¨Ubungen zur Theoretischen Physik F SS 11 ... - TKM

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Übungen zur Theoretischen Physik F SS 11
Prof. Dr. A. Shnirman Lösungsvorschlag zu Blatt 8
Dr. B. Narozhny 10.6.2011
1. Landauscher Diamagnetismus:
(a) Die Schrödinger Gleichung:
1
2m
(b)
(c) Die Eigenfrequenz:
χ ′′ + 2m
2
Das Zentrum der Schwingung:
Energieniveaus des Oszillators:
(d) Die Landau-Niveaus:
ˆpx + eH
c y
2 + ˆp 2 y + ˆp 2
z ψ = Eψ.
E − p2
z
−
2m
m
2 ω2
2
H (y −y0) χ = 0.
ωH = |e|H
mc .
y0 = −c px
eH .
E ′ = ωH
E = ωH
n+ 1
2
n+ 1
+
2
p2z 2m .
(e) Die Entartung: die Landau-Niveaus sind unabhängig von px!
Der Mittelpunkt y0 muss innerhalb von der Fläche LxLy liegen:
0 y0 Ly.
Deswegen, die px-Werte gehören zu einem begrenzten Interval
∆px = eH
c Ly.
Die Zahl der möglichen Werte im Interval ∆px ist
Npx = Lx
2π ∆px.
Deswegen der Entartungsgrad der Landau-Niveaus ist
N = eHS
, S = LxLy.
2πc

(f) Das großkanonische Potential
(g)
Ω = −T
ln 1+e β(µ−ǫλ) .
λ
Die Mikrozustände sind durch pz und n bezeichnet. Die Zahl der möglichen Werte
von pz im Interval dpz ist
Npz = Lz
2π dpz.
Man muss auch die Spinentartung (2) und die Entartung der Landau-Niveaus bemerken.
Deswegen:
Dann (V = SLz = LxLyLz)
Ω = −T 2eHV
(2π) 2 c
∞
∞
n=0
−∞
Ω = 2µBH
(h) Die Summationformel:
Dann
λ
→ 2N Lz
2π
n
dpz.
dpzln 1+exp β µ− p2z 2m −
n+ 1
ωH .
2
∞
n=0
f(µ) = − TmV
2π 2 3
Ω = 2µBH
∞
F
n=0
∞
0
=
ωH = |e|H
mc
= 2µB.
f[µ−(2n+1)µBH], µB = |e|
2mc ,
∞
−∞
n+ 1
≈
2
dpzln 1+exp β µ− p2
z
.
2m
∞
dxf(µ−2µBHx)+ 2µBH
24
µ
−∞
2 (2µBH)
dxf(x)−
24
0
dxF(x)+ 1
24 F′ (0).
∂f(µ)
∂µ .
Das erste Glied ist unabhängig vom Magnetfeld. Deswegen
Ω = Ω0(µ)− 1
6 µ2 B H2∂2 Ω
∂µ 2.
∂
∂n f(µ−2µBHn)
n=0

(i) Die Suszebilität ist
(j) Bemerken Sie, dass
Es folgt:
(k) Die gesamte Suszebilität:
Das Gas ist paramagnetisch.
χdia = µ2 B
3
N = −
∂ 2 Ω
∂µ 2
∂Ω
.
∂µ T,V
χdia = − 1
3 χP.
χ = χdia +χP = 2
3 χP.