1.4M - Institut für Theoretische Physik der Universität Stuttgart

s-Wellen-Lösungen der
Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung
Diplomarbeit von
Markus Knapp
21.Februar.2005
Hauptberichter : Prof. Dr. Günter Wunner
Mitberichter : Prof. Dr. Hans-Rainer Trebin
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Stuttgart, den 21. Februar 2005 Markus Knapp

Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis v
Tabellenverzeichnis ix
1 Einführung 1
2 Theoretische Grundlagen 3
2.1 Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Die Newton-Schrödinger-Gleichungen nach Penrose . . . . 5
2.1.1.1 Gedankenexperiment zur Überlagerung von makroskopischen
Zuständen . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1.2 Energieunschärfe eines Überlagerungszuständes . 7
2.1.1.3 Aufstellen der Gleichungen . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Skizze der mathematischen Herleitung . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Die Newton-Schrödinger-Gleichung im Kontext nichtlinearer
Schrödinger-Gleichungen und der Bose-Einstein-
Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Einteilchen-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Natürliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Die sphärisch-symmetrischen Newton-Schrödinger-Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Skalierungseigenschaften der Gleichungen . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Einige spezielle Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4.1 Partikuläre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4.2 Gebundene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 Asymptotisches Verhalten für r −→ 0 . . . . . . . . . . . . 17
2.2.6 Asymptotisches Verhalten für r −→ ∞ . . . . . . . . . . . 18
2.3 Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichungen . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Aufstellen der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 20
2.3.2 Vereinfachung der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.1 Natürliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i

ii Inhaltsverzeichnis
2.3.2.2 Aufstellen der sphärisch-symmetrischen Zweiteilchen-Gleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Verallgemeinerung auf N-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Aufstellen der N-Teilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . 22
2.4.2 Vereinfachung der N-Teilchen-Gleichung . . . . . . . . . . 23
2.4.3 Skalierungseigenschaften der N-Teilchen-Gleichung . . . . 24
3 Numerische Verfahren 25
3.1 Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Normierung der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Ansatz über eine Bosonen-Wellenfunktion . . . . . . . . . 28
3.2.2 Ansatz über eine Produktwellenfunktion . . . . . . . . . . 30
3.2.2.1 Spezialfall: Zweiteilchen-Problem . . . . . . . . . 32
3.2.2.2 Lösung durch einen selbstkonsistenten Algorithmus 33
3.2.3 Ansatz einer (anti-)symmetrischen Wellenfunktion . . . . . 34
4 Zusammenfassung der Einteilchen-Ergebnisse 39
4.1 Lösungen der Einteilchen-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Darstellung der Energieeigenwerte in Form einer Rydbergserie . . 41
4.3 Einige ausgewählte Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 47
5.1 Ansatz über bosonische Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Zur Genauigkeit der erhaltenen Energieeigenwerte . . . . . 48
5.2 Ansatz über eine Produktwellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Das Zweiteilchen-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1.1 Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1.2 Einige ausgewählte Wellenfunktionen . . . . . . . 55
5.2.2 Das Dreiteilchen-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2.1 Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2.2 Einige ausgewählte Wellenfunktionen . . . . . . . 64
5.2.3 Zur Genauigkeit der erhaltenen Energieeigenwerte . . . . . 67
5.2.4 Ausblick: Das Zehnteilchen-Problem . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Ausblick: Unterschiedliche Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Kritik am Penroseschen Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Teilchenzahlabhängige Diskussion der verschiedenen Ergebnisse 77
6.1 Vergleich zwischen Einteilchen- und totalsymmetrischen
Mehrteilchen-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Vergleich zwischen den unsymmetrischen Wellenfunktionen . . . . 81

Inhaltsverzeichnis iii
6.3 Vergleich von totalsymmetrischen Ansatz mit unsymmetrischer
Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 Zusammenfassung 85
7.1 Ziele der Diplomarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Ergebnisse der Diplomarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A Hermitesche Operatoren 89
B Reihenentwicklung von ψ(r) und V (r) um r = 0 herum. 91
Literatur 97

iv Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis
2.1 Freies Teilchen: a) in der flachen Minkowski-Raum-Zeit und b) in
der gekrümmten Raum-Zeit der Allgemeinen Relativitätstheorie . 6
2.2 Schematischer Aufbau des Gedankenexperimentes . . . . . . . . . 6
2.3 Zur Überlagerung von verschiedenen Raum-Zeiten . . . . . . . . . 8
3.1 Grundzustandswellenfunktion der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung für verschiedene Startwerte für V0 . . . . . 26
3.2 Anpassung von E − const
r an die numerischen Werte von V (r) . . 27
3.3 A(r) und B(r) sowie Φ(r) für eine Kombination des 2. und 4.
angeregten Zustandes des Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Systems 33
3.4 Kombination des 4. und 5. angeregten Zustandes sowie das
Produkt beider Zustände der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Kombination des 7. und 8. angeregten Zustandes sowie das
Produkt beider Zustände der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 Effektive Quantenzahl νn in Abhängigkeit vom Anregungsgrad . . 43
4.2 Grundzustandswellenfunktion (n = 0) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Dritter angeregter Zustand (n = 3) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 10. angeregter Zustand (n = 10) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 30. angeregter Zustand (n = 30) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
v

vi Abbildungsverzeichnis
5.1 Energie des Grundzustandes und des 1. angeregten Zustandes
bei Kombination mit beliebiger anderer Wellenfunktion der
Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Energieserien der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . . 53
5.3 Energieserien der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
angepassten Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Einteilchenfunktion des 1. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Einteilchenfunktion des 8. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6 Einteilchenfunktion des 15. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.7 Einteilchenfunktion des 19. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.8 Einteilchenfunktion des 37. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.9 Einteilchenfunktion des 40. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.10 Einteilchenfunktion des 43. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.11 Einteilchenfunktion des 57. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.12 Einteilchenfunktion des 64. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.13 Energieserien der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
angepassten Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.14 Zum Grenzwert der Energieeigenwerte bei der Dreiteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.15 Einteilchenwellenfunktion zu k = 5 und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . 64
5.16 Einteilchenwellenfunktion zu k = 30 und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung . 65

Abbildungsverzeichnis vii
5.17 Kombination des 4., 5. und 6. angeregten Einteilchen-Zustandes
und zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-
Newton-Schrödinger-Gl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.18 Kombination des 1., 4. und 8. angeregten Einteilchen-Zustandes
und zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-
Newton-Schrödinger-Gl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.19 Kombination des 2., 6. und 8. angeregten Einteilchen-Zustandes
und zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-
Newton-Schrödinger-Gl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.20 Kombination des 6., 7. und 8. angeregten Einteilchen-Zustandes
und zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-
Newton-Schrödinger-Gl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.21 Zum Grenzwert der Energieeigenwerte der Zehnteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.22 Eine Energieserie der Zehnteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
mit angepasster Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1 2. angeregter Zustand einer totalsymmetrischen Wellenfunktion als
Lösung der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3
und 10 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 4. angeregter Zustand einer totalsymmetrischen Wellenfunktion als
Lösung der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3
und 10 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 8. angeregter Zustand einer totalsymmetrischen Wellenfunktion als
Lösung der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3
und 10 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Potential für eine totalsymmetrische Wellenfunktion als Lösung
der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1 Teilchen . . 80
6.5 Potentiale für eine totalsymmetrische Wellenfunktion als Lösung
der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1 und 3 Teilchen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.6 Potentiale für eine totalsymmetrische Wellenfunktion als Lösung
der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3 und 10
Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.7 Zu ψ01, ψ001 und ψ011 gehörender Einteilchen-Grundzustand und
zugehöriges Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.8 Zu ψ01, ψ001 und ψ0 9 1 gehörender Einteilchen-Grundzustand . . . 83
6.9 Zu ψ01, ψ001 und ψ 0 9 1 gehörender Einteilchen-1. angeregter Zustand 83

viii Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis
2.1 Lebensdauern ∆T bei Masse m und ” Abstand“ d . . . . . . . . . 9
2.2 Gravitative Rydbergenergie ERyd und gravitativer Bohrradius aB
für verschiedene Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Energieeigenwerte der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 40
4.2 Zur Genauigkeit der Energieeigenwerte der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Energieeigenwerte und zugehörige effektive Quantenzahl νn und
Quantendefekt µn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 Energieeigenwerte der Ein-, Zwei- und Zehnteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung für totalsymmetrische Wellenfunktionen . . 48
5.2 Energieeigenwerte der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung bei einem Produktansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Energieserie der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
ϕ2(r2) als Einteilchen-Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Energieserie der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
ϕ2(r2) als vierter angeregter Einteilchenzustand . . . . . . . . . . 52
5.5 Energieeigenwerte der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung bei einem Produktansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Energieserie der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
ϕ2(r2) und ϕ3(r3) als Einteilchen-Grundzustand . . . . . . . . . . 61
5.7 Energieserie der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
ϕ2(r2) als dritter und ϕ3(r3) als vierter angeregter Einteilchenzustand
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.8 Energieserie zu ϕ2, ϕ3 . . . ϕ10 als Grundzustand . . . . . . . . . . . 68
5.9 Energieeigenwerte der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung für m1 = m2 und 2m1 = m2. . . . . . . . . . . . . . . 71
5.10 Energieeigenwerte der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung für 3m1 = m2 und 4m1 = m2. . . . . . . . . . . . . . . 72
5.11 Energieeigenwerte für den Fall wechselwirkender Teilchen . . . . . 74
ix

