UEBUNG 4 (LOESUNG) --- DIGITALTECHNIK .pdf - its

Übung 4: Zahlensysteme
in
„Digitaltechnik“
WS 2008/09
Aufgabe 1
(a) Wie lässt sich allgemein eine n­stellige natürliche Zahl in einem
beliebigen Zahlensystem darstellen? Geben Sie jeweils für das
duale, dezimale bzw. hexadezimale Zahlensystem die Basis und den
Zeichenvorrat an!
( )
n−1
Z = CB = C B + C B + ... + CB + CB ; C= Faktor
B
∑
i=
0
i n−1 n−2
1 0
i n−1 n−2
1 0
2 1 0
( 174) = 1*10 + 7*10 + 4*10
10
Zahlensystem Basis Zeichenvorrat
Dezimal
Dual
Hexadezimal
Oktal
(b) Notieren Sie die folgenden Zahlen in verschiedenen
Zahlensystemen:
( 375 ) →( N) , ( N) ( 1001011)
→ ( N)
10 2 16 2 10
(375)10 (N)2
375 : 2 = 187
187 : 2 = 93
93 : 2 = 46
46 : 2 = 23
23 : 2 = 11
11 : 2 = 5
5 : 2 = 2
2 : 2 = 1
1 : 2 =0
Rest 1
Rest 1
Rest 1
Rest 0
Rest 1
Rest 1
Rest 1
Rest 0
Rest 1
10
2
16
8
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
0,1,2,3,4,5,6,7
B = Basis
Dezimal Dual (Binär)

(375)10 (N)16
163 = 4096 > 375 0
16 2 = 256

(1001011)2 (N)16
( 1001011)
⎛ ⎞
⎜0100 1011⎟= 4
⎜ ⎟
⎝ 4
B ⎠
2
( B)
(1001011)2 (4B)16
(1001011)2 (N)8
( 1001011)
⎛ ⎞
⎜001001011
= 113
⎜
⎟
⎝ 1 1 3 ⎠
2
( )
(1001011)2 (113)8
(17B)16 (N)2
1= 0 0 0 1
7= 0 1 1 1
B = 1 0 1 1
⇒ →
( 17B) ( 0001 0111 1011)
16 2
(10011010)2 (N)8
( 10011010)
⎛ ⎞
⎜1001 1010⎟= = 9
⎜ ⎟
⎝ 9
A ⎠
2
8
16
( N ) ( A)
16 16
Dual Hexadezimal
Dual Oktal
Hexadezimal Dual
Dual Hexadezimal

(c) Welcher Wertebereich positiver, ganzer Dualzahlen kann mit
einem Datenwort der Länge 4 Bit dargestellt werden? Welchen
Wertebereich erhält man, wenn ganze Dualzahlen dargestellt
werden sollen?
Verallgemeinern Sie auf N Bit lange Datenworte!
positive ganze Dualzahlen (4 – Bit)
Dual Dezimal
größter Wert 1111 15
Kleinster Wert 0000 0
N
N – Bit ⎡
⎣0,1,..., 2 −1⎤
⎦
a) Format mit Betrag & Vorzeichen
MSB(Most Significant Bit = höchstwertige Bit)
0 + ; 1
−
Dual Dezimal
größter Wert 0111 7
Kleinster Wert 1111 ‐7
b) MSB(Most Significant Bit = höchstwertige Bit)
0 + ; 1
−
positive Zahlen: Betrag
negative Zahlen: Zweierkomplement (ZK)
Dual Dezimal Dual Dezimal
0| 111 +7 1| 111 ‐1
0| 110 +6 1| 110 ‐2
0| 101 +5 1| 101 ‐3
0| 100 +4 1| 100 ‐4
0| 011 +3 1| 011 ‐5
0| 010 +2 1| 010 ‐6
0| 001 +1 1| 001 ‐7
0| 000 0 1| 000 ‐8
N−1 N−1
Wertebereich: N – Bit= ⎡− ( 2 ) ,..., + ( 2 −1)
⎤
⎣ ⎦
[ 0,1,...,14,15 ]
[ −7, − 6,..., + 6, +
7]

Eigenschaften des Komplementären Zahlenraums
N
ZK + Z = B N = Bitlänge; B = Basis; Z = Zahl
N
EK + Z = B − 1
Bildung Einerkomplement (EK)
Alle Stellen der Zahl werden invertiert 0101→ 1010( EK )
Bildung des Zweierkomplements (ZK)
EK + LSB ( LSB = Least Significant Bit)
ZK von 0101
( EK )
( LSB)
0101 1010
+ 0001
−−−−−−−−−−− −−−−−
oder : 0 1 0
→
1
1011
1 0 1 1
↓
( ZK )
1. Fange bei der rechten Stelle (niedrigstwertiges Bit) an.
2.
a. Wenn diese Stelle eine 0 ist, schreibe eine 0 und gehe zu Punkt 3;
b. Wenn diese Stelle eine 1 ist, schreibe eine 1 und gehe zu Punkt 4.
3. Gehe ein Zeichen nach links und wiederhole Punkt 2.
4. Invertiere alle restlichen Stellen bis zum höchstwertigen Bit.

Aufgabe 2
Führen Sie die folgenden Rechenoperationen durch:
a) (1100 0101)2 + (0110 0110)2
Format: positive 8bit­Dualzahlen
11000101
+
10110 10110
_______________________
1| 0 0 1 0 1 0 1 1
b) (1101)2 ⋅ (1011)2
Format: positive 4bit­Dualzahlen
1101 ________________________
⋅ 1011
1101
00 00
1101
1101
_________________________
1 1 1
10001111 c) 1) (00000111)2 − (00000100)2
00000111 |7
00000100 |4
0000010 ←0
000001←0 0
000001 0 0
Alles invertieren!!!
00000111 |7
+ ____________________________
11111100 | − 4
1|00000 01 1 |3
Falsche Überlagerung
⇒ 1111110 0 | − 4

2) (00000011)2 − (00000111)2
00000011 |3
00000111 |7
00000111
Alles invertieren!!!
00000011 |3
+ ___________________________
11111001 | −7
11111100 | −4
3) (01111111)2 − (11111111)2
01111111 |127
11111111 |255
11111111
Alles invertieren!!!
0 1 1 1 1 1 1 1 |127
+ 00000001 | − −1
⇒ 111110 01 | − 7
⇒ 00000001 |1
( )
______________________________
1 1 1 1 1 1 1
1000000 0
| −128