M 57.3 Teil III -pdf-Version - Staatliches Seminar für Didaktik und ...

Der Mathematikunterricht 

in der Oberstufe mit einem 

grafikfähigen Taschenrechner 

Teil III 

Materialien Gymnasium Mathematik 

M 57.3 

LANDESINSTITUT FÜR ERZIEHUNG UND UNTERRICHT STUTTGART

HERAUSGEBER 

AUTORINNEN UND 

AUTOREN 

DIESES HEFTES 

REDAKTION 

IMPRESSUM 

Landesinstitut für Erziehung und Unterricht Stuttgart 

Rotebühlstraße 131, 70197 Stuttgart 

Eichhorn, Hanspeter, Dietrich-Bonhoeffer-Schule Weinheim 

Jung, Brigitte, Max-Planck-Gymnasium Böblingen 

Lampe, Hans-Ulrich, Wilhelm-Busch-Gymnasium Stadthagen 

Pfeiffer, Achim, Spohn-Gymnasium Ravensburg 

Riedel, Roswitha, Gymnasium Gerlingen 

Roquette, Gisela, Hebel-Gymnasium Schwetzingen 

Achim Pfeiffer, Spohn-Gymnasium Ravensburg 

DRUCK Klaus Zuckermann LEU II/3 

VERTRIEB Landesinstitut für Erziehung und Unterricht Stuttgart 

Wiederholdstraße 13, 70174 Stuttgart, Fax: 0711/1849-565 

©URHEBERRECHT Dieses Heft darf im Rahmen des Urheberrechts auszugsweise für unterrichtliche Zwecke kopiert 

werden. Jede darüber hinausgehende Vervielfältigung ist nur nach Absprache mit dem Herausgeber 

möglich. 

Soweit die vorliegende Handreichung Nachdrucke enthält, wurden dafür nach bestem Wissen 

und Gewissen Lizenzen eingeholt. Die Urheberrechte der Copyrightinhaber werden ausdrücklich 

anerkannt. Sollten dennoch in einzelnen Fällen Urheberrechte nicht berücksichtigt worden sein, 

wenden Sie sich bitte an den Herausgeber. 

Bei weiteren Vervielfältigungsabsichten müssen die Urheberrechte der Copyrightinhaber beachtet 

bzw. deren Genehmigung eingeholt werden. 

August 2002

Der Mathematikunterricht 

in der Oberstufe mit einem 

grafikfähigen Taschenrechner 

Teil III

In der Reihe „Der Mathematikunterricht mit einem grafikfähigen Taschenrechner“ sind beim 

LEU erschienen: 

M 57.1 Teil I: Klasse 11 (G9): Änderungsrate, Regression, Extremwertaufgabe, 

zusammengesetzte Funktionen, Wahrscheinlichkeitsrechnung. 

M 57.2 Teil II: Kursstufe: Wachstum, Folgen, Grenzwert, Integral, Modellbildung, 

Regression, lineare Gleichungssysteme. 

M 57.3 Teil III: Entdeckendes Lernen (Kurvenscharen, Potenzfunktion, Gruppenpuzzle), 

mehrstufige Prozesse, Gleichungen, Kurzhandbücher zu TI und SHARP. 

M 57.4 CD: Mit den Materialien der Hefte 57.1, 57.2 und 57.3, sowie weiterem zahlreichem 

Material zu grafikfähigen Taschenrechnern. 

Außerdem weisen wir auf das beim LEU erschienene themenverwandte Heft 

M 56: Neue Medien im Mathematikunterricht 

hin, in dem ebenfalls ein Kapitel dem grafikfähigen Taschenrechner gewidmet ist. 

Unter www.seminar-weingarten.de/pfeiffer finden Sie weitere (ständig aktualisierte) Informationen 

und Materialien zu grafikfähigen Taschenrechnern, wie beispielsweise eine ausführliche Literaturliste 

und Linkssammlung.

Inhalt 

Einführung – Grundgedanken 1 

1 Entdeckendes Lernen 3 

Lehrplanbezug 4 

Hilfen zur Bearbeitung (Hilfekarten) 5 

Aufgabe 1 - Geradenscharen 7 

Aufgabe 2 - Kurvenschar zu gebrochen-rationalen Funktionen 8 

Möglicher Schüleraufschrieb zu Aufgabe 2 bei Bearbeitung mit dem TI 83 8 

Lösungsvorschlag TI/Sharp zu Aufgabe 2 10 

Aufgabe 3 – Kurvenschar zu ganz-rationalen Funktionen 12 

Möglicher Schüleraufschrieb zu Aufgabe 3 bei Bearbeitung mit dem CASIO 12 

Lösungsvorschlag Casio 14 



Aufgabe 6 – Gruppenpuzzle: Kurvenscharen zu trigonometrischen Funktionen 19 

Aufgabe 7 – Gruppenarbeit: Auswirkungen des Parameters in Kurvenscharen 21 

Aufgabe 8 – Gruppenpuzzle zur Potenzregel 22 

2 Mehrstufige Prozesse (Kaufverhalten) 25 

Hinweise für die Lehrerin / den Lehrer 26 

Hilfen zur Bearbeitung (Hilfekarten) 27 

Möglicher Schüleraufschrieb 29 

Lösungsvorschlag Sharp 30 

3 Gleichungen mit dem grafikfähigen Taschenrechner 33 

Hinweise für die Lehrerin / den Lehrer 34 

Lösungsvorschläge zur Aufgabe 1 35 

Lösungsvorschläge und möglicher Schüleraufschrieb zur Aufgabe 2 38 

Lösungsvorschläge zu den restlichen Aufgaben 40

Anhang 

Die Bedienung des TI 83 PLUS - Kurzhandbuch 43 

Die Bedienung des Sharp EL-9650 - Kurzhandbuch 48

Einführung - Grundgedanken Achim Pfeiffer 

Einführung - Grundgedanken 

Die Weiterentwicklung und das Erlernen von Mathematik war schon immer eng mit dem Gebrauch 

geeigneter Werkzeuge verbunden. Einerseits kommen die Anstöße zur Entwicklung dieser Werkzeuge 

aus der Mathematik, andererseits helfen diese auch bei der Weiterentwicklung und vor allem bei der 

Anwendung von Mathematik. Gerade in der heutigen Zeit erleben wir dieses Wechselspiel besonders 

eindrucksvoll im Zusammenhang mit elektronischen Werkzeugen. Durch deren Einsatz ist es möglich 

geworden, rechenintensive und unüberschaubare Probleme in kurzer Zeit zu lösen und das Ergebnis in 

optisch ansprechender Form zu visualisieren. 

Mit dem grafikfähigen Taschenrechner steht in der Oberstufe in Baden-Württemberg ein solches 

Hilfsmittel zur Verfügung, das im Unterricht, bei Hausaufgaben und in Klassenarbeiten eingesetzt 

wird. Dies hat natürlich Auswirkungen auf den Mathematikunterricht, die über die Vermittlung der 

Bedienung eines bestimmten Taschenrechnertyps hinausgehen! Der grafikfähige Taschenrechner bietet 

vielmehr die Chance wichtige Ziele (des Lehrplans) umzusetzen. Er unterstützt 

• das eigenständige Probieren und gezielte Experimentieren 

• die schnelle Visualisierung eines Sachverhaltes 

• das Erlernen von „nachdenklichem“ Vergleichen, Verallgemeinern und Argumentieren 

• die verschiedenen Formen von Gruppen- und Teamarbeit. 

Um diese Ziele erreichen zu können, ist eine Veränderung der Aufgabenlandschaft erforderlich. Es 

müssen zunehmend Probleme gestellt werden, in denen die Aufträge vom kleinschrittigen, meist eng 

an die zuvor entwickelte Theorie gebundenen und kalkülhaften Vorgehen abrücken. Mit offeneren 

Fragestellungen muss man neben der Kenntnis von Begriffen und Verfahren auch Selbstständigkeit, 

Kreativität und Einfallsreichtum bei der Suche nach eigenständigen Lösungswegen verlangen. 

Das vorliegende Heft zum Mathematikunterricht in der Oberstufe will anhand konkreter Beispiele 

zeigen, wie dieser Weg mit einem grafikfähigen Taschenrechner aussehen kann. Dabei wird davon 

ausgegangen, dass ein an Kurvendiskussionsfragen ausgerichteter Mathematikunterricht durch den 

Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners an Glaubwürdigkeit verliert, und dass in einem stärker anwendungsbezogenen 

Unterricht Modellierung, Argumentation, Beschreibung und Präsentation in den 

Vordergrund treten müssen. 

Der erste Beitrag unter dem Titel „Entdeckendes Lernen“ zeigt, wie die Schülerinnen und Schüler mithilfe 

des grafikfähigen Taschenrechners selbstständig Gesetzmäßigkeiten erkennen und Regeln 

aufstellen können. Die Materialien leiten an, Funktionen nach charakteristischen Eigenschaften zu 

klassifizieren, Veränderungen, die durch einen Parameter hervorgerufen werden, vorherzusagen und 

führen zum „Entdecken“ der Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. Dabei wird die selbstständige 

Schülerarbeit auch durch die gewählten Arbeitsformen unterstützt – so werden Materialien zur 

Gruppenarbeit, zum Gruppenpuzzle und zur Schülerpräsentation vorgestellt. 

„Mehrstufige Prozesse“ sind eines von sieben Wahlthemen zum projektorientierten Arbeiten im Lehrplan 

der Kursstufe. Mit den im dritten Beitrag vorgestellten Materialien können die Schülerinnen und 

Schüler Matrizen als Hilfsmittel zur übersichtlichen Darstellung vielschichtiger Informationen kennenlernen. 

Dabei ermöglicht der grafikfähige Taschenrechner eine heuristische Behandlung des Themas - 

der Rechenaufwand wird bei interessanten, realistischen Fragestellungen doch rasch erheblich. Diese 

Erleichterung bei der numerischen Lösung ermöglicht entdeckendes Lernen und projektorientiertes 

Vorgehen! Schnell lassen sich durch den Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners Situationen variieren 

und Gesetzmäßigkeiten etwa über Matrizenpotenzen, Grenzwerte oder stabile Zustände entdecken. 

Dadurch gewinnt man auch die Zeit und die Übersicht, um die verschiedenen Aspekte der Modellbildung 

von der Problembeschreibung, über die Modellierung und die Modellrechnungen, bis hin 

zur kritischen Diskussion der Modellannahmen zu thematisieren. 

Der Mathematikunterricht in der Oberstufe mit einem grafikfähigen Taschenrechner Teil III Seite 1

Einführung - Grundgedanken Achim Pfeiffer 

Der grafikfähige Taschenrechner bietet eine Fülle von Möglichkeiten, um Gleichungen zu lösen. Der 

dritte Beitrag diese Heftes will den Schülerinnen und Schülern den Zusammenhang zwischen einem 

numerischen Verfahren, wie dem Newton-Verfahren, und den entsprechenden Taschenrechnerfunktionen 

aufzeigen. Dazu wird zunächst versucht Verständnis für die Vorgehensweise beim Newton- 

Verfahren zu wecken, um dies dann gleichsam als Rechtfertigung für die Verwendung der entsprechenden 

Funktionen des grafikfähigen Taschenrechners zu betrachten. Dabei zeigt es sich, dass der 

grafikfähige Taschenrechner langwierige Rechnungen wie mit den herkömmlichen Taschenrechnern 

überflüssig macht, so dass Vermutungen schnell an einer Fülle von Beispielen (neue Startwerte, andere 

Gleichungen) überprüft werden können. Darüber hinaus erleichtern die Funktionsschaubilder, die der 

grafikfähige Taschenrechner erzeugt, die inhaltliche Diskussion und unterstützen die anschaulichgeometrische 

Interpretation des Iterationsverfahrens. 

Im Anhang werden Kurzhandbücher zur Bedienung des TI 83 PLUS und des SHARP EL-9650 vorgestellt. 

Sie können dem Lernenden eine Orientierungshilfe sein und ihm auf der Suche nach der richtigen 

Stelle im Menü des grafikfähigen Taschenrechners helfen. 

