druckerfreundlich

Kristallographische Winkelberechnung
◮ karthesisches und kristallographische Koordinatensysteme
◮ reziprokes Gitter und Volumen einer Elementarzelle
◮ Berechnungen mit dem reziproken Gitter

Karthesisches Koordinatensystem: ei · ek = δik
◮ Einheitsvektoren
|e1| = |e2| = |e3| = 1
◮ stehen senkrecht aufeinander
e1 ⊥ e2 ⊥ e3
◮ e3 = e1 × e2 (Kreuzprodukt)
◮ e1 = e2 × e3
◮ e2 = e3 × e1
◮ α = ∠(e2,e3) = 90 ◦
e2 · e3 = e1e2 cos(α) = 1 (Skalarprodukt)
β = ∠(e3,e1) = 90 ◦
e3 · e1 = e1e2 cos(α) = 1
γ = ∠(e1,e2) = 90 ◦
e1 · e2 = e1e2 cos(α) = 1
e3
α
β
γ
e2
e1

Multiplikation von Vektoren
Skalar
λa = a ′
Skalarprodukt (inneres Produkt)
◮ a · b = a · b · cos φ
◮ a ≡ |a| = √ a · a = a 2 cosφ = a, weil φ = 0
Kreuzprodukt (äußeres Produkt
◮ a × b = c
◮ |a × b| = a · b · sin φ
◮ c ⊥ a und b (Rechtsschraube!)
◮ a × a = 0

Kristallographische Koordinatensysteme
Kubisches Kristallsystem
◮ e1 a
a = a · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
e1 [100]
◮ e2 b b = 0 · e1 + a · e2 + 0 · e3
e2 [010]
◮ e3 c
c = 0 · e1 + 0 · e2 + a · e3
⎛ ⎞
a 0 0
◮ Āαi = ⎝ 0 a 0 ⎠ aα =
e3 [001]
0 0 a
Āαie i (α, i = 1, 2, 3)
a = a1, b = a2, c = a3
e1 = x, e2 = y, e3 = z

Kristallographische Koordinatensysteme
Tetragonales Kristallsystem
◮ e1 a
a = a · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
◮ e2 b b = 0 · e1 + a · e2 + 0 · e3
◮ e3 c
c = 0 · e1 + 0 · e2 + c · e3
⎛ ⎞
a 0 0
◮ Āαi = ⎝ 0 a 0 ⎠
0 0 c
e1 [100]
e2 [010]
e3 [001]

Kristallographische Koordinatensysteme
Rhombisches Kristallsystem
◮ e1 a
a = a · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
◮ e2 b b = 0 · e1 + b · e2 + 0 · e3
◮ e3 c
c = 0 · e1 + 0 · e2 + c · e3
⎛ ⎞
a 0 0
◮ Āαi = ⎝ 0 b 0 ⎠
0 0 c
e1 [100]
e2 [010]
e3 [001]

Kristallographische Koordinatensysteme
Hexagonales/Trigonales Kristallsystem
◮ e1 a
a = a · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
◮ e2 ⊥ a
b = −a · cos 60 ◦ · e1 + a · cos 30 ◦ · e2 + 0 · e3
a b = − 2 · e1 + a√3 2 · e2 + 0 · e3
◮ e3 c
c = 0 · e1 + 0 · e2 + c · e3
⎛
a 0 0
◮ Āαi = ⎝ − a a
2
√ ⎞
3
2 0 ⎠
0 0 c
b
e1 [100]
e2 ⊥ (010)
e3 [001]
e2
e3, c
e1 a

Kristallographische Koordinatensysteme
Rhomboedrisches Kristallsystem
◮ a1 + a2 + a3 3, ¯ 3
◮ ai m oder (01 ¯ 1) 2
◮ e1 ⊥ ( ¯ 110)
◮ e2 ( ¯ 110)
◮ e3 [111]
◮ Āαi =
⎛
1 a
⎜ 2
⎜ 1 −a 2
⎝
(1 − cos α) a
(1 − cos α) a
0 a
1
6
1
6
2
3
(1 − cosα) a
(1 − cosα) a
(1 − cosα) a
2
3
2
3
2
3
1 ( 2 + cos α)
1 ( 2 + cos α)
1 ( 2 + cos α)
⎞
⎟
⎠

