5. Klasse

Begriffe zur Gliederung von Termen
Term Rechenart a heißt b heißt
a + b (Summe) Addition 1. Summand 2. Summand
a − b (Differenz) Subtraktion Minuend Subtrahend
a ⋅ b ( Produkt) Multiplikation 1. Faktor 2. Faktor
a : b (Quotient) Division Dividend Divisor
Bei längeren Termen entscheidet der letzte Rechenschritt über die Art
des Terms.
Potenzen
GW Mathematik 5. Klasse
Beispiel: [ ( 25 17)
: ( 107 − 65)
] ⋅11
+ ist ein Produkt,
da zuletzt ...⋅ 11 gerechnet wird.
Das Produkt ist die Abkürzung für eine Summe mit lauter gleichen
Summanden.
Beispiel: 5 ⋅ 11 = 11+
11+
11+
11+
11 ( = 55)
Die Potenz ist die Abkürzung für ein Produkt mit lauter gleichen
Faktoren.
Beispiel: 7 7 7 7 7 ( 2401)
4
= ⋅ ⋅ ⋅ =
5
Häufiger FEHLER: 2 ≠ 2 ⋅ 5 = 10 , denn = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 !
Beispiel: Primfaktorenzerlegung 1650 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 11
2 5
Rechengesetze
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
a + b = b + a
a ⋅ b = b ⋅ a
( a + b)
+ c = a + ( b + c)
( a ⋅ b)
⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c)
( a ± b)
⋅ c = a ⋅ c ± b ⋅ c
Distributivgesetz ( a ± b)
: c = a : c ± b : c
Summanden bzw. Faktoren dürfen
vertauscht werden!
Bei längeren Summen bzw.
Produkten darf man selbst
entscheiden, was man zuerst
rechnen will!
Man darf auf diese Weise ein
Produkt bzw. einen
Quotienten in eine Summe
bzw. Differenz verwandeln
Die Rechengesetze erleichtern vor allem das Kopfrechnen:
Bsp. 1 (Assoziativgesetz)
( 137 + 343)
+ 863 = 137 + 863 + 343 = 1000 + 343 =
( ) 1343
Bsp. 2 (Distributivgesetz) 13 ⋅ 19 + 87⋅19
= ( 13+
87)
⋅19
= 100⋅19
= 1900
Bsp. 3 (Distributivgesetz)
77 ⋅ 9 = 77 ⋅ 10 −1
= 77⋅10
− 77⋅1
= 770 − 77 =
( ) 693
Rechnen mit 0 und 1
a ⋅0 = 0⋅
a = 0
6435189 ⋅ 0 = 0
a ⋅1 = 1⋅
a = a
6528 ⋅ 1 = 6528
0 : a = 0
0 : 99556748 = 0
a : 0 = VERBOTEN ! 15645: 0 = VERBOTEN !
a : 1 = a
123456789 : 1 = 123456789

Die ganzen Zahlen
Von zwei Zahlen ist diejenige größer, die auf der Zahlengeraden weiter
rechts steht.
Der Abstand einer ganzen Zahl a von der 0 heißt Betrag von a.
Man schreibt ||||a||||. Der Betrag ist immer größer oder gleich 0.
Beispiele: − 17 = 17 + 112 = 112 0 = 0
Rechenregeln für ganze Zahlen: Addition und Subtraktion
I. Löse zuerst die Vorzeichen-Klammern auf:
Falls zwei Zeichen nebeneinander stehen, so ersetze sie durch eines:
sind sie gleichartig durch „Plus“,
sind sie ungleichartig durch „Minus“.
Beispiel: − 1 + ( − 2)
− ( − 3)
− ( + 4)
+ ( + 5)
= −1−
2 + 3 − 4 + 5
Mit Zahlengerade:
II. Die erste Zahl gibt dir den Startpunkt auf der Zahlengeraden an
III. Das Rechenzeichen sagt dir, in welche Richtung du gehen musst
Bei Plus: gehe nach rechts
Bei Minus: gehe nach links
IV. Die zweite Zahl gibt dir die Anzahl der Schritte auf der Zahlengeraden an
2 − 6 = −4
− 4 + 6 = 2
Subtraktion (von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen) ohne
Zahlengerade:
II. Ziehe (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen!) die kleinere von der
größeren Zahl ab. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der größeren Zahl.
Bsp: 2 − 6 = −4
; 12 – 50 = –38; –5 + 7 = +2
Aber: –12–15 = –17; –1 – 29 = –30 hier wird wie bei der Addition gerechnet
Rechenregeln für ganze Zahlen: Multiplikation und Division
I. Multipliziere bzw. dividiere ohne Vorzeichen wie gewohnt
II. Gleiche Vorzeichen: gib dem Ergebnis ein Plus
+ : + = + − : − = +
Ungleiche Vorzeichen: gib dem Ergebnis ein Minus
+ : − = − − : + = −
Bsp. ( + 12) : ( − 4)
= −3
; ( − 15) : ( + 5)
= −3
; ( − 20 ) : ( − 4)
= 5
Rechenregeln für die vier Grundrechenarten
• Was in der Klammer steht, wird zuerst gerechnet;
• Potenzen werden vor Punktrechenarten berechnet;
• Punktrechenarten werden vor Strichrechenarten durchgeführt;
• Gleichwertige Rechenarten werden von links nach rechts
ausgeführt.
Merke: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich
3
[ ⋅ ] : ( 2 ⋅3
− 31)=
Beispiel: 2 45 − 2 ⋅ ( 43 − 2 ⋅ 6)
[ 2 ⋅ 45 − 2 ⋅ ( 43 −12)
] : ( 8 ⋅3
− 31)
=
[ 2 ⋅ 45 − 2 ⋅31]
: ( 24 − 31)
=
[ 90 − 62]
: ( − 7)
=
28 : ( − 7)
=
−
4

