Zsfg Hull

John Hull | Optionen, Futures und andere Derivate AK Finanzwirtschaft 

1. Einführung 

Beispiele für Derivate sind Futures, Forwards, Swaps oder Optionen. Diese werden entweder 

über die Börse oder über OTC-Märkte gehandelt. 

Forward- und Futures-Kontrakte 

Bei einem Forward-Kontrakt handelt es sich um die Vereinbarung, ein Gut zu einem bestimmten 

zukünftigen Zeitpunkt zu einem bestimmten Kurs zu kaufen bzw. zu verkaufen. 

Forwards werden außerbörslich gehandelt. Die Long-Position verpflichtet sich, das Underlying 

zu einem festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft zu einem festgelegten Preis zu 

kaufen. Die andere Partei nimmt die Verkaufsposition (Short-Position) ein. Daher ist die 

Auszahlung einer Long-Position gleich ST-K, aus einer Short-Position hingegen K-ST. Im 

Gegensatz zu den Forward-Kontrakten werden Futures im Regelfall an einer Börse gehandelt. 

Optionen 

Eine Kaufoption (Call) gibt ihrem Besitzer das Recht, das Underlying an oder bis zu einembestimmten 

Zeitpunkt zu einem festgelegten Kurs zu kaufen. Eine Verkaufsoption 

(Put) gibt ihrem Besitzer das Recht, das Underlying an oder bis zu einem bestimmten 

Zeitpunkt zu einem festgelegten Kurs (Ausübungspreis oder Basispreis) zu verkaufen. 

Eine amerikanische Option kann bis zum Verfallsdatum jederzeit ausgeübt werden, eine 

europäische Option nur am Verfalltag selbst. Die Käufer bezeichnet man als Inhaber der 

Long-Position, die Verkäufer als Inhaber der Short-Position. Der Verkauf der Option wird 

auch als writing bezeichnet. 

Händlertypen 

Drei Hauptkategorien von Händlern lassen sich unterscheiden: Absicherer (Hedger), Spekulanten 

(Scalper, Day Trader und Position Trader) und Arbitrageure. Absicherer benutzen 

Futures, Forwards und Optionen, um das Risiko, das ihnen aus der möglichen zukünftigen 

Veränderung einer Marktvariable erwächst, abzufedern. Spekulanten benutzen 

Derivate, um auf die zukünftige Entwicklung einer Marktvariablen zu wetten. Arbitrageure 

nehmen sich ausgleichende Positionen in zwei oder mehr Papieren ein, um einen Gewinn 

festzuschreiben. 

2. Futures-Märkte 

Die breite Mehrheit von Futures-Kontrakten führt nicht zur Lieferung. Der Grund dafür 

ist, dass die meisten Händler ihre Positionen vor dem im Kontrakt festgelegten Liefertermin 

schließen. Wenn eine Börse einen neuen Kontrakt entwickelt, muss sie den Vermögensgegenstand, 

die Kontraktgröße, den Lieferort und den Liefertermin festlegen. Für 

viele Kontrakte legt die Börse Grenzen der täglichen Preisschwankung (Preislimits) fest 

(Kontrakt am unteren bzw. oberen Limit), um große Preisschwankungen infolge spekulativer 

Übertreibungen zu verhindern. Wenn der Liefermonat eines Futures-Kontrakts heranrückt, 

konvergiert der Futures-Kurs gegen den Spot-Kurs des Underlyings. 

Margins 

Um Zahlungsausfälle zu vermeiden, werden Margins eingehoben. Der Betrag, der zu 

Kontraktbeginn eingezahlt werden muss, heißt Initial Margin. In der Folge wird das Margin-Konto 

zu Marktpreisen bewertet (marking to market). Liegt der Kontostand über der 

Initial Margin, so darf die Differenz abgehoben werden. Es gibt einen Mindestsaldo, wenn 

nötig, wird eine Nachschussforderung eingehoben (Margin Call). Das zusätzlich eingezahlte 

Kapital heißt Variation Margin (Nachschusszahlung). Anstatt auf einmal bei seiner 

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Fälligkeit wird ein Futures-Kontrakt durch die tägliche Bewertung zu Marktpreisen jeden 

Tag glattgestellt. 

Clearing 

Die Clearingstelle fungiert als Schnittstelle bei Futures-Transaktionen. Sie zeichnet alle 

an einem Tag ablaufenden Transaktionen auf, um die Nettoposition jedes Mitglieds ermitteln 

zu können. Zur Bestimmung der Clearing Margin ermittelt die Clearingstelle die anzahl 

der noch im Umlauf befindlichen Kontrakte entweder auf Brutto- (Aufsummierung 

aller Long- und Short-Positionen) oder Nettobasis (Verrechnung der Positionen gegeneinander). 

Dieses System wird mittlerweile auch von OTC-Märkten imitiert, um das Kreditrisiko 

zu reduzieren („Collateralization“). 

Muster von Futures-Kursen 

Steigt der Futures-Kurs mit späterem Fälligkeitsdatum, so wird dies als normaler Markt 

bezeichnet (z.B. Gold). Fällt der Futures-Kurs mit zunehmender Laufzeit, so spricht man 

von einem inversen Markt (z.B. Rohöl). 

Die Entscheidung über die Lieferung fällt der Inhaber der Short-Position. Dessen Broker 

übermittelt dann eine verbindliche Absichtserklärung zur Lieferung an die Clearingstelle. 

Andere Kontrakte (z.B. Aktienindizes) werden in bar abgewickelt. 

Orders 

Market-Order / unlimitierter Auftrag 

Limitorder 

Stop-Order / Stop-Loss-Order 

Stop-Limit-Order 

Market-If-Touched-Order 

Forward Futures 

Privater Vertrag zweier Parteien 

Nicht standardisiert 

Gewöhnlich ein spezifizierter Liefertag 

Abrechnung bei Kontraktende 

Gewöhnlich Lieferung oder bare Abrechnung 

Geringes Kreditrisiko 

3. Absicherungsstrategien mit Futures 

Handel an der Börse 

Standardisiert 

Lieferzeitraum von mehreren Tagen 

Tägliche Abrechnung 

Gewöhnlich Schließung des Kontrakts 

vor Fälligkeit 

Im Prinzip kein Kreditrisiko 

Ein Short Hedge (Verkaufsabsicherung) ist sinnvoll, wenn der Absicherer bereits ein Asset 

besitzt, das er zu einem zukünftigen Zeitpunkt verkaufen wird. Ein Long Hedge 

(Kaufabsicherung) bietet sich an, wenn ein Unternehmen eine bestimmte Ware in der 

Zukunft kaufen will und bereits jetzt den Preis fixieren möchte. 

Oft wird das Argument vorgebracht, dass die Aktionäre selbst die Absicherung vornehmen 

könnten, ohne dafür auf das Unternehmen angewiesen zu sein. Tatsächlich macht 

aber das Volumen von Futures-Kontrakten die Absicherung durch Einzelaktionäre oftmals 

unmöglich. Jedoch kann sich ein Aktionär mit einem gut diversifizierten Aktienbestand 

gut gegen sein Exposure absichern. Unter dem Exposure wird die Abhängigkeit gegenüber 

einem bestimmten Risikofaktor verstanden. 

Wenn Absicherung in einem bestimmten Wirtschaftszweig nicht üblich ist, kann es sogar 

sein, dass es für ein Unternehmen keinen Sinn hat, sich anders als die Mitbewerber verhalten 

zu wollen (wenn die Preise dementsprechend schwanken). 

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Basisrisiko 

In der Praxis ist eine Absicherung allerdings nicht immer so einfach: Das Asset, dessen 

Preisrisiko man absichern will, ist eventuell nicht das gleiche, das dem Futures-Kontrakt 

zugrunde liegt. Zudem weiß der Absicherer vielleicht noch nicht das genaue Datum, an 

welchem Tag die Ware gekauft bzw. verkauft wird und die Absicherung kann erfordern, 

dass die Futures-Position lange vor dem Verfalltag geschlossen wird. Diese Probleme führen 

zum sogenannten Basisrisiko: 

Basis = Spotkurs – Futures-Kurs 

Falls das abzusichernde Asset und das dem Futures-Kontrakt unterliegende Asset identisch 

sind, sollte die Basis bei Verfall des Futures-Kontrakt null sein. Das Basisrisiko kann 

sowohl zu einer Verbesserung als auch zu einer Verschlechterung der Lage eines Absicherers 

beitragen. Ein Schlüsselfaktor für das Basisrisiko ist die Wahl des zur Absicherung 

benutzten Futures-Kontrakts (Underlying und Liefermonat). Steht kein Futures- 

Kontrakt für das abzusichernde Asset zur Verfügung, muss ein Underlying gewählt werden, 

dessen Preis eng mit dem Preis des abzusichernden Assets korreliert ist (Cross Hedging). 

Im Allgemeinen steigt das Basisrisiko mit wachsendem Abstand zwischen Absicherungsende 

und Liefermonat. 

Cross Hedging 

Die Hedge Ratio ist das Verhältnis der Höhe der in den Futures-Kontrakten eingenommenen 

Positionen zur Höhe des ursprünglichen Exposures. Der optimale Absicherungsquotient 

(Minimum-Varianz-Hedge-Ratio) ist das Produkt aus dem Korrelationskoeffizienten 

von σS und σF und dem Quotienten der Standardabweichungen von σS und σF: 

Hedge Effectiveness: ¨© ¦§ ¡¢£¤¥ 

Die optimale Anzahl an Kontrakten ergibt sich, indem man die Hedge-Ratio mit der Größe 

der abzusichernden Position multipliziert und durch die Größe eines Futures-Kontrakts 

dividiert: 

 

 

Hedging eines Aktienportfolios 

Futures auf Aktienindizes können dazu verwendet werden, ein Aktienportfolio abzusichern. 

Wenn das Portfolio ein Spiegelbild des Index darstellt, ist klarerweise eine Hedge 

Ratio von 1,0 angemessen. Bildet das Portfolio den Index nicht exakt ab, so können wir 

den Parameter Beta aus dem CAPM zur Bestimmung der passenden Hedge Ratio benutzen. 

Allgemein gilt h*=β und daher , wobei P den aktuellen Wert des Portfolios 

und A den Wert der Aktien, die einem Futures-Kontrakt zugrunde liegen, angibt. Eine 

Absicherung durch Index-Futures beseitigt das aus den Bewegungen des Marktes resultierende 

Risiko und setzt den Absicherer nur der relativen Performance seines Portfolios 

gegenüber dem Markt aus. Die Absicherung einer einzelnen Aktie erfolgt auf ähnliche Art 

und Weise. Manchmal liegt das Enddatum einer Absicherung hinter den Lieferterminen 

aller verfügbaren Futures-Kontrakte. Dann muss die Absicherung prolongiert werden, 

indem man in eine Folge von Futures-Kontrakten eintritt (Rollover). 

4. Zinssätze 

Treasury Rates (Notenbankzinssätze) sind die Zinssätze, die ein Anleger in Trasury Bills 

und Treasury Bonds erzielt. Diese sind Instrumente, die eine Regierung benutzt, um in 

ihrer eigenen Währung Kredit aufzunehmen. 