x Tabellenverzeichnis

Kapitel 1
Einführung
Die Newton-Schrödinger-Gleichung ist die Grundgleichung einer von Penrose
[Penrose (1995)] aufgestellten nicht-relativistischen Theorie der Quantengravitation.
Penrose hat sie vorgeschlagen, um den quantenmechanischen Kollaps der Wellenfunktion
bei Messprozessen auf eine, im Normalfall vernachlässigbare, selbstgravitative
Wechselwirkung zurückzuführen. Die Newton-Schrödinger-Gleichung
ist vom Typ einer nichtlinearen Schrödinger-Gleichung, die bisher nur bruchstückhaft,
insbesondere für ein Teilchen, in der Literatur untersucht wurde. Sie steht
daher im Mittelpunkt wissenschaftlicher Anstrengungen im In- und Ausland.
Ziel dieser Arbeit ist es, die Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für verschiedene
Ansätze von Wellenfunktionen und verschiedene Teilchenzahlen, aber
stets im Rahmen der s-Wellen-Näherung zu lösen.
Dazu werden in Kapitel 2 zuerst einige Grundlagen zu den Einteilchen-
Gleichungen vorgestellt und ein Teil ihrer Eigenschaften diskutiert. Aus diesen
werden die Mehrteilchen-Gleichungen analog zu [Jones (1995)] aufgestellt und
deren Eigenschaften abgeleitet. In Kapitel 3 werden dann verschiedene Ansätze
für die Wellenfunktionen vorgestellt und mit diesen die Mehrteilchen-Gleichungen
für verschiedene Teilchenzahlen numerisch gelöst. Die dabei verwendeten Verfahren
werden ebenfalls in diesem Kapitel erläutert.
In Kapitel 4 wird, der Vollständigkeit halber, zuerst die Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung gelöst und es werden die Ergebnisse mit der Literatur
verglichen.
Das nächste Kapitel 5 bildet schließlich das Herzstück dieser Arbeit. In ihm
werden erstmals Energieigenwerte, Wellenfunktionen und zugehörige Potentiale
zur Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung präsentiert. In Kapitel 6 schließt
sich dann eine teilchenzahlabhängige Diskussion der Ergebnisse an.
In Kapitel 7 werden abschließend die erzielten Ergebnisse zusammengefasst und
es wird ein kleiner Ausblick auf mögliche weiterführende Arbeiten gegeben.
1

2 Kapitel 1. Einführung
In der gesamten Diplomarbeit werden folgende Konventionen verwendet:
• Vektoren werden fettgedruck dargestellt: → r ≡ r
• Bei Einteilchenfunktion bedeutet ϕi(n = 3, ri), dass die Wellenfunktion
ϕi(ri) den dritten angeregten Zustand, also n = 3 beschreibt
• Bei Mehrteilchen-Gesamtwellenfunktionen kennzeichnen die Indizes den
Zustand der Einteilchen-Wellenfunktionen, aus denen der Gesamtzustand
konstruiert wird. Es bedeutet zum Beispiel ψ01 bei einem Zweiteilchen-
Produktansatz
ψ01 = ϕ1(n1 = 0, r1) · ϕ2(n2 = 1, r2),
also eine Kombination aus dem Grundzustand und dem ersten angeregten
Zustand, oder bei einem Dreiteilchen-Produktansatz bedeutet ψ335
ψ335 = ϕ1(n1 = 3, r1) · ϕ2(n2 = 3, r2) · ϕ3(n3 = 5, r3),
also eine Kombination aus zwei dreifach angeregten und einem fünffach
angeregten Zustand.
• Bei großer Teilchenzahl gilt:
ψ00044448888888 ≡ ψ 0 3 4 4 8 7. (1.1)

Kapitel 2
Theoretische Grundlagen
In diesem Kapitel sollen die theoretischen Grundlagen für diese Arbeit bereitgestellt
werden. Nach einer kurzen Vorbetrachtung werden die Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichungen hergeleitet und diese dann auf zwei und schließlich auf
N Teilchen erweitert.
2.1 Vorbetrachtung
In der Quantenmechanik wird ein System durch eine, im Allgemeinen komplexe
Wellenfunktion ψ(r, t) beschrieben, deren Betragsquadrat
ρ(r, t) = |ψ(r, t)| 2
die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür darstellt, das System zur Zeit t am Ort r vorzufinden.
Die Wellenfunktion wiederum ist Lösung einer linearen und homogenen
partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit und zweiter Ordnung
in den Ortskoordinaten, der Schrödinger-Gleichung:
Dabei ist H(r, t) der Hamiltonoperator:
H(r, t)ψ(r, t) = i ∂
ψ(r, t). (2.1)
∂t
H(r, t) = − 2
∆ + V (r, t). (2.2)
2m
Im Normalfall und vor allem bei den folgenden Problemstellungen ist das
Potential zeitunabhängig. Dann ist es möglich, die stationäre, zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung aufzustellen. Dazu setzt man die Wellenfunktion in der
Form
iEt
−
ψ(r, t) = e ψ(r) (2.3)
3

4 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ein und erhält die stationäre
Schrödinger-Gleichung
H(r)ψ(r) = Eψ(r). (2.4)
Dies ist eine Eigenwertgleichung mit einem Satz von Eigenfunktionen {ψi(r)}
und den zugehörigen Energieeigenwerten Ei.
Die Bestimmung der Energieeigenwerte ist ein Beispiel für ein wichtiges und keineswegs
triviales Problem der Quantenmechanik: dem Messprozess. Dieser wird
im Allgemeinen durch solch eine Eigenwertgleichung dargestellt;
Â(x)ψ(x) = aψ(x). (2.5)
Dabei ist Â(r) ein hermitescher (d.h. selbstadjungierter) Operator: Â(r) =
 + (r). Eine sehr wichtige Eigenschaft eines hermiteschen Operators ist, dass
die Eigenwerte reell sind (siehe Anhang A).
Wie lässt sich der Messprozess quantenmechanisch verstehen? Führt man eine
Messung durch, kollabiert das System in einen Eigenzustand ψi(r) zu dem Operator
des Messprozesses. Dieser Kollaps lässt sich jedoch durch keinen unitären
Operator darstellen.
Um das Problem des Messprozesses zu lösen gibt es verschiedene Ansätze, auf die
im Folgenden eingegangen werden soll (vgl. [Penrose (1995)]).
• Die erste und bekannteste ist die Kopenhagen-Interpretation von Niels
Bohr. Nach dieser beschreibt die Wellenfunktion ψ(r, t) nicht das ganze
System, sondern nur unser begrenztes Wissen darüber.
Die Wellenfunktion ist hierbei eigentlich nur ein mathematisches Werkzeug,
welches uns in die Lage versetzt, zu berechnen, was passiert, wenn das System
mit einer klassischen Messapperatur in Kontakt gebracht wird. Der
Kollaps wird also von unserem beschränkten Wissen als ein nicht unitärer
Vorgang interpretiert, obwohl die Realität, die wir nicht wahrnehmen
können, sich eigentlich unitär entwickelt hat.
• Eng mit der Kopenhagen-Interpretation verwandt ist ein Ansatz, bei dem
über die Verschränkung mit der Umgebung argumentiert wird. Nach dieser
muss man das ” große Ganze“ sehen. Also nicht nur unser kleines System,
sondern auch die gesamte Umgebung, vorzugsweise das ganze Universum.
Der Zeitentwicklungsoperator dieses übergeordneten Systems ist dann zwar
unitär. Wenn man jedoch nur ein kleines Teilsystem betrachtet, hat es wieder
bei der Messung einen spontanen, also nicht unitären Kollaps in einen
Eigenzustand gegeben.
• Die ” Viele-Welten-Theorie 1 “ ist schließlich eine weitere Beschreibung, nach
der ein System immer in allen möglichen Zuständen vorliegt. Der Beobach-
1 oder auch Everett-Interpretation

2.1. Vorbetrachtung 5
ter ist nun eine Überlagerung von mehreren Beobachtern. Dieser übergeordnete
Beobachter sieht immer das gesamte System, während die einzelnen
untergeordneten Beobachter, wenn sie den Zustand messen, sich mit dem
System verschränken und dadurch nur noch einen Teil des Systems sehen,
eben den Eigenzustand in ihrer jeweiligen Realität.
• Demgegenüber steht die Theorie, dass sowohl der Kollaps der Wellenfunktion
als auch deren zeitliche Entwicklung Teile einer übergeordneten großen
Theorie sind. Da solch eine Theorie jedoch im Grenzfall in die uns bekannte
Quantenmechanik übergehen sollte, welche durch heutige Experimente 2
sehr gut überprüft werden kann, darf sich diese Vereinheitlichung nur durch
sehr kleine Korrekturen von der heutigen Quantenmechanik unterscheiden.
Insbesondere sollte diese Störung auch heute noch nicht experimentell überprüfbar
sein.
Wenn man sich heutige Experimente zur Quantenmechanik betrachtet,
dann liegt es nahe, die gravitative Wechselwirkung als Korrektur in Betracht
zu ziehen. Diese ist bei den Experimenten so klein, dass man sie
bisher noch nicht messen kann. Auf der anderen Seite lassen sich in makroskopischen
Systemen, bei denen Gravitation beobachtbar ist, auch noch
keine Quanteneffekte nachweisen.
Im Rahmen dieser Arbeit werden wir uns nun mit einer Theorie für die Quantengravitation
beschäftigen, welche ein möglicher Ansatz für eine Störung wäre, da
sie klein genug ist, um die bekannten und experimentell überprüfbaren Effekte
der Quantenmechanik nicht nachweisbar zu beieinflussen. Allerdings werden wir
dabei auf Schwierigkeiten stoßen, wenn wir versuchen, die Quantenmechanik mit
der Allgemeinen Relativitätstheorie zu vereinen.
2.1.1 Die Newton-Schrödinger-Gleichungen nach Penrose
Dies wird schon deutlich, wenn man die verschiedenen Interpretationen der Raum-
Zeit betrachtet. In der Quantenmechanik wird die Raum-Zeit als flach (minkowskisch)
vorausgesetzt, unabhängig von Massen, die sich in dieser Raum-Zeit
befinden (siehe Abbildung 2.1 a). Ein wesentliches Merkmal der Allgemeinen Relativitätstheorie
hingegen ist es, dass Massen die Raum-Zeit verkrümmen (siehe
Abbildung 2.1 b). Dies sollte dann auch auf die Wellenfunktion der Masse rückwirken.
In der Quantenmechanik wird das freie Teilchen, welches in der flachen Raum-
Zeit existiert, durch eine ebene Welle beschrieben, die im ganzen Raum eine
konstante Aufenthaltswahrscheinlichkeit hat. Ist jedoch die Raum-Zeit durch die
Masse des freien Teilchens gekrümmt 3 , wie es die Allgemeine Relativitätstheorie
2 Zum Beispiel das Doppelspaltexperiment.
3 Das Teilchen ist dann allerdings eben nicht mehr frei.

