Grundlegende Begriffe und der Satz von Lagrange - Universität ...

Grundlegende Begriffe und der Satz von Lagrange
Stefan Steidel, Dr. Frank Seelisch
Proseminar ”Endliche Gruppen” im Sommersemester 2009,
Technische Universität Kaiserslautern
20.04.2009
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Inhalt
1 Grundlegende Begriffe
Gruppen
”Rechenregeln” in Gruppen
Untergruppen
Erzeugendensysteme
2 Der Satz von Lagrange
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) ∀ g, h, k ∈ G : g ◦ (h ◦ k) = (g ◦ h) ◦ k (Assoziativität)
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) ∀ g, h, k ∈ G : g ◦ (h ◦ k) = (g ◦ h) ◦ k (Assoziativität)
(ii) ∃ e ∈ G ∀ g ∈ G : e ◦ g = g (Existenz eines Linksneutralen)
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) ∀ g, h, k ∈ G : g ◦ (h ◦ k) = (g ◦ h) ◦ k (Assoziativität)
(ii) ∃ e ∈ G ∀ g ∈ G : e ◦ g = g (Existenz eines Linksneutralen)
(iii) ∀ g ∈ G ∃ h ∈ G : h ◦ g = e (Existenz von Linksinversen)
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) ∀ g, h, k ∈ G : g ◦ (h ◦ k) = (g ◦ h) ◦ k (Assoziativität)
(ii) ∃ e ∈ G ∀ g ∈ G : e ◦ g = g (Existenz eines Linksneutralen)
(iii) ∀ g ∈ G ∃ h ∈ G : h ◦ g = e (Existenz von Linksinversen)
Gilt ferner g ◦ h = h ◦ g für alle g, h ∈ G, so heißt die Gruppe G
abelsch.
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) ∀ g, h, k ∈ G : g ◦ (h ◦ k) = (g ◦ h) ◦ k (Assoziativität)
(ii) ∃ e ∈ G ∀ g ∈ G : e ◦ g = g (Existenz eines Linksneutralen)
(iii) ∀ g ∈ G ∃ h ∈ G : h ◦ g = e (Existenz von Linksinversen)
Gilt ferner g ◦ h = h ◦ g für alle g, h ∈ G, so heißt die Gruppe G
abelsch.
Ist |G| < ∞, so heißt die Gruppe G endlich.
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Gruppen
Definition
Eine Gruppe (G, ◦) ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit
einer Verknüpfung ◦ : G × G −→ G, so dass folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) ∀ g, h, k ∈ G : g ◦ (h ◦ k) = (g ◦ h) ◦ k (Assoziativität)
(ii) ∃ e ∈ G ∀ g ∈ G : e ◦ g = g (Existenz eines Linksneutralen)
(iii) ∀ g ∈ G ∃ h ∈ G : h ◦ g = e (Existenz von Linksinversen)
Gilt ferner g ◦ h = h ◦ g für alle g, h ∈ G, so heißt die Gruppe G
abelsch.
Ist |G| < ∞, so heißt die Gruppe G endlich.
In diesem Fall heißt |G| Ordnung von G.
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Gruppen
Beispiele für Gruppen:
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Gruppen
Beispiele für Gruppen:
(a) Ist (R, +, ·) ein Ring, so ist (R, +) eine abelsche Gruppe.
Insbesondere ist (Z, +) eine Gruppe und (K, +) für jeden
Körper K.
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Gruppen
Beispiele für Gruppen:
(a) Ist (R, +, ·) ein Ring, so ist (R, +) eine abelsche Gruppe.
Insbesondere ist (Z, +) eine Gruppe und (K, +) für jeden
Körper K.
(b) Ist K ein Körper, so bilden die regulären n × n-Matrizen über
K bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe; wir
schreiben Gln(K) := ({A ∈ Mat(n × n, K) | det(A) = 0} , ·).
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Gruppen
Beispiele für Gruppen:
(a) Ist (R, +, ·) ein Ring, so ist (R, +) eine abelsche Gruppe.
Insbesondere ist (Z, +) eine Gruppe und (K, +) für jeden
Körper K.
(b) Ist K ein Körper, so bilden die regulären n × n-Matrizen über
K bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe; wir
schreiben Gln(K) := ({A ∈ Mat(n × n, K) | det(A) = 0} , ·).
Ist speziell K = GF (q) der Körper mit q = p k Elementen (p
Primzahl), so schreiben wir statt Gln(K) auch Gln(q).
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”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
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”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
5 / 25