Schreibweisen der Geometrie
a = [AB] Die Strecke a mit den Endpunkten A und B
a = AB = 4cm Die Länge a der Strecke [AB] beträgt 4cm
g = PQ Die Gerade durch die Punkte P und Q
[PQ Die Halbgerade (=Strahl) mit Endpunkt P durch Q
R∈g Der Punkt R liegt auf der Geraden g
S∉g Der Punkt S liegt nicht auf der Geraden g
g ⊥ h Die Gerade g ist senkrecht („orthogonal“,„bildet ein Lot“) zu h
g || h Die Gerade g ist parallel zu h
α , β , γ , δ Die Winkel alpha, beta, gamma, delta

Das Messen der
Streckenlänge PQ
Das Messen des
Abstandes des Punktes
P von der Geraden g
Das Messen des
Abstandes zweier
paralleler
Geraden h und g
Das Messen eines
spitzen Winkels
Das Messen eines
stumpfen Winkels
Das Zeichnen eines
55°-Winkels
Das Spiegeln eines
Punktes P an einer
Spiegelachse a
Das Zeichnen eines
Kreises mit dem
Mittelpunkt M und dem
Radius r

Winkel
Achsensymmetrie
Koordinatensystem

Größen
Eine Größe besteht immer aus einer (Maß-)Zahl und einer (Maß-)Einheit.
Größe = Zahl ⋅ Einheit
Umrechnen von Größen
Wird die Einheit kleiner, so wird die Zahl größer.
(Komma nach rechts bzw. mit Umrechnungsfaktor multiplizieren).
Wird die Einheit größer, so wird die Zahl kleiner.
(Komma nach links bzw. mit Umrechnungsfaktor dividieren).
Bsp. 12cm [in mm] = 12 ⋅ 10 mm = 120mm
12cm [in dm] = 12 : 10 mm = 1,2dm
Längeneinheiten
mm 10 cm 10 dm 10 m Umrechnungsfaktor (wichtige Einheiten): 10
µm 1000 mm 1000 m 1000 km Umrechnungsfaktor (sonst): 1000
(µm =Mikrometer)
Zeiteinheiten
s 60 min 60 h 24 d (Sekunde – Minute – Stunde – Tag)
Masseneinheiten Umrechnungsfaktor: 1000
g 1000 kg 1000 t (Gramm – Kilogramm – Tonne)
Flächeneinheiten Umrechnungsfaktor: 100
mm² 100 cm² 100 dm² 100 m² 100 a 100 ha 100 km²
Beispiele:
1km² = 1000m ⋅ 1000m = 1 000 000m²
1ha = 100m ⋅ 100m = 10000m²
1m² = 10dm ⋅ 10dm = 100dm² oder 1m² = 100cm ⋅ 100cm = 10000cm²
3h = 3 ⋅ 60min = 180min = 180 ⋅ 60s = 10800s
1,23t = 1 230kg = 1 230 000g
Achtung:
Nur bei Längen-, Massen- und Flächeneinheiten darf man die Einheiten
mit Komma-Verschieben umrechnen (hier hat man als
Umrechnungsfaktoren Zehnerzahlen).
Bei Zeiteinheiten aber muss ausführlich multipliziert bzw. dividiert
werden, da die Umrechnungsfaktoren keine Zehnerzahlen sind!
Formeln
Flächeninhalt – Umfang
Flächeninhalt Quadrat A = a⋅a = a².
Umfang Quadrat U = 4⋅a
Flächeninhalt Rechtecks A = a⋅b
Umfang Rechtecks U = 2⋅(a+b)
Oberflächeninhalt Quaders O = 2 ⋅ (a⋅b + b⋅c + a⋅c)