6 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
(a)
m
Abb. 2.1: Freies Teilchen: a) in der flachen Minkowski-Raum-Zeit und b) in der
gekrümmten Raum-Zeit der Allgemeinen Relativitätstheorie
fordert, sollte die Wellenfunktion lokalisiert werden, d.h. sie sollte eine höhere
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Umgebung des klassischen Ortes als weit
entfernt davon haben.
Um die damit zusammenhängenden prinzipiellen theoretischen Probleme zu veranschaulichen,
wollen wir ein Gedankenexperiment diskutieren, welches von Penrose
in [Penrose (1995)] und [Penrose (1998b)] vorgeschlagen wurde. Es beschäftigt
sich mit Überlagerungszuständen der Quantenmechanik im gekrümmten
Raum der Allgemeinen Relativitätstheorie.
2.1.1.1 Gedankenexperiment zur Überlagerung von makroskopischen
Zuständen
Photonenquelle
Photon
Spiegel
Detektor
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
m
(b)
Schieber
massives Objekt
Abb. 2.2: Schematischer Aufbau des Gedankenexperimentes
In Abbildung 2.2 ist dieses Gedankenexperiment zur Überlagerung von zwei Zu-

2.1. Vorbetrachtung 7
ständen eines massiven Objektes dargestellt. Ein Photon wird auf einen halbdurchlässigen
Spiegel geschickt. Wenn es nicht reflektiert wird, trifft es auf einen
Detektor und löst damit eine mechanische Vorrichtung (z.B. einen verschiebbaren
Stempel) aus, welche das Objekt um ein kleines Stück bewegt 4 . Dabei soll es
genau zwei Positionen geben, an denen sich der Stempel befinden kann. Da man
jedoch zwecks Schwerpunktserhaltung eine große Bezugsmasse braucht, tritt das
Problem auf, dass das Gravitationsfeld dieser Masse das des zu verschiebenden
Objektes bei weitem überwiegt. Man kann sich, der Einfachheit halber, das ganze
Experiment im Zentrum einer großen Hohlkugel aufgebaut vorstellen. Dort verschwindet
das Gravitationsfeld der Kugel und man kann die Gravitationseffekte
im Experiment beobachten.
Da sich das Objekt an den zwei möglichen Positionen in Ruhe befindet, kann
man davon ausgehen, dass die Gesamtenergie E des Systems jeweils gleich ist.
Das heißt die beiden Zustände sind Lösungen der Schrödinger-Gleichung
H|ψ1〉 = E|ψ1〉 und
H|ψ2〉 = E|ψ2〉.
Solange man noch keine Messung durchgeführt hat, befindet sich das System in
einem Überlagerungszustand der entarteten Zustände, also
|ψ〉 = c1|ψ1〉 + c2|ψ2〉. (2.6)
Hierbei tritt jedoch sofort ein Problem auf, wenn man zusätzlich die Gravitation
bzw. die Effekte der Allgemeine Relativitätstheorie berücksichtigt.
In der ART erzeugt jede Masse für sich eine eigene gekrümmte Raum-Zeit. Es
erweist sich dann aber als unmöglich, Punkte zweier verschiedener Raum-Zeiten
miteinander global zu identifizieren. Bei Überlagerung der beiden Zustände |ψ1〉
und |ψ2〉 werden daher automatisch auch zwei Raum-Zeiten miteinander überlagert
(Vergleich Abbildung 2.3). Neben der Frage, wie diese Überlagerung aus
zwei verschiedenen Raum-Zeiten aussieht, muss man sich auch noch überlegen:
Wie stabil ist ein derart präparierter Überlagerungszustand überhaupt, d.h. wie
groß ist seine Lebensdauer?
Diese Frage kann man auch auf eine andere zurückführen: Ist eine Zustandskonfiguration
instabil, hat also nur eine endliche Lebensdauer, dann hat sie auch
eine endliche Energieunschärfe. Wenn man also die Energieunschärfe bestimmen
kann, kann man auch die Lebensdauer abschätzen. Dies soll im folgenden Abschnitt
versucht werden.
2.1.1.2 Energieunschärfe eines Überlagerungszuständes
Da eine exakte Punktidentifikation zwischen zwei Raum-Zeiten in der Allgemeinen
Relativitätstheorie nicht möglich ist, muss man sich mit einer ungefähren
4 Dieses Experiment entspricht vom Prinzip her der Schrödinger-Katze.

8 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
g
m +
=
g´
Abb. 2.3: Zur Überlagerung von verschiedenen Raum-Zeiten
Abbildung behelfen. Dazu betrachtet man die Newtonsche Gravitation unter dem
Gesichtspunkt der Newton-Cartan-Raum-Zeit [Misner u. a. (1973)]. In dieser hat
man eine universelle Zeitkoordinate, die damit einfach zu identifizieren ist.
Um die Energieunschärfe abzuschätzen, führt Penrose in [Penrose (1995)] die
Punktidentifikation auf die lokalen Abweichungen ihrer Metriken zurück. Dazu
betrachtet er die Geodäten einer Testmasse. Diese geben die Freifallbeschleunigung
dieser Testmasse in einem identifizierten Punkt. Seien F 1 und F 2 die Kräfte
pro Masseeinheit in eben diesem Punkt in den beiden verschiedenen Raum-Zeiten.
Dann ist
1
G (F 1 − F 2) 2
m
(2.7)
eine skalare Größe und invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen.
Da es sich bei der Gravitation um ein konservatives Kraftfeld handelt, kann
man die Kräfte auch durch die jeweiligen Potentiale Φ1 und Φ2 ausdrücken. Dabei
gilt:
F 1 = −∇Φ1 bzw. F 2 = −∇Φ2. (2.8)
Um die Energieunschärfe ∆E abzuschätzen, wird der Skalar (2.7) über den dreidimensionalen
Raum bei konstanter Zeit integriert
∆E = 1
(∇Φ1 − ∇Φ2)
G
2 d 3 r
= 1
(∇Φ1 − ∇Φ2)(∇Φ1 − ∇Φ2)d
G
3 r (2.9)
= − 1
(Φ1 − Φ2)(∇
G
2 Φ1 − ∇ 2 Φ2)d 3 r.

2.1. Vorbetrachtung 9
m [kg] d [m] ∆T [s] Kommentar
10 −30 10 −10 10 25 Elektron mit d = aB
10 −27 10 −10 10 19 Nukleon mit d = aB
10 −18 10 −7 10 4 Wassertropfen mit r = 10 −7 m, berhrend
10 −12 10 −5 10 −6 Wassertropfen mit r = 10 −5 m, berhrend
Tab. 2.1: Lebensdauern ∆T bei Masse m und ” Abstand“ d
Verwendet man nun die gravitative Poisson-Gleichung 5
∆Φi = 4πGρi
(2.10)
mit den Massendichten ρi, dann gilt für die Energieunschärfe
∆E = (Φ1 − Φ2)(ρ1 − ρ2)d 3 r. (2.11)
Schreibt man noch die Poisson-Gleichung in integraler Form
Φi(r) = G
ρi(˜r)
|r − ˜r| d3˜r (2.12)
erhält man für (2.11)
(ρ1(r) − ρ2(r))(ρ1(˜r) − ρ2(˜r))
∆E =
d
|r − ˜r|
3 rd 3 ˜r. (2.13)
Diese Energieunschärfe entspricht also gerade der Wechselwirkungsenergie der
Differenz der Dichteverteilung in ihrem eigenen Gravitationsfeld. Mit der Energie-
Zeit-Unschärferelation
ist es nun möglich, die Lebensdauer
∆E∆T ≈ (2.14)
∆T = (ρ1(r)−ρ2(r))(ρ1(˜r)−ρ2(˜r))
d |r−˜r|
3 rd 3 ˜r
(2.15)
abzuschätzen. In Tabelle 2.1 sind einige Beispiele für die Lebensdauern dieser so
präparierten Zustände aufgeführt, wenn sich der Ort der Masse in den beiden
Raum-Zeiten der Eigenzustände um den Abstand d unterscheidet. Man erkennt,
dass die Entartung der Zustände schon kleiner Massen, wie zum Beispiel eines
Wassertropfens, nur eine Zeitspanne im Mikrosekundenbereich existiert, bevor
das System in einen Eigenzustand kollabiert.
Für die meisten makroskopischen Objekte ist also die Lebensdauer dieser Entartung
so klein, dass sie nicht mehr messbar ist.
5 Die Poisson-Gleichung ist ja bekanntlich der nicht-relativistische Grenzfall der
Einsteinschen-Feldgleichungen.

