Mathematik für Biologen (Ringel) Klausur 14.02.03 - Seite 1 Name ...

Mathematik für Biologen (Ringel) Klausur 14.02.03 - Seite 1
Name, Vorname: Matrikel-Nr.:
Nebenrechnungen bitte auf separatem Blatt, das ebenfalls abgeben werden soll (für
Zweifelsfragen), also bitte auch mit Name, Vorname und Matrikelnummer versehen!
1. Seien folgende Datenpaare (xi, yi) gegeben
xi 1 2 7 3 5
yi 2 2 7 5 6
Bestimme die Regressionsgerade f(x) = a + bx und den Korrelationskoeffizienten
rxy
Die Lösung lautet: a = b =
Es ist rxy =
2. Ordnen Sie den vorliegenden vier Punktwolken den Korrelationskoeffizienten zu:
.
HIER FEHLEN DIE PUNKTWOLKEN - siehe JUMBO
Korrelation
Bild
.
.
-0,91 -0.60 0,67 0,90
3. Bestimmen Sie den Radius eines Kreisbogens: der Winkel sei 20 ◦ , die Länge des
Kreisbogens sei 100m.
Der Radius hat die Länge m.
4. Jemand fällt von einer 6 m hohen Mauer auf die Erde.
(a) Wie lange ist er unterwegs?
(b) Welche Endgeschwindigkeit hat er beim Auftreffen (besser: kurz davor)?
Das Fallen dauert Sekunden.
Die Endgeschwindigkeit ist [m/sec].
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5. Die Halbwertszeit von Plutonium beträgt 24110 Jahre.
Wieviel % des Stoffs sind nach 100 Jahren noch vorhanden, nach wieviel Jahren sind
noch 10 % des Stoffs vorhanden?
Nach 100 Jahren sind noch % des Stoffs vorhanden.
Nach Jahren sind noch 10 % des Stoffs vorhanden
6. Der Temperatur-Unterschied eines Körpers zu der ihn umströmenden Luft mit
konstanter Raumtemperatur werde mit u(t) bezeichnet. Es gilt auch hier: u ′ (t) ist
proportional zu u(t). Zum Zeitpunkt 0 sei der Temperatur-Unterschied 80 ◦ , nach
einer Stunde 40 ◦ .
Wie groß ist der Temperatur-Unterschied nach weiteren 2 Stunden?
Nach weiteren 2 Stunden ist der Temperatur-Unterschied
7. Bestimmen Sie einen Funktionsterm f(x) = A·sin(C(t−D))+B zur Beschreibung
des folgenden Graphen:
A =
B =
C =
D =
...
.
. 1
.
1
8. Gesucht ist eine nicht-konstante Funktion f(t), die die folgende Differentialgleichung
erfüllt:
f ′ (t) = f(t)(100 − f(t)).
f(t) =
.
.
◦ .
.

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9. Man bestimme, welche Funktion f(t) im folgenden Diagramm dargestellt ist:
20
15
10
−5
Es ist die Funktion f(x) =
5
0
.
10 −1
1 10 10 2
10. Man bestimme, welche Funktion f(t) im folgenden Diagramm dargestellt ist:
0.1
0.01
Es ist die Funktion f(x) =
1
.
10 3
10 4
11. Man bestimme, welche Funktion f(t) im folgenden Diagramm dargestellt ist:
10 2
10 1
10 0
10 −1
10 −2
Es ist die Funktion f(x) =
.
10 5
10 6
10 3
10 7
3 4 5 6 7 8

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Name, Vorname: Matrikel-Nr.:
12. Richtige Antwort(en) bitte ankreuzen: Den Mittelwert MW der Funktion f(x) =
x4 im Intervall [−1, 2] berechnet man mit der Formel
○ 2
−1 x4d x
○ 1
−1
3 2 x4d x
○ 1 1
3x5d x
−2
○ 1
2
3
○ 1
3
−1 x5 d x
2
−1 x4 d x
○ 1
0 x5 d x
und zwar erhält man folgenden Wert:
MW =
13. Bestimme die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit Kantenlänge 3 cm.
Die Raumdiagonalen haben die Länge cm
14. Richtige Antwort(en) bitte ankreuzen: Im Räuber-Beute-Modell (mit den Lotka-
Volterra-Differentialgleichungen) gilt:
○ Gemäßigte Jagd erhöht den langjährigen Mittelwert an Räubertieren wie Beutetieren.
○ Gemäßigte Jagd erhöht den langjährigen Mittelwert an Räubertieren.
○ Gemäßigte Jagd erhöht den langjährigen Mittelwert an Beutetieren.
○ Gemäßigte Jagd erniedrigt den langjährigen Mittelwert an Beutetieren.
○ Gemäßigte Jagd erniedrigt den langjährigen Mittelwert an Räubertieren.
○ Gemäßigte Jagd erniedrigt den langjährigen Mittelwert an Räubertieren wie Beutetieren.

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Name, Vorname: Matrikel-Nr.:
15. Richtige Antwort(en) bitte ankreuzen: Zu welcher Funktion f(x, y): R 2 → R
gehört das folgende Höhenlinienbild:
○ f(x, y) = x 2 + y 2 + 3
○ f(x, y) = (x − 2) 2 + (y + 1) 2 + 3
○ f(x, y) = (x + 2) 2 + (y − 1) 2 + 3
○ f(x, y) = (x − 2) 2 + (y − 1) 2 + 3
y
...........................................
..
1
1
·
. . . .. ...... .
.
.
3 4 7 12 19
16. Bestimmen Sie die Zuordnung der folgenden Bilder zu den Richtungsfeldern der
Differential-Gleichungen:
.
Diff-Gleichung
Bild
.
HIER FEHLEN DIE BILDER
.
y ′ (t) = y(t) − t y ′ (t) = y(t) ∗ t y ′ (t) = −y(t) − t
x
.

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17. Wir betrachten zwei Arten von Lebewesen, die um denselben Lebensraum konkurrieren.
Hier ein derartiges Phasenporträt:
80
60
40
20
y
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3 . . •.
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. . . . . 5.
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1 . . . . 7.
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. . . . . . . 9 .
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20 40 60 80
Betrachten Sie die durchgezogene Bahn; für einige Zeitpunkte (t = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,9)
ist die jeweilige Position angegeben.
Skizzieren Sie in einem t-x-Koordinatenystem und in einem t-y-Koordinatensystem
die Populations-Entwicklung der beiden Arten (die t-Achsen sind schon beschriftet,
die vertikalen Achsen sind zu beschriften).
x
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y
1 5 10
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1 5 10
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t
t
x