Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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106 k ′ν = Ω ν µk µ ergeben sich zwei wichtige Beziehungen, die wir nun herleiten wollen. Dazu betrachten wir eine Welle, die sich parallel zur (x,y)-Ebene ausbreitet (kz = 0). Der Wellenzahlvektor �k schließe mit der x-Achse den Winkel θ ein. Der Betrag ist wie üblich | �k| = 2π λ . Der Wellenzahlvierervektor hat dann die Komponenten: (k µ � � ω 2π 2π ) = , cos(θ), sin(θ), 0 c λ λ Wir betrachten nun den Übergang in ein bewegtes Bezugssystem Σ → Σ ′ . Die Bestimmungsgrößen der Welle in Σ, d.h. ω, λ, θ gehen in Σ ′ in die neuen Größen ω ′ , λ ′ , θ ′ über. Für den Wellenzahlvierervektor in Σ ′ erwarten wir eine entsprechende Form: (k ′µ � ′ ω 2π ) = , c λ ′ cos(θ ′ ), 2π λ ′ sin(θ ′ ), k ′ � z Wertet man das Transformationsgesetz explizit mit der speziellen Lorentztransformation (Bewegung ent- lang der x-Achse , β = vx c ): aus, so ergibt sich: (k ′µ ) = � ω c ⎛ Ω ν ⎜ µ = ⎜ ⎝ 2π − λ √ 1 1−β2 √−β 1−β2 β cos(θ) � , 1 − β2 √−β 0 0 1−β2 √ 1 0 0 1−β2 0 0 1 0 0 0 0 1 2π λ (9.9) ⎞ ⎟ ⎠ ωβ cos(θ) − c � , 1 − β2 2π � sin(θ), 0 λ Der Vergleich beider Formen von k ′µ zeigt, daß sich wegen k ′ z = 0 auch im System Σ ′ die Welle parallel zur (x’,y’)-Ebene ausbreitet. Für die restlichen Vektorkomponenten liefert der Vergleich: ω ′ = ω 1 − β cos(θ) � , 1 − β2 sin(θ ′ ) λ ′ sin(θ) = , λ cos(θ ′ ) λ ′ = cos(θ) − β λ � 1 − β2 Seien nun die ursprünglichen Koordinaten (Σ) das Ruhesystem einer Lichtquelle, welches die betrachtete Welle ausstrahlt. Dann ist ω ′ − ω die Frequenzänderung als Folge der Relativbewegung der Inertialsy- steme. Die Beziehung: ω ′ = ω 1 − β cos(θ) � 1 − β 2 ist für Anwendungen allerdings unzweckmäßig, da für den in Σ ′ messenden (mitbewegten) Beobachter der Winkel θ aus dem Ruhesystem Σ eingeht. Benötigt wird die Funktion θ = θ(θ ′ ), die man aus der ”Invarianz” der Lichtgeschwindigkeit erhält: Einsetzen der transformierten Ausdrücke liefert: ω ′ λ ′ = ωλ (1 − β cos(θ)) cos(θ ′ ) cos(θ) − β D.h. die gesuchte Funktion θ = θ(θ ′ ) ergibt sich zu: c = c ′ = Invariante ⇔ ωλ = ω ′ λ ′ ⇒ cos(θ) − β = (1 − β cos(θ)) cos(θ ′ ) cos(θ) = β + cos(θ ′ ) 1 + β cos(θ ′ ) Einsetzen in den Ausdruck für die Frequenzverschiebung liefert letztlich als relativistischen Ausdruck für den Doppler-Effekt: Doppler-Effekt: ω ′ = ω � 1 − β 2 1 + β cos(θ ′ ) (9.10)
9.4 Doppler-Effekt und Aberration 107 Spezialfälle: ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 1. θ ′ = 0, longitudinaler Doppler-Effekt ω ′ = ω Abb. 9.2: Longitudinaler Doppler-Effekt � 1 − β 1 + β (9.11) Die Welle bewegt sich hierbei parallel bzw. antiparallel zur Bewegungsrichtung der Relativgeschwindigkeit zwischen Σ und Σ ′ . 2. θ ′ = π 2 , transversaler Doppler-Effekt ω ′ = ω � 1 − β 2 (9.12) Abb. 9.3: Transversaler Doppler-Effekt D.h. auch bei senkrechter Relativbewegung (!) ergibt sich eine Frequenzänderung, die allerdings quadratisch in β ist. Dieser sogenannte ”quadratische” Doppler-Effekt ist eine wichtige relativistische Aussage, die klassisch nicht verständlich ist! Der Effekt ist (erst) 1938 durch Ives und Stilwell und 1939 durch Otting mit Hilfe von Kanalstrahlen experimentell nachgewiesen worden. Die hier abgeleiteten Beziehungen gestatten die Erklärung eines Effektes der Astronomie - der Aberration des Lichts. Unter der Aberration versteht man die scheinbare Ortsveränderung der Gestirne als Folge der