10 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.1.1.3 Aufstellen der Gleichungen
Es verbleibt noch die Frage, wie die Eigenzustände bzw. der Hamilton-Operator
einer zu dieser Problemstellung gehörenden Schrödinger-Gleichung aussehen. Diese
können offensichtlich nicht die üblichen Lösungen eines freien Teilchens der
nicht-relativistischen Quantenmechanik sein. Wir haben bereits festgestellt, dass
sich die Energieunschärfe eines Überlagerungszustandes aus zwei Metriken über
die gravitative Selbstwechselwirkung einer Dichteverteilung annähern lässt. Also
liegt es nahe, die potentielle Energie im Hamilton-Operator (2.2)
H(r, t) = − 2
∆ + V (r, t)
2m
durch das Gravitationspotential (2.12) zu ersetzen, welches aus der gravitativen
Poisson-Gleichung (2.10) stammt. Dabei geht man üblicherweise davon aus, dass
die Dichte bei einer Punktmasse m eine Diracsche Deltafunktion ist.
ρ(r) = mδ(r − r0) (2.16)
Um die Rückwirkung der Krümmung der Raum-Zeit durch die Massen zu inkorporieren,
hat Penrose vorgeschlagen, die Massendichte über die quantenmechanische
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
ρ(r) = m|ψ(r)| 2
(2.17)
zu berechnen. Damit sind die Eigenzustände die Lösungen eines Systems von zwei
Differentialgleichungen, welches man die Newton-Schrödinger-Gleichungen
nennt:
bzw. in integraler Form
Eψ(r) = − 2
∆ + mΦ(r) ψ(r) und
2m
(2.18)
∆Φ(r) = −4πGm|ψ(r)| 2
(2.19)
2 ∆ψ(r) =
2m
−E − Gm 2
′ 2 |ψ(r )|
|r − r ′ | d3r ′
ψ(r). (2.20)
Dieser Ansatz berücksichtigt die Rückwirkung der Krümmung der Raum-Zeit
durch die Massen auf deren Eigenzustände. Formal ist dies eine nichtlineare
Schrödinger-Gleichung, in der das Teilchen ein Potential sieht, welches sich aus
seiner Aufenthaltswahrscheinlichkeit ergibt 6 .
6 Dies ist im Sinne der Hartree-Näherung der Vielteilchen-Quantenmechanik zu verstehen, wo
ein herausgegriffenes Teilchen das über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit aller anderen Teilchen
gemittelte Potential sieht.

2.1. Vorbetrachtung 11
2.1.2 Skizze der mathematischen Herleitung
Man kann die Newton-Schrödinger-Gleichungen auch als Grenzfall einer Quantisierung
der Newton-Cartan-Raum-Zeit aus der Variation des Wirkungsfunktionals
herleiten [Christian (1997)]:
I = dt d 3
1 2
r Φ∆Φ +
8πG 2m δij∂iΨ∂jΨ+ i
2 (Ψ∂tΨ
− Ψ∂tΨ) − mΨΨΦ . (2.21)
Variation nach dem skalaren Potential Φ ergibt
∆Φ = 4πG
< ψ|ψ > mψψ∗ . (2.22)
Falls die Wellenfunktionen normiert sind, gilt außerdem < ψ|ψ >= 1. Damit
entspricht Gleichung (2.22) der Poisson-Gleichung (2.18). Auf der anderen Seite
liefert die Variation nach dem Materiefeld Ψ die Schrödinger-Gleichung
i∂tψ = − 2
∆ + mΦ ψ (2.23)
2m
mit einem externen Gravitationspotential Φ, welche der Gleichung (2.19) entspricht.
Die vollständige Herleitung der einzelnen Gleichungen würde den Rahmen
dieser Arbeit sprengen.
2.1.3 Die Newton-Schrödinger-Gleichung im Kontext
nichtlinearer Schrödinger-Gleichungen und der
Bose-Einstein-Kondensation
Betrachten wir die integrale Form der Newton-Schrödinger-Gleichung (2.20). Diese
ist Teil einer Klasse nichtlinearer Schrödinger-Gleichungen der Form
2
∆ψ(r) = −E + K(r, r
2m ′ )|ψ(r ′ )| 2 d 3 r ′
ψ(r). (2.24)
mit dem Integralkern
Wenn man jedoch statt dessen K durch
KNSG(r, r ′ ) = − Gm2
|r − r ′ . (2.25)
|
KBEC(r, r ′ ) = gδ(r − r ′ ) (2.26)

12 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
ersetzt, erhält man die Gross-Pitaevskii-Gleichung der Bose-Einstein-
Kondensation, falls das in der folgenden Gleichung (2.27) zusätzlich auftretende
externe Potential Vext(r) = 0 ist:
− 2
2m ∆ + Vext(r) − g|ψ(r)| 2
ψ(r) = i ∂
ψ(r)
∂t
(2.27)
Ein weiterer wichtiger Integralkern K ist
KBEC,dipolar(r, r ′ P2
2
) = 2d
n r−r′
|r−r ′
|
|r − r ′ | 3
(2.28)
(dabei ist P2 ein Legendre-Polynom 2.Ordnung). Dieser wurde kürzlich für den
Fall von Bose-Einstein-Kondensation in dipolaren Gasen untersucht [Santos u. a.
(2000)].
Vergleichen wir die drei verschiedenen Funktionen K, dann stellen wir fest, dass
es sich bei KBEC um einen Kontaktterm, bei KNSG um einen Monopolterm und
bei KBEC,dipolar um eine Dipolterm handelt. Die Newton-Schrödinger-Gleichung
würde somit ein Bose-Kondensat mit Coulombscher Wechselwirkung beschreiben.
Wenn wir also später das N-Teilchenproblem betrachten, liegt es nahe, uns
dies für die Mehrteilchenwellenfunktion zu Nutze zu machen und eine Bosonen-
Wellenfunktion als ersten Ansatz zu wählen.
2.2 Einteilchen-Gleichungen
Hier werden die im vorigen Kapitel aufgestellten Newton-Schrödinger-
Gleichungen soweit vereinfacht, dass es möglich ist, diese, wenn auch nicht analytisch,
so doch wenigstens numerisch zu lösen. Dazu werden zuerst neue Einheiten
gewählt um die Gleichungen in eine dimensionslose Form zu bringen, und
schließlich nur noch radialsymmetrische Lösungen, also s-Wellen betrachtet. Dann
werden einige analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung betrachtet.
Dazu gehören spezielle Lösungen sowie das Verhalten der Funktionen
für r −→ 0 und r −→ ∞.
2.2.1 Natürliche Einheiten
Um die Newton-Schrödinger-Gleichungen dimensionslos zu machen, führen wir,
analog zum quantenmechanischem Wasserstoffproblem, natürliche Energie- und
Längeneinheiten
˜E = E
ERyd
˜r = r
aB

2.2. Einteilchen-Gleichungen 13
ein. Dabei ist ERyd die ” gravitative Rydbergenergie“
und aB der ” gravitative Bohrradius“
ERyd = 1
2 α2 Gmc 2
wobei αG die ” gravitative Feinstrukturkonstante“
(2.29)
aB =
, (2.30)
mcαG
αG = Gm2
c
(2.31)
ist. Die Wahl von αG wird im späteren Verlauf des Kapitels noch plausibel werden.
Vorerst kann man mit der Analogie zwischen Elektrodynamik und Gra-
vitation argumentieren, bei der einfach in der Poisson-Gleichung 1
4πɛ0 durch
G und die Ladungsdichte durch die Massendichte ersetzt werden. Dabei ist
−11 Nm2
G = 6, 6726 · 10 kg2 die Gravitationskonstante und = 1, 054573 · 10−34 Js
das Plancksche Wirkungsquantum [Vogel (1999)]. Damit man eine etwas genauere
Vorstellung von der Größenordnung von gravitativen Rydbergenergien und
Bohrradien hat, sind in Tabelle 2.2 einige Beispiele aufgeführt, die veranschaulichen
sollen, in welchen Bereichen sich die berechneten Größen befinden, wenn die
Masse m z.B. der Elektronenmasse me oder der Protonenmasse mp oder einfach
einem Kilogramm entspricht.
me mP m = 1 kg
ERyd 7, 8354 · 10 −85 eV 1, 6353 · 10 −68 eV 2, 0014 · 10 47 J
aB 2.2049 · 10 32 m 3, 5618 · 10 22 m 1, 6667 · 10 −58 m
Tab. 2.2: Gravitative Rydbergenergie ERyd und gravitativer Bohrradius aB für
verschiedene Massen
Damit ergeben sich dann die Ersetzungsregeln
∆r = 1
a2 ∆˜r
B
d 3 r = a 3 Bd3˜r ψ(r) = 1
a 3
2
B
ψ(˜r).
Setzen wir dies in Gleichung (2.20) ein, erhalten wir:
2 2
2a 2 B α2 G m2 c 2 ∆˜rψ(˜r) =
− ˜ E − 2Gm2
aBα 2 G mc2
|ψ(˜r ′ )| 2
|˜r − ˜r ′ | d3 ˜r ′
. (2.32)

14 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Die linke Seite von Gleichung (2.32) vereinfacht sich, wenn wir den gravitativen
Bohrradius einsetzen, zu:
2 2
2a 2 B α2 G m2 c 2 ∆˜rψ(˜r) = 22 m 2 c 2 α 2 G
2 2 α 2 G m2 c 2 ∆˜rψ(˜r) = ∆˜rψ(˜r).
Die rechte Seite von Gleichung (2.32) wollen wir nun noch einmal genauer anschauen.
Vor allem wollen wir zeigen, dass die Wahl der gravitativen Feinstrukturkonstante
in Gleichung (2.31) sinnvoll ist. Dazu setzen wir den Vorfaktor vor
dem Integral
2Gm3cαG α2 = 2
Gmc2 und bestätigen die vermutete Feinstrukturkonstante
αG = Gm2
c .
Der Einfachheit halber werden wir im Folgenden alle ∼ weglassen. Dies bedeutet,
dass ∆ ≡ ∆r = ∆˜r, r = ˜r und E = ˜ E gilt. Damit geht die integrale Newton-
Schrödinger Gleichung (2.20) in die dimensionslose Form
′ 2 |ψ(r )|
∆ψ(r) = −E − 2
|r − r ′ | d3r ′
ψ(r) (2.33)
über. Man kann natürlich auch die beiden Gleichungen (2.18) und (2.19) auf
dieselbe Art dimensionslos machen, was zu
führt.
∆ψ(r) = (Φ(r) − E)ψ(r) (2.34)
∆Φ(r) = −8π|ψ(r)| 2
(2.35)
2.2.2 Die sphärisch-symmetrischen Newton-Schrödinger-
Gleichungen
Da sich diese Arbeit darauf beschränkt, die Mehrteilchen-Gleichungen in der
s-Wellen-Näherung zu behandeln und außerdem bisherige Arbeiten über die
Einteilchen-Gleichungen sich beinahe ausschließlich auf radialsymmetrische Probleme
beschränkt haben 7 (siehe hierzu [Epple (2003)] oder [Moroz u. a. (1998)]),
werden in diesem Abschnitt die bisherigen drei-dimensionalen Gleichungen (2.34)
7 Es gibt zwar einen Ansatz für eine axialsymmetrische Einteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung [Harrison u. a. (2003)] und auch dazugehörige numerische Lösungen, jedoch gibt es
bisher noch keine Versuche, ein System ohne Symmetrien zu behandeln.