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LIBOR (London Interbank Offered Rate): Zinssatz, zu dem eine Bank bei einer anderen 

eine Einlage tätigt (meist AA-Rating nötig). 

LIBID (London Interbank Bid Rate): Dieser Satz gibt an, zu welchem Zinssatz Einlagen 

von anderen Banken akzeptiert werden. LIBID < LIBOR 

Repo-Zinssatz: Ein Wertpapierhändler vereinbart, Papiere aus seinem Besitz an ein anderes 

Unternehmen jetzt zu verkaufen und später zu einem geringfügig höheren Preis 

zurückzukaufen. Mit der Rückkaufvereinbarung gewährt das Unternehmen dem Wertpapierhändler 

also ein Darlehen. 

Stetige Verzinsung 

Stetig: Äquivalenter Zinssatz m-Mal/Jahr: 

Zerobond-Zinssätze und Anleihen-Bewertung 

Der n-Jahres-Zerobond-Zinssatz (Spot-Rate) ist der Zinssatz, den man mit einer Anlage 

erwirtschaftet, die heute beginnt und n Jahre dauert. Der theoretische Preis einer Anleihe 

kann berechnet werden als Barwert aller zukünftigen Zahlungen, die dem Halter zufließen 

werden. Die Effektivverzinsung oder Bond Yield (Rendite) einer Anleihe ist der Diskontierungszinssatz, 

der bei Anwendung auf alle Cash Flows einen Anleihewert ergibt, der 

dem Marktpreis der Anleihe entspricht. Die Par Yield für eine bestimmte Laufzeit ist jener 

Kupon-Zinssatz, der den Anleihewert dem Nennwert gleichsetzt. 

 

Treasury Spot Rates und Forward Rates 

Treasury Spot Rates können mit Hilfe der Bootstrap-Methode aus den Kursen gehandelter 

Papiere bestimmt werden. Ein Diagramm, welches den Zerobond-Zinssatz als Funktion 

der Laufzeit darstellt, heißt Zinsstrukturkurve. Terminzinssätze oder Forward Rates sind 

die Zinssätze, die aus den gegenwärtigen Spot Rates für zukünftige Zeiträume abgeleitet 

werden. Wenn Zinssätze aufeinander folgender Zeiträume bei stetiger Verzinsung kombiniert 

werden, ist der äquivalente Gesamtzinssatz einfach das arithmetische Mittel der 

Zinssätze über den gesamten Zeitraum. Wenn R1 und R2 die Spot Rates für die Laufzeiten 

T1 und T2 bezeichnen, dann gilt: 

 

Ein Forward Rate Agreement (FRA) ist eine außerbörsliche Vereinbarung, dass für Aufnahme 

oder Anlage eines bestimmten Nominalkapitals während eines festgelegten zukünftigen 

Zeitraums ein bestimmter Zinssatz gilt. 

 

Duration 

Die Duration einer Anleihe ist ein Maß dafür, wie lange ein Anleiheinhaber im Durchschnitt 

auf Zahlungen warten muss. Ein Zerobond mit einer Laufzeit von n Jahren hat 

eine Duration von n Jahren. 

Die Macaulay-Duration kann als Elastizität zwischen der Veränderung des PV und dem 

Zinssatz r interpretiert werden. Die Dollar-Duration gibt die absolute Veränderung im 

Kurs der Anleihe an, wenn r um einen Prozentpunkt zunimmt, die Modified Duration hingegen 

die relative Veränderung des PV der Anleihe bei einer Zunahme von r um ein Prozent. 

 

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Die Duration eines Anleihe-Portfolios kann man als gewichtetes Mittel der Durationen der 

einzelnen Anleihen im Portfolio definieren, wobei die Gewichte proportional zu den Anleihekursen 

sind. Dabei wird die implizite Annahme getroffen, dass sich die Renditen aller 

Anleihen um denselben Betrag ändern. 

Zinsstrukturtheorien 

Erwartungstheorie 

Marktsegmentierungstheorie 

Liquiditätspräferenztheorie 

5. Bestimmung von Forward- und Futures-Preisen 

Investitionsgüter werden von einer wesentlichen Anzahl von Investoren zu Anlagezwecken 

gehalten, während ein Konsumgut vorrangig für den Verrauch gehalten wird. Arbitrageargumente 

können genutzt werden, um Forward- oder Futures-Preise eines Investitionsguts 

zu bestimmen, für Konsumgüter ist dies jedoch nicht möglich. 

Bei Leerverkäufen (Shorting) wird ein Asset verkauft, das man nicht besitzt. Ein Anleger 

in der Short-Position muss dem Broker jeden Ertrag, der normalerweise auf die leerverkauften 

Wertpapiere gezahlt werden würde (z.B. Dividenden) erstatten. Zur Absicherung 

muss der Anleger ein Margin-Konto unterhalten. 

Forward-Preise und Bewertung von Forward-Kontrakten 

Investitionsgut ohne Erträge 

Bekannter Ertrag 

Bekannte Rendite 

Forward-Preis Wert: 

Stimmen Forward- und Futures-Kurs überein? 

Der Kurs von Futures und Forwards mit gleicher Laufzeit stimmt überein, falls der risikolose 

Zinssatz konstant und für alle Laufzeiten gleich ist. Ist aber beispielsweise der Kurs 

des Underlyings stark positiv mit den Zinssätzen korreliert, so ist die Long-Position in 

einem Futures-Kontrakt attraktiver als in einem Forward-Kontrakt. Der Futures-Kurs ist 

daher höher. Diese Effekte sind in der Praxis aber meist recht klein. 

Forward- und Futures-Kontrakte auf Währungen 

 

Eine Fremdwährung kann als Investitionsgut mit bekannter Rendite aufgefasst werden. 

Die Rendite ist der risikolose Zinssatz in der Fremdwährung. Die Zinsparitätsbedingung 

lautet: 

Futures auf Rohstoffe 

Lagerhaltungskosten können als negative Erträge behandelt werden. Bezeichnet U den 

Barwert aller Lagerhaltungskosten, die während der Laufzeit eines Forward-Kontrakts 

anfallen, so gilt: . Sind die anfallenden Lagerkosten proportional zum Kurs 

des Rohstoffs, können sie als negative Rendite aufgefasst werden: . 

Convenience Yield und Cost of Carry 

Der Nutzen aus der Lagerhaltung einer Ware wird auch als dessen Convenience Yield (y) 

bezeichnet: . Für Investitionsgüter muss die Convenience Yield null sein, 

da es sonst Arbitragemöglichkeiten gibt. Die Convenience Yield gibt die Markterwartung 

über die zukünftige Verfügbarkeit des Rohstoffs an. 

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Die Beziehung zwischen Futures- und Spotkurs lässt sich durch die Cost of Carry (Nettofinanzierungskosten) 

zusammenfassen. Diese beinhalten die Lagerhaltungskosten und 

die Zinsen zur Finanzierung des Assets abzüglich der auf das Asset erzielten Erträge. 

Futures-Kurse und der erwartete zukünftige Spotkurs 

Ein Anleger fordert im Allgemeinen für die Übernahme von systematischen Risiken eine 

höhere erwartete Rendite als den risikolosen Zinssatz ( CAPM). Sind die Renditen aus 

dem Asset unkorreliert mit dem Aktienmarkt, ist der korrekte Zinssatz der risikolose 

Zinssatz und es gilt Korreliert die Rendite des Assets positiv mit den Renditen 

des Aktienmarktes, so gilt daher: ¦§¨©. Das systematische Risiko ist also positiv. 

Wenn der Futures-Kurs unter dem erwarteten zukünftigen Spotkurs liegt, wird dies als 

„Normal Backwardation“ bezeichnet, im gegenteiligen Fall „Contango“. ¡¢£¤¥ 

6. Zins-Futures 

Die Tagzählung bestimmt die Art und Weise, in der die Zinsen im Verlauf der Zeit berücksichtigt 

werden. Es gibt verschiedene gebräuchliche Konventionen: 

Actual/Actual (in period): US Treasury-Bonds 

30/360: Bei US-Unternehmensanleihen 30 Tage/Monat und 360 Tage/Jahr 

Actual/360: Geldmarktinstrumente 

Kurse von Treasury Bonds werden in den USA in Dollar und zweiunddreißigstel Dollar 

angegeben. Kurse von Treasury-Bond-Futures werden genau gleich angegeben. Der angegebene 

Kurs ist nicht dasselbe wie der Preis, den der Käufer zahlt: 

Dirty Price = Clean Price + aufgelaufene Zinsen seit der letzten Kuponzahlung 

Konversionsfaktoren 

Der Treasury-Bond-Futures-Kontrakt erlaubt der Partei mit der Short-Position die Wahl, 

eine beliebige Anleihe mit über 15 Jahren Restlaufzeit, welche während der nächsten 15 

Jahre nicht kündbar ist, zu liefern. Wird dann eine bestimmte Anleihe geliefert, so bestimmt 

der Konversionsfaktor den Preis, den die Partei mit der Short-Position erzielt. Der 

für die Lieferung zu entrichtende Preis ist das Produkt aus Konversionsfaktor und Kurs: 

Erzielter Betrag = (Abrechnungpreis * Konversionsfaktor) + aufgelaufene Zinsen 

Der Konversionsfaktor einer Anleihe ist gleich dem Wert der Anleihe je Dollar Nominalkapital 

am ersten Tag des Liefermonats unter der Annahme, dass der Zinssatz für alle Laufzeiten 

6% p.a. (bei halbjährlicher Verzinsung) beträgt. Die Anleihelaufzeit und die Zeiten 

bis zu den Zinsausschüttungsterminen werden für die Berechnung auf Jahresbruchteile 

mit 0, 3, 6 und 9 Monaten abgerundet. 

Cheapest-to-Deliver-Anleihe 

Die Partei in der Short-Position kann sich aussuchen, welche der verfügbaren Anleihen 

die günstigste für die Lieferung ist. Um die CtD-Anleihe zu ermitteln, minimieren wir: 

Clean Price der Anleihe – (Abrechnungspreis * Konversionsfaktor) 

Zusätzlich zum Recht der Wahl der CtD-Anleihe hat die Partei mit der Short-Position noch 

die so genannte Wild-Card-Option. Ein exakter theoretischer Futures-Kurs für einen Treasury-Bond-Kontrakt 

ist schwierig zu bestimmen (Zeitpunkt und gelieferte Anleihe offen). 

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Eurodollar-Futures 

3-Monats-Eurodollar-Futures sind Futures-Kontrakte auf den 3-Monats-Zinssatz für Eurodollar. 

Dabei kann ein Anleger einen Zinssatz auf eine Million Dollar für einen zukünftigen 

3-Monats-Zeitraum festschreiben. Bei Kontraktende wird der Abrechnungspreis auf 100-R 

gesetzt (R ist der tatsächliche 3-Monats-Eurodollar-Zinssatz an diesem Tag bei vierteljährlicher 

Verzinsung auf Basis der Actual/360-Tagzählung). Der Kontrakt ist so ausgestaltet, 

dass eine Veränderung um einen Basispunkt in der Futures-Notierung (=0,01) 

einem Gewinn oder Verlust von 25$ je Kontrakt entspricht. Inhaber der Long-Position 

machen Gewinn, wenn die Zinssätze fallen, während Inhaber der Short-Position von einem 

Anstieg der Zinssätze profitieren. Der Wert eines Kontraktes (Q=Notierung) beträgt: 

V = 10 000 [100-0,25(100-Q)] 

Der Eurodollar-Futures-Kontrakt entspricht einem Forward Rate Agreement (FRA), das 

FRA wird jedoch nicht täglich abgerechnet und die Schlussabrechnung erfolgt erst zu T2. 