Die Materialien sind in der Regel so aufgebaut, dass das Problem vorgestellt wird und einige (methodische 

und didaktische) Hinweise für die Lehrerin bzw. den Lehrer gegeben werden. Daran schließen 

sich häufig Hilfekarten (zu den einzelnen Taschenrechnertypen) an, die es den Lernenden ermöglichen 

sollen, das Problem auch dann zu bearbeiten, wenn nicht alle Taschenrechnerfunktionen bekannt sind 

– die Lösung selbst wird hier nicht „verraten“. Durch den Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners 

verändert sich natürlich auch der Schüleraufschrieb, der aber nach wie vor die wesentlichen Schritte 

enthalten sollte. Daher wird in den Materialien jeweils ein möglicher Schüleraufschrieb dargestellt. 

Außerdem finden Sie ausführlich dokumentierte Lösungswege zu den Taschenrechnertypen TI/Sharp 

und Casio. 

Das vorliegende Heft will so dazu beitragen, den grafikfähigen Taschenrechner nicht als Belastung, 

sondern als Chance für den Mathematikunterricht zu sehen und seinen sinnvollen Einsatz exemplarisch 

aufzeigen. 

Achim Pfeiffer 

Ravensburg, den 1. August 2002 


Entdeckendes Lernen Brigitte Jung / Roswitha Riedel 

1. Entdeckendes Lernen 

Die Schülerinnen und Schüler haben mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) ein Werkzeug in 

der Hand, mit dessen Hilfe sie Eigenschaften von Funktionen und Rechenregeln entdecken können. 

So können die Schülerinnen und Schüler eine wesentliche Kompetenz im Umgang mit Funktionen 

durch den Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners erwerben. Sie lernen, Funktionen nach charakteristischen 

Eigenschaften zu klassifizieren und Veränderungen, die durch einen Parameter hervorgerufen 

werden, vorhersagen. 

Im Folgenden soll dieses exemplarische Entdecken anhand von Aufgaben, die sich mit Kurvenscharen 

beschäftigen, vorgestellt werden. 

Die Schülerinnen und Schüler sollen 

• gemeinsame Merkmale und Unterschiede erkennen und beschreiben können 

• die Lageveränderungen ausgezeichneter Punkte erkennen und beschreiben können, evtl. Ortskurven 

angeben können 

• Aussagen zur Symmetrie machen können 

• Spezialfälle erkennen und beschreiben können 

• aussagekräftige Skizzen anfertigen können 

• vom Schaubild einer Funktion auf den Funktionsterm schließen können 

Aufgaben mit Parametern, die man unter Verwendung eines GTR 

betrachtet, bieten sich bereits beim Thema Geraden in Klasse 11 an. 

Daher werden in Aufgabe 1 Geradenscharen vorgestellt. Diese Aufgabe 

ist dazu geeignet, den GTR als Hilfsmittel zur Veranschaulichung 

von Kurvenscharen erstmals einzusetzen. 

Die Aufgaben 2 und 3 beschäftigen sich mit Kurvenscharen 

(gebrochen-rational und ganz-rational). Aufgabe 3 bietet zahlreiche Spezialfälle. 

Da sich bei der Bearbeitung der Aufgaben zu den Kurvenscharen keine wesentlichen Unterschiede 

ergeben, werden sie exemplarisch vorgestellt; Aufgabe 2 mit dem TI 83 bzw. SHARP; Aufgabe 3 mit 

dem CASIO. 

Mit den Aufgaben 4 und 5 folgen weitere Funktionenscharen, bei denen kennzeichnende Eigenschaften 

leicht zu sehen sind. So lassen sich z.B. Ortslinien für die Extrempunkte erahnen und durch Einzeichnen 

überprüfen. In der Aufgabe 4 lässt sich die Veränderung, die der Parameter bewirkt, durch 

Ordinatenaddition erklären. 

Das Entdecken der Veränderungen eines Schaubilds einer Funktion durch einen Parameter wird im 

Gruppenpuzzle der Aufgabe 6 (aus der „WUM“-Fortbildung) zu Sinusfunktionen und in der Gruppenarbeit 

der Aufgabe 7 zu gebrochen-rationalen Funktionen aufgegriffen. 

Für das Erkennen von Gesetzmäßigkeiten bzw. das Aufstellen von Regeln wird in Aufgabe 8 ein 

Gruppenpuzzle vorgestellt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen 

finden. Dazu müssen sie aus dem Verlauf des Schaubilds der Ableitungsfunktion auf einen 

möglichen Funktionsterm schließen und ihre Ergebnisse mit dem Rechner überprüfen. 



Lehrplanbezug: 

Klasse 11 (G9): 

Lehrplaneinheit 2: Funktionen 

Lehrplaneinheit 3: Differenzierbarkeit 

Kursstufe: 

speziell: lineare und ganzrationale Funktionen 

Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich 

Verhalten bei Definitionslücken 

speziell: Ableitung der Funktion f(x) = x n 

Schaubild der ganzrationalen Funktion 

Die Funktionen sin und cos 

Lehrplaneinheit 3: Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung im Bereich ausgewählter 

Funktionen 

speziell: Gebrochen-rationale Funktionen 

„Die Arbeit am Rechner ermöglicht selbständiges Entdecken wichtiger 

Eigenschaften der Funktionsklassen“ 

GTR-Elemente, die bei der Lösung verwendet werden können: 

• Eingabe von Funktionenscharen 

• Arbeiten mit Listen 

• Einstellung des Zeichenfensters 

• graphische Darstellung von Funktionenscharen 

• Regression durch eine lineare Funktion bzw. durch eine Funktion zweiten oder dritten Grades 

• Vergrößern durch Zoomen 

• Bestimmen von Minimum und Maximum 

• Lösen von Gleichungen 



Hilfen zur Bearbeitung der Aufgaben mit dem TI 83 / TI 83 Plus / Sharp EL 9650: 

Kurvenscharen können unter Verwendung von Listen gezeichnet 

werden. 

Dazu gibt man Werte für den Parameter in eine Liste ein. 

…- 1: Edit 

In nebenstehendem Fenster wurden die Werte für den Parameter t 

in die Liste L1 eingegeben. 

Funktionsterme werden im o-Fenster eingeben, hier z.B. als 

Funktion Y1. 

An Stelle des Parameters t wird die Liste L1 verwendet. 

Einstellungen des Zeichenfensters können mit 

p 

vorgenommen werden. 

Man erhält die Kurvenschar. 

GRAPH 

Eine weitere Möglichkeit ergibt sich , indem man im o-Fenster 

statt des Parameters die Menge {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} eingibt. 

Man erhält wieder oben abgebildete Kurvenschar. 

Möchte man die einzelnen Kurven unterschiedlich darstellen 

so muss man sie einzeln eingeben. 

Im o Fenster lässt sich links vor dem Funktionsterm die Zeichenart 

mit der Í-Taste einstellen. 

Hier kann man die einzelnen Kurven unterscheiden. 



Hilfen zur Bearbeitung der Aufgaben mit dem CASIO CFX 9850GB PLUS: 

Kurvenscharen können im Grafik-Modus (GRAPH) oder im Dynamische-Grafik-Modus 

(DYNA) dargestellt werden. 

Im Grafikmenü wird der Funktionsterm eingegeben. 

Abgetrennt durch ein Komma werden in eckiger Klammer die gewünschten 

Werte für den Parameter A eingegeben, 

z.B. y1= fA(x), [A = -3,-2,-1,0,1,2,3] 

Mit F6 oder EXE werden die Kurven nacheinander gezeichnet. 

Das Zeichnen der einzelnen Schaubilder in der gewählten Reihenfolge kann 

beobachtet werden. 

Um den Verlauf der Schaubilder in einem interessanten Bereich genauer betrachten 

zu können, lässt sich ein Fenster mit SHIFT F3 (V-Window) geeignet 

festlegen. 

Mit F6 ( G ↔ T ) erhält man die Schaubilder in diesem Fenster. 

Sie erscheinen wieder in der gewählten Reihenfolge. 

Die Wartezeit kann man dazu nützen, um die Eigenschaften, die man vermutet 

hat, genauer zu beobachten 

Alternativ dazu kann man auch mit SHIFT F2 (Zoom) und anschließend 

F1 (BOX) die Vergrößerung eines gewünschten Ausschnitts erhalten. 

Wenn man Informationen über eine Scharkuve einholen möchte [z.B. mit 

SHIFT F1 (Trace) Werte überprüfen oder mit SHIFT F6 (G-Solv) ein Maximum 

bestimmen], so kann man den Cursor von einer Kurve zur andern springen 

lassen, indem man die Pfeiltasten nach oben oder nach unten drückt. 

Alternative: Im Dynamische-Grafik-Modus (DYNA) lässt sich in wählbarem 

Tempo ein Schaubild nach dem andern zeichnen. 

Dabei ist jedoch nur immer eine Kurve der Schar zu sehen. 

Der Funktionsterm wird eingegeben, die Angabe der gewünschten Parameterwerte 

in eckiger Klammer entfällt. 

Mit F4 (VAR) und F2 (RANG) erhält man die Möglichkeit, den Start- und 

den Endwert sowie die Schrittweite für den Parameter A einzugeben 

Mit F3 (SPEED) erhält man die Möglichkeit, die Geschwindigkeit für den 

Wechsel der Bilder zu bestimmen. 

Nach Bestätigung mit EXE und F6 (DYNA) erscheint im Display 

„One Moment Please!“ 

Jetzt muss man geduldig warten, bis die Schaubilder nacheinander erscheinen. 

In der linken unteren Ecke wird jeweils der Wert des Parameters angezeigt. 

Mit AC/ 0N kann man die Grafik verlassen und die Geschwindigkeit nach 

Wunsch mit den Tasten F1 – F4 ändern. F1 („Stop & Go”) erlaubt es, das 

Tempo für den Wechsel von Bild zu Bild mit EXE selbst zu bestimmen. 



Problemstellung: 

Aufgabe 1 beschäftigt sich mit Geradenscharen. Sie kann in Klasse 11 eingesetzt werden, um mit den 

Schülerinnen und Schülern das Eingeben von Funktionenscharen kennen zu lernen. Sie dient möglicherweise 

zur Ergebnissicherung des Kapitels „Steigung einer Geraden“ und „Geradengleichung“. 

Der dritte Aufgabenteil kann beim Bestimmen der Parabeltangente wieder aufgegriffen werden. 

Aufgabe 1: 

Untersuchen Sie die Funktionen f a (a ∈IR ) mit der Gleichung 

1 

a) f a ( x) 

= x + a + 1, 

x ∈ IR. 

2 

b) ( x) 

= ax + 2 + a , x ∈ IR. 

f a 

2 

c) ( x) 

= 2ax 

− a , x ∈ IR 

f a 

• Ordnen Sie jeweils die Schaubilder nach geeigneten Merkmalen. 

• Beachten Sie notwendige Fallunterscheidungen. 

• Finden Sie jeweils gemeinsame Eigenschaften. 

• Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse. 

Lösungshinweise zu Aufgabe 1 

zu a) 

Mit dem GTR werden die Geraden für a ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} 

gezeichnet. 

Es ergeben sich parallele Geraden. 

Sonderfall: Ursprungsgerade. 

zu b) 

Man zeichnet Geraden für a ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. 

Unterschiede: positive Steigung für a > 0, negative Steigung für 

a < 0. 

Sonderfall: Parallele zur x-Achse. 

Gemeinsamer Punkt S(-1/2). 

zu c) 

Man zeichnet Geraden für a ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. 

Außer den Unterschieden in der Steigung bemerkt man, dass sich 

jeweils die Schaubilder Funktionen fa und f-a auf der y-Achse 

schneiden. 

Nun ist a ∈ {-3; -2,5; -2; -1,5; -1; -0,5; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3}. 

Man erkennt, dass es eine Hüllkurve gibt. 

Die Gleichung dieser Hüllkurve ist g(x) = x 2 . 

Die Geraden sind Tangenten an g im Punkt P(a/a 2 ). 



Aufgabe 2: 

Untersuchen Sie die Funktionen f t mit der Gleichung 

f 

t 

( x) 

2 

x + t 

= für t ∈ IR . 

x − 1 

a) Ordnen Sie die Kurven nach geeigneten Merkmalen. 

Beachten Sie notwendige Fallunterscheidungen. 

Finden Sie gemeinsame Eigenschaften der Kurven. 

Weisen Sie die Symmetrie nach. 

b) Für gewisse Werte von t haben die Schaubilder Extrempunkte. 

