12.2.2011 Mathe Stoffsammlung ABI - Teil 1: Analysis Ableitung ...

Ableitung
Mathe Stoffsammlung ABI - Teil 1: Analysis
Funktion Ableitung
(c=const.)
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12.2.2011
Zum ableiten müssen die Funktionen allgemein an den entsprechenden Stellen
differenzierbar sein!
Weitere Ableitungen/Integrale siehe FS. S.62, 66f
Differenzierbarkeit
f ist differenzierbar an der Stelle , wenn f in stetig ist und
("Tangentensteigungsgrenzwerte")
Integral / Stammfunktion / Flächenfunktion
Definition: Jede differenzierbare Funktion F, deren Ableitung F' gleich
einer vorgegebenen Funktion f ist, heißt Stammfunktion von f.
Die Funktion F(b) gibt den Flächeninhalt unter der Kurve zu im
Intervall an.
Unbestimmtes Integral: (Menge d. Stammfunktionen)
Bestimmtes Integral:
Allgemein:
heißt Integralfunktion zum Integranden f mit der unteren
Grenze a
Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle für
Additivität:
Negative Integralwerte bei Flächenstücken Unterhalb der x-Achse =>
Verläuft der Graph der zu Integrierenden Funktion im gewählten Bereich
sowohl ober- wie auch unterhalb der x-Achse, muss man den Betrag der
Teilintegrale (zwischen den Nullstellen der Funktion) bilden.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI):

Ableitung der Integralfunktion = Integrand
Flächeninhalte zwischen Kurvenstücken:
Integriere die Differenzfunktion (ggf. Betrag!) zwischen den Schnittstellen
der Graphen und
Aufbau einer Kurvendiskussion
1. Symmetrie:
a. Punksymmetrie falls
b. Achsensymmetrie falls
2. Verhalten im Unendlichen:
positiv? negativ? Grenzwert?
3. Nullstellen ( )
4. Extrempunkte:
a.
b. 2. Ableitung
i. TIP
ii. HOP
5. Wendepunkte:
a.
b. 3. Ableitung
i. Wendepunkt
ii. Terassenpunkt
6. Monotonie:
Zwischen Extrempunkten (streng) monoton steigend/fallend?
Scheitelpunktsform einer Parabelgleichung
=> Scheitelpunkt
Umkehrfunktionen
Voraussetzung für Umkehrbarkeit: Eineindeutigkeit.
Jedem Element von wir genau ein Element aus zugeordnet => Die
Funktion ist streng monoton steigend.
Ist das nicht der Fall, muss so eingeschränkt werden, dass die Funktion
eineindeutig wird.
Allgemein gilt:
Aufstellen der Umkehrfunktion:
Nach x auflösen Der Form halber die Variablen
x und y vertauschen, so dass sich eine ergibt.
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1. Ableitung der Umkehrfunktion:
Logarithmus- und Exponentialfunktion
Basisumrechnung:
Der Logarithmus zur Basis e (ln) heißt natürlicher Logarithmus
Umkehrfunktion von : (Exponentialfunktion)
; die e-Funktion reproduziert sich beim Ableiten selbst
Rotationskörper
: Randfunktion des Rotationskörpers, Rotation um x-Achse. Bei
Rotation um y-Achse ->
Volumen des Rotationskörpers:
Partielle Integration
Produktregel: =>
=>
Uneigentliche Integrale
oder
Zwei Typen:
o Integrand (am Rand des Intervalls)
o Grenze ("lim")
Wenn Ergebnis oder nicht lösbar => "Existiert nicht"
Wenn Ergebnis => "konvergiert"
Ortslinie der Extrempunkte einer Parabelschaar
=> Extrempunkte in Abhängigkeit von a ( )
Extrempunkt in einsetzen => y-Wert des Tiefpunkts ( )
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Extrempunkt nach a auflösen ( ) und in einsetzen
Fertig!
Beispiel:
in :
in :
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