Einführung in die Kristallographie - Institut für Mineralogie

Einführung in die Kristallographie
Gerhard Heide
Institut für Mineralogie
Professur für Allgemeine und Angewandte Mineralogie
Brennhausgasse 14
03731-39-2665 oder -2628
gerhard.heide@mineral.tu-freiberg.de

Raumgruppe
Beispiel P 2
primitives monoklines Gitter (a = b = c, α = γ = 90◦ )
a +¢(0, y, 0) →¢( 1
2 , y, 0)
c +¢(0, y, 0) →¢(0, y, 1
2 )
a + c +¢(0, y, 0) →¢( 1 1
2 , y, 2 )
→ a
↓
c

Raumgruppe
Beispiel P 4
primitives tetragonales Gitter (a = b = c, α = β = γ = 90◦ )
a +¤(0, 0, z) →¢( 1
2 , 0, z)
b +¤(0, 0, z) →¢(0, 1
2 , z)
a + b +¤(0, 0, z) →¤( 1
2
→ b
↓
a
1 , 2 , z)

Raumgruppe
Beispiel C m
einseitig flächenzentriertes (a − b-Ebene) monoklines
Gitter
(a = b = c, α = γ = 90 ◦ )
a + m(x, 0, z) → m(x, 1
2 ,z)
( 1
2 a + 1
2 b) + m(x, 0, z) → a(x, 1
4 ,z)
→ b
↓
a

Raumgruppe
Spezielle und Allgemeine Punktlage – Zähligkeit
Beispiel C m
→ b
↓
a
allgemeine Punktlage x, y, z mit x = y = z 1. Punkt
C-Zentrierung → x + 1 1
2 , y + 2 , z 2. Punkt
Spiegel-Ebene → x, ¯y, z 3. Punkt
C+m→ x + 1
2 , ¯y 1 + 2 , z 4. Punkt
vierzählige Punktlage

Raumgruppe
Spezielle und Allgemeine Punktlage – Zähligkeit
Beispiel C m
spezielle Punktlage x, 0, z 1. Punkt
C-Zentrierung → x + 1 1
2 , 2 , z
zweizählige Punktlage
2. Punkt

Raumgruppe
Beispiel KCN
a = 5.5050, b = 5.1885, c = 3.7286,β = 85.270 ◦
C m
x y z → x y z
K 0.000 0 0.000 → 0.500 0.5 0.000
C 0.434 0 0.366 → 0.934 0.5 0.366
N 0.587 0 0.563 → 0.087 0.5 0.563
c ↑→ a

Netzebenen
2-dimensionales Gitter
Achsenabschnitte m und n
y = q · x + n
❛
y = −
❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
n
m
n
mx + n
1 = x
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
❛ y
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
m +
❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
n
❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛
☞ m = 4.0, n = 0.8
m = 5.0, n = 1.0
m = 1.0, n = 0.2
☞☞☞☞☞☞☞ H
yH = m
n x
1 = m · x − n · y
yH = 5.0 · x
Netzebenennormale
H

Netzebenen
3-dimensionales Gitter: Millersche Indizes (hkl)
Achsenabschnitte m, n, p (ganzzahlig bzw. rational)
reziprok Lage a, b,c: m = ∞ ⇒ 1
m = 0
teilerfremd
⇒ (hkl)
2, 5, 2
1 1 1
2 , 5 , 2
10 10 10
2 , 5 , 2
(5 2 5)
1, 5
2 , 1
1, 2
5
, 1
(5 2 5)

Netzebenen

Reziprokes Gitter
R = u · a + v ·
✻
b b + w · c
Gittergerade [u v w] [4 3 0]
λ R = R2 − ❅ ❅ ❅
❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅
❅
❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅
R1
✑
✲
a
✑✑✑✑✑✑✸
Gitterpunkt ·u v w· ·3 1 0·
Netzebene (h k l) (1 2 0)
H = h · a ∗ + k · b ∗ + l · c ∗
✡
✡
✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡ ✒ | H |= 1/d ( d-Wert“)
”

Reziprokes Gitter
a ∗ = b×c
a· b×c
b ∗ = c×a
a· b×c
c ∗ = a× b
a· b×c
wichtige Anwendung: Edwaldsche Konstruktion bei
Beugungsexperimenten
1/d =| H |=| h · a ∗ + k · b∗ + l · c ∗
|
h2 +k 2 +l 2
kubisch:
tetragonal:
rhombisch:
a2
h2 +k 2
a2 + l 2
c2
h2 a2 k 2 l 2
+ b2 +
c2

Millersche Indizes
immer ganze Zahlen
fast immer klein (< 10!)
kein ∞
unabhängig von der Metrik der Elementarzelle
hier immer (1 1 1)

René Just Haüy (1743-1822)

Netzebenen – Kristallwachstum
Rhombendodekaeder
Pyrop
Ikositetraeder
Leucit

Netzebenen – Kristallwachstum: Kaiˇshev

Netzebenen – Kristallflächen
Fluorit CaF2
Wachstumsflächen Spaltflächen

Netzebenen – Kristallflächen
Calcit CaCO3
Wachstumsflächen Spaltflächen

Netzebenen – kubische Kristallform
(1 0 0) Hexaeder (Würfel)
(1 1 0) Rhombendodekaeder
(1 1 1) 23, ¯ 43m: Tetraeder
sonst: Oktaeder

Blickrichtungen
triklin: - 1, ¯ 1
monoklin: 2 b, bzw. m ⊥ b 2, m, 2/m
trigonal: 3c und 3, ¯ 3
2a, bzw. m ⊥ a 3m, ¯ 3m, 32
rhombisch: 2ai bzw. m ⊥ ai
222, mm2, mmm
tetragonal: 4c und 4, ¯ 4
2a und
2[110]
4/m, 422, 4mm
42m, ¯ 4/mmm
kubisch: 4 bzw. ¯ 4 bzw. 2c und 23
3[111] und m¯ 3, 432
2[110]
43m, ¯ m3m ¯

Netzebenen – Stereographische Projektion