Bestimmen Sie mit Hilfe des GTR eine Gleichung der Kurve, auf der diese Extrempunkte liegen 

und bestätigen Sie dies rechnerisch. 

c) Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse. 

Möglicher Schüleraufschrieb zu Aufgabe 2 bei Bearbeitung mit dem TI 83: 





Lösungsvorschlag zu Aufgabe 2 mit dem TI 83 (Sharp ganz ähnlich) 

a) 

Mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) werden Schaubilder 

für verschiedene Werte des Parameters t gezeichnet. 

t ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. 

Dabei wählt man einen geeigneten Zeichenbereich. 

Beim Zeichnen erkennt man folgende Fälle: 

t > -1; t = -1 und t < -1 

Die Definitionsmenge ist D = IR \ {1}. 

Für t ≠ -1 ergeben sich die gemeinsamen Eigenschaften: 

• Alle Schaubilder haben eine schiefe Asymptote y = x+1 

• Alle Schaubilder haben eine senkrechte Asymptote x = 1. 

• Bei x = 1 liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor. 

• Alle Schaubilder sind punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der 

Asymptoten S(1/2). 

Dazu zeigt man ft(1-h)+ft(1+h) = 4 für h > 0: 

2 

1− 

2h 

+ h − t 1+ 

2h 

+ h − t 

+ 

= 

1− 

h − 1 1+ 

h − 1 

2 

4h 

h 

= 4 

Fall t > -1: 

Zeichnen der Schaubilder für t ∈ {0, 1, 2; 3}. 

Alle Schaubilder haben einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. 

Es gibt keine Wendepunkte. 

Fall t < -1: 

Zeichnen der Schaubilder für t ∈ {-4; -3; -2}. 

Es gibt keine Hoch-, Tief- und Wendepunkte. 

Die Funktionen sind streng monoton steigend. 

Sonderfall t = -1: 

2 

x − 1 

Die Funktion lautet f− 

1 ( x) 

= = x + 1, 

x ≠ 1 

x − 1 

Das Schaubild ist eine Gerade y = x + 1, die an der Stelle x = 1 

nicht definiert ist. Dort ist eine Lücke L(1/2). 



b) 

Wegen der Punktsymmetrie zu S(1/2) werden in einem geeigneten 

WINDOW die Schaubilder für t ∈ {0; 1; 2; 3; 4} gezeichnet. 

Man bestimmt mit yr die Tiefpunkte der Schaubilder. 

Es ergeben sich 

T0(2/4); T1(2,41/4,82); T3(2,73/5,46); T4(3/6). 

Vermutung: die Ortskurve lautet: y = 2x. 

Rechnung: 

Die Ableitung ist: 

f 

t 

'( 

x) 

2 

x − 2x 

− t 

= 

2 

( x − 1) 

Damit ergeben sich die Extremstellen 

x1 2 

= 1+ 

1+ 

t , x = 1− 

1+ 

t . 

Der Tiefpunkt hat die Abszisse x1. 

Die Ordinate des Tiefpunkts ist 

1+ 

2 1+ 

t + 1+ 

t + t ⎛ 1 t 1 t ⎞ 

y 1 

2⎜ 

+ + 

= 

= + ⎟ = 2x 

1+ 

1+ 

t − 1 

⎜ 

1 t 1 t 

⎟ 

⎝ + + ⎠ 

Damit liegen die Tiefpunkte auf y = 2x. 

S(1/2) liegt auf y = 2x. 

Wegen der Punktsymmetrie zu S liegen auch die Hochpunkte auf 

der Geraden y = 2x. 

1 



Aufgabe 3: 

Untersuchen Sie die Funktionen f a mit der Gleichung 

f a 

für a ∈ IR. 

3 

3 

( x) 

x ( a 1) 

x ax 

4 

2 

4 

3 2 

= + + + , x ∈ IR, 

• Finden Sie gemeinsame Eigenschaften der Schaubilder. 

• Überprüfen Sie Ihre Vermutungen rechnerisch. 

• Beachten Sie dabei die notwendigen Fallunterscheidungen. 

• Untersuchen Sie speziell, wie sich die Wahl des Parameters auf die Extrempunkte des 

Schaubilds auswirkt. 

• Für welche Werte von a erhalten Sie Sonderfälle? 

• Ordnen Sie die Kurven nach geeigneten Merkmalen. 

• Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse. 

Möglicher Schüleraufschrieb zu Aufgabe 3 bei Bearbeitung mit dem CASIO: 





Lösungsvorschlag zu Aufgabe 3 mit dem CASIO CFX 9850GB PLUS 

Mit dem grafikfähigen Taschenrechner werden Schaubilder 

für verschiedene Werte des Parameters a gezeichnet. 

a ∈{-3; 

-2; -1; 0; 1; 2; 3} 

Dabei wird zunächst das Standardfenster gewählt. 

Man erkennt erwartungsgemäß, dass für alle a∈ IR gilt: 

fa(x) → ∞ für x → ∞ . 

Denn für betragsmäßig große Werte von x wird das Verhalten des 

3 4 

Schaubilds durch die Parabel mit der Gleichung g(x) = x beschrieben. 

4 



Beobachtungen: 

1) Alle Schaubilder gehen durch den Ursprung. 

Sie haben dort eine waagrechte Tangente. 

Um weitere Vermutungen zu klären, wird eine Box aufgezogen. 

Dabei zeigt sich: 

2) Alle Schaubilder schneiden sich in einem Punkt S. 

3) Alle Schaubilder haben an der Stelle x = _ 1 eine waagrechte Tangente. 

Um die Ordinate von S mit dem GTR zu finden, bestimmt man 

z.B. den Schnittpunkt der Schaubilder von f1 und f2. 

Dies ergibt S( -1,5 Ι 0,421875 ). 

Die Beobachtungen 1) – 3) lassen sich auch noch im 

DYNA – Modus überprüfen. 

Bestätigung durch Nachrechnen: 

3 4 

3 3 2 

fa(x) = x + ( a + 1) 

x + ax 

4 

2 

3 

2 

fa'(x) = 3 x + 3( 

a + 1) 

x + 3ax 

fa"(x) = 

9 2 

x + 6( 

a + 1) 

x + 3a 

Zu 1) fa(0) = 0 und fa' (0) = 0 . 

Also gehen alle Schaubilder durch 0(0Ι0) und haben dort eine 

waagrechte Tangente. 

27 

Zu 2) fa(-1,5) = = 0,421875 für alle a∈IR. 

64 

Also schneiden sich alle Schaubilder in S(-1Ι0,421875) 

Zu 3) fa'(-1) = 0 für alle a ∈IR. 

Also haben alle Schaubilder an der Stelle –1 eine waagrechte Tangente. 

Extrempunkte der Schaubilder: 

fa' (x) = 0 : 3x[x 2 2 

+(a+1)x+a] = 0 ⇔ x = 0 ∨ x +(a+1)x+a = 0 

x1 = 0, 

x 2 +(a+1)x+a = 0 hat wegen der Diskriminante 

D = (a+1) 2 – 4a = (a – 1) 2 ≥ 0 für alle a 

− ( a + 1) 

± ( a −1) 

die Lösungen x2/3 = 

. 

2 

x2 = _ 1; x3 = _ a. 

Die Lösungen x1 und x2 stimmen mit den Beobachtungen 1) und 3) überein. 

x1 = 0: fa"(0) = 3a. 

Für a>0 erhalten wir einen Tiefpunkt, für a


Der Sonderfall a = 0 liefert ein Schaubild, das im Ursprung einen 

Sattelpunkt hat. 

Es gilt f0"(0) = 0 mit einem Vorzeichenwechsel von _ nach +. 

x2 = _ 1: fa"(-1) = 3(1 – a) 

Für a1 einen Hochpunkt des 

Schaubilds an der Stelle –1. 

Der Sonderfall a = 1 liefert ein Schaubild, das für x = _ 1 einen 

Sattelpunkt hat. 

Es gilt f1"(-1) = 0 mit einem Vorzeichenwechsel von + nach _ . 

x3 = _ a: fa"(-a) = 3a(a-1) 

Für a>1 oder a 1, so erhalten wir Schaubilder mit einem Tiefpunkt an der 

Stelle –a, einem Hochpunkt an der Stelle –1 und einem 

zweiten Tiefpunkt im Ursprung. 




Die folgende Aufgabe beschäftigt sich wieder mit Kurvenscharen. 

Bei der Untersuchung kann auf das Problem der Ordinatenaddition eingegangen werden. Die Schüle- 

rinnen und Schüler können entdecken, wie sich die Ordinatenadditionen auswirkt, wenn zu dem 

Schaubild der Funktion h(x) = x 3 verschiedene Geraden des Typs g(x) = -ax addiert werden. 

Aufgabe 4: 


f a 


x = x − ax 

3 

( ) , x ∈ IR 



b) Finden Sie gemeinsame Eigenschaften der Kurven. 


Lösungshinweis: 

Es ergeben sich folgende Schaubilder für 

a ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} 

Mit dem CASIO lässt sich zusätzlich die Ortslinie der 

Extermpunkte farbig einzeichnen. 



Aufgabe 5: 


f 

a 

( x) 


1 4 2 

= − x + ax + 2 , x ∈ IR 

8 



Finden Sie gemeinsame Eigenschaften der Kurven. 

b) Für gewisse Werte von a haben die Schaubilder Extrempunkte. 

Bestimmen Sie mit Hilfe des GTR eine Gleichung der Kurve, auf der diese Extrempunkte liegen 

und bestätigen Sie dies rechnerisch. 


Lösungshinweis: 

Es ergeben sich folgende Schaubilder für 

a ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} 

Die Kurve, auf der alle Extrempunkte liegen, hat 

1 4 

die Gleichung y = x + 2 . 

8 

Mit dem CASIO wird sie farbig eingezeichnet. 



Aufgabe 6: Gruppenpuzzle zu „Veränderung des Schaubilds der Sinusfunktion“ 1 

Arbeitszeit: 1 Unterrichtsstunde für die Arbeit in den Expertengruppen 

häusliche Arbeitszeit 

1 Unterrichtsstunde für die Arbeit in den Stammgruppen 

Expertengruppe 1 

„Die Funktion mit der Gleichung f(x) = a sin(x) + d“ 

Erarbeiten Sie mit Hilfe des Grafikrechners, welche Veränderungen der Faktor a und die Konstante d 

für das Schaubild von f bewirken. 

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten für a und d. 

Beschreiben Sie, wie das Schaubild von f aus dem Schaubild der Sinusfunktion y = sin(x) hervorgeht. 

Bereiten Sie das Thema so auf, dass Sie es in Ihrer Stammgruppe erklären können. 


„Die Funktion mit der Gleichung f(x) = sin(bx)“ 

Erarbeiten Sie mit Hilfe des Grafikrechners, welche Wirkung der Faktor b für das Schaubild von f hat. 

Experimentieren Sie mit verschiedenen Faktoren b. 




„Die Funktion mit der Gleichung f(x) = sin(x+c)“ 

Erarbeiten Sie mit Hilfe des Grafikrechners, welche Wirkung die Konstante c für das Schaubild von f 

hat. Experimentieren Sie mit verschiedenen Konstanten c. 



Stammgruppen 

Untersuchen Sie, wie die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 2 sin 2(x+2) +2 aus dem Schaubild 

der Funktion y = sin(x) hervorgeht. 

Beschreiben Sie schrittweise die Veränderungen und zeichnen Sie jeweils ein Schaubild. 

1 Aufgabe 6 stammt aus den Materialien „Veränderte Unterrichtsformen“, Handreichungen zur regionalen Fortbildung im Herbst 2001, 

B.Nollenberger, ESG Filderstadt. 




Die Aufgabe 7 beschäftigt sich mit den Auswirkungen eines Parameters auf das Schaubild einer 

gebrochen-rationalen Funktion und ist als Gruppenarbeit konzipiert. 

Bei der Präsentation kann jede der Gruppen 1-4 eine Teilaufgabe übernehmen. 

Nach der Präsentation der Gruppe 5 wird der allgemeine Zusammenhang erarbeitet. 

Aufgabe 7: 

Gruppe 1 

Gegeben ist das Schaubild der Funktion f mit der Gleichung 

Zeichnen Sie ein Schaubild. 

