|→∞
absehen, so können wir die Green’sche Funktion allgemein definieren:
∆· G(�r −�r ′ ) = − δ(�r −�r ′ ) (4.6)
Der Shift im Argument �r → �r − �r ′ ; xk → xk − x ′ k mit konstanten (x ′ k ) = �r ′ ist immer möglich, da der
Laplace-Operator unter solchen Translationen invariant ist.
Im folgenden wollen wir nun die Green’sche Funktion berechnen. Aufgrund der Translationsinvarianz
setzen wir �r ′ = 0 (am Ende der Rechnung dann �r ′ �= 0).
∆· G(�r) = − δ(�r)
Als Lösungsansatz verwenden wir eine Fourier-Transformation. Damit erhalten wir:
G(�r) = 1
(2π) 3
���
˜G( �k) e i�k�r 3
d k
d 3 k Volumenelement des � k-Raumes
G(�r) Green’sche Funktion im �r-Raum (Ortsraum)
G( � k) Green’sche Funktion im � k-Raum (Fourier-Transformierte)
∆· G(�r) = ∆· �r
=
1
(2π) 3
1
(2π) 3
���
= − 1
(2π) 3
= − 1
(2π) 3
���
˜G( � k) e i� k�r d 3 k | ∆· wirkt auf �r
˜G( � k) ∆· �r e i� k�r d 3 k
���
���
˜G( � k) � k 2
✿✿✿✿✿✿✿ ei� k�r d 3 k = − δ(�r)
� �� �
Fourier-Transformierte ≡ 1
1✿ ei� k�r d 3 k
Jetzt vergleichen wir die beiden unterstrichenen Integranden und erhalten durch Vergleich für die Fourier-
Transformierte der Green’schen Funktion:
˜G( �k) = 1
� �2 �k
Dies ist ein sehr einfacher Ausdruck; doch eins sollten wir nie vergessen:
Es gilt weiterhin der Erhaltungssatz der Schwierigkeit !
Gesucht ist ja weiterhin G(�r).