Kristallographische Koordinatensysteme
Monoklines Kristallsystem (2. Aufstellung)
◮ e2 b b = 0 · e1 + b · e2 + 0 · e3
◮ e3 c
c = 0 · e1 + 0 · e2 + c · e3
◮ e1 ⊥ (100)
a = a · sin β · e1 + 0 · e2 + a · cosβ · e3
⎛
⎞ a
a · sin β 0 a · cosβ
◮ Āαi = ⎝ 0 b 0 ⎠
0 0 c
e2 [010]
e3 [001]
e1
e2, b e3 c

Kristallographische Koordinatensysteme
Triklines Kristallsystem (c < a < b)
◮ e3 c
c = 0 · e1 + 0 · e2 + c · e3
◮ e2 ⊥ (010)
◮ e1 (010)
⎛
a · sin β 0
⎞
a · cos β
◮ Āαi = ⎝ −b · sin α · cosγ ∗ bQ
sin β b · cos α ⎠
0 0 c
e3 [001]
mit
cos γ ∗ = (cos α · cosβ − cos γ)/ sin α sin β
Q 2 = 1 + 2 · cos α · cos β · cosγ − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ

Reziprokes Gitter: ai · a ∗ k
◮ a ∗ 1 =
◮ a ∗ 2 =
◮ a ∗ 3 =
a2 × a3
a1 · (a2 × a3)
a3 × a1
a1 · (a2 × a3)
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)
= δik
◮ V EZ = a · ( b × c) (Spatprodukt)
◮ V ∗ EZ = 1/VEZ = a ∗ · ( b ∗ × c ∗ )
◮ a ∗ ⊥ b − c−Ebene
◮ b ∗ ⊥ c − a−Ebene
◮ c ∗ ⊥ a − b−Ebene
a ∗ = b × c
a · ( b × c)
b ∗ = c × a
a · ( b × c)
c ∗ = a × b
a · ( b × c)
b
b ∗
a ∗
c ∗ , c a

Reziprokes Gitter
◮ a ∗ =
◮ b ∗ =
◮ c ∗ =
◮ cos α ∗ =
◮ cos β ∗ =
◮ cos γ ∗ =
b · c · cos α
V
c · a · cos β
V
a · b · cos γ
V
cosβ cosγ − cosα
sin β sin γ
cos γ cos α − cosβ
sin γ sin α
cos α cosβ − cosγ
sin α sin β

Volumen der Elementarzelle
◮ V EZ = a · ( b × c) (Spatprodukt)
◮ V EZ = Qabc
mit
Q 2 = 1 + 2 · cos α · cos β · cosγ − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ
◮ VEZ = 1/V ∗ EZ

Gitterpunkte, Gittergeraden, Netzebenen
◮ Gitterpunkte
R = u · a + v · b + w · c
·uvw·
⎛
R = Āαi · ⎝
◮ Gittergeraden
u
v
w
λ · R = R1 − R2
[uvw]
◮ Netzebenen
⎞
⎠ (im kartesischen KS)
H = h · a ∗ + k · b ∗ + l · c ∗ ⊥ (hkl)
nur im Kubischen: H ijk R ijk!

Netzebenenabstände
◮ | H| = 1/d
◮ H 2 = h 2 · a ∗ · a ∗ + k 2 · b ∗ · b ∗ + l 2 · c ∗ · c ∗ +
2h · k · a ∗ · b ∗ + 2k · l · b ∗ · c ∗ + 2l · k · c ∗ · a ∗
Kubisches Kristallsystem
◮ 1/d 2 = h 2 · a ∗ · a ∗ + k 2 · b ∗ · b ∗ + l 2 · c ∗ · c ∗
◮ 1
d 2 = h2 + k 2 + l 2
a 2
H 2 = 1/d 2

Netzebenenabstände
Tetragonales Kristallsystem
1
d 2 = h2 + k 2
a 2
l2 +
c 2
Rhombisches Kristallsystem
2
1 h2
2 = 2 + k l2
2 +
d a b c 2
Hexagonales Kristallsystem
1
d 2 = 3 4 · h2 + k 2 + hk
a 2
+ l2
c 2

