Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Interpretation
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∂
∂t
�
1
� �
�E D � + H� B�
2
�
� �
+ div �E × H�
= − �E �j (3.2)
ωel = 1
2 � E � D elektrische Energiedichte
ωmag = 1
2 � H � B magnetische Energiedichte
� S = � E × � H Energiestromdichte / Poynting-Vektor
− � j � E Joule’sche Wärme : Umwandlung elektromagnetischer Energie in Wärme
(irreversibler Prozeß, dissipative Erscheinung; aber auch reversible Umwandlung
in mechanische Energie)
Wir geben Energiedichten an, da die Felder kontinuierlich den Raum erfüllen.
ωelm = ωel + ωmag
↩→ Energiedichte ist quadratisch im Feld
Jetzt gehen wir zur integralen Formulierung der Energiebilanz über:
d
dt Welm
� �� �
gesamte in V enthaltene elm. Energie
Diskussion der Joule’schen Wärme:
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∂
∂t ωelm + div �S = − �j �E ���
∂
∂t ωelm
���
dV + div � ���
S dV = − �j �E dV
V
���
d
dt
V
+
V
ωelm dV +
� �� �
Gauß anwenden
��
◦ �S dA� ��
���
◦ �S dA � = − �j �E dV
∂V
∂V
� �� �
Energiestrom durch Oberfläche
V
V
= −
���
�j �E dV
�
V
�� �
in V erzeugte Joule’sche Wärme
a) Dissipation bei Vorhandensein von freien Ladungen, aber es seien keine Leiter in V
⇒ �j = ρel ��� �v ist eine reine ��� Konvektionsstromdichte
• WJ = �j �E dV = ρel �v �E dV
V
V
• Addition einer ”nahrhaften” Null: 0 = �v ρel (�v × � ���
B)
× � B) dV | �f = ρel �E + �j × � B
WJ =
WJ =
V
�v (ρel �E + ρel �v
� �� �
�j ���
�v �f dV | �f . . . elektromagnetische Kraftdichte
V
• für eine einzelne Punktladung der Masse m gilt:
�v · Kraft Newton
= �v m ˙ �v = m
2
d
dt �v2 = d
dt
T = Leistung
⇒ �v � f = Leistungsdichte!
Der Integrationsterm beschreibt also die zeitliche Änderung der kinetischen Energie aller in V enthaltenen
Ladungsträger. Wir vernachlässigen Abstrahlungen und sonstige Energietransporte durch
die Oberfläche ∂V. ��
◦ �S dA� = ∼ 0 ⇒
∂V
d
dt Welm + d
dt
Welm + T = const
T = 0