Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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man a und b selbst als ”Koordinaten” auf dem Beobachtungsschirm auffassen.
Beispiele:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
1. rechteckiger Spalt
ϕP = k C
A�
−A
e ikaξ dξ
⇒ ϕ(�r) → ϕ(a, b) a, b = ”Schirmkoordinaten”
B�
−B
e ikbη dη | k = 2π
λ
ϕP = 2 k C sin(kaA)
2
ka
sin(kbB)
kb
Beobachtbar ist die Intensität: IP = ϕ∗ PϕP IP = k 2 C 2 S 2
Seitenlängen: 2A, 2B
Fläche: S=4AB
. . . (Wellenzahlvektor)
� �2 sin(kaA)
�
sin(kbB)
kaA kbB
Nun bleibt noch die Bestimmung der Systemkonstante C:
Auf dem Beobachtungsschirm muß die gleiche Lichtmenge sein, wie auch durch die Öffnung gelangt
ist. Letztere wird so normiert, daß pro Flächeneinheit die Lichtmenge 1 entfällt:
IÖff Normierung: ≡ 1
S
IÖff = S = ISchirm
∞� ∞�
= IP da db = · · · = k2C2S2 k2 ⎛
∞�
⎞2
� �2 ⎝
sin U
dU⎠
AB
U
−∞ −∞
S = 4C 2 Sπ 2 ⇒ C = 1
2π
C k = 1
λ
Ohne Beweis: Diese Formel ist für alle ebenen Öffnungen gültig.
⇒
IP =
−∞
� �2 � �2 �
S sin(kaA) sin(kbB)
λ kaA kbB
Nun wollen wir die Funktion f2 (U) = � �
sin U 2
U noch kurz diskutieren, wobei U=kaB oder U=kbB
ist. Außerdem ist f2 ≥ 0.
Min:
f2 = 0 ⇒ f = 0 ⇒ sin U = 0, U �= 0 ⇒ U = kaA = mπ
U = kbB = nπ m, n ∈ Z\{0}
hier herrscht Dunkelheit IP = 0
Max:
′ f d ln f(U)
0 = ⇔ = 0 = cot U −
f dU
1
U
⇒ transzendente Gleichung zur Bestimmung der Maxima → Numerik
⇒ Hauptmaximum: U=0 (a=0,b=0 ^= geometrisches Bild der Quelle)
⇒ Bei festem λ gilt: Verkleinern von A ⇒ Vergrößerung von a und umgekehrt (Spaltbreite ↑
⇒ Beugungsfigur auf Schirm ↓)
� 2
� 2