Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Diese speziellen Lösungen heißen retardierte Potentiale.
Charakteristisch:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Das Zeitargument tR = t − | �r −�r ′ |
heißt retardierte Zeit.
v
Ursache: Alle physikalischen Wirkungen breiten sich mit endlicher Geschwindigkeit aus (gilt
streng!).
Die Potentiale bei �r zum Zeitpunkt t rühren vom Zustand der Quelle am Orte �r ′ und zur früheren Zeit tR
her! Die Zeitdifferenz t − tR ist gerade die Laufzeit der Welle von �r ′ nach �r mit der Laufgeschwindigkeit
v.
◮ Ohne Beweis: Retardierte Potentiale genügen der Lorentz-Konvention.
◮ Im statischen Fall reduzieren sich die Lösungen auf die Lösungen der Poisson-Gleichung (t ≈ tR).
Lösungsprinzip: Vorgabe von ρel(�r, t) und ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
�j(�r, t)
• Berechnung von ϕ(�r, t), � A(�r, t) durch Integration
• Berechnung von � B(�r, t) und � E(�r, t) durch Differentiation
• Impuls, Energie, Kräfte, . . .
7.3 Der Hertz’sche Dipol
= Prototyp einer Strahlungsquelle
Eine zeitlich abhängige Quelle wird realisiert durch: q = q(t)
˙�p = ˙q � l = I � l, I = I(t)
Wir verzichten auf alle Feinheiten im Inneren einer realen Antenne. Daher wird unser Modell nur für
hinreichend große Abstände, d.h. für |�r −�r ′ | ≫ | � l|, die Linearantenne einigermaßen modellieren können.
7.3.1 Berechnung der retardierten Potentiale
Wir beschränken uns jetzt also von Anfang an auf einen infinitesimalen Dipol | � l| ≪ 1 und punktförmige
Ladungen.
ρel(�r, t) = q δ(�r) − q δ(�r + �l) für | �l| ≪ |�r| Taylor
∂
ρel(�r, t) ≈ − q lk δ(�r) + . . .
∂xk
ρel(�r, t) = − pk
∂
∂xk
Diesen Ausdruck differenzieren wir jetzt partiell nach der Zeit:
δ(�r)
∂
∂t ρel(�r, t) = − ˙pk
∂
∂xk
δ(�r) | pk nicht ortsabhängig
= − ∂
=
( ˙pk δ(�r))
∂xk
� �
− div ˙�p δ(�r) ⇔
∂
∂t ρel(�r, t) = − div �j