1 

f ( x) 

= , x ≠ 0. 

2 

x 

Welche Veränderungen bewirkt der Parameter a (a ≠ 0) für das Schaubild von g? 

Wie geht das Schaubild von g aus dem Schaubild von f hervor? 

a 

a) g ( x) 

= 

2 

x 

1 

b) g( 

x) 

a 

2 

x 

+ = 

1 

c) g ( x) 

= 

2 

( ax) 

1 

d) g( 

x) 

= 

2 

( x + a) 

Präsentieren Sie die Ergebnisse. 

Gruppe 2 

1 

Gegeben ist das Schaubild der Funktion f mit der Gleichung f ( x) 

= , x ≠ 0. 

x 




a 

a) g ( x) 

= 

x 

1 

b) g ( x) 

= + a 

x 

1 

c) g ( x) 

= 

ax 

1 

d) g( 

x) 

= 

x + a 




Gruppe 3 

2 


= x . 




a) 

b) 

c) 

g( x) 

= a ⋅ x 

g( 

x) 

= x 

2 

2 + 

g ( x) 

= ( x + 

a 

2 

a) 

Stellen Sie eine allgemeine Regel für Potenzfunktionen auf. 


Gruppe 4 

1 


= , x ≠ 0. 

3 

x 




a 

a) g ( x) 

= 

3 

x 

1 

b) g( 

x) 

a 

3 

x 

+ = 

1 

c) g ( x) 

= 

3 

( ax) 

d) 

g( 

x) 

= 

( x 

1 

3 

+ a) 


Gruppe 5 

Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung y =mx + c mit m ≠ 0. 

Zeichnen Sie ein Schaubild von g mit einem beliebig gewählten Wert für m und c. 

Wie lautet die Gleichung einer Geraden h, die parallel zu g ist und 

a) in positive y-Richtung um a 

b) in positive x-Richtung um a 

verschoben wurde? 





Es soll die Potenzregel hergeleitet werden. Dabei wird auch die Regel für einen konstanten Faktor und 

einen konstanten Summanden beim Ableiten erfasst. 

Hier eignet sich ein Gruppenpuzzle. 

Aufgabe 8: 

Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) 

= x , n ∈ {2, 3, 4, 5}. 

Gesucht ist die Ableitungsfunktion. 

n 

Ferner ist eine Funktion g gegeben, von welcher ebenfalls die Ableitungsfunktion gesucht ist. 


„Die Funktionen mit den Gleichungen f(x) = x 2 1 2 und g(x) = ⋅ x “ 

a 

Untersuchen Sie zunächst die Funktion f. 

Stellen Sie das Schaubild von f und von f’ mit Hilfe des Grafikrechners dar. 

Welche Vermutung haben Sie über die Gleichung der Ableitungsfunktion? 

Testen Sie Ihre Vermutung mit Hilfe des Grafikrechners. 

Erstellen Sie mit Hilfe des Grafikrechners eine Funktionsgleichung für f’. 

Untersuchen Sie auf ähnliche Weise die Funktion g. 

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten für a. 

Welche Ableitungsregeln können Sie formulieren? 



„Die Funktionen mit den Gleichungen f(x) = x 3 und g(x) = x 3 + a “ 













„Die Funktionen mit den Gleichungen f(x) = x 4 und g(x) = a⋅x 4 “ 











„Die Funktionen mit den Gleichungen f(x) = x 5 und g(x) = x 5 – a “ 










Stammgruppen 

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen mit den Gleichungen 

f 

1 

( x) 

2 

3 

1 4 

5 2 

= 4x 

− 2; 

f2 

( x) 

= 5x 

+ 7; 

f3 

( x) 

= x − 2; 

f4 

( x) 

= −5x 

+ . 

3 

7 

Formulieren Sie Ableitungsregeln für die Funktionen f, g und h mit den Gleichungen 

n 

f ( x) 

= x mit n ∈ IN \ {0} 

n 

g( x) 

= a ⋅ x mit n ∈ IN \ {0}, a ∈ IR \ {0} 

h( 

x) 

n + 

= x c mit n ∈ IN \ {0}, c ∈ IR 



Lösungshinweise zu Aufgabe 8 mit dem TI 83 

Beispielhaft wird ein Lösungshinweis zur Expertengruppe 2 angegeben: 

Mit dem GTR wird das Schaubild von f (als Funktion Y1) gezeichnet 

und es werden die wichtigsten Eigenschaften genannt. 

Dann wird zusätzlich das Schaubild der Ableitungsfunktion f’ (als 

Funktion Y2) gezeichnet. 

Man vermutet, dass sich eine Parabel als Ableitungsfunktion ergibt, 

die symmetrisch zur y-Achse ist, also eine gerade Hochzahl 

hat. 

Die x-Werte werden in der Liste L1, die Werte der Ableitungsfunktion 

in der Liste L2 gespeichert. 

Mit STAT/CALC kann man z.B. eine quadratische Regression 

durchführen und das Ergebnis z.B. als Funktion Y3 speichern. 

Als Ableitungsfunktion erhält man y = 3x 2 . 

Durch Zeichnen von Y3 oder durch Vergleich der entsprechenden 

Wertetabellen kann man testen, ob Y3 eine Gleichung der Ableitungsfunktion 

darstellt. 

Die anderen Expertengruppen werden analog behandelt. 

Hinweise für die Arbeit mit dem CASIO: 

Geben Sie im GRAPH – Modus OPTN – CALC (F2) – d/dx (F1) ein und ergänzen Sie d/dx(x^3,x) 

so erhalten Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion von f mit f(x) = x 3 . 

Alternativ können Sie zunächst Y1 = x^3 eingeben, dann OPTN – CALC(F2) – d/dx(F1) – VARS – 

GRPH(F4) – Y(F1) - und d/dx(Y mit 1,x) ergänzen. 


Mehrstufige Prozesse Gisela Roquette / Hanspeter Eichhorn 


2. Mehrstufige Prozesse (Kaufverhalten) 

Ein Marktforschungsinstitut wurde von einem Verlag damit beauftragt, das Kaufverhalten der Käufer 

von vier Computerzeitschriften A, B, C, D zu untersuchen, um Hilfen für spätere Produktions- und 

Vertriebsentscheidungen zu liefern. 

Das Institut untersuchte zunächst den Wechsel einer repräsentativen Auswahl von Käufern von Woche 

zu Woche zwischen den Zeitschriften und will nun die Entwicklungen für die folgenden Wochen 

„hochrechnen“. 

Die folgende Abbildung beschreibt den Wechsel im Kauf der vier Zeitschriften von Woche 0 zu 

Woche 1: 

zu 

von 

A B C D Käufer in Woche 0 

A 70% 20% 10% 30% A 1000 

B 10% 40% 30% 20% B 4000 

C 10% 10% 40% 30% C 2000 

D 10% 30% 20% 20% D 3000 

a) Beschreiben Sie das Kaufverhalten. 

b) Bei der Hochrechnung nimmt das Marktforschungsinstitut an, dass sich das Wechselverhalten 

der Käufer in den folgenden Wochen nicht ändert. 

Wie viele Kunden werden demnach Zeitschrift A (B, C, D) in der 2. (3., 4.) Woche kaufen? 

c) Welche Prognose wird das Institut für das langfristige Kaufverhalten der Kunden machen? 

d) Experimentieren Sie mit anderen Ausgangssituationen (Käuferzahlen, Wechselverhalten, ...) 

Formulieren Sie passende Fragestellungen. 

Dokumentieren Sie das Vorgehen und die Ergebnisse. 

e) Erörtern Sie Möglichkeiten und Grenzen dieses Modells. 



Hinweise für die Lehrerin / den Lehrer: 

„Mehrstufige Prozesse“ sind eines von sieben Wahlthemen zum projektorientierten Arbeiten im Lehrplan 

der Kursstufe. Bei der vorgestellten Aufgabe aus dem Bereich „Mehrstufige Prozesse“ werden 

aber auch Verbindungen zum Wahlthema „Modellierung“ deutlich. Es bietet sich deshalb an, das 

Thema im Rahmen eines kleinen Forschungsprojektes zu erarbeiten. Matrizen werden dabei zur übersichtlichen 

Darstellung vielschichtiger Informationen eingesetzt. Die Matrizenrechnung wird anwendungsorientiert 

motiviert. 

Erst der grafikfähige Taschenrechner ermöglicht eine sinnvolle 

Behandlung des Themas, da der Rechenaufwand bei interessanten, 

realistischen Fragestellungen doch erheblich ist. Diese Erleichterung 

bei der numerischen Lösung ermöglicht heuristisches Arbeiten und 

entdeckendes Lernen. Schnell lassen sich durch den Einsatz des 

grafikfähigen Taschenrechners Situationen variieren und Gesetzmäßigkeiten 

etwa über Matrizenpotenzen, Grenzwerte oder stabile Zustände 

entdecken. 

Bemerkenswert sind hier die auftretenden Beziehungen zwischen Stochastik, Analysis und linearer 

Algebra. 

Die Aufgabenteile a) und b) könnten der Motivierung und Erarbeitung grundlegender Begriffe, Definitionen 

und Gesetzmäßigkeiten dienen (Matrizenkalkül). 

Die weiteren offen angelegten Aufgabenteile können im Rahmen eines kleinen Forschungsprojektes 

durch Änderung der Ausgangssituation zu verschiedenen Fragestellungen bzgl. des Kaufverhaltens 

und damit zur Entdeckung und Überprüfung neuer Gesetzmäßigkeiten im Bereich der Matrizenrechnung 

führen. 

Ebenso können die verschiedenen Aspekte der Modellbildung von der Problembeschreibung, über die 

Modellierung und die Modellrechnungen, bis hin zur kritischen Diskussion der Modellannahmen thematisiert 

werden. 


Kursstufe, Lehrplaneinheit 4: Projektorientiertes Arbeiten: Wahlthema Modellierung 

Kursstufe, Lehrplaneinheit 5: Projektorientiertes Arbeiten: Wahlthema Mehrstufige Prozesse. 


• Eingabe von Matrizen 

• Rechnen mit Matrizen 



Hilfen zur Bearbeitung des Moduls mit dem Sharp EL 9650 (TI83 fast genau so) 

Mit der Taste MATRIX kommen wir ins Matrix-Menü. 

Dort können wir Matrizen editieren, aufrufen 

und Matrizenoperationen aufrufen. 

Zum Editieren der Matrix A wählen wir den Menüpunkt 

BEDIT und 1mat A. 

Es öffnet sich ein Fenster, bei dem wir nach Eingabe von Zeilen- 

und Spaltenanzahl (z.B. 4x4) die Matrix zeilenweise mit 

16 Zahlen auffüllen können. Die Spalten passen nicht alle 

gleichzeitig auf den Bildschirm. 

Zum Durchführen von Matrizen-Operationen kehren wir zum 

Normalberechnungsbildschirm zurück: 

Zur Berechnung z.B. der 5.ten Potenz der Matrix A rufen 

wir zunächst die Matrix A auf: 

Mit der Taste MATRIX öffnen wir das Matrix-Menu. 

Dort wählen wir ANAME und dann 1matA aus. 

Mit ENTER bringen wir die Matrix A auf den Normalberechnungsbildschirm. 

Nun drücken wir die Taste a b , geben die Potenz 5 ein und 

schließen mit ENTER ab. 

Zum Editieren eines Spaltenvektors B mit 4 Einträgen öffnen 

wir das MATRIX - Menü, 

wählen BEDIT und 2mat B. Dann geben wir die Werte ein: 

Zum Durchführen von Matrizen-Operationen kehren wir zum 

Normalberechnungsbildschirm zurück: 

Das Produkt der Matrix A und des Vektors B berechnen 

wir folgendermaßen: 

Matrix A aufrufen (siehe oben), x - Taste drücken, Matrix B 

aufrufen, ENTER - Taste drücken: 



Hilfen zur Bearbeitung mit dem CASIO CFX 9850GB PLUS: 

Die Eingabe und das Editieren von Matrizen können wir im Haupt- 

Menü MAT durchführen: 

Bestimmen der Dimensionen der Matrizen 

(z.B. 4x4-Matrix A und 4x1-Matrix B) 

Eingabe / Editieren der Matrizen 

Rechnen mit Matrizen im RUN-Modus 

Mit OPTN F2 (MAT) wird das Matrix-Befehl-Menü angezeigt: 

Nach Eingabe des Matrixnamens und der Operation (hier: Potenzieren 

mit 5) wird die Potenz der Matrix angezeigt: 

F1 (Mat) ALPHA A ∧ 5 

und mit EXE berechnet. 

