Quantitative Messung der Liquiditätsrisiken

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Die „volatility of liquidity“ unter Normalbedingungen oder im Rahmen von Stresstests ist in Abhängigkeit der Zahlungsquellen durch eine mathematische Modellierung oder auf der Basis vorhandenen Expertenwissens festzulegen. Sicherlich werden Zahlungsströme aus Spareinlagen oder der Ausschöpfung unwiderruflich zugesagter Kreditlinien auf mathematischer Basis modelliert, beispielsweise auf der Basis einer historischen Simulation oder anderer in der Literatur beschriebener Verfahren. In anderen Bereichen, wie der Zu- oder Abnahme des Neugeschäftes, wird Expertenwissen in die Parametrisierung einfließen. t Abb. 03 zeigt, dass unter Stressbedingungen, wie einem signifikanten Anstieg des Kreditrisikos, sich die Entwicklung der Varianz üblicherweise unsymmetrisch verhält, was zu einer Änderung der Skewness (Schiefe) der zugrunde liegenden Dichtefunktion führt. Wie bereits angeführt, ermöglicht der vorliegende Ansatz eine Quantifizierung der Liquiditätsrisiken unter Berücksichtigung sowohl des „forward liquidity exposures“ als auch der Refinanzierungskosten. Die vor allem in Krisenzeiten nicht unerheblichen Auswirkungen signifikant steigender Refinanzierungskosten fließen dabei als „volatility of refunding costs“ in die „Calculation Engine“ ein. Gleichfalls ausgehend von einer „baseline“, welche durch die aktuell anzunehmenden Refinanzierungskosten definiert ist, werden, wie im Fall der „volatility of liquidity“, die Varianzen für die einzelnen Laufzeitbänder unter Normalbedingungen und Stressbedingungen definiert. Damit hat ein Kreditinstitut die Möglichkeit, beispielsweise anhand von Transitionsmatrizen eine Ratingherabstufung zu simulieren oder Annahmen hinsichtlich eines sich austrocknenden Refinanzierungsmarktes zu treffen. Um die zu verwendenden Szenarien möglichst realistisch abzubilden, ist es unbedingt zu empfehlen, bei der Festlegung der „volatility of refunding costs“ die vorhandene „counterbalancing capacity“ des Institutes inklusive der anzunehmenden „haircuts“ im Bestand vorhandener Wertpapiere zu berücksichtigen. Stresstesting und Modellierung selten auftretender Ereignisse mit dramatischen Folgen Der oben beschriebene Entwurf zur Änderung der MaRisk vom Februar 2009 sowie Stochastische In- und Outflows unter Normalbedingungen und bei erhöhtem Kreditrisiko Varianz = stochastische In- und Outflows unter Normalbedingungen Varianz = stochastische Inund Outflows bei erhöhtem Kreditrisiko des Kreditinstitutes die Konzeption des „Supervisory Capital Assessment Programs (SCAP)“ der Fed vom Mai 2009 machen deutlich, dass dem Stresstesting und damit dem Auftreten seltener Ereignisse mit dramatischen Auswirkungen von Seiten der Aufsichtsbehörden als auch von den Kreditinstituten deutlich mehr Aufmerksamkeit geschenkt werden wird. Diese Anforderungen werden in zweierlei Richtung unterstützt: Bei der Erzeugung der Zufallswerte für die „forward liquidity exposures“ und der Refinanzierungskosten im Rahmen der vorgegebenen Varianzen wird auf Verteilungsfunktionen aus der Extremwerttheorie zurückgegriffen, die das Auftreten von seltenen Ereignissen besser abschätzen. Die Verteilung der Barwerte, die auf der Basis der gegebenen Szenarien berech- Dichtefunktion der Present Values (Laufzeitband 2 Jahre, baseline =15000, yield=2.88) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Inflows je Laufzeitband net werden, wird ihrerseits mit Hilfe einer Extremwertverteilung modelliert, anhand derer der LVaR bei gegebenem Konfidenzniveau ermittelt wird. Die Erkenntnisse der Extremwerttheorie werden meist im Zusammenhang mit der Prognose von selten auftretenden Naturkatastrophen mit erheblichen Folgen verwendet. Ziel der Extremwerttheorie ist es, das Maximum oder Minimum von Zufallsgrößen durch entsprechende Grenzverteilungen zu beschreiben. Fisher und Tippet konnten zeigen, dass skalierte Extrema sich lediglich durch die Verteilungsfunktionen nach Gumbel, Frechet oder Weibull hinreichend genau schätzen lassen. In der Finanzwelt haben die Extremwerttheorie und die mit ihr verbundenen Verteilungsfunktionen bisher nur selten Einzug gefunden, da sich die Finanzmärkte unter Nor- Häufigkeit