”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
5 / 25

”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
3 Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, d.h.
∀ g, h ∈ G : gh = e ⇒ hg = e.
5 / 25

”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
3 Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, d.h.
∀ g, h ∈ G : gh = e ⇒ hg = e.
4 Zu jedem g ∈ G gibt es genau ein (links-)inverses Element,
d.h. genau ein h ∈ G mit hg = e.
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”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
3 Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, d.h.
∀ g, h ∈ G : gh = e ⇒ hg = e.
4 Zu jedem g ∈ G gibt es genau ein (links-)inverses Element,
d.h. genau ein h ∈ G mit hg = e.
5 Wir dürfen kürzen, d.h. für g, h, k ∈ G gilt kg = kh ⇒ g = h.
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”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
3 Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, d.h.
∀ g, h ∈ G : gh = e ⇒ hg = e.
4 Zu jedem g ∈ G gibt es genau ein (links-)inverses Element,
d.h. genau ein h ∈ G mit hg = e.
5 Wir dürfen kürzen, d.h. für g, h, k ∈ G gilt kg = kh ⇒ g = h.
6 Sind g, h ∈ G, so gelten (gh) −1 = h −1 g −1 und (g −1 ) −1 = g.
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”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
3 Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, d.h.
∀ g, h ∈ G : gh = e ⇒ hg = e.
4 Zu jedem g ∈ G gibt es genau ein (links-)inverses Element,
d.h. genau ein h ∈ G mit hg = e.
5 Wir dürfen kürzen, d.h. für g, h, k ∈ G gilt kg = kh ⇒ g = h.
6 Sind g, h ∈ G, so gelten (gh) −1 = h −1 g −1 und (g −1 ) −1 = g.
7 Es gelten die Potenzgesetze, d.h. wenn wir g 0 := e und, für
i ≥ 1, rekursiv g i+1 := g i · g sowie g −i := (g i ) −1 definieren,
dann gilt für alle i, j ∈ Z: g i · g j = g i+j .
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Untergruppen
Definition
Sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊆ G eine nicht-leere Teilmenge.
6 / 25

Untergruppen
Definition
Sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊆ G eine nicht-leere Teilmenge.
Dann heißt U Untergruppe von G, falls U bezüglich der (in ganz
G wohl-definierten) Verknüpfung ◦ selbst eine Gruppe ist.
6 / 25

Untergruppen
Definition
Sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊆ G eine nicht-leere Teilmenge.
Dann heißt U Untergruppe von G, falls U bezüglich der (in ganz
G wohl-definierten) Verknüpfung ◦ selbst eine Gruppe ist.
Wir schreiben U ≤ G (bzw. U < G, falls sicher gilt U = G).
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Untergruppen
Seien eine Gruppe G und ∅ = U ⊆ G gegeben; wie stellen wir dann
fest, ob U ≤ G?
7 / 25

Untergruppen
Seien eine Gruppe G und ∅ = U ⊆ G gegeben; wie stellen wir dann
fest, ob U ≤ G?
Satz: Untergruppenkriterien
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
7 / 25

Untergruppen
Seien eine Gruppe G und ∅ = U ⊆ G gegeben; wie stellen wir dann
fest, ob U ≤ G?
Satz: Untergruppenkriterien
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) U ≤ G,
7 / 25

Untergruppen
Seien eine Gruppe G und ∅ = U ⊆ G gegeben; wie stellen wir dann
fest, ob U ≤ G?
Satz: Untergruppenkriterien
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) U ≤ G,
(b) ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U,
7 / 25

Untergruppen
Seien eine Gruppe G und ∅ = U ⊆ G gegeben; wie stellen wir dann
fest, ob U ≤ G?
Satz: Untergruppenkriterien
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) U ≤ G,
(b) ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U,
(c) ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U,
7 / 25