Editieren der Matrix B (s.o.): 

Das Produkt der Matrix A und des Vektors B berechnen wir folgendermaßen: 

Nach Eingabe des Matrixnamens, der Rechenoperation (hier Multiplikation) 

sowie des Namens der zweiten Matrix wird das Produkt der Matrizen 

angezeigt: 

F1 (Mat) ALPHA A x F1 (Mat) ALPHA B 

und mit EXE berechnet: 



Möglicher Schüleraufschrieb (für Aufgabenteil d)) 



Lösungsvorschlag Sharp EL9650 (TI83 fast genau so) 

Der Lösungsvorschlag lässt sich mit Hilfe der Angaben auf S. 28 leicht auf den Casio CFX-9850GB übertragen. 

a) Beschreibung des Kaufverhaltens: 

Wir beschreiben die erste Spalte: Nach der ersten Woche bleiben 70% der Leser beim Verlag A, 

jeweils 10% der Leser von A wechseln zu einem der Verlage B, C oder D. 

Das Wechselverhalten der Käufer von Woche zu Woche kann 

durch die Matrix A beschrieben werden. Mit der Taste MATRIX 

kommen wir ins Matrix- Menü. Zum Editieren der Matrix A wählen 

wir den Menüpunkt BEDIT und dort 1mat A. 

Es öffnet sich ein Fenster, bei dem wir zunächst Zeilen- und Spaltenanzahl 

hier 4x4 eingeben müssen. Nun drücken wir ENTER , 

die Matrix öffnet sich und wir können die Matrix zeilenweise mit 

16 Zahlen auffüllen, jede Zahl mit ENTER abschließen. 

Die Spalten passen nicht alle gleichzeitig auf den Bildschirm. 

Die Verteilung der Käufer wird durch den Vektor B beschrieben, 

den wir wie eine 4x1 Matrix editieren: 

MATRIX drücken, BEDIT und 1mat B. wählen. 

Wir geben 4 und 1 und die Zahlen ein: 

Die Verteilung der Käufer nach der 1. Woche ergibt sich, wenn 

wir die Matrix A mit dem Vektor B multiplizieren. 

Dazu wechseln wir auf den Normalberechnungsbildschirm: 

Die Matrix A rufen wir folgendermaßen auf: 

Im MATRIX - Menü wählen wir ANAME und 1mat A aus. 



Auf dem Normalberechnungsbildschirm drücken wir die Taste 

x und bringen dann die Matrix B wie die Matrix A auf den 

Normalberechnungsbildschirm, dann drücken wir die ENTER – 

Taste: 

Entsprechend erhalten wir die Käuferverteilung nach 2 Wochen, 

die Matrix A muss dazu quadriert werden 

(Taste x 2 ): 

Mit der Taste a b berechnen wir die Verteilung der Käufer nach 

3 Wochen, wir geben als Potenz 3 ein: 

c) Wir wählen im Ausdruck A n 

die Potenz n recht groß, z.B. 20 und 

erhalten eine Matrix mit Spalten, die ‚fast gleich’ sind, die Einträge 

unterscheiden sich frühestens ab der 6. Stelle nach dem Komma. 

Man kann immer nur 2 Spalten gleichzeitig sehen, daher wechseln 

wir mit der > (Cursor-nach-rechts) -Taste in die nächsten Spalten. 

Vermutung: die Wechselmatrix A n wird für große n ‚stabil’, daraus 

folgt insbesondere, dass die Käuferanzahl nach n Wochen ‚stabil’ 

wird. Das Institut wird also für die Käuferanzahlen langfristig 

die Prognose A: 3975, B: 2247, C: 1951, D: 1827 machen. 

d) Bsp. 1: Wie wirkt sich ein anderer Startvektor aus? 

Wir verändern den Startvektor B, indem wir im MATRIX-Menü 

die Matrix B nochmals editieren und andere Werte eingeben, mit 

ENTER abschließen und mit in den Normalberechnungsbildschirm 

zurückkehren. 

Wir experimentieren mit verschiedenen Potenzen von A und 

berechnen schließlich A 20 xBneu: 

Mögliche Fragestellung zu Bsp. 1: 

Überraschend hat der Verlag der Zeitschrift D die Rechte für eine Veröffentlichung einer sensationellen 

Neuentwicklung auf dem Computermarkt gekauft. Man rechnet damit, dass in der Woche 

des Erscheinens dieses Artikels alle Käufer nur die Zeitschrift D kaufen. Das Institut soll nun, unter 

der Annahme des gleichbleibenden Wechselverhaltens der Käufer, eine neue Prognose für das 

langfristige Käuferverhalten erstellen. 

Antwort: Auch mit neuem Startvektor ergibt sich langfristig die selbe Prognose wie bei c). 



Bsp.2 : Welche Auswirkung hat eine Veränderung der Wechselmatrix? 

Wir editieren die Wechselmatrix neu, in der ersten Spalte wurden 

die Einträge an den Stellen (4,1) und (1,1) verändert: 

Wir experimentieren mit verschiedenen Potenzen von A, 

z.B. 2, 3, 4, 5, 6.... und dem ursprünglichen Startvektor B: 

Auf lange Sicht (20 Wochen) mit dem ursprünglichen Startvektor 

sieht die Käuferverteilung so aus: 

Für n=99 ergibt sich: 

Mögliche Fragestellungen zu Bsp.2: 

Das Marktforschungsinstitut hat in einer Befragung festgestellt, dass die Leser von Zeitschrift A zu 

Zeitschrift D vor allem wegen der dort veröffentlichten Hardware-Tests wechseln. Der Verlag entscheidet 

deshalb, in seiner Zeitschrift auch Hardware-Tests zu veröffentlichen und hofft, dass damit 

der Anteil der Kunden, der vorher zu D abgewandert ist, bei A bleibt. Wird dies langfristig dazu 

führen, dass mehr als 50% der Kunden die Zeitschrift A kaufen? Nach wie viel Wochen wird der 

Marktanteil von D unter 13% sinken? 

Antwort: Die Wahl von höheren Potenzen (n = 99) legt die Vermutung nahe, dass Verlag A nicht 

mehr als 5000 Leser bekommen wird, also nicht mehr als 50%. Nach 6 Wochen sinkt der Marktanteil 

von D unter 13%. 

e) Modellkritik: 

Die Matrix A beschreibt das Wechselverhalten der Käufer von Woche 0 zu Woche 1. In unserem 

Modell wird davon ausgegangen, dass dieses Wechselverhalten von Woche zu Woche stabil bleibt. 

Dies kann man allerdings nur für sehr kleine n (n ist die Nr. der Woche) annehmen, da sehr viele 

andere äußere Faktoren das Wechselverhalten der Käufer beeinflussen. 

Die Gesamtzahl der Käufer kann sich durch unvorhergesehene Ereignisse ändern, z.B. allgemeine 

Rezession, Erscheinen neuer Zeitschriften auf dem Markt, etc. 

Auch sind Prognosen für kurze Zeiträume mit Vorsicht zu behandeln. So suggerieren etwa Angaben 

wie „Nach drei Wochen hat Zeitschrift A 3646 Leser“ eine Genauigkeit, die sicher nicht angemessen 

ist. 

Zusammenfassend können wir sagen, dass dieses Modell nur für kleine n brauchbar ist und langfristige 

Prognosen nur unter sehr einschränkenden Annahmen gemacht werden können. 


Gleichungen mit dem GTR Hanspeter Eichhorn / Achim Pfeiffer 

3. Gleichungen mit dem GTR 

1. Das Newton-Verfahren bei verschiedenen Startwerten. 

Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren die Lösungen der Gleichung 

G: x³ – 2x + 0,5 = 0. 

a.) Verwenden Sie den Startwert x0 = 1. 

b.) Wiederholen Sie das Verfahren mit anderen Startwerten (0; 0,5; 0,8) und interpretieren 

Sie die Ergebnisse der Iterationen. 

2. Konvergenz des Newton-Verfahrens bei verschiedenen Startwerten. 

Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens die Lösungen der Gleichung 

x 

3 

+ 2x+ 5 

= 0 

(x + 2) 

4 

Wählen Sie als Startwert zunächst x0 = –1 und in einem zweiten Fall x0 = –1,5. 

Was fällt Ihnen auf? 

3. Gleichungen mit dem grafikfähigen Taschenrechner lösen. 

. 

Bestimmen Sie die Näherungslösungen der Gleichung G aus 1 direkt mit dem grafikfähigen 

Taschenrechner. 

Dokumentieren Sie ihr Vorgehen. 

4. Lösungen einer Gleichung und Nullstellen einer Funktion. 

Interpretieren Sie die Lösungen der Gleichung G aus 1 geometrisch als Nullstellen einer Funktion 

f und zeichnen Sie mit dem grafikfähigen Taschenrechner das Schaubild dieser Funktion f. 

Bestimmen Sie (zur Kontrolle) im Grafikmodus die Schnittpunkte des gezeichneten Schaubildes 

mit der x-Achse. 

5. Geometrische Interpretation von Gleichungslösungen. 

Es gibt neben der in 4. genannten Möglichkeit mehrere weitere Möglichkeiten die Lösungen 

der Gleichung G aus 1 geometrisch zu interpretieren. 

Beschreiben Sie weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation der Lösungen der 

Gleichung G aus 1 und dokumentieren Sie deren Darstellung mit dem grafikfähigen Taschenrechner. 



Hinweise für die Lehrerin / den Lehrer: 

Der grafikfähige Taschenrechner bietet eine Fülle von Möglichkeiten, um Gleichungen zu lösen. 

Zunächst ist es jedoch das Ziel der vorgestellten Aufgaben, die Schülerinnen und Schüler mit dem numerischen 

Verfahren nach Newton bekannt zu machen. Das Verständnis für ein solches numerisches 

Verfahren kann dann gleichsam die Rechtfertigung für die Verwendung der entsprechenden Funktionen 

des grafikfähigen Taschenrechners sein. 

In den Aufgaben 1 und 2 werden die Möglichkeiten der Speicherung von Daten genutzt, um z.B. 

nach Einführung 2 des Newton-Verfahrens die Auswirkungen verschiedener Startwerte sowie das 

Konvergenzverhalten zu diskutieren. Mit Hilfe des Eingabespeichers können bei allen drei Rechnertypen 

vorangegangene mit ENTER bzw. EXE abgeschlossene Ausdrücke oder Befehle wieder aufgerufen 

werden. Die Variable ANS ist stellvertretend für den zuletzt eingegebenen Wert bzw. das letzte 

Ergebnis zu verwenden. Da so langwierige Rechnungen wie mit den herkömmlichen Taschenrechnern 

entfallen, können Vermutungen schnell an einer Fülle von Beispielen (neue Startwerte, 

andere Gleichungen) überprüft werden. Die Funktionsschaubilder, die der grafikfähige Taschenrechner 

erzeugt, erleichtern die inhaltliche Diskussion und unterstützen die anschaulich-geometrische 

Interpretation des Iterationsverfahrens. 

Bei der Bearbeitung der Aufgaben 3 bis 5 sollen vor allem die grafischen Möglichkeiten des grafikfähigen 

Taschenrechner genutzt werden, um eine Verbindung zwischen der algebraischen Behandlung 

einer Gleichung und den verschiedenen Elementen der Kurvenuntersuchung herzustellen. Das 

Lösen von Gleichungen steht mit im Zentrum der Analysis. Der grafikfähige Taschenrechner ermöglicht 

es, die vielfältigen Möglichkeiten der geometrischen Interpretation von Gleichungen schnell 

darzustellen und zu diskutieren. 

Die Aufgaben können leicht variiert werden und erweitern das Spektrum von Übungsaufgaben zur 

Kurvendiskussion. Der Einsatz des grafikfähigen Taschenrechner ermöglicht hier die im neuen 

Lehrplan der Kursstufe vorgeschlagene Akzentverschiebung vom Kalkül zu einem mehr inhaltlich 

orientierten Arbeiten. Die Aufforderung, Lösungen von Gleichungen auf verschiedene Arten geometrisch 

zu interpretieren, trägt sicherlich zu einer Unterstützung der Begriffsbildung bei und lässt 

die Querverbindungen zwischen den einzelnen Begriffen deutlicher werden. 