Durationsbasierte Hedging-Strategien 

Die Anzahl der zur Absicherung gegen ein unbekanntes ∆y benötigten Kontrakte ist , wobei FC den Futures-Kurs, DF und DP die Duration des Futures bzw. Portfolios 

und P den Wert des Portfolios angibt. N* ist die durationsbasierte Hedge Ratio (Preissensitivitäts-Hedge-Ratio). 

Ihre Verwendung führt dazu, dass die Duration der gesamten 

Position null gesetzt wird. 

Um sich gegen das Zinsrisiko abzusichern, verwenden Finanzinstitute oft das sogenannte 

Duration Matching, indem sie sicherstellen, dass die Duration ihrer Aktiva gleich der Duration 

ihrer Passiva (Short-Positionen in Anleihen) ist. Das Duration Matching immunisiert 

ein Portfolio allerdings nur gegen parallele Verschiebungen in der Zinsstrukturkurve. 

7. Swaps 

Ein Swap ist eine Vereinbarung zwischen zwei Unternehmen, in der Zukunft Cash Flows 

auszutauschen. Der gebräuchlichste Swap ist ein „Plain Vanilla“-Zinsswap. Darin verpflichtet 

sich ein Unternehmen, Cash Flows in Höhe des Zinses zu einem vorher festgelegten 

Zinssatz auf einen fiktiven Nominalbetrag für eine bestimmte Anzahl von Jahren 

zu leisten. Im Gegenzug erhält es Zinsen zu einem variablen Satz auf das gleiche fiktive 

Nominalkapital für den gleichen Zeitraum („Fixed-for-Floating“-Zinsswaps). Ein Zinsswap 

ist im Allgemeinen so aufgebaut, dass eine Seite die Differenz der beiden zu leistenden 

Zahlungen an die andere Seite überweist. Das Nominalkapital wird selbst nicht ausgetauscht. 

Bei einer variabel verzinslichen Anleihe wird der Zins gewöhnlich zu Beginn des 

Zeitraums, für den er gelten soll, festgelegt und am Ende dieses Zeitraums gezahlt. Meist 

tritt zwischen die zwei Unternehmen ein Finanzintermediär. Das Finanzinstitut schließt 

zwei separate Kontrakte ab. Viele große Finanzinstitute agieren als Market Maker für 

Swaps, die Geld-Brief-Spanne beträgt etwa drei bis vier Basispunkte, den Mittelwert bezeichnet 

man häufig als Swap Rate. 

Komparative Vorteile und Swap Rates 

Komparative Vorteile spielen beim Abschluss von Swaps eine wichtige Rolle. Es wird argumentiert, 

dass einige Unternehmen einen komparativen Vorteil bei der Kreditaufnahme 

auf Märkten für festverzinsliche Wertpapiere haben, während andere einen komparativen 

Vorteil auf Märkten für variabel verzinsliche Geschäfte haben (größere Differenz zwischen 

den festen Zinssätzen). 

Dieses Argument ist allerdings umstritten. Die unterschiedlichen Differenzen liegen in der 

Art der Kontrakte begründet. Wenn sich die Kreditwürdigkeit eines Unternehmens, das 

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einen variablen Zinsswap abgeschlossen hat, verschlechtert, so kann der Kreditgeber die 

über den LIBOR hinausgehende Zinsspanne (Spread) erhöhen oder den Rollover des Kredits 

gänzlich ablehnen. Der Anbieter festverzinslicher Finanzierungsformen kann die Bedingungen 

des Kredits nicht auf diese Weise anpassen. Das Unternehmen macht mit einem 

Swap womöglich ein gutes Geschäft, trägt aber gleichzeitig das Risiko eines Zahlungsausfalls 

des Finanzinstituts. 

Die Swap Rate ist der Mittelwert aus dem festen Zinssatz, den ein Swap Market Maker im 

Austausch für LIBOR zu zahlen ist (Ankaufssatz) und dem festen Zinssatz, den er im Austausch 

für LIBOR erhalten möchte (Verkaufssatz). Beispielsweise enthält die 5-Jahres- 

Swap-Rate ein Kreditrisiko, welches der Situation von zehn aufeinander folgenden 6- 

Monats-Darlehen an Unternehmen mit AA-Rating entspricht. Daher sind Swap Rates 

niedriger als AA-Kreditzinssätze. Swap Rates werden häufig dazu verwendet, um die LI- 

BOR-Spot-Rate-Strukturkurve auf über zwei Jahre hinaus zu erweitern. 

Bewertung von Zinsswaps 

Bei Abschluss hat ein Zinsswap den Wert null. Es gibt zwei Ansätze für die Bewertung, 

nämlich als die Differenz zweier Anleihen oder als ein Portfolio von FRA’s. 

Bei einem Zinsswap werden die Nominalbeträge nicht ausgetauscht. Der Swap kann aus 

der Sicht des variablen Zinszahlers als Long-Position in einer festverzinslichen Anleihe 

und Short-Position in einer variabel verzinslichen Anleihe aufgefasst werden: 

 

Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe entspricht nach einer Zinszahlung ihrem (fiktiven) 

Nominalbetrag, weil die Anleihe zu diesem Zeitpunkt ein „faires Geschäft“ darstellt. 

Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe beträgt daher: 

Währungsswaps 

In seiner einfachsten Form beinhaltet ein Währungsswap den Austausch von Nominalbetrag 

und Zinszahlungen in einer Währung gegen Nominalbetrag und Zinszahlungen in einer 

anderen Währung. Die Nominalbeträge in der jeweiligen Währung werden gewöhnlich 

zu Beginn und am Ende der Laufzeit des Swaps ausgetauscht. Meist spricht man von Fixed-for-Fixed-Währungsswaps, 

da der Zinssatz für beide Währungen fest ist. 

Auch Währungsswaps können durch komparative Vorteile motiviert sein. Im Gegensatz 

zum Plain-Vanilla-Zinsswap werden hier Zinssätze in zwei verschiedenen Währungen verglichen 

und es ist daher wahrscheinlicher, dass die komparativen Vorteile wirklich bestehen. 

Der Wert eines Swaps, bei dem Eurobeträge eingenommen und Fremdwährungsbeträge 

gezahlt werden, beträgt: 

Kreditrisiko 

Kontrakte, die wie Swaps Verträge zwischen zwei Unternehmen darstellen, bringen ein 

Kreditrisiko mit sich. Wenn die Gegenpartei in Konkurs geht, ergibt sich ein Verlust, falls 

der Wert des Swaps für das Finanzinstitut positiv ist, und es ändert sich nichts an der 

Position der Finanzinstitution, falls der Wert des Swaps für das Finanzinstitut negativ ist. 

Die möglichen Verluste durch Zahlungsausfall sind bei einem Swap viel geringer als bei 

einem Darlehen mit demselben Nominalkapital, weil der Wert des Swaps gewöhnlich nur 

einen kleinen Bruchteil des Wertes des Darlehens darstellt. Bei einem Währungsswap 

sind die potentiellen Verluste daher natürlich dementsprechend größer. Marktrisiken kön- 

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nen durch den Eintritt in ausgleichende Kontrakte abgesichert werden, Kreditrisiken sind 

nicht so leicht abzusichern. 

8. Optionsmärkte 

Die Auszahlung einer Long-Position in einem europäischen Call beträgt max(ST-K,0), die 

Auszahlung eines europäischen Puts hingegen max(K-ST,0). 

Aktienoptionen werden meist an Börsen gehandelt, während Währungsoptionen häufig 

über den OTC-Markt getätigt werden. Bei einer Index-Option umfasst ein Kontrakt den 

Kauf oder Verkauf des hundertfachen Wertes des Index zum festgelegten Basispreis. Die 

Abrechnung erfolgt immer in bar. Wenn eine Börse einen bestimmten Futures-Kontrakt 

handelt, dann handelt sie häufig auch Optionen auf diesen Kontrakt, die meist kurz vor 

dem Lieferzeitraum des Futures verfallen. 

Zur Spezifikation von Aktienoptionen zählen insbesondere der Verfalltermin und der Basispreis. 

Alle Optionen desselben Typs (Kauf- bzw. Verkaufsoptionen) auf ein Underlying 

werden als Optionsklasse bezeichnet. Eine Optionsserie besteht aus allen Optionen einer 

gegebenen Klasse mit gleichem Verfalltag und gleichem Basispreis. Optionen können sich 

im Geld, am Geld oder aus dem Geld befinden. Der innere Wert einer Option ist definiert 

als das Maximum von null und dem Wert, den die Option hätte, wenn sie unmittelbar 

ausgeübt werden würde. Eine amerikanische In-the-money-Option muss daher mindestens 

so viel Wert sein wie ihr innerer Wert. Der Gesamtwert einer Option ist die Summe 

aus innerem Wert und dem Zeitwert. 

Dividenden und Aktiensplits 

Die Optionen auf den früheren OTC-Märkten waren dividendengeschützt. Börsengehandelte 

Optionen werden normalerweise nicht um die Dividendenzahlungen bereinigt, jedoch 

bei Aktiensplits oder Kapitalerhöhungen aus Gesellschaftsmitteln dementsprechend 

angepasst. Nach einem n-zu-m-Aktiensplit wird der Basispreis auf m/n seines vorherigen 

Wertes reduziert, die Anzahl der von einem Kontrakt abgedeckten Aktienanteile vergrößert 

sich auf das n/m des vorherigen Wertes. Häufig gibt es Positionsobergrenzen für 

Optionskontrakte, damit kein einzelner Anleger den Markt zu stark beeinflussen kann. 

Die meisten Optionsbörsen ermöglichen den Handel mit Market Makers, um die Liquidität 

am Markt zu steigern. Ein Anleger, der eine Option erworben hat, kann die Position 

schließen, indem er eine Glattstellungsorder zum Verkauf derselben Option stellt. 

Margins 

In den USA kann ein Anleger beim Aktienkauf entweder bar bezahlen oder über ein Margin-Konto 

Kredit aufnehmen. Anleger dürfen Optionen nicht mittels eines Margin-Kontos 

erwerben, da Optionen bereits einen beträchtlichen Leverage (implizite Fremdkapitalaufnahme) 

haben. Ein Anleger, der Optionen verkauft, muss Kapital auf seinem Margin- 

Konto halten. Eine ungedeckte Option (Naked Option) ist eine Option, die nicht mit einer 

(ausgleichenden) Position in der zugrunde liegenden Aktie kombiniert ist. Die Options 

Clearing Corporation garantiert, dass Optionsverkäufer ihren Verpflichtungen aus den 

Optionskontrakten nachkommen (Margin-Konto). 