Untergruppen
Seien eine Gruppe G und ∅ = U ⊆ G gegeben; wie stellen wir dann
fest, ob U ≤ G?
Satz: Untergruppenkriterien
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) U ≤ G,
(b) ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U,
(c) ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U,
Falls zusätzlich |U| < ∞, so sind die obigen Aussagen außerdem
äquivalent zu
(d) ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U.
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Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis für |U| < ∞ und zeigen die
Implikationskette (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (a):
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Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis für |U| < ∞ und zeigen die
Implikationskette (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (a):
Beweis:
(a) ⇒ (b): (zu zeigen: U ≤ G
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U)
8 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis für |U| < ∞ und zeigen die
Implikationskette (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (a):
Beweis:
(a) ⇒ (b): (zu zeigen: U ≤ G
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U)
Dies folgt aber sofort aus der Definition einer Untergruppe.
8 / 25

Untergruppen
(b) ⇒ (c): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U)
9 / 25

Untergruppen
(b) ⇒ (c): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U)
Seien u, v ∈ U beliebig.
9 / 25

Untergruppen
(b) ⇒ (c): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U)
Seien u, v ∈ U beliebig.
Dann ist nach Voraussetzung v −1 ∈ U.
9 / 25

Untergruppen
(b) ⇒ (c): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U ∧ u −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U)
Seien u, v ∈ U beliebig.
Dann ist nach Voraussetzung v −1 ∈ U.
Wiederum nach Voraussetzung gilt dann aber auch u · v −1 ∈ U.
9 / 25

Untergruppen
(c) ⇒ (d): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U)
10 / 25

Untergruppen
(c) ⇒ (d): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U)
Seien wieder u, v ∈ U beliebig.
10 / 25

Untergruppen
(c) ⇒ (d): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U)
Seien wieder u, v ∈ U beliebig.
Nach Voraussetzung gelten dann u · u −1 = e ∈ U und somit auch
e · v −1 = v −1 ∈ U.
10 / 25

Untergruppen
(c) ⇒ (d): (zu zeigen: ∀ u, v ∈ U : u · v −1 ∈ U
=⇒ ∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U)
Seien wieder u, v ∈ U beliebig.
Nach Voraussetzung gelten dann u · u −1 = e ∈ U und somit auch
e · v −1 = v −1 ∈ U.
Letztendlich gilt also auch u · (v −1 ) −1 = u · v ∈ U.
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Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
11 / 25

Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
11 / 25

Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
11 / 25

Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
Wir wählen irgendein u ∈ U und betrachten die Menge
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t und u s = u t .
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Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
Wir wählen irgendein u ∈ U und betrachten die Menge
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t und u s = u t . Ohne
Einschränkung sei s < t.
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Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
Wir wählen irgendein u ∈ U und betrachten die Menge
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t und u s = u t . Ohne
Einschränkung sei s < t. Dann können wir (in G!) mit u −s
multiplizieren und erhalten e = u 0 = u t−s , also e ∈ U.
11 / 25

Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
Wir wählen irgendein u ∈ U und betrachten die Menge
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t und u s = u t . Ohne
Einschränkung sei s < t. Dann können wir (in G!) mit u −s
multiplizieren und erhalten e = u 0 = u t−s , also e ∈ U.
Für t − s = 1 folgt u = e, d.h. u −1 = e −1 = e = u ∈ U.
11 / 25

Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
Wir wählen irgendein u ∈ U und betrachten die Menge
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t und u s = u t . Ohne
Einschränkung sei s < t. Dann können wir (in G!) mit u −s
multiplizieren und erhalten e = u 0 = u t−s , also e ∈ U.
Für t − s = 1 folgt u = e, d.h. u −1 = e −1 = e = u ∈ U.
Und für t − s ≥ 2 haben wir u t−s−1 · u = u t−s = e, d.h. in diesem
Fall ist u t−s−1 das in U gesuchte (links-)inverse Element zu u.
q.e.d.
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Untergruppen
Beispiele für Untergruppen:
12 / 25

Untergruppen
Beispiele für Untergruppen:
(a) Eine Gruppe G hat stets die trivialen Untergruppen G und
{e}.
12 / 25

Untergruppen
Beispiele für Untergruppen:
(a) Eine Gruppe G hat stets die trivialen Untergruppen G und
{e}.
(b) Sei K ein beliebiger Körper. Dann ist
{(aij)1≤i,j≤2 ∈ Gl2(K) | a12 = 0}
eine Untergruppe von Gl2(K).
12 / 25