10 risiko manager _ erm Häufigkeitsverteilung (Gumbel-Verteilung) der Present Values (Laufzeitband 2 Jahre, baseline =15000, yield=2.88) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 malbedingungen meist hinreichend mit Normalverteilungen beschreiben lassen, die extrem selten auftretende Ereignisse allerdings nicht hinreichend schätzen. Die Betrachtung der Randverteilungen stand bisher allenfalls bei der Messung operationeller Risiken im Vordergrund. Da die entwickelte „Calculation Engine“ jedoch auf genau diese selten auftretenden Ereignisse mit meist dramatischen Folgen abzielt, stehen die Weibull-Verteilung, die Gumbel-Verteilung, die Rossi-Verteilung, die Frechet-Verteilung sowie die verallgemeinerte Paretoverteilung im Prozess der zufälligen Erzeugung von Werten für die Liquidität, die Refinanzierungskosten als auch zur Modellierung der sich daraus ergebenden Barwerte zur Verfügung. Eine Implementierung von Exponentialfunktionen (power laws) befindet sich derzeit in der Umsetzung. Die genannten Verteilungsfunktionen sind parametrisierbare Funktionen, die Parameterschätzung erfolgt mittels der Maximum-Likelihood-Methode oder mit Hilfe der Euler-Mascheroni-Konstante. Beispiel für die Modellierung der Liquiditätsrisiken Nachfolgend sei die Vorgehensweise an einem Beispiel verdeutlicht: Ein Kreditinstitut möchte wissen, wie sich seine Liquiditätslage entwickelt, wenn wichtige Kontrahenten ausfallen, Änderungen in t Abb. 05 Gumbel Verteilung Zufallsgenerierte Present Values -20280 -19890 -19500 -19110 -18720 -18330 -17940 -17550 -17160 -16770 -16380 -15990 -15600 -15210 -14820 -14430 -14040 -13650 -13260 -12870 der unterstellten Zero Curve sowie des „liquidity spreads“ aufgrund von Marktstörungen oder Verschlechterung des Ratings des Kreditinstitutes anzunehmen sind. Für die gegebene Liquiditätsablaufbilanz werden zunächst dementsprechend die „baselines“, die „volatility of liquidity“ und „volatility of refunding costs“ je Laufzeitband festgelegt. Mit diesen Vorgaben werden mögliche Liquiditätslücken (Gaps) durch die „Calculation Engine“ zufällig erzeugt, wobei für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Liquiditätslücken und der Höhe der Refinanzierungskosten eine Gumbel-Verteilungsfunktion unterstellt wird. Die erzeugten „present values“ (simulated liquidity and refinancing costs, yield=2.88, baseline=15000, exemplarisch Laufzeitband 2Y) korrespondieren bei gegebener Zero Curve und 1500 zufallsgenerierten Szenarien mit der Dichtefunktion in t Abb. 04. Die errechneten Barwerte für die „liquidity gaps“ lassen sich durch eine Gumbel- Verteilungsfunktion hinreichend modellieren (vgl.t Gleichung 01). Die Gumbel-Verteilungsfunktion (vgl. t Abb. 05) ist hinsichtlich der so genannten „location“ und der „scale“ parametrisierbar. Die „location“ entspricht dem Wert mit der höchsten Frequenz, während die „scales“ die Extrema bestimmen. Die Optimierung der Parameter erfolgt dabei mittels der Euler-Mascheroni-Konstante (vgl. t Gleichungen 02 a) bis d) Als Konfidenzniveau werden im vorliegenden Beispiel 95 Prozent festgelegt. Das Liquiditätsrisiko lässt sich für die gewählten Konfidenzintervalle aus der Gumbel- t Gleichung 01 −x−μ ß −e F() x = 1 −e , x∈R t Gleichung 02 ß = 6 σ% x π 6 n μ = MWx − y ∑ ( X ) i 1 i −MW = X nπ σ[ X] ≈ 1 n 2 ( x ) : i 1 i − MWX = σ = n −1∑ a) b) mit c) % d) 1 n E[ X] ≈ ∑ x : = MW i= 1 n i X t Gleichung 03 () μ ln ln( 1-x ) −1 F x = + ß − , x∈R ⎡⎣ ⎤⎦ t Tab. 01 LVaR (Konfidenzniveau 95%, 1-10 Jahre) LVaR (Konfidenz 95 %) Laufzeitband in TEUR 1 -753 2 -19425 3 -3775 4 -6034 5 -6919 6 -9909 7 -5853 8 -5480 9 -4307 10 -1525 Total -63987 Verteilung dann leicht mit t Gleichung 03 bestimmen. In t Tab. 01 sind die Ergebnisse zusammengefasst. Einsatz der Peak-over-threshold (POT) Methode zur Optimierung der Modellierung extrem seltener Ereignisse Um eine weitere Optimierung bei der Modellierung dieser selten auftretenden Ereignisse zu erzielen, wurde gleichfalls aus der Extremwerttheorie die Peak-overthreshold-Methode (vgl. t Abb. 06) über-
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