Optionsscheine, Mitarbeiteroptionen und Wandelanleihen 

Optionsscheine und Optionsprogramme für Mitarbeiter sind Kaufoptionen, die vom Unternehmen 

in der Regel mit der eigenen Aktie als Underying ausgegeben werden. Werden 

diese ausgeübt, dann emittiert das Unternehmen weitere Aktien zum Basispreis der Option. 

Optionsscheine (Warrants) sind Kaufoptionen, die oft als Ergebnis einer Anleihe- 

Emission entstehen. Mitarbeiteroptionen sind Kaufoptionen, die an Mitarbeiter ausgege- 

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ben werden, um sie zu motivieren, im besten Interesse der Aktionäre zu handeln. Eine 

Wandelanleihe ist eine von einem Unternehmen emittierte Anleihe, die zu bestimmten 

Zeitpunkten zu einem vorher festgelegten Wechselverhältnis in Aktien umgewandelt werden 

kann (Anleihe mit integrierter Kaufoption auf die Aktien des Unternehmens). 

Nicht alle Optionsgeschäfte werden an Börsen getätigt, viele davon werden auch telefonisch 

auf dem OTC-Markt gehandelt. Ein Vorteil von OTC-Optionen besteht darin, dass 

diese genau auf die Kundenwünsche zugeschnitten werden können und sich teilweise von 

Standard-Calls und –Puts unterscheiden (exotische Optionen). 

9. Eigenschaften von Aktienoptionen 

EuropäEuropäAmerikaniAmerikaniischer Call ischer Put scher Call scher Put 

Aktueller Aktienkurs + - + - 

Basispreis - + - + 

Restlaufzeit ? ? + + 

Volatilität + + + + 

Risikoloser Zinssatz + - + - 

Dividenden - + - + 

Tabelle 1: Einflussfaktoren auf Optionspreise 

Die Auswirkungen des Aktienkurses und des Basispreises bei Call- und Put-Optionen sind 

aufgrund der Überlegungen zu den jeweiligen Auszahlungsprofilen relativ intuitiv verständlich. 

Ebenso ist klar, dass die Preise amerikanischer Optionen mit zunehmender 

Laufzeit steigen, was bei europäischen Optionen zwar auch meistens der Fall ist, aber 

nicht immer angenommen werden kann (z.B. Dividendenausschüttung etc.). 

Da der Besitzer einer Kaufoption stark von Kursanstiegen profitiert, jedoch im Falle eines 

Kursrückgangs ein begrenztes Risiko hat, steigen die Optionspreise mit zunehmender 

Volatilität des Underlyings. 

Nicht ganz so eindeutig ist der Einfluss des risikolosen Zinssatzes. Wenn die Zinssätze 

steigen, steigt tendenziell die Renditeforderung der Anleger für die Aktie. Außerdem sinkt 

der Barwert jeder zukünftigen Einzahlung für den Optionsinhaber. Die kombinierte Wirkung 

dieser beiden Effekte führt dazu, dass der Wert von Verkaufsoptionen sinkt und der 

Wert von Kaufoptionen steigt (ceteris paribus, insbesondere der Aktienkurs bleibt unverändert). 

Dividenden bewirken eine Reduktion des Aktienpreises am Ausschüttungstag. 

Das ist schlecht für den Wert von Kaufoptionen und gut für den Wert von Verkaufsoptionen. 

Wertober- und Wertuntergrenzen von Optionen 

Call: c ≤ S0 und C ≤ S0 Put: p ≤ Ke -rT und P ≤ K 

Wertuntergrenze für Call auf dividendenlose Aktie: c ≥ max(S0 – Ke -rT ,0) 

Wertuntergrenze für europäischen Put auf dividendenlose Aktie: p ≥ max(Ke -rT – S0,0) 

Put-Call-Parität 

c + Ke -rT = p + S0 

Vorzeitige Ausübung 

S0 – K ≤ C - P ≤ S0 – Ke -rT 

Eine vorzeitige Ausübung eines amerikanischen Calls auf eine dividendenlose Aktie ist 

niemals optimal. Dafür gibt es zwei Gründe: Einerseits die Versicherungsleistung, da der 

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Call den Inhaber gegen das Sinken des Aktienkurses unter den Basispreis versichert und 

andererseits der Zeitwert des Geldes (Basispreis muss erst später bezahlt werden). 

Hingegen kann es optimal sein, einen amerikanischen Put auf eine dividendenlose Aktie 

vorzeitig auszuüben. Ein Put sollte zu einem beliebigen Zeitpunkt ausgeübt werden, wenn 

er sich ausreichend tief im Geld befindet. Daher hat eine amerikanische Verkaufsoption 

immer einen höheren Wert als die entsprechende europäische Verkaufsoption. Da der 

Wert eines amerikanischen Puts manchmal seinem inneren Wert entspricht, kann der 

Wert eines europäischen Puts sogar unter seinem inneren Wert liegen. 

Dividenden 

Wertuntergrenzen: c ≥ S0 – D – Ke -rT p ≥ D + Ke -rT – S0 

Es kann optimal sein, eine amerikanische Kaufoption direkt vor dem Ausschüttungstag 

auszuüben, zu anderen Zeitpunkten ist die Ausübung eines Calls jedoch nie optimal. 

Put-Call-Parität mit Dividenden 

c + D + Ke -rT = p + S0 

S0 – D – K ≤ C – P ≤ S0 – Ke -rT 

10. Handelsstrategien mit Optionen 

Eine Long-Position in einer Aktie und einer Short-Position in einer Kaufoption wird als 

„Schreiben eines Covered Call“ bezeichnet (ähnelt dem Verkauf eines Puts). Die Strategie 

„Protective Put“ beinhaltet den Erwerb einer Verkaufsoption und einer Aktie (ähnelt dem 

Erwerb eines Calls). 1 

Spreads 2 

Eine Spread-Handelsstrategie beinhaltet die Einnahme einer Position in zwei oder mehr 

Optionen desselben Typs. 

Bull Spread: Erwerb eines Calls auf eine Aktie mit einem bestimmten Basispreis und 

Verkauf eines Calls auf dieselbe Aktie mit einem höheren Basispreis. Dies erfordert eine 

Anfangsinvestition. Ein analoges Gewinnprofil kann durch den Erwerb eines Puts 

mit einem niedrigen Basispreis und den Verkauf eines Puts mit einem hohen Basispreis 

gebildet werden. 

Bear Spread: Im Gegensatz zum Bull Spread ist der Anleger hier daran interessiert, 

dass der Aktienkurs fallen wird. 

Box Spread: Kombination aus einem Bull Call Spread mit den Basispreisen K1 und K2 

und einem Bear Put Spread mit denselben Basispreisen. Die Auszahlung beträgt immer 

K2-K1. 

Butterfly Spread: Dieser enthält Optionen mit drei verschiedenen Basispreisen. Er 

besteht aus dem Erwerb eines Calls mit einem relativ geringen Basispreis K1, dem Erwerb 

eines Calls mit einem relativ hohen Basispeis K3 und dem Verkauf zweier Calls 

mit dem Basispreis K2, welcher genau zwischen K1 und K3 liegt. Der Anleger hält hier 

große Bewegungen des Aktienkurses für unwahrscheinlich. Der Butterfly Spread erfordert 

eine geringe Anfangsinvestition. 

Calendar Spread: Hier weisen die Optionen zwar den gleichen Basispreis, aber unterschiedliche 

Fälligkeitstermine auf. 3 

1 Abbildungen S. 279 

2 Abbildungen S. 280 f. 

3 Abbildung S. 288 



Diagonal Spread: Hier unterscheiden sich sowohl die Fälligkeitstermine als auch die 

Basispreise der beiden Kaufoptionen. 

Kombinationen aus Calls und Puts 

Straddles: Erwerb eines Calls und eines Puts mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum 

(Bottom Straddle). Ein Top Straddle ist genau entgegengesetzt (Verkauf 

eines Calls und Puts mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum). Dies ist sinnvoll, 

wenn der Anleger eine große Bewegung des Aktienkurses erwartet, ohne zu wissen, in 

welche Richtung die Bewegung gehen wird. 

Strips und Straps: Ein Strip besteht aus einer Long-Position in einem Call und zwei 

Puts mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum. Ein Strap besteht aus einer Long- 

Position in zwei Calls und einem Put mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum. 

Strangles: Erwerb eines Puts und Calls mit demselben Fälligkeitsdatum und unterschiedlichen 

Basispreisen (Bottom Vertical Combination). Der Verkauf eines Strangles 

wird als Top Vertical Combination bezeichnet. 

Über die Kombination von Calls und Puts mit unterschiedlichem Basispreis und Fälligkeitsdatum 

lässt sich ein beliebiges Gewinnprofil konstruieren. 

11. Binomialbäume 

Wir betrachten eine Aktie mit dem Preis S0 und eine Option auf diese Aktie, deren gegenwärtiger 

Preis f beträgt. Die Option läuft über die Zeit T und der Aktienkurs kann 

entweder auf S0u steigen (Optionspreis fu) oder auf S0d fallen (Optionspreis fd). Wir betrachten 

ein Portfolio, das aus der Long-Position in ∆ Aktienanteilen und der Short- 

Position in einer Option besteht. Wir berechnen nun den Wert für ∆, der das Portfolio risikolos 

werden lässt: 

S0u∆ – fu = S0d∆ – fd bzw. 

 

In diesem Fall ist das Portfolio risikolos und muss eine Rendite in Höhe des risikolosen 

Zinssatzes erzielen. ∆ gibt das Verhältnis der Änderung des Optionspreises zur Änderung 

des Aktienkurses an. Der Wert der Portfolios beträgt also abgezinst (S0u∆ – fu)e -rT . 

Daraus ergibt sich der Wert der Option: 

mit 

 

Die Formel für die Optionsbewertung enthält keine Wahrscheinlichkeiten für das Steigen 

oder Fallen des Aktienkurses, da wir ihren Wert in Hinblick auf den Kurs der zugrunde 

liegenden Aktie berechnen. 

Die erwartete Rendite der Aktie, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstiegs mit p 

angenommen wird, ist genau der risikolose Zins: E(ST)=S0e rT . In einer risikolosen Welt 

sind alle Individuen indifferent gegenüber Risiken und fordern daher keine Kompensation 

für die Übernahme von Risiken. Dieses Prinzip der Optionsbewertung ist als risikoneutrale 

Bewertung bekannt. Den Preis, den wir auf diesem Weg erhalten, ist auch in der realen 

Welt korrekt. Auch in mehrperiodigen Binomialbäumen ist der Optionspreis gleich der 

erwarteten Auszahlung in einer risikoneutralen Welt, diskontiert mit dem risikolosen 

Zinssatz. 

Bei amerikanischen Optionen besteht das Verfahren darin, sich vom Ende bis zum Anfang 

des Baumes zurückzuarbeiten und an jedem Knoten zu überprüfen, ob eine vorzeitige 

Ausübung sinnvoll ist. 