Untergruppen
Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen; dies gilt im
Allgemeinen aber nicht für Vereinigungen:
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Untergruppen
Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen; dies gilt im
Allgemeinen aber nicht für Vereinigungen:
Satz: Schnitte und Vereinigungen von Untergruppen
(a)
i∈I Ui ≤ G,
13 / 25

Untergruppen
Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen; dies gilt im
Allgemeinen aber nicht für Vereinigungen:
Satz: Schnitte und Vereinigungen von Untergruppen
(a)
i∈I Ui ≤ G,
(b) Für Unterguppen U1, U2 ≤ G gilt:
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
13 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
14 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
”⇐=”: Diese Richtung ist trivial.
14 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
”⇐=”: Diese Richtung ist trivial.
”=⇒”: Nach Voraussetzung gilt also U1 ∪ U2 ≤ G.
14 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
”⇐=”: Diese Richtung ist trivial.
”=⇒”: Nach Voraussetzung gilt also U1 ∪ U2 ≤ G.
Wir versuchen, einen Widerspruch zu konstruieren, d.h. wir
nehmen an: U1 ⊆ U2 ∧ U2 ⊆ U1.
14 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
”⇐=”: Diese Richtung ist trivial.
”=⇒”: Nach Voraussetzung gilt also U1 ∪ U2 ≤ G.
Wir versuchen, einen Widerspruch zu konstruieren, d.h. wir
nehmen an: U1 ⊆ U2 ∧ U2 ⊆ U1.
Dann existieren u1 ∈ U1 \ U2 und u2 ∈ U2 \ U1. Da U1 ∪ U2
nach Voraussetzung eine Untergruppe von G ist, ist dann
auch u1 · u2 ∈ U1 ∪ U2.
14 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
”⇐=”: Diese Richtung ist trivial.
”=⇒”: Nach Voraussetzung gilt also U1 ∪ U2 ≤ G.
Wir versuchen, einen Widerspruch zu konstruieren, d.h. wir
nehmen an: U1 ⊆ U2 ∧ U2 ⊆ U1.
Dann existieren u1 ∈ U1 \ U2 und u2 ∈ U2 \ U1. Da U1 ∪ U2
nach Voraussetzung eine Untergruppe von G ist, ist dann
auch u1 · u2 ∈ U1 ∪ U2. Ohne Einschränkung dürfen wir
annehmen, dass u1 · u2 ∈ U1.
14 / 25

Untergruppen
Wir wiederholen den Beweis von Teil (b), d.h. die Äquivalenz
U1 ∪ U2 ≤ G ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 ∨ U2 ⊆ U1).
Beweis:
”⇐=”: Diese Richtung ist trivial.
”=⇒”: Nach Voraussetzung gilt also U1 ∪ U2 ≤ G.
Wir versuchen, einen Widerspruch zu konstruieren, d.h. wir
nehmen an: U1 ⊆ U2 ∧ U2 ⊆ U1.
Dann existieren u1 ∈ U1 \ U2 und u2 ∈ U2 \ U1. Da U1 ∪ U2
nach Voraussetzung eine Untergruppe von G ist, ist dann
auch u1 · u2 ∈ U1 ∪ U2. Ohne Einschränkung dürfen wir
annehmen, dass u1 · u2 ∈ U1.
Doch dann ist auch u −1
1 · u1 · u2 = u2 ∈ U1, d.h. wir
bekommen den gewünschten Widerspruch.
q.e.d. 14 / 25

Untergruppen
Beispiele für den Schnitt zweier Untergruppen:
15 / 25

Untergruppen
Beispiele für den Schnitt zweier Untergruppen:
(a) (6Z, +) ∩ (10Z, +) = (30Z, +),
15 / 25

Untergruppen
Beispiele für den Schnitt zweier Untergruppen:
(a) (6Z, +) ∩ (10Z, +) = (30Z, +),
(b) Allgemeiner (und kürzer notiert) gilt:
mZ ∩ nZ = kgV (m, n)Z.
15 / 25