Klassenstufe 11 (G9): Lehrplaneinheit 4: Mathematik in der Praxis: Untersuchung von Funktionen 

Kursstufe: Lehrplaneinheit 4: Mathematik in der Praxis: Anwendung der Differenzial- 

und Integralrechnung 


• Lösen von Gleichungen 

• Nutzen von Speichermöglichkeiten 

• Grafische Darstellung von Funktionen; Einstellung des Zeichenfensters; Zoom; Trace;.... 

• Elemente der Kurvendiskussion 

2 Sinnvoll kann der grafikfähige Taschenrechner auch bei der Einführung des Newton-Verfahrens genutzt werden: 

Herleitung der Rekursionsformel, Veranschaulichen der Idee im Grafikfenster, schrittweises Nähern durch Berechnen der ersten Näherungswerte, 

Üben an Beispielen. 



Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1 mit dem Sharp EL9650 (TI83 fast genau so) 

a) 

b) 

Geben Sie zunächst die Funktion mit dem Term x³ – 2x + 0,5 

ein (Taste Y= ). 

Bei der Eingabe des Funktionsterms müssen Sie nicht zwischen 

2X und 2*X unterscheiden. Unabhängige Variable ist immer X. 

Deren Eingabe erfolgt mit der Taste X/θ/T/n. 

Geben Sie dann im Normalberechnungsbildschirm den Startwert 

1 ein und bestätigen Sie die Eingabe mit ENTER . 

Geben Sie nun die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens 

ein. Ans (Last Answer) wird mit der Tastenfolge 2ndF ANS eingegeben 

und steht für das letzte berechnete Ergebnis bzw. die letzte 

Eingabe. 

Y1 erhalten Sie über VARS AEQVARS ENTER AXY 1, 

d/dx( über MATH ACALC und der Auswahl von Punkt 5d/dx(. 

Eine Bestätigung mit ENTER bringt nun den ersten Näherungswert. 

Mit 2ndF ENTRY wird der Term wieder aufgerufen, das Betätigen 

der ENTER Taste bringt den nächsten Näherungswert. 

Mit dem Startwert 1 konvergiert das Verfahren offenbar zu dem 

Näherungswert x* = 1,2670... 

TI83 / TI83PLUS 

Eingabe der Ableitung: 

Die Bezeichnung beim TI-Rechner ist nDeriv( 

und es muss in Klammern Y1,X,Ans) eingegeben werden. 

Geben Sie zunächst den neuen Startwert ein und bestätigen Sie mit ENTER. 

Betätigen Sie dann die Tasten 2ndF ENTRY (Eingabespeicher) so oft, bis die Iterationsvorschrift 

wieder auftaucht. 

Bestätigungen mit ENTER bringen dann wie oben beschrieben die Näherungswerte. 

Mit dem Startwert x0 = 0 erhält man nach 4 Iterationsschritten 

den Näherungswert x* = 0,258652... 

Man erhält eine zweite Lösung der Gleichung. 



Mit dem Startwert x0 = 0,5 erhält man nach 4 Iterationsschritten 

ebenfalls den Näherungswert x* = 0,258652... 

Das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x³ – 2x + 0,5 zeigt, 

dass die beiden Startwerte 0 und 0,5 in der Nähe einer Nullstelle 

von f liegen. 

WINDOW: Xmin=-2; Xmax=2; Xscl=1; 

Ymin=-2; Ymax=2; Yscl=1 

Mit dem Startwert x0 = 0,8 erhält man nach einem Iterationsschritt 

den Wert -6,55...... 

Nach 8 Iterationsschritten erhält man –1,525688.... 

Eine Erklärung dafür liefert das Schaubild: 

Es zeigt, dass der Startwert 0,8 in der Nähe der Minimalstelle von 

f liegt (xmin =0,816....). 

Die Tangente an das Schaubild von f schneidet die x-Achse „weit 

links“. 

Nach Drücken der Taste TRACE bewegt man den Cursor auf dem 

Schaubild zum Punkt mit der x-Koordinate 0,8. 

2ndF DRAW ADraw 5T_Line ENTER ENTER zeichnet die Tangente. 

Bemerkung: 

Um mit dem Befehl TRACE möglichst „glatte“ Zahlenwerte zu 

erhalten, ist zu beachten, dass der Grafikbildschirm in x-Richtung 

126 und in y-Richtung 62 Pixel hat. Dem Bild oben liegt die folgende 

WINDOW-Einstellung zugrunde: 

Variante*: 

An Stelle des Differenzialoperators d/dx( kann auch der Differenzenquotient 

(Steigung einer Sekante!) verwendet werden. Dadurch 

kann an dieser Stelle die Bedeutung der Ableitung als Grenzwert 

des Differenzenquotienten erneut thematisiert werden. 

Der Iterationsterm lautet dann: 

* Die Verkettung von Funktionen kann mit dem CASIO-Rechner 

nicht durchgeführt werden 



Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1 mit dem CASIO CFX 9850GB PLUS: 

a) 

b) 

Wählen Sie im Hauptmenü die TABLE -Ikone. In diesem Modus 

können Sie Funktionen eingeben und eine Wertetabelle erstellen 

lassen. 

Bei der Eingabe des Funktionsterms müssen Sie nicht zwischen 

2X und 2*X unterscheiden. 

Unabhängige Variable ist immer X. Deren Eingabe erfolgt mit der 

Taste X,θ,T. 

Die Funktion kann auch im Grafikmodus (GRAPH -Ikone) eingegeben 

werden. 

Wechseln Sie mit der Taste MENU und dem Aufruf der RUN –Ikone 

in den Berechnungsmodus. 

Weisen Sie dann der Variablen X mittels 1, und X,θ,T den Startwert 

1 zu. 

Geben Sie dann die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens ein 

und weisen sie der Variablen X zu. 

Y1 geben Sie ein über VARS, dann F4 GRPH und F1 Y sowie 

schließlich 1. (Y1 ergibt den Funktionswert an der Stelle X). 

d/dx erhalten Sie über OPTN, dann F4 CALC und schließlich F2 d/dx. 

EXE liefert dann den ersten nach der rekursiven Bildungsvorschrift 

berechneten Wert. 

Jede weitere Betätigung von EXE ruft die Rekursionsvorschrift mit 

dem aktuellen Wert von X auf – das Newton-Verfahren läuft automatisch 

ab. 

Mit dem Startwert 1 konvergiert das Verfahren offenbar zu dem Näherungswert 

x* = 1,2670.... 

Weisen Sie dazu zunächst der Variablen X den neuen Startwert zu, 

drücken dann die Taste AC /ON und betätigen Sie die Taste so oft 

bis die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens erscheint. 

(Sie könnten mit auch zu weiter zurückliegenden Anweisungen 

gelangen: Multi-Wiederholungsfunktion). 

EXE liefert dann den ersten Wert. Fortsetzung siehe oben. 




Zunächst erfolgt die Eingabe der Funktion g mit 

g(x) = 3 

x + 2x+ 5 

= 0 

(x + 2) 

4 

Die ersten beiden Werte der Newton-Iteration mit dem Startwert 

x0 = –1: 

Nach sechs Iterationsschritten erhält man den Wert 35,70869... 

Vermutlich streben die Werte gegen unendlich. 

Das Schaubild der Funktion g liefert die Erklärung dafür, dass das 

Verfahren mit dem Startwert –1 nicht konvergiert.(WINDOW: 

Xmin=-2; Xmax=1; Xscl=1; Ymin=-5; Ymax=3; Yscl=1.) 

Ausgehend vom Punkt des Schaubildes mit der x-Koordinate –1, 

wandern die Schnittpunkte der Kurventangente mit der x-Achse 

immer weiter nach rechts. 

Mit dem Startwert x0 = -1,5 konvergiert das Verfahren. 

(Für die Maximalstelle xm von g gilt: xm ≈ -1,135. 

-1 liegt rechts von xm , –1,5 liegt links von xm.) 

Bemerkung zum CASIO CFX-9850GB PLUS: 

Da es sich im wesentlichen um elementare GTR-Funktionen handelt, wird bei dieser und den folgenden 

Aufgaben auf eine Darstellung für den CASIO CFX-9850GB PLUS verzichtet. 



Möglicher Schüleraufschrieb für Aufgabe 2 




Zunächst wird durch 2ndF SOLVER in die SOLVER-Betriebsart 

gewechselt und die zu lösende Gleichung eingegeben: 

(Auf die Eingabe „=0“ kann auch verzichtet werden.) 

Nach 2ndF EXE zeigt der GTR an, dass die Gleichung mithilfe des 

Newton-Verfahrens gelöst wird. Die Eingabe des Startwertes 1 

und zweimal 2ndF EXE ergibt den Näherungswert 1,2670... 

Weitere Lösungen erhält man nach CL und Eingabe eines geeigneten 

neuen Startwertes. 

Mit dem Startwert 0 ergibt sich: 

Mit dem Startwert –1 ergibt sich: 

Alternative: 

Mit 2ndF TOOL CPOLY 33 wechselt man in ein Menü zum Lösen 

von Gleichungen dritten Grades und kann die Koeffizienten eingeben: 

Mit 2ndF EXE ergibt sich: 




Zunächst erfolgt die Eingabe der Funktion g mit 

g(x) = x³ – 2x + 0,5. 

Mit GRAPH erhält man das Schaubild von f. 


Ymin=-5; Ymax=5; Yscl=1. 

Mit 2ndF CALC öffnet sich ein Menü zum Berechnen charakteristischer 

Punkte eines Schaubildes: 

Bewegt man den schwarzen Balken auf 5 X_Incpt und betätigt die 

ENTER –Taste wird der im Grafikfenster am weitesten links liegende 

Schnittpunkt des Schaubildes mit der x-Achse berechnet. 

Die Wiederholung der beiden letzten Schritte liefert die nächsten 

Schnittpunkte..... 

Variante: 

Die gewünschte Nullstelle erhält man sofort, indem man nach Betätigen 

der TRACE –Taste den Cursor links neben der Nullstelle positioniert 

und dann im CALC-Menü die Nullstelle berechnet. 




Folgende Fragestellungen führen auf die Gleichung G: 

I. Gibt es auf dem Schaubild der Funktion f1 mit f1(x) = x³ – 2x Punkte mit der y-Koordinate –0,5? 

II. Wie lauten die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Schaubilder der beiden Funktionen f2 und f3 

mit f2(x) = x³ und f3(x) = 2x – 0,5 ? 

III. Hat das Schaubild der Funktion f4 mit f4(x) = 

1 4 2 

x − x + 

4 2 

1 x Punkte mit waagrechter Tangente? 

Alle Fragestellungen können im CALC-Menü bearbeitet werden (s. Aufgabe 4). 

I. 

Zunächst erfolgt die Eingabe der Funktion f1, 

sowie der Funktion x-0,5 . 

Mit GRAPH erhält man die Funktionsschaubilder. 


Ymin=-1,5; Ymax=1,5; Yscl=1. 

Bewegt man den schwarzen Balken im CALC-Menü auf 2 Intsct 

und betätigt die ENTER –Taste wird der im Grafikfenster am weitesten 

links liegende Schnittpunkt der Schaubilder berechnet. 



II. 

Wie bei I. bewegt man nach der Zeichnung der Schaubilder von f2 

und f3 den schwarzen Balken im CALC-Menü auf 2 Intsct und betätigt 

die ENTER –Taste. Es wird der im Grafikfenster am weitesten 

links liegende Schnittpunkt der Schaubilder berechnet. 



III. 

Bewegt man nach der Erzeugung des Schaubildes von f4 den 

schwarzen Balken im CALC-Menü auf 3 Minimum bzw. 

4 Maximum und betätigt die ENTER –Taste wird der im Grafikfenster 

am weitesten links liegende Tiefpunkt bzw. Hochpunkt des 

Schaubildes berechnet. 

Hier können sich eine Reihe von Fragestellungen (Vollständigkeit der Lösungsmenge, Zusammenhang 

’waagrechte Tangente-Extrempunkt’,...) anschließen, um einzelne Elemente der Kurvendiskussion 

zu problematisieren bzw. wieder aufzugreifen. 