2.2. Einteilchen-Gleichungen 15
und (2.35) zu sphärisch-symmetrischen Gleichungen vereinfacht. Dabei gilt für
den Laplace-Operator
2 ∂ 2 ∂
∆r −→ +
∂r2 r ∂r
und somit für die Gleichungen (2.34) und (2.35)
2 ∂ 2 ∂
+ ψ(r) = (Φ(r) − E)ψ(r) (2.36)
∂r2 r ∂r
2 ∂ 2 ∂
+ Φ(r) = −8π|ψ(r)|
∂r2 r ∂r
2 . (2.37)
Eine letzte Vereinfachung ergibt sich, wenn man
V (r) ≡ E − Φ(r)
definiert. Damit schreiben sich dann die Gleichungen (2.36) und (2.37) als:
2 ∂ 2 ∂
+ ψ(r) = −V (r)ψ(r) (2.38)
∂r2 r ∂r
2 ∂ 2 ∂
+ V (r) = −8π|ψ(r)|
∂r2 r ∂r
2 . (2.39)
Diese beiden Differentialgleichungen können nun numerisch, beispielsweise mittels
eines einfachen Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung gelöst werden, was in
[Epple (2003)] oder [Moroz u. a. (1998)] bzw. [Harrison u. a. (2003)] bereits geschehen
ist.
Im Rahmen dieser Diplomarbeit werden diese Ergebnisse überprüft, bestätigt und
erweitert (siehe Kapitel 4).
Eine etwas andere Herangehensweise, die jedoch auf Grund des deutlich höheren
Speicherbedarfs nicht ganz so genau ist, verwendet einen selbstkonsistenten
Algorithmus und löst direkt die Gleichung (2.33)
∆ψ(r) =
−E − 8π
∞
0
ψ(r ′ )| 2
|r − r ′ | r′2 dr ′
ψ(r). (2.40)
Dieses Verfahren wird in der späteren Behandlung des Zweiteilchen-Problems die
Methode der Wahl sein, um es zu lösen. Deshalb sei für eine nähere Betrachtung
auf Kapitel 3.2 verwiesen.
2.2.3 Skalierungseigenschaften der Gleichungen
Betrachten wir Gleichung (2.20) 8 und setzen eine mit einem Faktor 1
λ skalierte
Wellenfunktion
˜ψ(r) = 1
ψ(r) (2.41)
λ
8 Es würde auch völlig reichen, die vereinfachte Form zu betrachten, jedoch können die Skalierungseigenschaften
auch für den allgemeinen Fall gezeigt werden.

16 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
in diese ein. Dann erhalten wir
λ 2
2m ∆ ˜
ψ(r) = −E − Gm 2
2 λ | ψ(r ˜ ′ 2 )|
|r − r ′ | d3r ′
λψ(r). (2.42)
Wenn man nun auf beiden Seiten den Faktor λ kürzt, sieht man, dass immer noch
im Integral λ 2 übrig bleibt. Wir verwenden eine Umskalierung für den Ortsvektor
der Form
˜r = 1
µ r (2.43)
und setzen diese in die um λ gekürzte Gleichung (2.42) ein, :
1
µ 2
2 2m ∆˜r ˜
ψ(˜r) = −E − Gm 2
2 λ | ψ(˜r ˜ ′ 2 )|
µ|˜r − ˜r ′ | µ3d 3 ˜r ′
ψ(˜r).
Multiplikation von µ 2 und Einführung der Energie ˜ E = µ 2 E liefert
2
2m ∆˜r ˜ ψ(˜r) =
− ˜ E − Gm 2
4 2 µ λ | ψ(˜r ˜ ′ 2 )|
|˜r − ˜r ′ |
d 3 ˜r ′
ψ(˜r). (2.44)
Wählt man λ = 1
µ 2 , ist Gleichung (2.44) forminvariant zur Newton-Schrödinger-
Gleichung (2.33). Man sieht also, dass die Skalierungen
˜ψ = µ 2 ψ,
˜Φ = µ 2 Φ bzw. ˜ V = µ 2 V und (2.45)
˜r = 1
µ r
die Newton-Schrödinger-Gleichung forminvariant lassen. Diese Eigenschaft kann
später genutzt werden, um numerisch bestimmte nichtnormierte Lösungen in normierte
Lösungen zu transformieren.
2.2.4 Einige spezielle Lösungen
2.2.4.1 Partikuläre Lösungen
Es existieren partikuläre Lösungen der Gleichungen (2.38) und (2.39), deren einfachste
die triviale
ψ(r) = 0 und (2.46)
V (r) = const (2.47)

2.2. Einteilchen-Gleichungen 17
ist, welche allerdings physikalisch uninteressant ist. Ebenfalls lösen
ψ(r) ∼ ± 1
und (2.48)
r2 V (r) ∼ − 1
r2 (2.49)
das System. Diese divergieren allerdings für r → 0 quadratisch und sind somit
nicht mehr normierbar, also ebenfalls nicht interessant.
2.2.4.2 Gebundene Lösungen
Es existiert eine in [Moroz u. Tod (1999)] gefundene Familie von gebundenen Lösungen.
Diese verhalten sich, wie man es von Lösungen der Schrödinger-Gleichung
erwartet. Es existiert ein Grundzustand für eine minimale Energie E0 ohne Nullstellen
der Wellenfunktion und höhere angeregte Zustände En mit n ∈ N, die n
Nullstellen haben. Allerdings ist die Eindeutigkeit dieser Lösungen bisher noch
nicht analytisch nachgewiesen.
Die Energieeigenwerte streben für n −→ ∞ streng monoton gegen Null.
2.2.5 Asymptotisches Verhalten für r −→ 0
Besonders interessant ist es, die Ableitung der Wellenfunktion für r −→ 0 zu
betrachten. Diese wird für die spätere numerische Lösung des Problems noch als
Startwert benötigt. Da es sich stets um radialsymmetrische Probleme handelt,
muss immer gelten:
ψ(x, 0, 0) = ψ(−x, 0, 0).
Dies gilt natürlich auch unabhängig für die anderen kartesischen Koordinaten.
Daraus folgt dann direkt, dass auch die Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten
∂
ψ(xi = 0) = 0
∂xi
sein müssen. Und damit folgt automatisch für die Radialkoordinate
∂
ψ(r = 0) = 0. (2.50)
∂r
Die gleiche Argumentation gilt für das radialsymmetrische Potential. Es gilt also
für die Ableitung des Potentials an der Stelle r = 0:
∂
Φ(r = 0) = 0. (2.51)
∂r

18 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Bleibt noch das Verhalten der Funktionen an sich für r −→ 0. Dazu kann man
die Funktionen um Null herum in eine Taylorreihe entwickeln. Dies führt dann
nach einer längeren Rechnung (siehe Anhang B) und für
zu
ψ(r = 0) = ψ0 = const und (2.52)
V (r = 0) = V0 = const
ψ(r) = ψ0 − 1
6 V0ψ0r 2 + 1
120 (8πψ3 0 + V 2
0 ψ0)r 4 + O(r 6 ) (2.53)
V (r) = V0 − 8π
6 ψ2 0 r2 + 8π
60 V0ψ 2 0 r4 + O(r 6 ). (2.54)
Für kleine r fallen also beide Funktionen proportional zu −r 2 .
2.2.6 Asymptotisches Verhalten für r −→ ∞
Nachdem nun der Grenzfall r −→ 0 betrachtet wurde, fehlt noch das Verhalten
der Lösungen für den anderen Grenzfall r −→ ∞. Dieser ist insbesondere bei den
später verwendeten selbstkonsistenten Verfahren wichtig, da bei diesen zwischendurch
immer wieder Potentiale berechnet werden müssen. Wenn diese dann auf
Grund der numerischen Ungenauigkeit ab einem bestimmten Radius divergieren,
sorgt dies dafür, dass der Algorithmus instabil wird.
Um dieses Verhalten zu untersuchen, müssen zuerst die Gleichungen (2.38) und
(2.39) integriert werden [Hartmann (1999)]
∂rψ(r) = − 1
r 2
∂rV (r) = − 1
r 2
Eine weitere Integration liefert dann:
r
ψ(r) = ψ0 −
Wenn man nun (2.58) in
V (r) = V0 −
V (r) = V0 −
r
0
r
0
r
r
0
′2 ψ(r ′ )V (r ′ )dr ′
(2.55)
r
r
0
′2 |ψ(r ′ )| 2 dr ′ . (2.56)
r ′ − r′2
r
r ′ − r′2
r
umformt, sieht man, dass für das Potential gilt:
0
ψ(r ′ )V (r ′ )dr ′
(2.57)
|ψ(r ′ )| 2 dr ′ . (2.58)
r ′ |ψ(r ′ )| 2 dr ′ + 1
r
r
r 0
′2 |ψ(r ′ )| 2 dr ′
(2.59)
V (r) r→∞
−→ A + B
. (2.60)
r

2.3. Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichungen 19
Setzt man dies mit V (r) ≡ A in Gleichung (2.38) ein, erhält man sofort das
asymptotische Verhalten von ψ(r):
ψ(r) r→∞
−→ κ
r e−√ |A|r . (2.61)
Das exakte asymptotische Verhalten von ψ(r) erhält man allerdings nur, wenn
man das Potential nicht als konstant, sondern als V (r) = A + B
einsetzt. Dies
r
führt dann auf eine Coulomb-Wellenfunktion [Friedrich (1990)]:
ψn,l(r) = 1
l+1 (n − l − 1)! 2r
L
n aB(n + l)! naB
2l+1
2r
r
− na
n−l−1 e B , (2.62)
naB
wobei n die Hauptquantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und L ein Laguerrepolynom
ist. Für ein radialsymmetrisches Problem gilt l = 0 und damit vereinfacht
sich die Wellenfunktion zu
ψn,l=0(r) = 1
1 (n − 1)! 2r
L
n n!aB naB
1
2r
r
− na
n−1 e B . (2.63)
naB
Doch in unserem Fall genügt es, von Gleichung (2.61) auszugehen, und damit von
einem exponentiellen Abfall der Wellenfunktion für r → ∞.
2.3 Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichungen
Nachdem das Einteilchen-Problem als Vorarbeit ausführlich behandelt wurde,
wollen wir uns nun dem Zweiteilchen-Problem widmen. Zwar wäre es prinzipiell
möglich, sofort die N-Teilchen-Gleichungen aufzustellen, da sich ein Großteil der
numerischen Ergebnisse jedoch auf die Zweiteilchen-Gleichungen beziehen, werden
diese noch gesondert betrachtet.
Dazu stellen wir zuerst die unsymmetrischen Zweiteilchen-Gleichungen auf und
werden diese dann analog zu den vorhergehenden Kapiteln vereinfachen. In Kapitel
3 werden wir sehen, dass, wie bereits erwähnt, die direkte Integration der
beiden Gleichungen nicht problemlos zum Ziel führt. Vielmehr werden wir dann
ein selbstkonsistentes Verfahren verwenden, um die ineinander eingesetzten Gleichungen
zu lösen.