Der Options-Delta 

Das Delta einer Aktienoption ist das Verhältnis der Änderung des Optionspreises zur Änderung 

des zugrunde liegenden Aktienkurses. Dieser entspricht der Anzahl an Aktien, die 

wir für jede Short-Position in einer Option halten sollten, um ein risikoloses Portfolio zu 

bilden (Delta-Hedging). Der Delta-Faktor einer Kaufoption ist positiv, das Delta einer 

Verkaufsoption dagegen negativ. Der Delta-Faktor variiert im Zeitablauf. 

Die Parameter u und d können so gewählt werden, dass sie zur Volatilität des Aktienkurses 

passen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung (in der realen Welt) wird 

als p* angenommen. 

 

mit 

Die erwartete Rendite der Aktie beim Übergang von der realen zur risikoneutralen Welt 

ändert sich, aber die Volatilität bleibt gleich (Girsanov-Theorem). 

Optionen auf andere Assets 

Aktien mit stetiger Dividendenrendite: 

Die Einnahme einer Long- oder Short-Position in einem Futures-Kontrakt verursacht keine 

Kosten. Daraus folgt, dass ein Futures-Kurs in einer risikoneutralen Welt eine erwartete 

Wachstumsrate von null aufweist und daher gilt: 

 

 

Damit können auch Optionen auf Währungen bewertet werden, da die Fremdwährung als 

ein Asset angesehen werden kann, das eine Rendite in Höhe des ausländischen Zinssatzes 

rf bietet. 

 

12. Wiener Prozesse und Itôs Lemma 

In diesem Kapitel wird für den Aktienpreis ein stochastischer Prozess mit stetigen Variablen 

in stetiger Zeit entwickelt. Ein Markov-Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, 

bei welchem nur der aktuelle Wert einer Variablen für die Prognose der zukünftigen 

Entwicklung relevant ist. Die vergangenen bzw. historischen Werte der Variablen sowie 

die Art und Weise, wie der aktuelle Wert entstanden ist, sind nicht von Bedeutung. Die 

Markov-Eigenschaft von Aktienkursen steht im Einklang mit der schwachen Form der Kapitalmarkteffizienz. 

Wir betrachten nun eine Variable, die einem Markov-Prozess folgt. Angenommen, ihr derzeitiger 

Wert liegt bei 10 und die Wertänderung in einem Jahr wird durch Φ(0,1) beschrieben. 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Änderung in einem Zeitraum T ist daher 

Φ(0,). Die Varianzen von Änderungen sind in aufeinander folgenden Zeitabschnitten 

für Markov-Prozesse additiv, was für die Standardabweichungen nicht gilt. 

Wiener Prozesse 

Ein solcher Prozess wird auch Wiener-Prozess genannt. Dies ist ein spezieller Markov- 

Prozess mit einer erwarteten Änderung von null und einer Varianz der Änderungen von 

1,0 pro Jahr (Physik: Brownsche Bewegung). Formal folgt die Variable z einem Wiener 

Prozess, wenn gilt: 

mit 

Die Änderung ∆z in einem kleinen Zeitraum ∆t beträgt 

Für zwei beliebige kleine Zeitintervalle ∆t sind die Werte ∆z unabhängig: 

 

∆z= 



Wir betrachten den Anstieg des Wertes von z über einen vergleichsweise langen Zeitraum 

T. Dieser kann mit z(T)-z(0) bezeichnet werden. Daher gilt unabhängig voneinander): 

und 

( 

Allgemeiner Wiener-Prozess 

daher 

Die mittlere Änderung eines stochastischen Prozesses pro Zeiteinheit wird Drift genannt. 

Die Varianz pro Zeiteinheit wird als Varianzrate bezeichnet. Ein allgemeiner Wiener- 

Prozess für eine Variable x kann mithilfe von dz wie folgt definiert werden: 

dx = a dt + b dz 

Der Termn a dt impliziert, dass x eine erwartete Änderung in Höhe von a pro Zeiteinheit 

aufweist. In einem Zeitraum der Länge T wächst der Wert von x um den Betrag aT. Der 

Term b dz kann als zusätzliche Interferenz oder Streuung auf dem von x zurückgelegten 

Weg angesehen werden. Die Höhe der Interferenz oder Streuung ist das b-fache eines 

Wiener-Prozesses (Standardabweichung b). 

Für die Änderung des Wertes von x in einem beliebigen Zeitintervall T ergibt sich schließlich 

die Normalverteilung mit ∆x(aT,b). Der verallgemeinerte Wiener-Prozess hat somit 

eine erwartete Driftrate von a und eine Varianzrate von b². 

Itô-Prozess 

Der Itô-Prozess ist ein allgemeiner Wiener-Prozess, bei dem die Parameter a und b Funktionen 

der zugrunde liegenden Variablen x und der Zeit t sind: dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz 

Der Prozess für Aktienkurse 

Das Modell des allgemeinen Wiener-Prozesses berücksichtigt nicht, dass die von Anlegern 

geforderte prozentuale Rendite aus einer Aktie unabhängig vom Preis der Aktie ist. Die 

Annahme einer konstanten Drift ist daher ungeeignet. Ist S der Aktienkurs zum Zeitpunkt 

t, dann sollte die erwartete Drift von S als µS mit einem konstanten Parameter µ angenommen 

werden. Eine vernünftige Annahme ist, dass die Variabilität der Rendite in einem 

kleinen Zeitintervall ∆t unabhängig vom Aktienkurs stets identisch ist, d.h. die 

Standardabweichung der Veränderung sollte proportional zum Aktienkurs sein: 

dS = µSdt + σSdz bzw. 

Dieses Modell kann man als Grenzfall des Random Walk im Rahmen des Binomialbaums 

für immer kleinere Zeitschritte auffassen. Das hier entwickelte Modell wird als geometrische 

Brownsche Bewegung bezeichnet. Das Modell für diskrete Zeitpunkt lautet: 

bzw. 

 

¡¢£¤¥ 

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Es gilt daher: 

Itôs Lemma 

Der Preis einer Aktienoption ist eine Funktion des Preises der zugrunde liegenden Aktie 

und der Zeit. Angenommen, der Wert einer Variablen x folgt dem Itô-Prozess, hat die 

Variable x die Drift a und die Varianz b². Aus dem Lemma von Itô folgt, dass der Prozess, 

den eine Funktion G von S und t befolgt, wie folgt beschrieben wird: 

 



Dies kann man auf einen Forward-Kontrakt anwenden: Der Forward-Preis F folgt ebenso 

wie S einer geometrischen Brownschen Bewegung. Er hat allerdings eine erwartete 

Wachstumsrate von µ-r statt µ. Die Wachstumsrate von F ist die Überschussrendite von S 

über den risikolosen Zinssatz. 

Lognormalverteilte Aktienkurse 

Wir setzen nun G=ln S und setzen ein: . Diese Gleichung folgt einem 

allgemeinen Wiener-Prozess. Dies bedeutet, dass 

und 

Dies zeigt, dass ln ST normalverteilt ist. Eine Variable hat eine Lognormalverteilung, wenn 

ihr natürlicher Logarithmus normalverteilt ist. Der Preis einer Aktie zum Zeitpunkt T ist 

bei gegebenem gegenwärtigen Preis also lognormalverteilt ist. Die Standardabweichung 

des Logarithmus des Aktienpreises beträgt . 

13. Das Black-Scholes-Merton-Modell 

 

Das hier verwendete Modell für das Verhalten von Aktienkursen ist genau jenes, das zuvor 

behandelt wurde: 

Eine lognormalverteilte Variable kann jeden Wert zwischen null und unendlichen annehmen. 

Im Gegensatz zur Normalverteilung ist sie schief, Mittelwert, Median und Modus 

sind nicht identisch. 

E(ST) = S0e µT 

Die Lognormalverteilung kann zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bei 

stetiger Verzinsung zwischen dem Zeitpunkt null und dem Zeitpunkt T erzielten Rendite 

mit . Mit wachsender 

Zeit T verringert sich die Standardabweichung von x. 

herangezogen werden: ST = S0e xT und daher 

Die erwartete Rendite 

Die erwartete relative Änderung des Aktienkurses in einem sehr kurzen Zeitabschnitt ∆t 

beträgt µ∆t. µ entspricht allerdings nicht der erwarteten stetigen Rendite für die Aktie! 

Die tatsächlich realisierte Rendite ist nämlich und E(x)= 

der Der Grund 

dafür liegt darin, dass das geometrische Mittel einer (nichtkonstanten) Zahlenfolge immer 

kleiner ist als das arithmetische Mittel. 

Volatilität 

Die Unsicherheit hinsichtlich des zukünftigen Aktienkurses (Standardabweichung) nimmt 

näherungsweise mit der Quadratwurzel des Zeitraums, den wir in die Zukunft blicken, zu. 

Diese wird meist aus historischen Daten geschätzt. Meist werden handelsfreie Tage ignoriert, 

wenn die Volatilität aus historischen Daten geschätzt wird: 

Martin Gächter | 

¡¢££¤¥¦§¨©© 

15


Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung 

Die Argumente ähneln den No-Arbitrage-Argumenten beim Binomialmodell (Bildung eines 

risikolosen Portfolios, das je eine Position im Derivat und in einer Aktie beinhaltet). Ohne 

Arbitragemöglichkeiten muss die Rendite aus dem Portfolio dem risikolosen Zinssatz r 

entsprechen. In jedem sehr kurzen Zeitabschnitt ist der Preis eines Derivates perfekt mit 

dem Kurs der zugrunde liegenden Aktie korreliert, womit der Gesamtwert des Portfolios 

am Ende des kurzen Zeitabschnitts mit Sicherheit bekannt ist. Im Rahmen des Black- 

Scholes-Modells ist die Position in der Aktie und dem Derivat nur für einen sehr kurzen 

Zeitabschnitt risikolos und muss daher regelmäßig angepasst werden. 

Eine beliebige Funktion f(S,t), die diese Differentialgleichung erfüllt, ist der theoretische 

Preis eines gehandelten Derivates. Die risikoneutrale Bewertung ergibt sich daraus, dass 

in der Gleichung keine Variable vorkommt, die von den Risikopräferenzen des Anlegers 

abhängt. Die erhaltenen Lösungen sind auch in der realen Welt gültig. Wenn wir uns von 

einer risikoneutralen Welt zu einer risikoaversen Welt bewegen, so ändern sich die erwarteten 

Zuwachsraten der Aktienkurse sowie der Diskontierungssatz, der für beliebige Auszahlungen 

des Derivates verwendet wird. Diese beiden Änderungen heben sich stets gegenseitig 

auf. 

 

Bewertungsformeln nach Black-Scholes 

Die Funktion N(x) ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung. 

Der Ausdruck N(d2) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Option in einer risikoneutralen 

Welt ausgeübt wird. Somit ist KN(d2) das Produkt aus dem Basispreis und der 

Wahrscheinlichkeit, dass der Basispreis ausgezahlt wird. Der Ausdruck S0N(d1)e 

 

rT ist der 

Erwartungswert einer Variablen, die in der risikoneutralen Welt gleich ST ist, wenn ST>K 

gilt, und anderenfalls den Wert null hat. Wenn die Black-Scholes-Formel in der Praxis 

angewendet wird, wird der Zinssatz r dem risikolosen Zerobond-Zinssatz für eine Laufzeit 

von T gleichgesetzt. In der Praxis arbeitet man häufig mit impliziten Volatilitäten, die in 

den am Markt beobachteten Optionspreisen enthalten sind. Die Berechnung erfolgt durch 

Einsetzen in die Bewertungsformel, wobei σ die einzige unbekannte Variable ist. 