Eigenbewegung der Erde und der Endlichkeit der Vakuumlichtgeschwindigkeit. Man unterscheidet drei Fälle: a) tägliche Aberration: Rotation der Erde um ihre Achse b) jährliche Aberration: Bewegung der Erde auf der Bahn um die Sonne c) säkulare Aberration: Bewegung des Sonnensystems innerhalb unserer Galaxie (dieser Fall ist praktisch unbedeutend) ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Qualitativ: Wir untersuchen hier die jährliche Aberration, für welche die Bahnbewegung der Erde um die Sonne den dominanten Effekt liefert. Ausgangspunkt ist die Beziehung zwischen θ und θ ′ , die zuvor abgeleitet wurde.
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4 Inhalt der Vorlesung 1 Einführun
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6 1 Einführung • Aufgabe: In die
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8 Wenn man eine Ortskoordinate nach
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10 3 Die Maxwell’schen Gleichunge
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12 1. Es sind inhomogene, partielle
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14 Interpretation ✿✿✿✿✿
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16 �� ◦ �S dA � + ∂V di
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18 Jetzt nutzen wir alle Zwischener
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20 c 2 0 = 1 ε0 µ0 Die Maxwell-Re
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22 Wir haben somit das Coulomb’sc
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26 verteilung. Um dorthin zu kommen
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30 → für den 3. Term machen wir
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32 Beispiel: H2O-Molekül ✿✿✿
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38 �� ◦ ∂V �D d � A = A
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40 schauen. Wenn nun die Flächenno
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42 σ A = ε σ A = ε �� ,i
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44 5 Magnetfeld stationärer Ström
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46 ”Eichtransformation”: � A
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48 A(�r) ≈ µ 4π I � Leiter
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50 an und erhalten somit: Wm = 1 2
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52 Wir machen nun für den Dipolant
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54 In äußeren magnetischen Felder
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Seite 62 und 63: 62 Ein Umordnen der Vektoren ist m
Seite 64 und 65: 64 Maxwell: ✿✿✿✿✿✿✿
Seite 66 und 67: 66 ⇒ jz(r, t) = α √ −i I 2π
Seite 68 und 69: 68 ⇒ Die Summe � E + ˙ � A i
Seite 70 und 71: 70 Bei den Poisson-Gleichungen war
Seite 72 und 73: 72 Diese speziellen Lösungen heiß
Seite 74 und 75: 74 �B = rot � A = µ 4π rot
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Seite 80 und 81: 80 Wir betrachten jetzt wieder �
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Seite 86 und 87: 86 ωelm = ε 2 (Re�E) 2 + µ 2 (
Seite 88 und 89: 88 2. Linear polarisierte Welle δ
Seite 90 und 91: 90 O.B.d.A. betrachten wir die Ausb
Seite 92 und 93: 92 Je kleiner die geometrische Abme
Seite 94 und 95: 94 Mit diesen Näherungen und den n
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Seite 98 und 99: 98 Abb. 8.4: Beugungsfigur der Krei
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