Erzeugendensysteme
Definition
Seien G eine Gruppe und M ⊆ G eine beliebige Teilmenge. Dann
heißt 〈M〉 := {U | M ⊆ U ≤ G} das Erzeugnis von M.
16 / 25

Erzeugendensysteme
Definition
Seien G eine Gruppe und M ⊆ G eine beliebige Teilmenge. Dann
heißt 〈M〉 := {U | M ⊆ U ≤ G} das Erzeugnis von M.
Offenbar gilt: 〈M〉 ist die kleinste Untergruppe von G, die M
enthält.
16 / 25

Erzeugendensysteme
Definition
Seien G eine Gruppe und M ⊆ G eine beliebige Teilmenge. Dann
heißt 〈M〉 := {U | M ⊆ U ≤ G} das Erzeugnis von M.
Offenbar gilt: 〈M〉 ist die kleinste Untergruppe von G, die M
enthält.
Satz: Erzeugnis
Es gelten 〈∅〉 = {e} bzw., für M = ∅,
〈M〉 = {m a1
1
· · · man
n | n ∈ N; m1, . . . , mn ∈ M; a1, . . . , an ∈ Z}.
16 / 25

Erzeugendensysteme
Vor dem Beweis für M = ∅ schauen wir uns noch kurz ein Beispiel
an:
17 / 25

Erzeugendensysteme
Vor dem Beweis für M = ∅ schauen wir uns noch kurz ein Beispiel
an:
(a) 〈6Z ∪ 10Z〉 = 2Z
17 / 25

Erzeugendensysteme
Vor dem Beweis für M = ∅ schauen wir uns noch kurz ein Beispiel
an:
(a) 〈6Z ∪ 10Z〉 = 2Z
(b) allgemeiner gilt: 〈mZ ∪ nZ〉 = ggt(m, n)Z
17 / 25

Erzeugendensysteme
Erinnerung: 〈M〉 = {U | M ⊆ U ≤ G}
zu zeigen: 〈M〉 = M0 := {m a1
1 · ma2
2 · · · man n |
n ∈ N; m1, m2, . . . , mn ∈ M; a1, a2, . . . , an ∈ Z}.
Beweis:
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Erzeugendensysteme
Erinnerung: 〈M〉 = {U | M ⊆ U ≤ G}
zu zeigen: 〈M〉 = M0 := {m a1
1 · ma2
2 · · · man n |
n ∈ N; m1, m2, . . . , mn ∈ M; a1, a2, . . . , an ∈ Z}.
Beweis:
Wir überprüfen schnell M ⊆ M0 sowie M0 ≤ G.
18 / 25

Erzeugendensysteme
Erinnerung: 〈M〉 = {U | M ⊆ U ≤ G}
zu zeigen: 〈M〉 = M0 := {m a1
1 · ma2
2 · · · man n |
n ∈ N; m1, m2, . . . , mn ∈ M; a1, a2, . . . , an ∈ Z}.
Beweis:
Wir überprüfen schnell M ⊆ M0 sowie M0 ≤ G. Es folgt also
〈M〉 ⊆ M0.
18 / 25

