Übungsblatt - Physik-Department TU München

4 Partielle Differentialgleichung
Lösen Sie die folgende partielle Differentialgleichung unter Berücksichtigung der angegebenen Randbedingungen
mithilfe eines Separationsansatzes.
Lösung
Der Separationsansatz
führt auf
∂ Φ(x,t)
∂t
= ∂2 Φ(x,t)
∂x 2 , Φ(0,t) = Φ(1,t) = 0, Φ(x,0) = sin(πx)
Φ(x,t) = X(x)T(t)
XT ′ = TX ′′ ′ T X′′
⇐⇒ =
T X
Die linke Seite ist nur noch von t, die rechte nur noch von x abhängig. Das Gleichheitszeichen kann nur dann
für alle x und t gültig sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind.
T ′
T
Die Lösung hat also folgende Struktur:
Einsetzen in die erste Randbedingung liefert:
= X′′
X = −k2 ⇐⇒ T ′ = −k 2 T , X ′′ = −k 2 X
Φ(x,t) = e −k2 t (A sin kx + B cos kx)
Φ(0,t) = 0 ⇐⇒ B e −k2 t = 0 ⇐⇒ B = 0
Daraus folgt, dass stets A = 0 gelten muss, da Φ sonst die triviale Lösung wäre.
Φ(1,t) = 0 ⇐⇒ Ae −k2 t sin k = 0 ⇐⇒ k = nπ , n ∈ N
Um den vollständigen Lösungsraum zu ” erreichen“, muss ab jetzt also über alle n summiert werden (A → an).
Zu guter letzt noch die Startbedingung.
Die Lösung lautet also:
5 Green-Funktion
Φ(x,0) = sin πx ⇐⇒
∞
an sin nπx = sin πx ⇐⇒ an = δn,1
n=0
Φ(x,t) = e −π2 t sin πx
Berechnen Sie mittels Fourier-Transformation die Green-Funktion G(x) des Laplace-Operators. Geben Sie
damit die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung für eine Punktladung q, die sich am Ort x0 befindet, an.
Lösung
Die Fourier-Integrale lauten:
f(k) =
f(x) =
∆Φ(x) = − ρ(x)
Fouriertransformation der Bestimmungsgleichung liefert:
ε0
d 3 x e −ik·x f(x)
d 3 k
(2π) 3 eik·x f(k)
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