Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

102
Somit erhalten wir für den Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes:
⎛
0
⎜E1
(Fµν) = ⎜
⎝E2
−E1
0
−cB3
−E2
cB3
0
⎞
−E3
−cB2 ⎟
cB1 ⎠
E3 cB2 −cB1 0
Beziehungsweise für die kontravariante Komponente durch Heben der Indizes ergibt sich mit F αβ =
η αµ η βν Fµν:
⎛
0 E1 E2 E3
� αβ
F � ⎜−E1
= ⎜
⎝−E2
0
−cB3
cB3
0
−cB2 ⎟
cB1 ⎠
−E3 cB2 −cB1 0
Die Maxwell-Gleichungen als Differentialgleichung 1. Ordnung schreiben sich nun wie folgt:
inhomogenes System
zyklisches System
∂
∂x ν Fµν = µ0 · c · j µ
Dieses System ist äquivalent zur 3+1-dimensionalen Form.
µ = 0 :
✿✿✿✿✿✿
µ0 · c · j0 = ∂
F00
∂x0 0
����
⇒ µ0 · c 2 · ρ = div � E
⇔ div � D = ρ
µ = 1 :
✿✿✿✿✿✿
µ0 · c · j1 = ∂
F10
∂x0 ����
−E1
+ ∂
∂x
����
1 F01
E1
+ · · · + ∂
∂x
x0=ct+Maxw.-Rel.
=⇒ j1 = − ∂� D
∂t +
⇒ � j = − ∂� D
∂t + rot � H
α = 1, µ = 2, ν = 3 :
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
∂
F23
∂x1 ����
cB1
+ ∂
F31
∂x2 ����
cB2
α = 0, µ = 1, ν = 2 :
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
⇒ ∂B3
∂t +
�
rot � �
E3 = 0
+ ∂
∂x
����
3 F13
� ∂H3
∂x
−cB2
����
2 F02
E2
⎞
∂
∂xα Fµν + ∂
∂x µ Fνα + ∂
∂xν Fαµ = 0
+ ∂
∂x
∂H2
− 2 ∂x3 �
����
3 F03
E3
+ ∂
∂x3 F12 = 0
����
cB3
⇔ div � B = 0
+weitere Komp.
=⇒ rot � E = − ˙ � B
9.3 Transformationsgesetz und Invarianten
= − ∂D1
∂t +
�
rot � �
H
1
Physikalisch sind die (3+1)-dimensionale und die relativistische Formulierung der Elektrodynamik völlig
äquivalent. Wo ist nun der Vorteil der relativistischen Schreibweise?
(9.3)
Die wesentliche (neue) Information liefert das Transformationsgesetz des Feldstärketensors
F ′αβ = Ω α µ Ω β ν · F µν
mit Ω α µ als Lorentzmatrizen. Dieses Gesetz liefert Aussagen über Feldstärkemessungen in relativ zueinander
bewegten Inertialsystemen.
Σ : x µ , Fµν
v
−→ Σ ′ ′
µ
: x , F ′ µν
(9.4)