Dividenden 

Bei europäischen Optionen kann die Black-Scholes-Formel angewendet werden, wenn der 

Aktienpreis um den Barwert aller Dividenden während der Optionslaufzeit reduziert wird. 

Bei amerikanischen Optionen ist in den meisten Fällen der letzte Ex-Dividende-Tag der 

einzige Zeitpunkt, den man für eine vorzeitige Ausübung in Betracht ziehen muss. Fischer 

Black hat für die Bewertung eine Approximation vorgeschlagen: Danach ist der Preis 

gleich dem Maximum der Preise für zwei europäische Kaufoptionen, die erste verfällt am 

gleichen Tag, die andere unmittelbar vor dem letzten Ex-Dividende-Tag. 

14. Optionen auf Aktienindizes, Währungen und Futures 

Aktien mit bekannter Dividendenrendite 

Die Bezahlung einer Dividendenrendite q bewirkt, dass die Wachstumsrate des Aktienkurses 

um den Betrag q kleiner ist, als sie sonst wäre. Wenn wir daher eine europäische 

Aktienoption mit Laufzeit T bewerten und die Aktie eine Dividendenrendite von q aufweist, 

dann vermindern wir den aktuellen Aktienkurs von S0 auf S0e -qT und bewerten an- 



schließend die Option so, als wenn es sich um eine dividendenlose Aktie handeln würde. 

Die Dividende definiert sich als die Verminderung des Kurses am Ausschüttungstag. 

Wertuntergrenzen: c ≥ max(S0e -qT – Ke -rT ,0) p ≥ max(Ke -rT – S0e -qT ,0) 

Put-Call-Parität: c + Ke -rT = p + S0e -qT 

Optionen: 

Optionen auf Aktienindizes 

Ein Indexoptions-Kontrakt wird über das Hundertfache des Indexstands abgeschlossen 

und meist in bar abgerechnet. Solche Optionen lassen sich genauso behandeln wie Optionen 

auf Aktien mit bekannter Dividendenrendite. Portfolio-Manager können Indexoptionen 

verwenden, um ihr Downside-Risiko zu begrenzen. Jeder Kontrakt auf den Index 

bezieht sich auf das Hundertfache des Index. Daher kann der Portfoliowert gegen eine 

Situation, in der der Index unter K fällt, abgesichert werden, indem der Portfolio-Manger 

für jeweils 100S0 Dollar in dem Portfolio einen Verkaufsoptionskontrakt mit dem Basispreis 

K erwirbt (bei β=1). 

 

Ist das Beta des Portfolios nicht 1, so sollte man für jeweils 100S0 Dollar des Portfolios 

Beta-Put-Kontrakte erwerben. Mit steigendem Beta eines Portfolios steigen also auch die 

Absicherungskosten, da mehr Puts benötigt werden und diese zudem einen höheren Basispreis 

haben. 

Währungsoptionen 

Währungsoptionen werden hauptsächlich am OTC-Markt gehandelt. Während ein Forward-Kontrakt 

den Wechselkurs für eine zukünftige Transaktion festschreibt, ermöglicht 

eine Option eine Art von Versicherung. Eine Fremdwährung verhält sich wie eine Aktie 

mit bekannter Dividendenrendite, der Inhaber der Fremdwährung erhält eine Rendite in 

Höhe des ausländischen risikolosen Zinssatzes rf in der Fremdwährung. Die oben definierten 

Formeln bleiben daher gültig, es wird nur q durch rf ersetzt. 

Bei amerikanischen Währungsoptionen werden am wahrscheinlichsten Kaufoptionen auf 

hochverzinsliche Währungen und Verkaufsoptionen auf niedrigverzinsliche Währungen 

vorzeitig ausgeübt. 

Futures-Optionen 

Wenn eine Futures-Kaufoption ausgeübt wird, erhält der Inhaber der Option eine Long- 

Position im zugrunde liegenden Futures-Kontrakt sowie einen Geldbetrag, der dem letzten 

Abrechnungspreis des Futures abzüglich des Basispreises entspricht. Wenn eine Futures-Verkaufsoption 

ausgeübt wird, erhält der Inhaber eine Short-Position im zugrunde 

liegenden Futures-Kontrakt sowie einen Geldbetrag, der dem Basispreis minus dem letzten 

Abrechnungspreis des Futures entspricht. Die meisten Futures-Optionen sind amerikanischen 

Typs und werden mit dem Fälligkeitsmonat des zugrunde liegenden Futures- 

Kontrakts bezeichnet. 

Die am häufigsten gehandelten Zins-Optionen an US-amerikanischen Börsen sind jene 

auf Treasury-Bond-Futures, Treasury-Note-Futures und Eurodollar-Futures. Die Preise 

von Zinsfutures steigen, wenn die Preise der Anleihen ansteigen (d.h. wenn die Zinssätze 

fallen) und sie fallen, wenn die Preise der Anleihen fallen (d.h. wenn Zinssätze steigen). 



Put-Call-Parität bei europäischen Futures-Optionen 

c + Ke -rT = p + F0e -rT F0e -rT – K ≤ C – P ≤ F0 – Ke -rT 

Bewertung von Futures-Optionen mit Hilfe von Binomialbäumen 

Das risikolose Portfolio bestht in diesem Fall aus einer Short-Position in einer Option, die 

mit einer Long-Position in ∆ Futures-Kontrakten kombiniert ist, sodass gilt. 

Drift von Futures-Preisen in einer risikoneutralen Welt 

Ein Futures-Preis in einer risikoneutralen Welt verhält sich genau wie eine Aktie, die eine 

Dividendenrendite in Höhe des inländischen risikolosen Zinssatzes r ausbezahlt. Der Drift 

des Futures-Preises in einer risikoneutralen Welt ist somit null. 

Bewertung von Futures-Optionen mithilfe des Modells von Black 

Die zugrunde liegende Annahme ist, dass Futures-Preise dieselbe Lognormalverteilung 

aufweisen wie Aktienkurse. Somit können die bereits bekannten Formeln verwendet werden, 

indem S0 durch F0 ersetzt und q=r gesetzt wird. 

¡¢£¤¥¦§¨© 

15. Sensitivitäten von Optionspreisen 

Das Ziel eines Händlers besteht darin, die Sensitivitätskennzahlen so zu steuern, dass 

alle Risiken akzeptabel bleiben. Jeder dieser „Greeks“ misst eine andere Dimension des 

Risikos in einer Optionsposition. 

Eine Strategie ist der Verzicht auf eine Absicherung (ungedeckte Position). Eine Alternative 

stellt die gedeckte Position dar, wo nach Verkauf einer Kaufoption Aktien gekauft werden. 

Keine der beiden Strategien ist zufriedenstellend, da beide zu hohen Verlusten führen 

können. 

Eine Stop-Loss-Strategie 

Die Absicherungsstrategie besteht aus dem Kauf eines Aktienanteils, sobald der Aktienpreis 

höher ist als K und dem Verkauf der Aktie, sobald der Preis unter K fällt. Durch diese 

Strategie ist sichergestellt, dass das Unternehmen zum Zeitpunkt T die Aktie hält, 

wenn die Option am Ende der Laufzeit im Geld liegt und die Aktie nicht besitzt, wenn die 

Option aus dem Geld ist. Dabei gibt es allerdings zwei Probleme: Erstens treten die Cash 

Flows für den Absicherer zu verschiedenen Zeitpunkten auf und müssen daher diskontiert 

werden. Zweitens können Käufe und Verkäufe nicht exakt zum Preis K durchgeführt werden. 

Daher ist eine Stop-Loss-Strategie nur schlecht geeignet. 

Delta: 

Das Delta einer Option ∆ ist die Sensitivität des Optionspreises gegenüber dem Preis des 

Underlyings. Das Delta ist die Steigung der Kurve, welche die Beziehung zwischen Optionspreis 

und Preis des Underlyings angibt. Eine Position mit ∆=0 wird als deltaneutral 

bezeichnet. Die Absicherung muss regelmäßig angepasst werden (Rebalancing), man 

spricht von einer dynamischen Absicherungsstrategie. Demgegenüber stehen die statischen 

Absicherungsstrategien (Hedge-and-Forget-Strategien). Black und Scholes bewerteten 

Optionen, indem sie eine deltaneutrale Position bildeten. 

 



Delta von europäischen Aktienoptionen 

∆(Call) = N(d1) ∆(Put) = N(d1) – 1 

Die Delta-Absicherung einer Short-Position in einer europäischen Kaufoption bedeutet die 

Einnahme der Long-Position in N(d1) Anteilen zu jedem Zeitpunkt. Bei einem europäischen 

Put ist das ∆ negativ, d.h. eine Long-Position in einem Put sollte mit einer Long- 

Position in der zugrunde liegenden Aktie abgesichert werden. 

Wirft das Underlying eine Rendite q ab, so gilt: 

∆(Call) = e -qT N(d1) ∆(Put) = e -qT [N(d1) – 1] 

Das Delta eines Forward-Kontraktes auf eine Aktie ist natürlich immer 1,0. Man kann also 

die Short-Position in einem Forward-Kontrakt durch den Erwerb einer Aktie absichern und 

die Long-Position in einem Forward-Kontrakt durch den (Leer-)Verkauf einer Aktie. 

Aufgrund der Marking-to-Market Eigenschaft von Futures-Kontrakten ist das Delta eines 

Futures-Kontraktes e rT bzw. bei einem Asset mit Dividendenrendite e (r-q)T und unterscheidet 

sich geringfügig vom Delta eines Forward-Kontraktes. Futures-Kontrakte können 

auch dazu benutzt werden, um eine deltaneutrale Position zu erreichen. Die erforderliche 

Position im Futures-Kontrakt ist dann HF=e -rT HA bzw. HF=e -(r-q)T HA. 

Wird offensichtlich, dass eine Option ausgeübt wird, so nähert sich Delta 1,0. Wenn klar 

ist, dass die Option nicht ausgeübt wird, geht das Delta gegen null. Im Gegensatz zu einer 

Stop-Loss-Strategie wird die Performance einer Delta-Absicherungsstrategie zusehends 

besser, wenn die Absicherung häufiger angepasst wird. Die Strategie beinhaltet 

gewöhnlich einen Aktienverkauf unmittelbar nach einem Kursrückgang und einen Aktienkauf 

unmittelbar nach einem Kursanstieg (Buy-High-, Sell-Low-Strategie). 

Das Delta eines Portfolios aus Optionen oder aus anderen Derivaten, die von einem einzigen 

Asset mit dem Preis S abhängen, beträgt . Das ∆ kann aus den Deltas der 

einzelnen Optionen des Portfolios berechnet werden. Besteht ein Portfolio aus n Optionen 

mit der jeweiligen Stückzahl wi, dann ist das ∆ des Portfolios gegeben durch . 

Theta: 

Das Theta eines Options-Portfolios misst die Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber 

der Restlaufzeit, wobei alle anderen Faktoren konstant gehalten werden (Zeitwertverfall). 