Erzeugendensysteme
Erinnerung: 〈M〉 = {U | M ⊆ U ≤ G}
zu zeigen: 〈M〉 = M0 := {m a1
1 · ma2
2 · · · man n |
n ∈ N; m1, m2, . . . , mn ∈ M; a1, a2, . . . , an ∈ Z}.
Beweis:
Wir überprüfen schnell M ⊆ M0 sowie M0 ≤ G. Es folgt also
〈M〉 ⊆ M0.
Andererseits gilt aber, weil 〈M〉 Untergruppe von G ist, auch
M0 ⊆ 〈M〉.
q.e.d.
18 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir führen das Produkt zweier Teilmengen einer Gruppe G ein:
19 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir führen das Produkt zweier Teilmengen einer Gruppe G ein:
Definition
Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung ◦, und seien A, B ⊆ G
zwei Teilmengen. Dann setzen wir A ◦ B := {a ◦ b | a ∈ A, b ∈ B}.
19 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir führen das Produkt zweier Teilmengen einer Gruppe G ein:
Definition
Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung ◦, und seien A, B ⊆ G
zwei Teilmengen. Dann setzen wir A ◦ B := {a ◦ b | a ∈ A, b ∈ B}.
Man beachte, dass A oder B auch leer sein dürfen; dann hat man
∅ ◦ B = A ◦ ∅ = ∅.
19 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir führen das Produkt zweier Teilmengen einer Gruppe G ein:
Definition
Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung ◦, und seien A, B ⊆ G
zwei Teilmengen. Dann setzen wir A ◦ B := {a ◦ b | a ∈ A, b ∈ B}.
Man beachte, dass A oder B auch leer sein dürfen; dann hat man
∅ ◦ B = A ◦ ∅ = ∅.
Für einelementige Mengen schreiben wir auch kurz
a ◦ B := {a} ◦ B bzw. A ◦ b := A ◦ {b}.
19 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
20 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
Satz: Produktformel für Untergruppen
Seien G eine endliche Gruppe und U, V ≤ G.
20 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
Satz: Produktformel für Untergruppen
Seien G eine endliche Gruppe und U, V ≤ G.
Dann gilt: |UV | =
|U|·|V |
|U∩V | .
20 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
Satz: Produktformel für Untergruppen
Seien G eine endliche Gruppe und U, V ≤ G.
Dann gilt: |UV | =
|U|·|V |
|U∩V | .
Man beachte: Hierbei ist nicht UV ≤ G gefordert.
20 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
Satz: Produktformel für Untergruppen
Seien G eine endliche Gruppe und U, V ≤ G.
Dann gilt: |UV | =
|U|·|V |
|U∩V | .
Man beachte: Hierbei ist nicht UV ≤ G gefordert. Aber wir haben
ein Kriterium, um UV ≤ G zu entscheiden:
20 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
Satz: Produktformel für Untergruppen
Seien G eine endliche Gruppe und U, V ≤ G.
Dann gilt: |UV | =
|U|·|V |
|U∩V | .
Man beachte: Hierbei ist nicht UV ≤ G gefordert. Aber wir haben
ein Kriterium, um UV ≤ G zu entscheiden:
Satz
Seien G eine Gruppe und U, V ≤ G. Dann gilt:
UV ≤ G ⇐⇒ UV = VU.
20 / 25

Produktformel für Untergruppen
Wir betrachten jetzt nicht nur Teilmengen von G, sondern
Untergruppen:
Satz: Produktformel für Untergruppen
Seien G eine endliche Gruppe und U, V ≤ G.
Dann gilt: |UV | =
|U|·|V |
|U∩V | .
Man beachte: Hierbei ist nicht UV ≤ G gefordert. Aber wir haben
ein Kriterium, um UV ≤ G zu entscheiden:
Satz
Seien G eine Gruppe und U, V ≤ G. Dann gilt:
UV ≤ G ⇐⇒ UV = VU.
In diesem Fall gilt UV = 〈U ∪ V 〉.
20 / 25

Nebenklassen
Für den Beweis der Produktformel (, den wir hier aber nicht
wiederholen wollen,) benötigt man die sogenannten Nebenklassen.
21 / 25

Nebenklassen
Für den Beweis der Produktformel (, den wir hier aber nicht
wiederholen wollen,) benötigt man die sogenannten Nebenklassen.
Seien dazu G wieder eine Gruppe und U ≤ G.
21 / 25

Nebenklassen
Für den Beweis der Produktformel (, den wir hier aber nicht
wiederholen wollen,) benötigt man die sogenannten Nebenklassen.
Seien dazu G wieder eine Gruppe und U ≤ G.
Für g, h ∈ G definiert dann g ∼U h :⇔ g −1 h ∈ U eine
Äquivalenzrelation, und es gilt g ∼U h ⇔ g −1 h ∈ U ⇔ h ∈ gU.
21 / 25

Nebenklassen
Für den Beweis der Produktformel (, den wir hier aber nicht
wiederholen wollen,) benötigt man die sogenannten Nebenklassen.
Seien dazu G wieder eine Gruppe und U ≤ G.
Für g, h ∈ G definiert dann g ∼U h :⇔ g −1 h ∈ U eine
Äquivalenzrelation, und es gilt g ∼U h ⇔ g −1 h ∈ U ⇔ h ∈ gU.
Definition
Die zu g ∈ G gehörende Äquivalenzklasse gU heißt
Linksnebenklasse von g nach U.
21 / 25