20 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.3.1 Aufstellen der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung
Die Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung lauten nach [Penrose (1998a)] 9 ,
wenn wir von wechselwirkungsfreien 10 Teilchen ausgehen:
− 2 2
∆r1 − ∆r2
2m1 2m2
+ m1Φ(r1)
+ m2Φ(r2) ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2)
(2.64)
∆Φ(r) = −4πG m1 |ψ(r, r2)| 2 d 3
r2 + m2 |ψ(r1, r)| 2 d 3
r1 . (2.65)
Anstelle von Gleichung (2.65) kann man auch wieder vom Potential in integraler
Form ausgehen
|ψ(r1, r2)|
Φ(r) = −G m1
2
|r − r1| d3r1d 3 r2
|ψ(r1, r2)|
+ m2
2
|r − r2| d3r1d 3
r2 . (2.66)
Setzt man dies in Gleichung (2.64) erhält man:
+m2
− 2
2m1
|ψ(r ′ 1, r ′ 2)| 2
∆r1 − 2
|r1 − r ′ 2| d3r ′ 1d 3 r ′ 2
′ |ψ(r 1, r ′ 2)| 2
+ m2
m1
|ψ(r ′ 1, r ′ 2)| 2
∆r2 − Gm1
2m2
′ |ψ(r 1, r
− Gm2 m1
′ 2)| 2
ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2).
|r2 − r ′ 2| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2
|r1 − r ′ 1| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2
|r2 − r ′ 1| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2 (2.67)
2.3.2 Vereinfachung der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Eine erste und sehr wichtige Näherung ist die Annahme, dass beide Massen gleich
groß sind. Dann können die Zwei-Teilchen-Gleichungen analog zur Einteilchen-
Gleichung durch Wahl geeigneter Einheiten dimensionslos gemacht werden. Es
gilt also im Weiteren:
m1 = m2 ≡ m. (2.68)
Schließlich werden auch wieder die radialsymmetrischen Gleichungen aufgestellt.
9 http://cgpg.gravity.psu.edu/online/Html/Seminars/Fall1998/Penrose/
10 Ein Vorschlag, eine Wechselwirkung zwischen den Massen zu berücksichtigen wird in Ka-
pitel 5.4 vorgestellt.

2.3. Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichungen 21
2.3.2.1 Natürliche Einheiten
Es werden die natürlichen Energie- und Längeneinheiten
˜E = E
ERyd
˜r = r
aB
eingeführt und in Gleichung (2.67) eingesetzt. Auch hier werden der Übersichtlichkeit
halber die ∼ weggelassen. Dies führt auf die Integro-Differentialgleichung:
+
|ψ(r ′ 1, r ′ 2)| 2
(−∆r1 − ∆r2 − 2
− 2
|r1 − r ′ 2| d3r ′ 1d 3 r ′ 2
′ |ψ(r 1, r ′ 2)| 2
+
|r2 − r ′ 2| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2
|ψ(r ′ 1, r ′ 2)| 2
|r1 − r ′ 1| d3r ′ 1d 3 r ′ 2
′ |ψ(r 1, r ′ 2)| 2
|r2 − r ′ 1| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2 (2.69)
ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2).
Analog zu Gleichung (2.69) kann man auch die Gleichungen (2.64) und (2.65) in
dimensionsloser Form darstellen:
(−∆r1 − ∆r2 + Φ(r1) + Φ(r2)) ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2)
(2.70)
∆Φ(r) = −8π |ψ(r, r2)| 2 d 3
r2 + |ψ(r1, r)| 2 d 3
r1 . (2.71)
2.3.2.2 Aufstellen der sphärisch-symmetrischen Zweiteilchen-
Gleichung
Wir untersuchen das System in s-Wellen-Näherung. Daraus folgt dann zwangsläufig,
dass auch das Potential radialsymmetrisch ist.
Dabei gilt für den radialen Anteil der Laplace-Operatoren die gleiche Beziehung
wie beim Einteilchenproblem:
∆ri −→
∂ 2
∂r 2 i
+ 2
Damit schreibt sich Gleichung (2.69) als
2 ∂
Eψ(r1, r2) = −
∂r2 +
1
2
2
∂ ∂
−
r1 ∂r1 ∂r2 +
2
2
∂
r2 ∂r2
−32π 2
′ |ψ(r 1 , r ′ 2 )|2
′ |ψ(r 1 , r ′ 2 )|2
−32π 2
|r1 − r ′ 1| r′ 1
2 ′ 2 ′
r 2 dr 1dr ′ 2 +
′ |ψ(r 1 , r ′ 2 )|2
|r2 − r ′ 1 | r′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′ 2 +
ri
∂
∂ri
.
|r1 − r ′ 2| r′ 1
2 ′ 2 ′
r 2 dr 1dr ′ 2
′ |ψ(r 1 , r ′ 2 )|2
|r2 − r ′ 2 | r′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′ 2
(2.72)
ψ(r1, r2),

22 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
wobei
Φ(r) = −32π 2
′ |ψ(r 1 , r ′ 2 )|2
+
|r − r ′ 1| r′ 1
2 ′ 2 ′
r 2 dr 1dr ′ 2
′ |ψ(r 1 , r ′ 2 )|2
|r − r ′ 2| r′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′ 2
(2.73)
das dimensionslose radialsymmetrische Zweiteilchen-Potential ist. Die Gleichungen
(2.70) und (2.71) vereinfachen sich zu
2 ∂
−
∂r2 1
+ 2
2
∂ ∂
−
r1 ∂r1
∂r 2 2
+ 2
2 ∂ 2 ∂
+ Φ(r) = −32π
∂r2 r ∂r
2
r2
∂
∂r2
+ Φ(r1) + Φ(r2) ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2)
|ψ(r, r2)| 2 r2 2 dr2 +
|ψ(r1, r)| 2 r1 2 dr1
.
(2.74)
(2.75)
Diese Gleichungen lassen sich für spezielle Ansätze für die Wellenfunktion
ψ(r1, r2) noch weiter vereinfachen. Näheres hierzu findet sich in Kapitel 3.
2.4 Verallgemeinerung auf N-Teilchen
Nachdem nun die Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung als Spezialfall
für die Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung behandelt wurden, wird
jetzt die allgemeinen N-Teilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung betrachtet. Diese
wird wie in den vorhergehenden Abschnitten zuerst aufgestellt und dann vereinfacht.
Abschließend werden noch die Skalierungseigenschaften (2.45) auf N
Teilchen verallgemeinert.
2.4.1 Aufstellen der N-Teilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung
Die N-Teilchen-Newton-Schrödinger-Gleichungen lauten:
N
i=1
−4πG
− 2
∆ri + miΦ(ri)
2mi
N
i=1
mi
ψ(r1, r2, . . . , rN) = Eψ(r1, r2, . . . , rN) (2.76)
∆Φ(r) =
|ψ(r1, r2, . . . ri−1, r, ri+1, . . . , rN)| 2 d 3 r1 . . . d 3 ri−1d 3 ri+1 . . . d 3 rN
(2.77)

2.4. Verallgemeinerung auf N-Teilchen 23
Man kann wieder statt Gleichung (2.77) auch das Potential direkt ausgeben:
N
Φ(r) = −G
i=1
mi
|ψ(r1, r2, . . . , rN)| 2
d
|r − ri|
3 r1d 3 r2 . . . d 3
rN . (2.78)
Setzt man dies in Gleichung (2.76) ein, erhält man eine einzige zu lösende Integro-
Differential-Gleichung:
−Gmi
N
j=1
N
−
i=1
2
∆ri
2mi
′ |ψ(r 1, r
mj
′ 2, . . . , r ′ N)| 2
d 3 r ′ 1d 3 r ′ 2 . . . d 3 r ′ N
|ri − r ′ j|
ψ(r1, r2, . . . , rN) = Eψ(r1, r2, . . . , rN).
2.4.2 Vereinfachung der N-Teilchen-Gleichung
(2.79)
Analog zur Zweiteilchen-Gleichung wird als erste Vereinfachung davon ausgegangen,
dass es sich um Teilchen gleicher Masse handelt, also
m1 = m2 = . . . = mN ≡ m
gilt. Dann werden wieder dimensionslose Energie- und Längeneinheiten eingeführt
und die radialsymmetrischen Gleichungen aufgestellt. Dies führt auf
N
i=1
−
∂ 2
∂r 2 i
+ 2
ri
∂
∂ri
2 ∂ 2 ∂
+ Φ(r) = −2(4π)
∂r2 r ∂r
N
N
Für das Potential gilt dann
+ Φ(ri)
ψ(r1, r2, . . . , rN) = Eψ(r1, r2, . . . , rN)
i=1
|ψ(r1, r2, . . . ri−1, r, ri+1, . . . , rN)| 2
r1 2 . . . ri−1 2 ri+1 2 . . . rN 2 dr1 . . . dri−1dri+1 . . . drN
Φ(r) = −2(4π) N
N
|ψ(r1, r2, . . . , rN)| 2
|r − ri|
i=1
r 2 1 r2 2 . . . r2 N dr1dr2 . . . drN
(2.80)
. (2.81)
. (2.82)
Man kann noch die Gleichung (2.82) in Gleichung (2.80) einsetzen, was dann
zu einer einzigen dimensionslosen Gleichung führt. Da dies jedoch keine neuen
Erkenntnisse liefert und auch später nicht benötigt wird, sparen wir uns das an
dieser Stelle.

