Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung von Gasen

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HTBLA Neufelden Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung Seite 4 von 10 In dieser Form besagt die Verteilung, dass man bei höheren Energien exponentiell weniger Moleküle antrifft. In der Größe C steckt noch das statistische Gewicht der einzelnen v-Intervalle. Bedenkt man nun noch, dass das Intervall [v, v + dv] des Geschwindigkeitsbetrages durch eine Kugelschale vom Volumen 4 πv 2dv repräsentiert wird, so erhält man die nachfolgende Gleichung. fv ( ) ⋅ dv c ⋅ 4π v 2 = ⋅ ⋅ e − 2kT ⋅ dv mv 2 Die Konstante c ergibt sich aus der Normierungsbedingung, das heisst, dass das uneigentliche Integral über die Verteilungsfunktion von Null bis Unendlich Eins ergeben muss, da jedes Teilchen irgendeinen Wert dazwischen mit Gewißheit annimmt. Damit erhält man für die Verteilungsfunktion folgenden Ausdruck. fm ( , v, T) := T := 300 v_ := 0 , 10 .. 7500 3 2 2 ⎛ m ⎞ ⋅ ⎜ v π k ⋅ T 2 − m v ⋅ e 2 ⋅ 2k ⋅ ⋅T ⋅ ⎝ ⎠ Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung ist eine Funktion der Geschwindigkeit v mit den Parametern m und T und das bestimmte Integral zwischen den Geschwindigkeiten v 1 und v 2 gibt an, welcher relative Anteil der betrachteten Gasmoleküle gerade eine Geschwindigkeit zwischen diesen beiden Grenzen besitzt. Die Temperatur betrage 300 Kelvin, also rund 26,85 Grad Celsius. Um im Folgenden Gleichungen nach der Variablen v symbolisch auflösen zu können, wird die Laufvariable v_ gewählt, da Mathcad 2001 diese damit als Vektor identifiziert. Die oben zitierte Normiertheit der Geschwindigkeitsverteilung, welche der Fläche von einer Einheit zwischen der Kurve und der Abszisse entspricht, kann durch das folgende uneigentliche Integral nachgewiesen werden. ∞ ⌠ ⎮ fm ( , v, T) dv = 1.000 ⌡ 0 4 . 10 4 2 . 10 4 fmv_ ( , , T) 0 0 1250 2500 3750 5000 v_ Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung zeigt für die gewählten Parameter, also ein ideales Gas mit der Molekülmasse von H-Atomen bei Raumtemperatur ein gut ausgeprägtes Maximum bei rund 2200 m/s und einen abfallenden Anteil für hochenergetische Gasteilchen. Im Folgenden soll die Maxwellverteilung etwas eingehender auf die Bedeutung ihrer Parameter untersucht werden. Zurück zur Inhaltsübersicht Peter Fischer 2002
HTBLA Neufelden Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung Seite 5 von 10 1. Wie hängt die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung von den Parametern m und T ab? Wir halten zuerst die Temperatur (bei 300 Kelvin) konstant und variieren die Masse der betrachteten Gasmoleküle. fmv_ ( , , T) 0.001 5 .10 4 f2mv_ ( , , T) f4mv_ ( , , T) f6mv_ ( , , T) 0 0 1250 2500 3750 5000 v_ Der nebenstehende Graph zeigt die Geschwindigkeitsverteilung für Gasmoleküle von 4 verschiedenen Arten, wobei die Masse der jeweiligen Gasmoleküle das Doppelte, Vierfache bzw. Sechsfache der Masse der ersten Gassorte betrage. Klar erkennt man, dass schwerere Gasteilchen bei gleicher Temperatur eine wesentlich geringere häufigste Geschwindigkeit besitzen, welche auch entsprechend "schärfer" ausgeprägt ist, das heisst, dass die Verteilung schmäler ist als bei geringerer Masse, was sich auch auf Grund der Normiertheit der Verteilungsfunktion ergibt. Nun soll die Masse konstant gehalten werden und entsprechend die Temperatur variiert werden. 6 .10 4 4 . 10 4 f2mv_ ( , , T) f2mv_ ( , , 2T) 2 .10 4 f2mv_ ( , , 4T) f2mv_ ( , , 8T) 0 0 1875 3750 5625 7500 v_ 2. Für welche Geschwindigkeit ist die Verteilungsfunktion maximal? Der nebenstehende Graph zeigt die Geschwindigkeitsverteilung für Gasmoleküle eines bestimmten Gases bei 4 verschiedenen Temperaturen, welche jeweils verdoppelt wurde. Klar erkennt man, dass identische Gasteilchen bei höherer Temperatur eine wesentlich größere häufigste Geschwindigkeit besitzen und dass die Verteilung entsprechend breiter wird, was sich auch auf Grund der Normiertheit der Verteilungsfunktion ergibt. Zurück zur Inhaltsübersicht Die Lösung erfolgt über die erste Ableitungsfunktion; Aus dem Graph folgt bereits die Existenz einer waagrechten Tangente an die Verteiungsfunktion für endliche Geschwindigkeiten. d fm ( , v, T) dv d f2m ( , v, T) dv = 0 auflösen , v = 0 auflösen , v → ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ → 0 −2227.2401761810982519 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2227.2401761810982519 0 ⎞ ⎟ ⎠ −1574.8966319087753990 1574.8966319087753990 ⎞ ⎟ ⎠ Da nur positive Geschwindigkeiten in der Praxis von Bedeutung sind, erhalten wir rund 2227 m/s als häufigste Geschwindigkeit. Das Maximum dieser Geschwindigkeitsverteilung liegt bei rund 1575 m/s. Peter Fischer 2002
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