Exponentialfunktionen - Eigenschaften und Graphen

Exponentialfunktionen - Eigenschaften und Graphen
1. Taschengeld
Peter startet in wenigen Tagen zu einer zweiwöchigen Klassenfahrt. Seine Eltern
möchten ihm nach folgendem Plan Taschengeld mitgeben:
Für den ersten Tag 3 Euro, dann täglich 2 Euro mehr als am Tag vorher. Peter
überlegt kurz und macht einen scheinbar bescheidenen Gegenvorschlag: Für den
ersten Tag 3 Cent, dann täglich den doppelten Betrag des Vortages.
Was meinst du dazu?
2. Eigenschaften der Logarithmusfunktion
Logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form f(x) = log bx mit x ∈ ..........
und b ∈ .......... d.h. die Logarithmusfunktion ist nur für ............................ x-Werte
definiert: D = .............
(a) log bx ist diejenige reelle Zahl, mit der man b potenzieren muss, um x zu erhalten.
Damit ist die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Also gilt für den Wertebereich: W = .............
(b) Die Graphen der Logarithmusfunktionen f(x) = log bx mit b > 0 gehen alle
durch die Punkte P1 = (....;....) und P2 = (....;....).
(c) Die Graphen der Logarithmusfunktionen f(x) = log bx
• mit ............... sind streng monoton ...............;
• mit ............... sind streng monoton fallend.
(d) Der Graph der Logarithmusfunktion f(x) = log bx mit b > 0 hat die .... - Achse
als Asymptote.
1

Zeichne hier die Graphen von f(x) = 2 x und g(x) = log 2x
(e) FürdasRechnen mitLogarithmengeltendiefolgendenRegeln(u,v,a > 0; a =
1):
i. logb(u·v) = ........................
ii. logb( u)
= ........................
v
iii. logb(ur ) = ........................
(f) Beispiele für Anwendungen der Logarithmusfunktion in der Realität sind:
(g) Was ich sonst noch wichtig finde:
3. Nach der Reiskornlegende durfte der Erfinder des Schachspiels an den indischen
Herrscher Shihram, den das Spiel sehr erfreute, einen Wunsch richten. Er wünschte
sich, dass auf das erste Feld ein Reiskorn gelegt wird, auf das zweite doppelt so viele
2

Reiskörner wie auf das erste, auf das dritte doppelt so viele wie auf das zweite usw.
Zunächst lächelte der Herrscher über die Bescheidenheit dieses Wunsches, etwas
später wurde er sehr zornig.
(a) Vervollständige die nachstehende Tabelle:
Feld– Körner auf Feld Körner auf Brett
nummer als Zahl als 2–er Potenz als Zahl mit 2–er Potenz geschrieben
1
2
3
4
5
6
... ... ... ... ...
63
64
(b) Reis hat eine Dichte von etwa 1,39 g
cm 3. Zwanzig Reiskörner haben etwa eine
Masse von 1 Gramm.
DervierachsigeGüterwaggonUIC571–2hateineLängeüberPuffervon16,52m
und einen Laderaum vom Volumen 105m 3 .
Wie lang müsste ein Zug bestehend aus solchen Waggons sein, damit man den
gesamten Reis,der sichaufdemSchachbrett befindet, transportierenkann?Die
Länge der Lok darfst du vernachlässigen (eventuell wird eine Lok zum Ziehen
dieser Waggons nicht ausreichen).
(c) Wie lange müsstest du an einem beschrankten Bahnübergang warten, bis der
Zug vorbeigefahren ist, wenn du annimmst, dass der Zug mit einer konstanten
Geschwindigkeit von 100 km
h fährt?
Lösung: (a) Vervollständige die nachstehende Tabelle:
Feld– Körner auf Feld Körner auf Brett
nummer als Zahl als 2–er Potenz Zahl mit einer 2–er Potenz geschrieben
1 1 2 0 1 2 1 −1
2 2 2 1 3 2 2 −1
3 4 2 2 7 2 3 −1
4 8 2 3 15 2 4 −1
5 16 2 4 31 2 5 −1
6 32 2 5 63 2 6 −1
... ... ... ... ...
63 2 62 2 63 −1
64 2 63 2 64 −1
(b) Es befinden sich 264−1 = 18446744073709551615 Reiskörner auf dem Schachbrett.
Diese haben eine Masse von etwa m = 922337203685477kg.
Sie nehmen ein Volumen von V = m
̺ ≈ 663551945097m 3
Dafür brauchen wir 663551945097m3
105m 3
= 922337203685477kg
1,39·10 3 kg
m 3
= 6319542334 Waggons.
Diese haben eine Länge von 6319542334 ·16,52m ≈ 104398839km.
In Worten: Etwa 104 Millionen Kilometer!
3