24 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.4.3 Skalierungseigenschaften der N-Teilchen-Gleichung
Bereits in Kapitel 2.2.3 wurde eine Forminvarianz für spezielle Skalierungen der
Einteilchen-Gleichung diskutiert. Diese werden nun für die N-Teilchen-Gleichung
erweitert. Dazu betrachten wir Gleichung (2.79) und skalieren die Wellenfunktion
mit einem Faktor 1
λ
sowie die Ortsvektoren mit einem Faktor 1
µ
˜ψ = 1
ψ (2.83)
λ
˜ri = 1
µ ri. (2.84)
Kürzen von λ, Multiplikation von µ 2 und Einführung einer skalierten Energie
˜E = µ 2 E liefert dann
−Gmi
N
j=1
Wählt man also
mj
N
i=1
− 2
∆˜ri
2mi
µ 2 |λ2ψ(˜r ˜ ′
1 , ˜r ′ 2 , . . . , ˜r′ N )|2
µ|˜ri − ˜r ′ j |
µ 3N d 3 ˜r ′ 1d 3 ˜r ′ 2 . . . d 3 ˜r ′ N
˜ψ(˜r1, ˜r2, . . . , ˜rN) = ˜ E ˜ ψ(˜r1, ˜r2, . . . , ˜rN).
λ =
1
µ 3N+1
(2.85)
(2.86)
so ist Gleichung (2.85) forminvariant mit Gleichung (2.79). Allgemein kann man
also sagen, dass die Skalierungen
˜ψ = µ 3N+1 ψ
˜Φ = µ 2 Φ und (2.87)
˜r = 1
µ r
die N-Teilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung forminvariant lassen. Dies entspricht
für N = 1 genau der bereits gefundenen Skalierung für die Einteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung in Gleichung (2.45). Eine Verallgemeinerung der
Skalierungseigenschaften der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung ist in
dieser Form in der Literatur unseres Wissens nach noch nicht zu finden.

Kapitel 3
Numerische Verfahren
In den folgenden Kapiteln werden die verschiedenen numerischen Verfahren beschrieben,
die verwendet wurden, um die einzelnen radialsymmetrischen Probleme
zu lösen. Zuerst wird, um die bereits aus [Epple (2003)] und [Harrison u. a.
(2003)] bekannten Ergebnisse zu überprüfen, aber auch um eine Referenz für die
eigenen neuen Ergebnisse zu haben, das Einteilchen-Problem behandelt. Dann
werden verschiedene Ansätze des Zwei- bzw. Mehrteilchenproblems untersucht.
3.1 Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Bei der Behandlung des Einteilchen-Problems wurden die Gleichungen
2 ∂ 2 ∂
+ ψ(r) = −V (r)ψ(r) (3.1)
∂r2 r ∂r
2 ∂ 2 ∂
+ V (r) = −8π|ψ(r)|
∂r2 r ∂r
2
(3.2)
direkt mittels eines Runge-Kutta Verfahrens 4. Ordnung mit adaptiver Schrittweite
gelöst, welches von den Gnu-Scientific-Libraries, kurz GSL-Bibliotheken 1 ,
bereitgestellt wurde.
Da auf Grund der Radialsymmetrie (siehe Kapitel 2.2.5) die Ableitungen der Wellenfunktion
ψ ′ (r) und des Potentials V ′ (r) an der Stelle r = 0 verschwinden und
man auf Grund der Skalierungsfreiheit (2.45) den Startwert der Wellenfunktion
ψ(r) frei wählen kann, muss man nur noch einen einzigen Startwert, den für das
Potential V (r) suchen. Dabei muss noch beachtet werden, dass der radialsymmetrische
Laplace-Operator für r −→ 0 divergiert, weshalb man nicht direkt bei
r = 0 starten kann. Ein Startwert von r = 10 −19 [aB] ist jedoch so dicht an der
Null, dass man den dadurch entstehenden Fehler ohne Probleme vernachlässigen
kann.
1 siehe http://www.gnu.org/software/gsl/
25

26 Kapitel 3. Numerische Verfahren
Bei der Suche nach dem Startwert für das Potential tritt nun das Problem auf,
dass man numerisch den Wert von V0 nicht auf beliebig viele Stellen genau bestimmen
kann. Sei der exakte Startwert für V (r = 0) = V0. Oberhalb dieses Wertes
divergiert die Wellenfunktion ab einem bestimmten Radius nach +∞. Unterhalb
dieses Wertes divergiert sie nach −∞, und je näher der Startwert an V0 herankommt,
desto später tritt diese Divergenz auf. In Abbildung 3.1 ist dies für
den Grundzustand dargestellt. Bei der Wellenfunktion, die als erstes divergiert,
stimmt V0 hierbei nur in den ersten drei Stellen mit dem vom Programm errechneten
Wert überein, die nächste dann in den ersten vier Stellen und so weiter.
Bei der letzten Funktion wurde dann der Wert maximal möglicher Genauigkeit
verwendet. Dies waren zwölf Stellen.
Dieses Verhalten kann man sich zu Nutze machen, um V0 zu suchen. Mit einem
einfachen Intervallschachtelungsverfahren nähert man sich immer mehr dem
eigentlichen V0, bis eine akzeptable Genauigkeit erreicht ist, indem man für den
n-ten angeregten Zustand nach dem Wert für V0 sucht, bei dem der Wechsel von n
nach n+1 Nullstellen stattfindet. Die Bestimmung der Energieniveaus kann dann
ψ(r)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 10 20 30 40
r [aB ]
50 60 70 80
Abb. 3.1: Grundzustandswellenfunktion der Einteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung für verschiedene Startwerte für V0. Mit wachsender Genauigkeit von
V0 wurde die numerisch bedingte Divergenz zu immer größeren Radien hinausgeschoben.
durch eine Anpassung an das numerisch ermittelte Potential gewonnen werden
(In Abbildung 3.2 ist dies für den 4. angeregten Zustand dargestellt.). Allgemein

3.1. Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 27
V(r)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
numerisch ermitteltes Potential
an den Abfall angepasste asymptotische Form
0 20 40 60 80 100
r [aB ]
Abb. 3.2: Anpassung von E − const
r
gilt für die numerisch ermittelten Werte
an die numerischen Werte von V (r)
V (r) = E − Φ(r).
Gemäß Kapitel 2.2.6 geht das Potential für große r in sein asymptotisches Verhalten
V (r) = E − const
r
über. Durch eine Anpassung solch einer Funktion an die numerischen Daten ist
es also möglich, den Energieeigenwert E zu bestimmen
3.1.1 Normierung der Lösungen
Wenn man die beiden Gleichungen (2.38) und (2.39) numerisch gelöst hat, müssen
die erhaltenen Lösungen noch normiert werden. Da es sich bei der Newton-
Schrödinger-Gleichung jedoch nicht um eine lineare Differentialgleichung handelt,
ist es nicht ganz so einfach, die Wellenfunktion zu normieren. In Kapitel 2.2.3
haben wir die Skalierungseigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung betrachtet.
Um die Skalierung explizit so zu bestimmen, dass die Wellenfunktionen
normiert sind, gehen wir von der Normierungsbedingung
| ˜ ψ(˜r)| 2 d 3 ˜r = 1 (3.3)

28 Kapitel 3. Numerische Verfahren
aus. Ersetzt man wieder ˜r und ˜ ψ, erhält man
1
Damit ergibt sich dann für
µ =
=
=µ
!
=1.
1
|ψ(r)|2
λ2 µ 3 d3r (3.4)
µ 4 2 1
|ψ(r)|
|ψ(r)| 2 d 3 r
µ 3 d3 r
1
|ψ(r)| 2 3 ≡
d r 1
. (3.5)
ψ2 Wenn man also die numerisch berechneten Größen betrachten will, muss man
immer berücksichtigen, dass man diese noch umskalieren bzw. normieren muss,
und zwar wie folgt:
˜ψ = 1
ψ
ψ4 ˜V = 1
V
ψ4 ˜E = 1
E (3.6)
ψ4 ˜r = ψ 2 r.
3.2 Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung
3.2.1 Ansatz über eine Bosonen-Wellenfunktion
Wie bereits in Abschnitt 2.1.3 erläutert, existiert eine gewisse Verwandschaft
zwischen dem Bose-Einstein-Kondensat und der Newton-Schrödinger-Gleichung.
Dies nützen wir aus, indem wir als ersten Ansatz für eine Lösung der Newton-
Schrödinger-Gleichungen ψ(r1, r2, . . . , rn) eine Produktwellenfunktion der Form
ψ(r1, r2, . . . , rN) =
N
ϕ(ri) (3.7)
wählen. Dabei soll es sich bei den Funktionen ϕ(ri) bereits um normierte Funktionen
handeln. Es gilt also:
|ϕ(r)| 2 d 3 r = 1. (3.8)
i=1

