Theoretische Physik II - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Maxwell:
✿✿✿✿✿✿✿✿✿
div � B = 0
div � D = 0
rot � E = − ˙ � B (1)
rot � H = σ � E (2)
⎫
⎪⎬
⎪⎭
− keine elektrischen Ladungen
− ˙ � D vernachlässigt (quasistationär)
− keine zusätzlichen äußeren Felder
− � j = σ � E für moderate Frequenzen
− σ, µ, ε = const.
Hier tritt nun der unangenehme Fall auf, daß die Gleichungen (1) und (2) verkoppelt sind. Durch die
Erhöhung der Ordnung wird nun eine Entkopplung des Systems erreicht.
rot (1) ⇒ rot rot � E = − rot ˙ � B = − µ rot ˙ �H
∂
∂t
(2) ⇒ ∂
∂t rot � H = rot ˙ � H = σ ∂
∂t � E
rot rot � E = grad div � E
� �� �
=0
Mit diesen Umformungen erhalten wir nun:
− ∆· � E = ∆· � E = µ rot ˙ � H µ rot ˙ �H = µ σ ∂ � E
∂t
µ σ ∂� E
∂t = ∆· � E
Diese Gleichung hat die Form einer ”Diffusonsgleichung” bzw. ”Wärmeleitungsgleichung”. In analoger
Weise erhalten wir, wenn wir die beiden Operationen (rot und ∂/∂t jetzt auf die jeweils andere Gleichung
anwenden:
µ σ ∂� B
∂t = ∆· � B
Das weitere Vorgehen besteht nun darin, mit der Lösung der ”Diffusionsgleichung” in die Original-
Maxwell-Gleichungen einzugehen, wodurch sich dann Einschränkungen ergeben.
Wir werden nun die Lösung für den Fall eines zylinderförmigen dicken Leiters aus homogenen Material
suchen.
Vor.: · grad ε = grad µ = grad σ = 0
✿✿✿✿✿
· ρel = 0, keine Raumladungen im Leiter (kleine Frequenzen)
· Gültigkeit von �j = σ�E (kleine ω)
� j = jz �ez
jz = jz(r, ϕ, z) = jz(r)
Aufgrund des Ohm’schen Gesetzes machen wir nun den folgenden Ansatz:
� E(�r, t) = ^E(r) �ez e iωt
e iωt beschreibt die periodische Zeitabhängikeit (komplex) und ^E(r) ist die komplexe Funktion des Radius.
Das Rechnen mit komplexen Größen ist zweckmäßig und für lineare Gleichungen mit reellen Koeffizienten
möglich. D.h. keine ”Vermischung” von Real- und Imaginärteil.
Also: · Gleichungen lösen
✿✿✿✿✿
· Trennen von Real- und Imaginärteil
· Re ist hier der physikalisch relevante Anteil
Mit diesem Ansatz gehen wir nun in die Differentialgleichung:
∂�E ∂t = iω�E, ∆· �E Zyl.-Koord.
�
1 d
=
r
r dr
d
dr � �
E +
�
Differentiation
��
nach ϕ, z
�
=0
i µ ω σ ^E(r) �ez eiωt = 1
�
d
r
r dr
d
dr ^E(r)
�
�ez eiωt i µ ω σ ^E(r) = 1
�
d
r
r dr
d
dr ^E(r)
�
| α = √ ω µ σ