(c) Am Bahnübergang muss man 104398839km
100 km ≈ 1043988h ≈ 119a warten.
h
Hinweis: Die Ergebnisse wurden mit einem Computeralgebra–System über alle Maßen
genau berechnet. Selbstverständlich können die Ergebnisse auch unter Verwendung von
10–er–Potenzen formuliert werden.
4. Deutungen der Koeffizienten der Exponentialfunktion
Einige Graphen der Funktion f mit f(x) = c · a x sind in der neben stehenden
Abbildung dargestellt:
(a) Was fällt auf?
4

(b) Beweise die Vermutung!
(c) Jetzt sei a = 2.
Wie ändert sich der Graph, wenn c verändert wird? Quelle: mathematik lehren
(1996), H. 75, S. 55-60
Lösung: (a) Es lassen sich eine Vielzahl von Eigenschaften angeben, u.a.:
(b)
• Spiegelt man den Graph von a x an der y-Achse, so erhält man den Graph von
( 1
a )x
• Für a > 1 steigt der Graph
• Für 0 < a < 1, fällt der Graph
• 1 x = 1; der Graph ist eine Parallele zur x-Achse
• der Graph schneidet die x-Achse in (0|1) bzw. in (0|c)
• die x-Achse ist Asymptote für Graphen mit a = 1
(c) f(x) = c · 2 x : c > 1 Streckung; 0 < c < 1 Stauchung; c < −1 Streckung und
Spiegelung an der x-Achse; −1 < c < 0 Stauchung und Spiegelung an der x-Achse
5. Eigenschaften der Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form f(x) = b x mit x ∈ ......... und
b ∈ ........., d.h. für den Definitionsbereich gilt: D = ..........
(a) Die Exponentialfunktion hat nur .................. Funktionswerte y, d.h. für den
Wertebereich gilt : W = ..........
(b) Die Graphen der Exponentialfunktionen f(x) = b x mit b > 0 gehen alle durch
die Punkte P1(....;....) und P2(....;....).
(c) Die Graphen der Exponentialfunktionen f(x) = b x
• mit .................. sind streng monoton ..................;
• mit .................. sind streng monoton fallend;
(d) Der Graph der Exponentialfunktion f(x) = b x mit b > 0 hat die .... - Achse
als Asymptote, das bedeutet ....................................................
5

Zeichne hier die Graphen von f(x) = 2 x und g(x) = ( 1
3 )x
(e) Die charakteristische Eigenschaft von exponentiellem Wachstum ist:
(f) Beispiele für exponentielle Prozesse in der Realität sind:
(g) Was ich sonst noch wichtig finde:
6

Lösung:
6. Eigenschaften der logarithmusfunktion
logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form f(x) = log bx mit x ∈ ..........
und b ∈ .......... d.h. die logarithmusfunktion ist nur für ............................ x-Werte
definiert: D = .............
(a) log bx ist diejenige reelle Zahl, mit der man b potenzieren muss, um x zu erhalten.
Damit ist die logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Also gilt für den Wertebereich: W = .............
(b) Die Graphen der logarithmusfunktionen f(x) = log bx mit b > 0 gehen alle
durch die Punkte P1 = (....;....) und P2 = (....;....).
(c) Die Graphen der logarithmusfunktionen f(x) = log bx
• mit ............... sind streng monoton ...............;
• mit ............... sind streng monoton fallend.
(d) Der Graph der logarithmusfunktion f(x) = log bx mit b > 0 hat die .... - Achse
als Asymptote.
Zeichne hier die Graphen von f(x) = 2 x und g(x) = log 2x
7