Anhang: Die Bedienung des TI 83 / TI 83 PLUS Hans-Ulrich Lampe 

Anhang 

Die Bedienung des TI-83 / TI-83 PLUS 

Eine Kurzanleitung 

Grafiktastenfeld 

Cursortastenfeld 

Sondertastenfeld 

Standardtastenfeld 

Aufbau der Tastatur (nach [1]) 

Die Tasten sind mehrfach belegt: 

Erstbelegung: weiße Schrift auf der Taste 

Zweitbelegung: gelbe Schrift links über der Taste, wird erreicht über [2nd] 

Drittbelegung: grüne Schrift rechts über der Taste, wird erreicht über [ALPHA] 


Taste Erstbelegung Zweitbelegung 

STATPLOT 

Y= 

TBLSET 

WINDOW 

FORMAT 

ZOOM 

CALC 

TRACE 

TABLE 

GRAPH 

Ruft den Y=-Editor zur Eingabe, Speicherung 

u. Bearbeitung von Funktionsgleichungen 

und Folgentermen auf. 

Zeigt die aktuellen Einstellungen des 

GBS 3 an; ermöglicht Veränderungen 

der Fenstervariablen. 

Ruft das ZOOM-Menü auf, mit dem der 

GBS verändert werden kann. 

U-Menü MEMORY ermöglicht die 

Veränderung der ZOOM-Bedingungen. 

Ruft den TRACE-Befehl zur Bewegung 

des Cursors auf einem gegebenen Funktionsgraphen 

auf, dabei Anzeige der 

Koordinaten möglich. 

Bewirkt Öffnen des GBS und Darstellung 

der Graphen zu den im Y=-Editor 

aktivierten Funktionen / Folgen. 

3 Abkürzungen: HBS Hauptbildschirm, GBS Grafikbildschirm 

Zeigt das STATPLOT-Menü für die 

Wahl von verschiedenen Statistikdarstellungsmöglichkeiten 

an. Darstellung 

von 2-dim. Tabellen. 

Ermöglicht Veränderungen zur Tabellendefinition(TblStart: 

Startwert der 

Berechnung, ∆Tbl: Schrittweite, 

Indpnt/Depend: Einstellung der Abfrage 

nach Auto/Ask). 

FORMAT ermöglicht die Veränderung 

des Anzeigeformats (u.a. Koord.system). 

Ruft Menü zur Analyse von Funktionsgraphen 

auf (Nullstellen, Hoch- u. Tiefpunkte, 

Schnittpunkte, Ableitung, Integ- 

ral.). 

Gibt Wertetabellen zu den im Y=-Editor 

aktivierten Funktionen / Folgen an. 




(Auf die Aufführung der Drittbelegung durch Buchstaben wird verzichtet) 


2nd Aktiviert die Zweitbelegung der Tasten 

QUIT Ruft ein Menü zur Festlegung von Mo- Bewirkt Rückkehr zum HBS. 

MODE dus-Einstellungen auf (Zahlendarstellung, 

Funktionen, Folgen, Zeichenart der 

Graphen u.a.). 

INS Bewirkt Löschen des Zeichens an der Ermöglicht Einfügen von Zeichen vor 

DEL aktuellen Cursorposition. 

der aktuellen Cursorposition. 

A-LOCK Aktiviert die Drittbelegung der Tasten; Ermöglicht die Feststellung der 

ALPHA ermöglicht die Eingabe von Variablen 

und Text. 

Drittbelegung bei Buchstabeneingaben. 

LINK Eingabe der Variablen x bei Funktionen Öffnet Menü zur Übertragung von Da- 

X,T,Θ,n bzw. n bei Folgen. 

ten von/zum anderen GTR bzw. PC. 

LIST Öffnet Menü mit U-Menüs für die Ein- Öffnet Menü mit U-Menüs für das Ar- 

STAT gabe von Tabellen und statistischen Berechnungen. 

U-Menü CALC z.B. Regression. 

beiten mit Listen und Listenelementen. 

TEST A Öffnet Menü mit U-Menüs zur Ausfüh- Ausgabe der Symbole =,≠,>,≥,



Die Tastenbedeutung ist vergleichbar mit den meisten ETRs bzw. erklären sich von selbst. Daher werden 

nur die Besonderheiten aufgeführt. Auch hier wird auf die Drittbelegung durch Buchstaben 

verzichtet. 


FINANCE D 5 

X -1 

Bewirkt das Anfügen des Exponenten –1 FINANCE ruft Menü mit Finanzfunk- 

an ein zuvor geschriebenes Zeichen. 

Eingabe des Terms a 

tionen auf. 

∧ 

b , wenn man die 

Taste zwischen der Eingabe von a und b 

betätigt. 

EE J Eingabe eines grammatikalischen Kom- Eingabe einer Zehnerpotenz mit nach- 

, 

mas, wichtig für einige Befehle. folgend anzugebenden Exponenten. 

u O Eingabe der Ziffer 7. Eingabe des Folgennamens u (z.B. u(n) 

7 

oder u(n-1) ). Entsprechend für v bzw. 

w. 

RCL X Eingabe eines Pfeils für die Zuweisung Abruf einer Speichervariablen. 

STO→ eines Terms zu einer Speichervariablen 

(z.B. 5→A). 

L1 Y Eingabe der Ziffern 1,2,3 usw. Eingabe der Listennamen L1,L2,L3 

1 usw. 

usw. 

MEM ′′ Additionszeichen. Memory-Menü; u.a. Zurücksetzen des 

+ 

Rechners, Löschen ausgewählter Speicherinhalte. 

OFF 

Einschalten des Rechners. Während der Ausschalten des Rechners. 

ON 

BUSY-Anzeige Abbruch der Berechnung 

/ Zeichnung. 

CATALOG { Eingabe der Ziffer 0. 

Aufruf einer Drittbelegung: 

0 

alphab. Liste aller Eingabe eines 

Funktionen und Leerzeichens 

Befehle. (Space-Taste). 

ANS ? Eingabe eines negativen Vorzeichens. Zeigt das Resultat der letzten mit 

(−) 

ENTER abgeschlossenen Eingabe an. 

ENTRY SOLVE Abschluss einer Eingabe oder Operation. ENTRY bewirkt SOLVE gehört 

ENTER 

erneute Anzeige zum Gleichungslö- 

zurückliegender 

mit ENTER abgeschlossenerEingaben 

(History). 

ser [MATH] [0]. 

5 Der TI-83 Plus hat hier die Taste MATRX: Öffnet Menü mit U-Menüs zur Arbeit mit Matrizen. Finanzfunktionen sind unter APPS zu 

erreichen. 



Wichtige Kurzbefehle 

Für die Angabe der Tastenfolgen sei folgende Kurzschreibweise vereinbart: 

[2nd] [WINDOW] führt zu [ II TBLSET] 

[ALPHA] [Taste] führt zu [ III Taste]. 

[CLEAR] Löschen des Bildschirms 

[ II QUIT] Wechsel in den HBS 

[ZOOM] [6] Zurücksetzen des WINDOW-Menüs auf die Grundeinstellung 

[Y=] Cursor auf Gleichheitszeichen des Aktivieren/Deaktivieren von Funktionsgleichungen 

Terms 

[ II Entry] Bewirkt im HBS das Aufrufen zurückliegender Eingaben 

(z.B. umfangreiche Terme), die dann auch editierbar 

sind 

[ II DRAW] [1] Löschen einer Zeichnung im GBS 

[VARS] [Y-VARS] [1] [Funktionsna- Schreiben bzw. Einfügen eines Funktionsnamens aus 

me] 

der Y=-Liste 

[ II MEM] [2] [2] Löschen einer Variablen 

[ II MEM] [5] [2] [2] Total-Reset (werks. Einstellung) 

Viele „merkwürdige“ Fehlermeldungen haben ihre Ursache in noch aktivierten PLOTs (PLOTs in der 

Y-Liste markiert) oder Fehleinstellungen in [ II Format] ( z.B. AxesOff). 

Auszüge aus den Menüs 

Nachfolgend die wichtigsten Funktionen für den MU der Sek I/II aus den einzelnen Menüs. 

MODE: 

Der Menü-Punkt wird mit dem Cursor angelaufen und mit ENTER bestätigt (Unterlegung erscheint). 

Normal / Sci / Eng Zahlenanzeige normal / Exponentialdarst. / technisch 

Float 0123456789 Fließkommaregelung 

Radian / Gegree Winkelanzeige im Bogen- bzw. Gradmaß 

Func / Par / Pol / Seq Anzeige im Y=-Editor und GBS als Funktion / parametrisch / 

polar / Folge 

Connected / Dot Graph verbunden / Einzelpunktdarst. 

Sequential / Simul Graphen nacheinander / gleichzeitig zeichnen 

Real / a+bi / re^Θi Zahlenanzeige reell / komplex kartes. / komplex polar 

Full / Horiz / G-T Bildschirmteilungen ungeteilt / horizontal geteilt / Teilung für 

gleichzeitige Betrachtung von Graph und Tabelle z.B. im TRA- 

CE-Modus. 

CALC: 

Die angegegebenen Befehle werden aus dem GBS kommend ausgewählt, um Graphen zu analysieren. 

Anschließend ist den Dialog-Aufforderungen zu folgen. 

1: value y-Wert zu einem gegebenen x-Wert berechnen 

2: zero Bestimmen der Nullstelle 

3: minimum Tiefpunktkoordinaten 

4: maximum Hochpunktkoordinaten 

5: intersect Schnittpunktkoordinaten zweier Graphen 

6: dy/dx numerische Ableitung an einer Stelle 

7: ∫f(x)dx numerische Integration in einem Intervall 



DRAW: 

1: ClrDraw Löscht alle Zeichnungen 

3: Horizontal Zeichnet im GBS eine horizontale Gerade, mit dem Cursor verschiebbar, mit 

ENTER festlegen. Aus dem HBS wird z.B. mit Horizontal 4 an der Stelle 

Y=4 eine Gerade gezeichnet. 

4. Vertical Gleiches gilt für vertikale Geraden. 

5. Tangent( Im GBS mit dem Cursor (←,→an einen Punkt des Graphen gehen oder x- 

Koordinate eingeben, mit ENTER die Tangente zeichnen; gleichzeitig wird 

die Tangentengleichung angegeben. Aus dem HBS wird z.B. mit Tangent(Y1,3) 

die Tangente an der Stelle X=3 gezeichnet. 

7: Shade( Schattiert die Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen. 

Shade(untereFkt,obereFkt,Xlinks,Xrechts,muster,Auflösung) z.B. Shade(2,3,0,10,1,2) 

zeichnet eine Umgebung um die Stelle Y=2,5 im Intervall 

[0;10] mit einem Muster. 

8: DrawInv Aus dem HBS wird mit DrawInvY1 im GBS die Umkehrfunktion zu Y1 

gezeichnet 

9: Circle( Im GBS wird der Kreis mit dem Cursor gezeichnet. Aus dem HBS wird der 

Kreis mit 

circle(X,Y,radius) im GBS gezeichnet 

MATH: 

1: 8Frac Ergebnis wird als Bruchzahl ausgegeben z.B. 3/4 + 2/38Frac [ENTER] 

2: 8Dec Ergebnis wird als Dezimalzahl ausgegeben z.B. ANS8Dec [ENTER] 

8: nDeriv( Numerische Ableitung einer Funktion an einer Stelle 

nDeriv(funktionsterm,variable,wert), dabei Anzeige der (Tangentengleichung). 

Es ist möglich, den Graphen der Ableitung einer Funktion Y1 zu zeichnen 

nDeriv(Y1,X,X) 

9: fnInt( Numerische Integration einer Funktion in einem Intervall 

fnInt(funktionsterm,variable, untere,obereGrenze) . Kann u.U. als Funktion 

verwendet werden mit 0 als unterer und X als oberer Grenze 

fnInt(Y1,X,0,X) . 

STAT: 

Listen können direkt im HBS eingegeben z.B. {1,3,5,7,9} und mit STO unter einem Namen abgespeichert 

werden oder im Listen-Editor über [STAT]. 

1 Edit 

Zugriff auf die Listen L1 bis L6, Editiermöglichkeit in der letzten Zeile, Listenoperationen 

werden über den Listenkopf definiert. 