Nebenklassen
Für den Beweis der Produktformel (, den wir hier aber nicht
wiederholen wollen,) benötigt man die sogenannten Nebenklassen.
Seien dazu G wieder eine Gruppe und U ≤ G.
Für g, h ∈ G definiert dann g ∼U h :⇔ g −1 h ∈ U eine
Äquivalenzrelation, und es gilt g ∼U h ⇔ g −1 h ∈ U ⇔ h ∈ gU.
Definition
Die zu g ∈ G gehörende Äquivalenzklasse gU heißt
Linksnebenklasse von g nach U.
Als einfache Folgerung haben wir die kanonische Zerlegung von G
in die Linksnebenklassen nach U, d.h. G =
g∈G gU, wobei zwei
Linksnebenklassen entweder identisch oder disjunkt sind.
21 / 25

Nebenklassen
Für den Beweis der Produktformel (, den wir hier aber nicht
wiederholen wollen,) benötigt man die sogenannten Nebenklassen.
Seien dazu G wieder eine Gruppe und U ≤ G.
Für g, h ∈ G definiert dann g ∼U h :⇔ g −1 h ∈ U eine
Äquivalenzrelation, und es gilt g ∼U h ⇔ g −1 h ∈ U ⇔ h ∈ gU.
Definition
Die zu g ∈ G gehörende Äquivalenzklasse gU heißt
Linksnebenklasse von g nach U.
Als einfache Folgerung haben wir die kanonische Zerlegung von G
in die Linksnebenklassen nach U, d.h. G =
g∈G gU, wobei zwei
Linksnebenklassen entweder identisch oder disjunkt sind.
Analog definiert man die Rechtsnebenklassen nach U.
21 / 25

Nebenklassen
Schauen wir uns ein Beispiel an:
22 / 25

Nebenklassen
Schauen wir uns ein Beispiel an: Seien G = Gl2(2) und
U = {(aij)i,j=1,2 ∈ G | a12 = 0} =
1 0
E,
1 1
.
22 / 25

Nebenklassen
Schauen wir uns ein Beispiel an: Seien G = Gl2(2) und
U = {(aij)i,j=1,2 ∈ G | a12 = 0} =
1 0
E,
1 1
.
Dann erhalten wir folgende Zerlegungen von G in Links- bzw.
Rechtsnebenklassen:
22 / 25

Nebenklassen
Schauen wir uns ein Beispiel an: Seien G = Gl2(2) und
U = {(aij)i,j=1,2 ∈ G | a12 = 0} =
1 0
E,
1 1
.
Dann erhalten wir folgende Zerlegungen von G in Links- bzw.
Rechtsnebenklassen:
1 0
1
G = E,
∪
1
0
,
1
0
∪
1
1
,
1
=
1
U
1
∪
0 1
1 1
1 1
U ∪
1 0
0 1
1 0
U
0 1
1 0
22 / 25