Lösung:
(e) Für das Rechnen mit logarithmen gelten die folgenden Regeln (u,v,a > 0; a =
1):
i. logb(u·v) = ........................
ii. logb( u)
= ........................
v
iii. logb(ur ) = ........................
(f) Beispiele für Anwendungen der logarithmusfunktion in der Realität sind:
(g) Was ich sonst noch wichtig finde:
7. Funktionsgleichungen bestimmen
Bestimme die Funktionsgleichungen zu den abgebildeten Graphen!
8

Lösung: (a) f(x) = 3 x
(b) f(x) = ( 1
2 )x
(c) f(x) = 2 x −3
(d) f(x) = ( 1
3 )x+2 oder f(x) = 1
9 ·(1
3 )x
(e) f(x) = 3·0,8 x
(f) f(x) = 4·2 x
1
8. Gegeben ist die Exponentialfunktion f : x ↦−→ ( 3 )x (x ∈R).
(a) Welche Funktion erhält man durch Spiegelung von Gf an der y-Achse?
(b) Zeichnen Sie den Graphen Gf und finden Sie aus der Zeichnung eine Nähe-
rungslösung der Gleichung (
1
3 )x = 6.
9

1 Lösung: y = ( 3 )−x , präziser Wert: −2lg6
lg3 ≈ −3,26
Lösung:
9. Gegeben ist die Exponentialfunktion f : x ↦→ 2·
3 x
2
(a) Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich von f an!
(b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für f für ganzzahlige x mit −3 ≤ x ≤ 3 und
zeichnen Sie damit den Graphen von f!
(c) WieerhältmanausdemGraphenvonfdenGraphenderUmkehrfunktiongvon
f? Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion g in das Koordinatensystem
von b) ein!
(d) Bestimmen Sie durch Rechnung die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion!
Geben Sie ihren Definitionsbereich und Wertebereich an!
10. (a) Erstellen Sie für die Funktion f(x) =
2 x
eine Wertetabelle im x-Intervall
3
[−4;3] und zeichnen Sie den Graphen von f in der Einheit 1cm!
(b) Wir betrachten jetzt die Funktion g(x) =
2 x+2−3.
Schreiben Sie in Worten
3
hin, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält! Zeichnen
Sie jetzt, ohne neue Werte zu berechnen, den Graphen von g in das schon
vorhandene Koordinatensystem!
(c) Fürwelchesxgiltg(x) = 0?DiegraphischgewonneneLösungsolldurchProbieren
mit dem Taschenrechner auf eine Genauigkeit von zwei Nachkommastellen
verbessert werden!
Lösung: (b) Verschiebung um 2 nach links und 3 nach unten. (c) x ≈ −4,71
11. (a) OrdnenSiedenabgebildetenFunktionsgraphenjeweilseinederfolgendenFunktionsgleichungen
zu:
a) y = 2x b) y = x−3 c) y = 3,5x d) y = x 2
3 e) y = x 3
2 f) y = x3 (b) Wie lautet die Umkehrfunktion zu f4? Zeichnen Sie den Graphen ein.
(c) Durch Spiegeln des Graphen von f3 an der y-Achse erhält man einen neuen
Funktionsgraphen. Geben Sie den Funktionsterm dazu an.
10

10
8
6
f2
..
...
4 .
.
..
. f4
2 .
.
.
.
. . . . . . .
. .... .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..
−6 −4 −2 2 4 6
f1...
..
...
.
.
.
.
f3
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . . . . . . . . .
Lösung: (a) Es gehört f3 zu a), f2 zu c) (beide sind Exponentialfunktionen), f1 gehört zu b)
(Potenzfunktion mit neg. Exponenten) und f4 zu d).
(b) y = x 3
2
(c) y = 2 −x
11