Mathematische Auswertungen von Listen-Daten finden sich unter [STAT], [CALC] bzw. [TESTS] 

und unter [ II LIST], [OPS] bzw. [MATH]. 

Literaturverzeichnis 

[1] Messner,A.: TEXAS INSTRUMENTS TI-83; Grafikrechner ABC; Anleitungsheft Sek I/II. PAETEC, 1998 

[2] Gebrauchsanweisung TI-83 Grafikrechner, TI-Verlag 


Anhang: Die Bedienung des Sharp EL-9650 Hanspeter Eichhorn 

Die Bedienung des Sharp EL-9650 

Eine Kurzanleitung 

Der SHARP EL – 9650 ist mit einem Sensorstift ausgerüstet, 

der die Wahl von Menüs und Funktionen 

durch die direkte Berührung des Displayschirms gestattet. 

Viele der im folgenden beschriebenen Tasteneingaben 

und Bedienfunktionen können durch diesen 

„Pentouch“ ersetzt oder abgekürzt werden. 





Aufbau der Tastatur 

Die Tasten sind mehrfach belegt: 

Erstbelegung: weiße Schrift auf der Taste 

Zweitbelegung: gelbe Schrift links über der Taste, wird erreicht über die Taste [2ndF] 

Drittbelegung: blaue Schrift rechts über der Taste, wird erreicht über die Taste [ALPHA] 



STATPLOT 

Y= 

SPLIT 

GRAPH 

TBLSET 

TABLE 

SUB 

WINDOW 

FORMAT 

ZOOM 

CALC 

TRACE 

SOLVER 

CLIP 

SLIDE- 

SHOW 

SHIFT/ 

CHANGE 

EZ 

Ruft den Y=-Editor zur Eingabe, Speicherung 

u. Bearbeitung von Funktions- 

gleichungen und Folgentermen auf. 

Bewirkt das Öffnen des GBS 6 und Darstellung 

der Schaubilder zu den im Y=- 

Editor aktivierten Funktionen / Folgen. 

Wertetabelle für Grafikoperationen. 

Zeigt das STATPLOT-Menü für die Wahl 

von Schaubildern für statistische Daten an. 

Ermöglicht Schirmteilung zur gleichzeitigen 

Darstellung von Schaubild und Gleichung / 

Tabelle. 

Einstellungen für Wertetabellen. 

Einstellungen des Koordinatensystems. Substitution von Parametern in 

Funktionsscharen. 

Ruft das ZOOM-Menü auf, mit dem der FORMAT ermöglicht die Veränderung des 

GBS verändert werden kann. 

Anzeigeformats (u.a. Koord.-system). 

Ruft den TRACE-Befehl zur Bewegung Ruft Menü zur Analyse von Funktionsgrafen 

des Cursors (mit Anzeige der Koordina- auf (Funktionswerte, Extrempunkte, Schnittten) 

einem gegebenen Funktionsgrafen 

auf. 

punkte, Wendepunkte). 

Eingabe von Termen. 

Bildschirm für „normale“ Berechnungen. 

Ermöglicht das Lösen von Gleichungen. 

Anzeige von vorprogrammierten Abfol- Speichermöglichkeit der Anzeige zur Weigen 

von Schaubildern. 

terverarbeitung in einer Anzeigenfolge. 

Auswahlmenü für Fenstereinstellungen 

( Nach GRAPH- bzw. WINDOW- 

Taste). 

6 Abkürzungen: HBS Hauptbildschirm, GBS Grafikbildschirm 

Auswahl zur schnellen Erzeugung von Grafen 

(Änderungen / Verschiebungen). 




(Auf die Aufführung der Drittbelegung durch Buchstaben wird verzichtet) 


OFF 

ON 

Taste Strom EIN /AUS. 

PRGM Auswahlmenü für Matrizenrechnung. Programmverwaltung und Auswahlmenü für 

MATRIX 

Programmbefehle. 

DRAW Öffnet Menü mit U-Menüs für die Ein- Öffnet das Zeichenmenü. 

STAT gabe von Listen und statistischen Berechnungen. 

U-Menü REG z.B. Regression. 

2ndF Aktiviert die Zweitbelegung der Tasten. 

A-LOCK Aktiviert die Drittbelegung der Tasten; Ermöglicht die Feststellung der Drittbele- 

ALPHA ermöglicht Variablen- und Texteingabe. gung bei Buchstabeneingaben. 

TOOL Öffnet Menü mit U-Menüs zur Ausfüh- Auswahlmenü zur Lösung von Gleichungs- 

MATH rung bestimmter mathematischer Operationen.systemen 

und Gleichungen. 

INS Bewirkt das Löschen des Zeichens an Ermöglicht das Einfügen von Zeichen vor 

DEL der aktuellen Cursorposition. 

der aktuellen Cursorposition. 

SET UP Löscht das links von der Einfügemarke Ruft ein Menü zur Festlegung von Ein- 

BS stehende Zeichen. 

stellungen auf (Zahlendarstellung, Funktionen, 

Folgen, Zeichenart der Grafen u.a.). 

QUIT 

CL 

Löscht die HBS-Anzeige. Bewirkt Rückkehr zum HBS. 

RCL Speichern in Verbindung mit einer Spei- Aufruf eines Speicherplatzes. 

STO chervariablen. 

VARS Öffnet das Menü zum Zuweisen und 

Aufruf von Variablen 

OPTION Eingabe der Variablen x bei Funktionen Auswahlmenü für Grundeinstellungen und 

X,T,Θ,n bzw. n bei Folgen. 

Datenaustausch über die Schnittstelle. 


Taste Erstbelegung 

Cursor nach oben, Scrollen des Bild- 

 

schirms nach oben. 

Cursor nach unten, Scrollen des Bildschirms 

nach unten. 

Cursor / Bildschirm (←) nach links. 

Cursor / Bildschirm (→) nach rechts. 




Die Tastenbedeutungen sind vergleichbar mit den meisten Taschenrechnern und erklären sich fast von 

selbst. Daher werden nur die Besonderheiten aufgeführt. 

Auch hier wird auf die Drittbelegung durch Buchstaben verzichtet. 


LIST 

X 

Multiplikation. Berechnungen mit Listen. 

FINANCE Division. FINANCE ruft das Menü mit Finanzfunktio- 

: 

nen auf. 

L1 

1 

usw. 

Eingabe der Ziffern 1,2,3 usw. Eingabe der Listennamen L1, L2, L3, usw. 

EXE 

– 

Subtraktion. Ausführung des „Gleichungslösers“. 

ENTRY Eingabe eines negativen Vorzeichens. ENTRY bewirkt die erneute Anzeige zurück- 

(−) 

liegender mit ENTER abgeschlossener Eingaben. 

Diese Eingaben können editiert werden. 

ANS Abschluss einer Eingabe oder Operation. Zeigt das Resultat der letzten mit ENTER 

ENTER 

abgeschlossenen Eingabe an. 

Wichtige Kurzbefehle 

Für die Angabe der Tastenfolgen sei folgende Kurzschreibweise vereinbart: 

[2nd] [ZOOM] [ II FORMAT] 

[ALPHA] [Taste] [ III Taste]. 

[CL] Löschen des Bildschirms. 

[ II QUIT] Wechsel in den HBS. 

[ON] Abbruch beim Zeichnen von Schaubildern. 

[ II DRAW] [1] Löschen einer Zeichnung im GBS. 

[ II OPTION] [E] Rückstellmodus aufrufen. 

[ZOOM] [RCL] [1] Zurücksetzen des WINDOWS auf die Grundeinstellung. 

[Y=] Cursor auf Gleichheitszeichen der 

Gleichung. 

Aktivieren/Deaktivieren von Funktionsgleichungen. 

[ II SETUP] [B] [2] Einstellung des Bogenmaßes für Winkelweiten. 

[ II Entry] Bewirkt im HBS das Aufrufen zurückliegender Eingaben 

(z.B. umfangreiche Terme), die dann auch editierbar sind. 

[VARS] [ENTER] Schreiben bzw. Einfügen eines Funktionsnamens aus der 

Y=-Liste. 



Auszüge aus den Menüs 

Im folgenden werden einige Funktionen aus den einzelnen Menüs zusammengestellt, die in der Analysis 

nützlich sind. 

[ II SETUP] 

Der Menü-Punkt wird mit dem Cursor angelaufen und mit ENTER bestätigt (Unterlegung erscheint). 

D/R/G Winkelanzeige im Bogen- bzw. Gradmaß. 

FSE Fließkommaregelung. 

COORD Koordinatendarstellung. 

Func / Par / Pol / Seq Anzeige im Y=-Editor und GBS als Funktion / parametrisch / polar / 

Folge. 

[ II CALC] 

Die angegebenen Befehle werden aus dem GBS kommend ausgewählt, um Schaubilder zu analysieren. 

Anschließend ist den Aufforderungen zu folgen. 

1: Value y-Wert zu einem gegebenen x-Wert berechnen. 

2: intsct Schnittpunktkoordinaten zweier Grafen. 

3: Minimum Tiefpunktkoordinaten. 

4: Maximum Hochpunktkoordinaten. 

5: X_Incpt Bestimmen des Schnittpunktes mit der x-Achse. 

6: Y_Incpt Bestimmen des Schnittpunktes mit der y-Achse. 

7: Inflec Bestimmen der Wendepunktkoordinaten. 



[ II DRAW] 

1: ClrDraw Löscht alle Zeichnungen. 

2: LINE( Aus dem HBS wird eine Strecke LINE(xA,yA,xB,yB) gezeichnet. 

Zeichnet im GBS eine Strecke, Endpunkte mit Cursor und ENTER festlegen. 

3: H_Line Zeichnet im GBS eine horizontale Gerade: Mit dem Cursor verschiebbar, mit 

ENTER festlegen. Aus dem HBS wird z.B. mit H_Line 4 die Gerade mit der 

Gleichung y=4 gezeichnet. 

4. V_Line Gleiches gilt für vertikale Geraden. 

5. T_Line( Im GBS mit dem Cursor an einen Punkt des Grafen gehen (TRACE), mit ENTER 

die Tangente zeichnen. Aus dem HBS wird z.B. mit T_Line(Y1,3) die Tangente 

an der Stelle X=3 gezeichnet. 

6. DRAW Zeichnet das Schaubild einer Funktion, z.B. mit DRAW X² oder DRAW Y1. 

7: Shade( Schattiert die Fläche zwischen 2 Funktionsgrafen. 

Shade(untereFkt, obereFkt,Xlinks,Xrechts) 

8: DrawInv Aus dem HBS wird mit DrawInvY1 im GBS die Umkehrfunktion zu Y1 gezeichnet 

9: Circle( Im GBS wird der Kreis mit dem Cursor gezeichnet. Aus dem HBS wird der Kreis 

mit 

circle(X,Y,radius) im GBS gezeichnet. 

10: Text( Eingabe von Zeichen, Text(Spalte,Zeile,ABC). 

MATH 8CALC 

5: d/dx Numerische Ableitung einer Funktion an einer Stelle d/dx(funktionsterm, wert, 

mindestintervall). 

Es ist möglich, das Schaubild der Ableitung einer Funktion Y1 zu zeichnen 

d/dx(Y1,X). 

6: ∫ Numerische Integration einer Funktion in einem Intervall, aber nicht als Funktion 

∫ 

b 

verwendbar: funktionsterm dx . Es ist möglich, das Schaubild einer Integral- 

a 

funktion einer Funktion Y1 zu zeichnen: . 

7: dx Abschluss des Integrals. 

LIST 

∫ 

x 

a Y1dx 

Gibt es für ein Ergebnis mehrere Möglichkeiten, wird es als Liste ausgegeben {1 2 3 4 5 }. Punkte am 

Anfang oder Ende deuten eine Fortsetzung der Liste an (scrollen). Eine Liste kann abgespeichert werden 

unter z.B. L1. Die Bearbeitung der Listen kann über das LIST-OP-Menü erfolgen. 

5: seq( Erzeugen einer Folge seq(term,anfang,ende,schrittweite). 

Y1={1,2,3,4} 

X² 

Erzeugen einer Funktionenschar.

M 57.3 Teil III -pdf-Version - Staatliches Seminar für Didaktik und ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?