Nebenklassen
Schauen wir uns ein Beispiel an: Seien G = Gl2(2) und
U = {(aij)i,j=1,2 ∈ G | a12 = 0} =
1 0
E,
1 1
.
Dann erhalten wir folgende Zerlegungen von G in Links- bzw.
Rechtsnebenklassen:
1 0
1
G = E,
∪
1
0
,
1
0
∪
1
1
,
1
=
1
U
1
∪
0 1
1 1
1 1
U ∪
1 0
0 1
1 0
U
und
G =
1 0
E,
1 1
∪
1 1
= U ∪ U
0 1
1 1
,
0 1
1 0
1 1
0 1
∪
0 1
∪ U
1 0
0 1
,
1 0
1 1
0 1
1 0
22 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Beispiel:
Sei U ≤ S3, dann gilt |U| ∈ {1, 2, 3, 6} wegen des Satzes von
Lagrange und da |S3| = 3! = 6.
23 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Beispiel:
Sei U ≤ S3, dann gilt |U| ∈ {1, 2, 3, 6} wegen des Satzes von
Lagrange und da |S3| = 3! = 6.
1 |U| = 1:
23 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Beispiel:
Sei U ≤ S3, dann gilt |U| ∈ {1, 2, 3, 6} wegen des Satzes von
Lagrange und da |S3| = 3! = 6.
1 |U| = 1:
Dann ist notwendig U = {id}, da das neutrale Element von S3
in U liegt.
23 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Beispiel:
Sei U ≤ S3, dann gilt |U| ∈ {1, 2, 3, 6} wegen des Satzes von
Lagrange und da |S3| = 3! = 6.
1 |U| = 1:
Dann ist notwendig U = {id}, da das neutrale Element von S3
in U liegt.
2 |U| = 6:
23 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Beispiel:
Sei U ≤ S3, dann gilt |U| ∈ {1, 2, 3, 6} wegen des Satzes von
Lagrange und da |S3| = 3! = 6.
1 |U| = 1:
Dann ist notwendig U = {id}, da das neutrale Element von S3
in U liegt.
2 |U| = 6:
Da U eine Teilmenge von S3 ist, muss U = S3 gelten.
23 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
Da 2 eine Primzahl ist, folgt o(σ) = 2 und U = 〈σ〉.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
Da 2 eine Primzahl ist, folgt o(σ) = 2 und U = 〈σ〉.
Also erhalten wir drei Untergruppen der Ordnung 2:
U = {id, (12)} oder U = {id, (13)} oder U = {id, (23)}.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
Da 2 eine Primzahl ist, folgt o(σ) = 2 und U = 〈σ〉.
Also erhalten wir drei Untergruppen der Ordnung 2:
4 |U| = 3:
U = {id, (12)} oder U = {id, (13)} oder U = {id, (23)}.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
Da 2 eine Primzahl ist, folgt o(σ) = 2 und U = 〈σ〉.
Also erhalten wir drei Untergruppen der Ordnung 2:
U = {id, (12)} oder U = {id, (13)} oder U = {id, (23)}.
4 |U| = 3:
Wie im 3. Fall gibt es ein id = σ ∈ U und 1 = o(σ) | |U| = 3.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
Da 2 eine Primzahl ist, folgt o(σ) = 2 und U = 〈σ〉.
Also erhalten wir drei Untergruppen der Ordnung 2:
U = {id, (12)} oder U = {id, (13)} oder U = {id, (23)}.
4 |U| = 3:
Wie im 3. Fall gibt es ein id = σ ∈ U und 1 = o(σ) | |U| = 3.
Da auch 3 eine Primzahl ist, gilt o(σ) = 3 und U = 〈σ〉.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
3 |U| = 2:
Es gibt ein Element id = σ ∈ U und damit gilt o(σ) = 1.
Wir wissen, dass o(σ) ein Teiler von |U| = 2 ist.
Da 2 eine Primzahl ist, folgt o(σ) = 2 und U = 〈σ〉.
Also erhalten wir drei Untergruppen der Ordnung 2:
U = {id, (12)} oder U = {id, (13)} oder U = {id, (23)}.
4 |U| = 3:
Wie im 3. Fall gibt es ein id = σ ∈ U und 1 = o(σ) | |U| = 3.
Da auch 3 eine Primzahl ist, gilt o(σ) = 3 und U = 〈σ〉.
Und damit erhalten wir:
U = 〈(123)〉 = 〈(132)〉 = {id, (123), (132)} = A3.
24 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Wir kennen mithin alle Untergruppen der S3 und können sie in
folgendem Untegruppendiagramm festhalten:
25 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Wir kennen mithin alle Untergruppen der S3 und können sie in
folgendem Untegruppendiagramm festhalten:
3
S3
2
3
〈(1 2)〉
〈(1 3)〉
2 2
〈(2 3)〉
2
{id}
3
3 A3
25 / 25

Anwendung des Satzes von Lagrange
Wir kennen mithin alle Untergruppen der S3 und können sie in
folgendem Untegruppendiagramm festhalten:
3
S3
2
3
〈(1 2)〉
〈(1 3)〉
2 2
〈(2 3)〉
2
{id}
3
3 A3
Die Striche zwischen zwei Gruppen deuten an, dass die weiter oben
stehende die weiter unten stehende enthält, und die Zahlen an den
Strichen geben den Index der kleineren Gruppe in der größeren an. 25 / 25