Netzebenenabstände
Trigonales Kristallsystem
1
2 =
d
(h 2 + k 2 + l 2 ) · sin 2 α + 2 · (kl + lh + hk) · (cos 2 α − cosα)
a 2 · (1 − 3 · cos 2 α + 2 · cos 3 α)
Monoklines Kristallsystem
1
d 2 = h 2
a 2 · sin 2 β
2
+ k
2 + l
b
2
c 2 · sin 2 2 · h · l · cosβ
−
β a · c · sin 2 β

Netzebenenabstände
Triklines Kristallsystem
1
2 =
d
b 2 c 2 h 2 sin 2 α + c 2 a 2 k 2 sin 2 β + a 2 b 2 l 2 sin 2 γ
a 2 b 2 c 2 (1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cosαcosβ cosγ) ...
+2abc 2 · hk(cos α cos β − cos γ)
...
+2ab 2 c · lh(cos γ cos α − cosβ) ...
+2a 2 c · kl(cos β cosγ − cosα)

Netzebene von zwei Gitterrichtungen
◮ H = R1 × R2
◮ H
= F ·
(v1w2 − v2w1)a ∗ + (w1u2 − w2u1) b ∗ + (u1v2 − u2v1)c ∗
a
◮ H = F
∗ b ∗ c ∗
u1 v1 w1
u2 v2 w2

Zonen
◮ R = H1 × H2
◮ R = 1
F
(k1l2 − k2l1)a + (l1h2 − l2h1)
b + (h1k2 − h2k1)c
◮ R = 1
a b c
F h1 k1 l1
h2 k2 l2

Winkel zwischen Netzebenen
◮ cos φ = H1 · H2
H1H2
◮ cos φ = d1 · d2 · (h1h2a ∗2 + k1k2b ∗2 + l1l2c ∗2
+(h1k2 + h2k1)a ∗ b ∗ cosγ ∗
+(k1l2 + k2l1)b ∗ c ∗ cos α ∗
+(l1h2 + l2h1)c ∗ a ∗ cos β ∗ )

Winkel zwischen Netzebenen
Kubisches Kristallsystem
◮ cos φ = d1 · d2 · h1h2 + k1k2 + l1l2
a 2
◮ cos φ = a
h2 1 + k 2 1 + l2 · a
1 h2 2 + k 2 2 + l2 2
◮
h1h2 cos φ = + k1k2 + l1l2
(h2 1 + k 2 1 + l2 1 )(h2 2 + k 2 2 + l2 2 )
◮ ∠ ((100),(110))?
· h1h2 + k1k2 + l1l2
a 2

Winkel zwischen Netzebenen
Rhombisches Kristallsystem
◮ cos φ = d1 · d2 · (h1h2a ∗2 + k1k2b ∗2 + l1l2c ∗2 )
◮ =
1
h 2 1
a 2 + k 2 1
b 2 + l2 1
· 1
h 2 2
a 2 + k 2 2
b 2 + l2 2
·
c 2
c 2
2 2
bc sin α
ca sin α
ab sin α
h1h2 V + k1k2
EZ
V + l1l2
EZ
VEZ 2

Winkel zwischen Netzebenen
Rhombisches Kristallsystem
◮ cos φ =
◮ =
1
h
b
2 1
1
2 b
+ k
a
2 1 + l2 1
1
h
b
2 2
b
h2 b
1 ( a )2 + k 2 1 + l2 1
b
a
( b
c
2
h1h2
·
2
b
c
1
+ k 2 2 + l2 ·
2
b
2 c
1 2
1 2
1 2
a + k1k2 b + l1l2 c
· b
)2
· 1
b 2
h2 b
2 (
2 b
h1h2 a
a )2 + k 2 2 + l2 2
( b
c )2
+ k1k2 + l1l2
2
b
c

Winkel zwischen Netzebenen
Rhombisches Kristallsystem
◮ cos φ =
h1h2 ( b
a )2 + k1k2 + l1l2 ( b
c )2
h2 b
1 ( a )2 + k 2 1 + l2 b
1 ( c )2
h2 b
2 ( a )2 + k 2 2 + l2 b
2 ( c )2

Häufigkeit der Kristallsysteme
Verteilung der Minerale
kubisch 12.2%
tetragonal 9.8%
rhombisch 22.3%
hexagonal 16.6%
monoklin 31.7%
triklin 7.4%