In den Formeln wird die Zeit in Jahren angegeben. Um Theta pro Kalendertag zu erhalten, 

muss man die Formel für Theta durch 365 dividieren. 

 

Das Theta einer Option ist gewöhnlich negativ. Ist der Aktienkurs bei einem Call sehr 

niedrig, dann ist Theta nahe null. Für eine Kaufoption am Geld hat Theta einen hohen 

negativen Wert. Delta und Theta unterscheiden sich grundlegend. Es besteht Unsicherheit 

hinsichtlich des zukünftigen Aktienkurses, aber nicht hinsichtlich des Ablaufs der 

Zeit. 

Gamma: 

Das Gamma eines Portfolios von Optionen gibt die Sensitivität des Portfolio-Deltas gegenüber 

dem Asset-Preis an. Wenn Gamma klein ist, ändert sich das Delta langsam, und es 

müssen nur relativ selten Anpassungen vorgenommen werden, um die Deltaneutralität 

des Portfolios zu gewährleisten. Die Krümmung der Kurve zwischen Aktien- und Options- 

 



preis wird durch Gamma gemessen. Ist Gamma positiv, so ist das Theta tendenziell negativ. 

Ist Gamma negativ, so ist Theta tendenziell positiv. 

Um ein Portfolio gammaneutral zu machen, wird eine Position in einem Wertpapier (z.B. 

eine Option) benötigt, welche nicht linear abhängig ist vom Underlying (Underlying oder 

Forward-Kontrakt ist daher nicht geeignet, da ). Werden Optionen hinzugefügt, um 

ein Portfolio gammaneutral zu machen, so sind Anpassungen im Underlying notwendig, 

damit auch die Deltaneutralität erhalten bleibt. 

Beziehung zwischen Delta, Theta und Gamma 

Der Wert 

eines Portfolios muss die Differentialgleichung erfül- 

und 

len. Setzt man die Greeks in diese Gleichung ein, so gilt für ein 

deltaneutrales Portfolio . Dies erklärt, warum Theta in einem deltaneutralen 

Portfolio als Stellvertreter von Gamma aufgefasst werden kann. 

Vega: 

 

: 

Der Wert eines Derivats kann sich aufgrund von Volatilitätsbewegungen ändern. Das Vega 

eines Portfolios aus Derivaten ist die Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber der 

Volatilität des Underlyings. Weist Vega einen hohen Absolutbetrag auf, reagiert der Wert 

des Portfolios sehr empfindlich auf kleine Änderungen der Volatilität. Eine Position im 

Underlying besitzt natürlich ein Vega von null. Leider ist ein gammaneutrales Portfolio im 

Allgemeinen nicht veganeutral und umgekehrt. Das Vega einer normalen europäischen 

oder amerikanischen Option ist immer positiv. 

 

Rho = 

Das Rho eines Options-Portfolios gibt die Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber dem 

Zinssatz an. Bei Währungsoptionen gibt es je ein Rho für beide Zinssätze. 

Portfolio-Insurance 

Eine Verkaufsoption bietet eine Absicherung gegen den Rückgang des Marktes bei gleichzeitiger 

Wahrung des Gewinnpotentials. Alternativ kann die Option auch synthetisch 

nachgebildet werden, indem eine Position im Underlying (bzw. Future auf das Underlying) 

eingenommen wird, deren Delta gleich dem Delta der geforderten Option ist. Die Verwendung 

dieser Strategie bedeutet, dass die Mittel zu jedem beliebigen Zeitpunkt auf ein 

riskantes und daher abzusicherndes Aktienportfolio und auf risikolose Assets aufgeteilt 

werden. Eine synthetische Nachbildung ist auch mit Index-Futures möglich. Portfolio- 

Insurance-Strategien haben das Potential, die Volatilität zu erhöhen (Indexarbitrage). 

16. Volatility Smiles 

Die Black-Scholes Formel für die Bewertung von Optionen wird zwar in der Praxis verwendet, 

allerdings wird die verwendete Volatilität vom Basispreis der Option und von der 

Restlaufzeit abhängig gemacht. Die grafische Darstellung der impliziten Volatilität einer 

Option als Funktion ihres Basispreises ist als Volatility Smile bekannt. 

Bei der Verwendung des Black-Scholes-Modells zur Bewertung einer europäischen Verkaufsoption 

ist der Bewertungsfehler der gleiche wie bei der Bewertung einer europäischen 

Kaufoption mit demselben Basispreis und derselben Restlaufzeit. Daher sind die 

impliziten Volatilitäten auch immer ident, wenn Basispreis und Verfalltermin gleich sind. 

Währungsoptionen 



Bei Währungsoptionen ist die Volatilität für am Geld befindliche Optionen relativ niedrig. 

Sie wird zunehmend größer, wenn sich eine Option ins Geld oder aus dem Geld bewegt. 

Man kann die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Assets zu einem in der 

Zukunft liegenden Zeitpunkt aus dem Volatility Smile bestimmen (implizite Verteilung). 

Der von Händlern für Währungsoptionen benutzte Smile impliziert, dass die Lognormalverteilung 

die Wahrscheinlichkeit extremer Bewegungen des Wechselkurses unterschätzt. 

Wechselkurse sind nicht lognormalverteilt, weil die Volatilität des Assets einerseits nicht 

konstant ist und der Wechselkurs häufig Sprünge zeigt. Es zeigt sich, dass diese Eigenschaften 

extreme Ergebnisse wahrscheinlicher werden lassen 4 . 

Aktienoptionen 

Vor 1987 gab es keinen nennenswerten Volatility Smile. Der heute bekannte Smile für 

Atkienoptionen wird auch als Volatility Skew bezeichnet: Wenn der Basispreis steigt, verringert 

sich die Volatilität. Die Volatilität, die zur Bewertung von Optionen mit niedrigem 

Basispreis verwendet wird, ist signifikant höher als diejenige, die zur Bewertung einer 

Option mit hohem Basispreis verwendet wird 5 . Eine mögliche Erklärung liegt in der 

Fremdkapitalaufnahme (Leverage). Wenn sich das Eigenkapital eines Unternehmens im 

Wert verringert, nimmt der Anteil des Fremdkapitals zu. Das heißt, dass die Aktie riskanter 

wird und ihre Volatilität steigt. Wir können also für die Volatilität des Eigenkapitals 

eine fallende Funktion des Preises erwarten. 

Volatilitätsstrukturen 

Zusätzlich zum Volatility Smile benutzen Händler eine Laufzeitstruktur der Volatilitäten. 

Dies bedeutet, dass die zur Bewertung einer am Geld liegenden Option verwendete Volatilität 

von der Laufzeit der Option abhängig ist. Die Volatilität ist in der Regel eine ansteigende 

Funktion der Laufzeit, wenn die kurzfristigen Volatilitäten historisch niedrig sind. 

In diesem Fall wird ein Ansteigen der Volatilitäten erwartet. Sonst ist das Gegenteil der 

Fall. Volatility Surfaces kombinieren Volatility Smiles mit der Laufzeitstruktur der Volatilitäten, 

um die geeigneten Volatilitäten zur Bewertung einer Option mit beliebigem Basispreis 

und beliebiger Laufzeit darzustellen. Der Volatility Smile ist weniger ausgeprägt, 

wenn die Laufzeit der Option zunimmt. 

Greeks 

Der Volatility Smile erschwert die Berechnung der Sensitivitätskennzahlen für Optionspreise. 

Es gibt verschiedene Faustregeln für Händler, um dies zu umgehen. Es zeigt sich 

allerdings, dass weder die Sticky Strike Rule (Annahme: Volatilität einer Option bleibt von 

einem Tag zum nächsten konstant) noch die Sticky Delta Rule mit in sich konsistenten 

Modellen übereinstimmen. Ein Modell, das in exakte Übereinstimmung mit den Smiles 

gebracht werden kann, ist das Implied Volatility Function Model oder Implied Tree Model. 

In der Praxis versuchen viele Banken sicherzustellen, dass sie gegenüber jenen Veränderungen 

der Volatility Surface, die am häufigsten beobachtet werden, möglichst wenig 

anfällig sind. 

18. Value at Risk 

Das Maß Value at Risk (VAR) ist der Versuch, das Gesamtrisiko eines Portfolios von Finanzinstrumenten 

in einer einzigen Kennziffer zusammenzufassen. Man trifft eine Aussage 

der folgenden Form: „Wir sind zu X Prozent sicher, dass wir in den nächsten N Tagen 

nicht mehr als V Dollar verlieren werden.“ Die Variable V ist der VAR des Portfolios und 

4 Abbildung S. 458. 

5 Abbildung S. 461. 



ist eine Funktion des Zeithorizonts N und des Konfidenzniveaus X. Die Aufsichtsbehörden 

verlangen von den Banken die Berechnung des VAR mit N=10 und X=99. Der VAR gibt 

den Verlust wieder, der dem (100-X)%-Quantil der Verteilung der Änderung des Portfoliowertes 

für die nächsten N Tage entspricht. Der VAR berücksichtigt allerdings nicht die 

Verteilung an den Rändern. Eine Größe, die dieses Problem aufgreift, ist der Conditional 

VAR (C-VAR), auch Expected Shortfall oder Tail Loss genannt. Der C-VAR ist der erwartete 

Verlust während eines N-Tage-Zeitraums unter der Bedingung, dass wir uns im linken 

Rand, genauer im (100-X)%-Quantil der Verteilung befinden. 

N-Tages-VAR = 1-Tages-VAR 

Diese Formel gilt, wenn den Änderungen im Wert des Portfolios an aufeinander folgenden 

Tagen voneinander unabhängig und identisch normalverteilt sind (mit Mittelwert null). 

Die Aufsichtsbehörden verlangen, dass das Risikokapital einer Bank mindestens das Dreifache 

des 10-Tages-VAR zu einem Konfidenzniveau von 99% beträgt. 

Historische Simulation 

Diese Simulation beinhaltet die direkte Verwendung von historischen Daten als Richtwert 

für zukünftige Entwicklungen. Angenommen, wir wollen den VAR für ein Portfolio unter 

Verwendung eines Horizonts von einem Tag, eines 99%-Konfidenzniveaus und von Daten 

von 500 Tagen berechneten. Dann sammeln wird Daten über die Bewegungen dieser 

Marktvariablen für die letzten 500 Tage. Die füntschlechteste tägliche Wertänderung ergibt 

das 1%-Quantil der Verteilung. Der Schätzer für den VAR ist der Verlust, der sich 

ergibt, wenn wir uns an diesem Punkt befinden. 

Modellbildungsansatz 

Es ist üblich, beim Modellbildungsansatz davon auszugehen, dass die erwartete Änderung 

einer Marktvariablen im betrachteten Zeitraum null beträgt. 

Ein-Asset-Fall: Beispiel 

Portfolio 1: 10 Mio. $ in Microsoft-Aktien N=10 X=99 

Standardabweichung der täglichen Änderung im PF = 10 Mio. * 0,02 = 200.000$ 

Annahme: Tägliche Änderungen sind normalverteilt. N(-2,33)=0,01 

Das bedeutet, dass eine normalverteilte Variable mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% 

um mehr als 2,33 Standardabweichungen im Wert sinkt. 

1-Tages-VAR = 2,33 * 200.000 = 466.000$ 

10-Tages-VAR = 466.000 * = 1,473.621$ 

Portfolio 2: 5 Mio. $ in AT&T-Aktien 

1-Tages-VAR = 116.500$ 

10-Tages-VAR = 368.405$ 

Zwei-Asset-Fall: Beispiel mit 

Standardabweichung der Änderung im Wert des Portfolios (1 Tag) = 220.227$ 

1-Tages-VAR zu einem Konfidenzniveau von 99% beträgt 220.227*2,33=513.129$ 

10-Tages-VAR = 1,622.657$ 

 



Diversifikationseffekt 

Der Betrag (1,473.621 + 368.405) – 1,622.657 = 219.369$ drückt den monetären Nutzen 

der Diversifikation aus. Sind die Portfoliobestandteile nicht perfekt korreliert, führt 

dies zu einer Reduktion des Risikos (Diversifikation). 

Lineares Modell 

Wenn ein Portfolio aus n Assets besteht, wobei in jedem Asset der Betrag i angelegt 

wurde und die Rendite von Asset i an einem Tag angibt, so gilt: 

bzw. 

 

Bei der Behandlung von Zinssätzen ist eine Vereinfachung notwendig, da nicht für jeden 

Zinssatz, gegenüber dem ein Unternehmen ein Exposure aufweist, eine separate Marktvariable 

definiert werden kann. Eine Möglichkeit bildet die Annahme, dass in der Rendite 

kurve ausschließlich Parallelverschiebungen auftreten. 

 

Das lineare Modell lässt sich am einfachsten auf ein Portfolio anwenden, das aus Positionen 

in Aktien, Anleihen, Währungen und Rohstoffen besteht und keine Derivate enthält. 

In diesem Fall ist die Änderung des Portfoliowertes linear von den prozentualen Änderungen 

der Preise der Assets, die das Portfolio bilden, abhängig. Teilweise können auch Derivate 

einbezogen werden (z.B. Forward-Kontrakt auf den Kauf einer Währung). 

Die Anwendung des linearen Modells bei Optionen ist nicht ganz so einfach. Da δ die 

Sensitivität des Portfoliowerts gegenüber S darstellt, gilt näherungsweise ∆P=δ∆S. Definieren 

wir nun ∆x als die prozentuale Änderung des Aktienpreises an einem Tag, , 

so gilt: . Dies entspricht der vorigen Gleichung mit ¤¥¦§¨©. Damit kann 

die bereits bekannte Formel zur Berechnung der Standardabweichung benutzt werden. ¡¢£ 

Quadratisches Modell 

Wenn ein Portfolio Optionen enthält, stellt das lineare Modell lediglich eine Approximation 

dar. Es berücksichtigt nicht das Gamma des Portfolios. Ein Portfolio mit einem positiven 

Gamma hat weniger Wahrscheinlichkeitsmasse im linken Rand als die Normalverteilung. 

Wenn wir für den Portfoliowert eine Normalverteilung unterstellen, errechnen wir also 

einen zu hohen VAR. Bei einem Portfolio mit negativem Gamma unterschätzen wir den 

VAR. Für eine genauere Schätzung des VAR als durch das lineare Modell können wir die 

Größen Delta und Gamma verwenden, um ∆P zu den ∆xi in Beziehung zu setzen. 

Alternativ zu den bisher beschriebenen Ansätzen kann der Modellbildungsansatz auch 

mittels einer Monte-Carlo-Simulation zur Erzeugung der Wahrscheinlichkeitsverteilung 

von ∆P umgesetzt werden. Der Nachteil besteht darin, dass dies eher zeitaufwändig ist. 

Vorteile des Modellbildungsansatzes sind die schnelle Berechnung der Ergebnisse und die 

Möglichkeit seiner Verwendung in Verbindung mit zeitvariablen Volatilitäten. Allerdings 

geht er von der Annahme einer mehrdimensionalen Normalverteilung aus. 

Stress Testing und Back Testing 

Zusätzlich zur Berechnung des VAR führen viele Unternehmen ein Stress Testing durch, 

also eine Schätzung, wie sich das Portfolio bei den extremsten in den letzten 10 bis 20 

Jahren aufgetretenen Marktbewegungen verhalten hätte. Das Back Testing stellt eine 

wichtige Verknüpfung zur Realität dar: Dabei wird getestet, wie gut die VAR-Schätzer in 

der Vergangenheit funktioniert hätten. 



Hauptkomponentenanalyse 

Ein Ansatz zur Behandlung des Risikos, das aus Gruppen stark korrelierter Marktvariablen 

entsteht, ist die Hauptkomponentenanalyse (Principal Components Analysis). Sie verwendet 

historische Daten über Bewegungen der Marktvariablen und versucht, eine gewisse 

Anzahl an Komponenten oder Faktoren zu definieren, die diese Bewegungen erklären. 

20. Kreditrisiko 

Kreditrisiko existiert, da Kreditnehmer und ihre Gegenparteien in Derivatgeschäften möglicherweise 

ihren Zahlungsverpflichtungen nicht nachkommen können. Die Kreditwürdigkeit 

(Bonität) wird durch Rating-Agenturen (z.B. Moody’s) bewertet. Nur Anleihen mit 

dem Rating Baa oder besser werden in die Kategorie Investment Grade eingeordnet. 

Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit gibt z.B. die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls 

im dritten Jahr ausgehend vom Zeitpunkt null an. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 

geben z.B. an, wie groß die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls im dritten Jahr ist, allerdings 

unter der Bedingung, nicht vorher ausgefallen zu sein. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 

werden als Ausfallintensitäten oder Hazard Rates bezeichnet. 

Recovery Rates 

Die Recovery Rate einer Anleihe wird normalerweise als Marktwert der Anleihe unmittelbar 

nach dem Zahlungsausfall in Prozent des Anleihe-Nennwerts definiert. Recovery Rates 

und Ausfallraten sind signifikant negativ korreliert. Gewöhnlich wird unterstellt, dass 

nur die Möglichkeit eines Zahlungsausfalls dazu führt, dass eine Unternehmensanleihe 

billiger ist als eine identische risikolose Anleihe. Es gilt , wobei h die Ausfallintensität 

pro Jahr, s den Spread zwischen der Rendite der Unternehmensanleihe und dem risikolosen 

Zinssatz und R die erwartete Recovery Rate angibt. 

Credit Default Swaps können dazu verwendet werden, den von Händlern unterstellten 

risikolosen Zinssatz zu bestimmen. Die aus den historischen Daten geschätzten Ausfallswahrscheinlichkeiten 

sind deutlich geringer als die mit Hilfe von Anleihepreisen ermittelten. 

Die aus Anleiherenditen ermittelten Ausfallwahrscheinlichkeiten stellen risikoneutrale 

Ausfallwahrscheinlichkeiten dar. Gäbe es keine erwartete Überrendite, so wären reale 

und risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gleich. Bei der Bewertung von Kredit- 

Derivaten oder der Bewertung des Einflusses des Ausfallrisikos auf die Bepreisung von 

Finanzinstrumenten sollten risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten zur Anwendung 

kommen, während z.B. bei der Durchführung von Szenario-Analysen zur Ermittlung potentieller 

zukünftiger Verluste reale Ausfallwahrscheinlichkeiten verwendet werden. 

Da Ratings relativ selten aktualisiert werden, kann der Wert des Eigenkapitals möglicherweise 

aktuellere Informationen zur Abschätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten bieten. 

Dafür entwickelte Merton ein Modell, bei welchem das Eigenkapital eines Unternehmens 

als Option auf die Aktiva des Unternehmens angesehen wird. 

Kreditrisiko in Derivategeschäften 

Das Exposure gegenüber Kreditrisiken ist bei einem Derivategeschäft komplizierter als 

bei einem Kredit, weil die Forderung im Falle eines Ausfalls weniger sicher ist. Es lassen 

sich drei mögliche Situationen unterscheiden: Stellt der Kontrakt immer eine Verbindlichkeit 

für das Finanzinstitut dar (z.B. Short-Position in einer Option), so besteht kein Kreditrisiko. 

Stellt der Kontrakt immer einen Vermögensgegenstand für das Finanzinstitut 

dar (z.B. Long-Position in einer Option), so besteht immer ein Kreditrisiko. Kann der 



Kontrakt sowohl eine Verbindlichkeit als auch einen Vermögensgegenstand darstellen 

(z.B. Forward), so ist dann ein Kreditrisiko gegeben, wenn das Derivat einen positiven 

Wert für das Finanzinstitut hat. 

Reduzierung des Kreditrisiko-Exposures 

Netting: Bei einem Ausfall eines Unternehmens in einem mit der Gegenpartei abgeschlossenen 

Kontrakt sind alle zwischen diesen beiden Parteien noch laufenden Kontrakte 

davon betroffen. Diese Netting-Vereinbarung kann das Kreditrisiko erheblich reduzieren. 

Besicherung: Eine typische Besicherungsvereinbarung (Collateralization) würde besagen, 

dass die Kontrakte gemäß einer vorher festgelegten Formel regelmäßig zu 

Marktpreisen bewertet werden sollen (vgl. Margin-Konto). 

Downgrade-Trigger: Dies sind vertragliche Bestimmungen, die besagen, dass der 

Kontrakt im Falle eines Absinkens des Credit Ratings der Gegenpartei unter ein bestimmtes 

Niveau zum Marktpreis geschlossen werden kann. 

Ausfallkorrelation 

Der Begriff Ausfallskorrelation wird verwendet, um die Tendenz zu beschreiben, mit der 

zwei Unternehmen zu etwa der gleichen Zeit ausfallen. Aufgrund der Ausfallkorrelation 

kann das Kreditrisiko nicht vollständig durch Diversifikation eliminiert werden. Die Ausfallkorrelation 

bildet den Hauptgrund dafür, dass risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten 

höher sind als reale Ausfallwahrscheinlichkeiten. 

Reduktionsmodelle: Diese unterstellen, dass die Ausfallintensitäten für verschiedene 

Unternehmen stochastischen Prozessen folgen und mit makroökonomischen Variablen 

korreliert sind. 

Strukturmodelle: Diese basieren auf einer ähnlichen Idee wie das Merton-Modell. Ein 

Unternehmen fällt aus, wenn sich der Wert seiner Aktiva unter einem bestimmten Niveau 

befindet. Dabei wird angenommen, dass die beiden stochastischen Prozesse der 

Unternehmen miteinander korreliert sind. 

Credit VAR 

Ein Credit VAR zu einem Konfidenzniveau von 99% und einem Zeithorizont von einem 

Jahr ist der Verlust aufgrund von Kreditausfällen, der mit 99%iger Sicherheit innerhalb 

eines Jahres nicht überstiegen wird. Ein populärer Ansatz zur Berechnung des Credit VAR 

für interne Zwecke ist CreditMetrics. Er besteht aus der Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung 

von Verlusten aufgrund von Kreditausfällen durch Monte-Carlo- 

Simulationen von Änderungen des Credit Rating für alle Gegenparteien.

Zsfg Hull

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