3.2. Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 29
Setzt man diesen Ansatz in die Mehrteilchen-Gleichung (2.79) ein, erhält man
N
N −Gm
Multiplikation mit
j=1
mj
i=1
− 2
2m ∆ri
N 2
| j=1 ϕ(ri)|
|ri − r ′ j|
N
ϕ(ri) = E
i=1
liefert N Einteilchen-Gleichungen
wobei gilt:
d3 r ′ 1d 3 r ′ 2 . . . d 3 r ′ N
N
ϕ(ri).
i=1
(3.9)
N i=1 ϕ(ri)
−1 und Abseperation der einzelnen Koordinaten
− 2
∆ri + mΦ(ri)
2m
ϕ(ri) = Eiϕ(ri), (3.10)
N
Ei = E. (3.11)
i=1
Betrachten wir einmal das Potential etwas genauer. Dieses hat für den Ansatz
(3.7) die Form
N
N 2
| j=1 ϕ(ri)|
Φ(r) = −G m
|r − ri|
i=1
d 3 r1d 3 r2 . . . d 3 rN
. (3.12)
Da es sich bei ϕ(ri) um normierte Lösungen handelt, vereinfacht sich das Potential
zu
′ 2 |ϕ(r )|
Φ(r) = −GNm
|r − r ′ | d3r ′ . (3.13)
Einsetzen von Gleichung (3.13) in Gleichung (3.10) liefert
− 2
∆ri − GNm2
2m
′ 2 |ϕ(r )|
|ri − r ′ | d3r ′
ϕ(ri) = Eiϕ(ri), (3.14)
was, bis auf den Faktor N im Potentialterm, der bereits bekannten Einteilchen-
Gleichung 2.20 entspricht. Durch geschickte Wahl der Einheiten sollte es also
möglich sein, dieses Problem direkt auf die Lösungen des Einteilchen-Problems
zurückzuführen. Dazu werden wieder natürliche Einheiten eingeführt, wobei wir
die gravitative Feinstrukturkonstante αG dieses Mal jedoch offen lassen
−∆ri − 2GNm3cαG α2 Gmc2 ′ 2 |ϕ(r )|
|r − r ′ | d3r ′
ϕ(ri) = ˜ Eiϕ(ri). (3.15)

30 Kapitel 3. Numerische Verfahren
Wählt man nun
αG = NGm2
c = NαG,Einteilchen, (3.16)
entspricht Gleichung (3.15) exakt dem Einteilchen-Problem (2.33). Damit entsprechen
formal auch die Wellenfunktionen und Energieeigenwerte denen des
Einteilchen-Problems. Der einzige Unterschied ist, dass die gravitative Feinstrukturkonstante
eine andere ist, was natürlich Auswirkungen auf die Rydbergenergie,
den Bohrradius und damit auch auf die Wellenfunktionen hat:
ERyd = 1
2 α2 Gmc 2 = N 2 ERyd,Einteilchen
aB =
αGmc
ϕ(r) = 1
a 3
2
B
= 1
N aB,Einteilchen
ϕ(˜r) = N 3
2 ϕEinteilchen(r).
(3.17)
Bei diesem Problem kann also genau wie beim Einteilchenproblem vorgegangen
werden, indem man die Gleichungen (3.1) und (3.2) mittels eines adaptiven
Runge-Kutta Verfahrens 4. Ordnung löst. Dies führt dann numerisch zu den gleichen
Energieeigenwerten, jedoch müssen diese noch durch die Zahl der Teilchen
modifiziert werden. Dabei gilt nach Gleichungen (3.11) und (3.17)
E = N 3 EEinteilchen. (3.18)
Ebenfalls muss beim Betrachten der Wellenfunktionen immer die Skalierung
(3.17) berücksichtigt werden, was auch bei diesen etwas andere Ergebnisse zur
Folge hat.
3.2.2 Ansatz über eine Produktwellenfunktion
Der nächste Schritt, um zu einer etwas allgemeineren Lösung zu kommen, ist es,
eine Produktwellenfunktion anzusetzen, bei der nicht mehr alle Einteilchenfunktionen
gleich sein müssen:
ψ(r1, r2, . . . , rN) =
N
ϕi(ri). (3.19)
Auch hier gehen wir davon aus, dass jede der Einzelfunktionen für sich schon
normiert ist
|ϕi(r)| 2 d 3 r = 1. (3.20)
i=1

3.2. Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 31
Setzen wir den Ansatz (3.19) in die Gleichungen (2.80), (2.81) und in das Potential
(2.82) ein, können wir wieder durch Abseparation der einzelnen Koordinaten N
radialsymmetrische Gleichungen aufstellen, die wir einzeln lösen können.
−
2 ∂
∂r2 +
i
2
∂
ri ∂ri
2
N
∂ 2 ∂
+ Φ(r) = −8π |ϕi(r)|
∂r2 r ∂r
i=1
2
N
|ϕi(ri)|
Φ(r) = −8π
2
|r − ri| r2 i dri
+ Φ(ri) ϕi(ri) = Eiϕi(ri) (3.21)
i=1
(3.22)
(3.23)
Eine Möglichkeit ist, die ersten beiden Gleichungen (3.21) und (3.22) wieder numerisch
zu lösen. Dies hat sich jedoch als äußerst instabil erwiesen. Probleme
hierbei ergeben sich aus der adaptiven Schrittweite. Es hat sich bei der Lösung
der Gleichung (3.22) gezeigt, dass man sämtliche Wellenfunktionen immer für
die gleichen Stützstellen kennen muss, wenn man die Differentialgleichung mittels
eines Runge-Kutta-Verfahrens lösen will. Diese kann man zwar prinizipiell
aus den bekannten Stützstellen interpolieren, jedoch ist der Rechenaufwand hierfür
so hoch, dass die numerische Bestimmung nicht innerhalb akzeptabler Zeiten
durchführbar ist. Ein weiteres Problem war, dass das Potential nur bis auf eine
additive Konstante bestimmt werden kann, wenn man es durch die Gleichung
(3.22) berechnet. Auf Grund dieser Instabilität wurde ein anderer Weg eingeschlagen
und das Potential direkt über die Gleichung (3.23) bestimmt.
Um dies numerisch realisieren zu können, entwickelt man das Potential nach Kugelflächenfunktionen.
Es gilt [Fließbach (2000)]
1
= 4π
|r − ri|
∞
l
l=0 m=−l
1
2l + 1
r l <
r l+1
>
Y ∗
lm (Ω1)Ylm(Ω2). (3.24)
Hier sind r> und r< die größere bzw. kleinere der beiden Radiuskoordinaten r und
ri. Da wir ein radialsymmetrisches Problem betrachten, dürfen keine Winkelanteile
hinzukommen, und da die Kugelflächenfunktionen ein Orthonormalsystem
bilden, dürfen nur winkelunabhängige Funktionen in die Entwicklung mit einflie-
ßen, also nur Y00 = 1
√ 4π . Es überlebt also im Integral aus Gleichung (3.23) von
1
|r−ri|
1
nur der Term . Damit kann man das Potential (3.23) umschreiben zu
r>
N
1
Φ(r) = −8π
r
i=1
r
|ϕi(ri)|
0
2 r 2 i dri
∞
+
r
|ϕi(ri)| 2
ri
r 2 i dri
. (3.25)
Da wir das Problem für s-Wellen lösen, ist diese Umformung exakt und keine
Näherung.

32 Kapitel 3. Numerische Verfahren
3.2.2.1 Spezialfall: Zweiteilchen-Problem
Zuerst machen wir einen Produktansatz für die Zweiteilchen-Wellenfunktion
ψ(r1, r2) = ϕ1(r1)ϕ2(r2), (3.26)
welcher in die Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung eingesetzt wird:
2 ∂
−
∂r2 +
1
2
∂
+ Φ(r1) ϕ1(r1) = E1ϕ1(r1)
r1 ∂r1
2 ∂
−
∂r
(3.27)
2 +
2
2
∂
+ Φ(r2) ϕ2(r2) = E2ϕ2(r2)
r2 ∂r2
1
Φ(r) = −8π
r
(3.28)
r
|ϕ1(r1)|
0
2 r 2 1dr1 r
+ |ϕ2(r2)|
0
2 r 2 2dr2
+
∞
|ϕ1(r1)| 2 ∞
r1dr1 + |ϕ(r2)| 2
r2dr2
. (3.29)
Man kann das Potential auch in der Form
schreiben, mit
r
A(r) = 8π
r
0
Φ(r) = A(r)
r
r
+ B(r) (3.30)
|ϕ1(r1)| 2 r 2 1dr1 r
+ |ϕ2(r2)|
0
2 r 2 2dr2 ∞
und B(r) = 8π
∞
|ϕ1(r1)| 2 r1dr1 +
r
r
|ϕ(r2)| 2 r2dr2
(3.31)
. (3.32)
Dies entspricht dem in Gleichung 2.60 hergeleiteten asymptotischen Verhalten des
Potentials für r −→ ∞. In Abbildung 3.3 ist der Verlauf der beiden Funktionen
A(r) und B(r) für eine Kombination des 2. und 4. Zustandes dargestellt. Man
sieht hier schon sehr gut, dass B(r) für r −→ ∞ verschwindet (Nulllinie ist
gestrichelt eingezeichnet) und A(r) in eine Konstante A0 überrgeht. Damit nimmt
dann das Potential für große r seine asymptotische Form
Φ(r) = − A0
r
an (vgl. Abschnitt 2.2.6 2 ). Man erkennt allerdings auch, dass die Funktionen
A(r) und B(r) für kleine r einige Stufen aufweisen. Diese treten immer dann
auf, wenn die Wellenfunktionen durch Nullstellen gehen, weil sich dann in diesen
Bereichen die Integrale der Funktionen A(r) und B(r) kaum ändern. Dies hat
auch Auswirkungen auf den Verlauf des Potentials, welches zwar nicht so stark
ausgeprägte, aber immer noch deutliche Stufen besitzt.
Im folgenden Kapitel diskutieren wir nun die numerische Lösung der Gleichungen
(3.27), (3.28) und (3.29).
2 In Abschnitt 2.2.6 wurde natürlich der Grenzfall r −→ ∞ für V (r) = E − Φ(r) betrachtet.

3.2. Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 33
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-0.12
-0.14
-0.16
A(r)
B(r)
Φ(r)
0 50 100 150 200
r [a B ]
Abb. 3.3: A(r) und B(r) sowie Φ(r) für eine Kombination des 2. und 4. angeregten
Zustandes des Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Systems
3.2.2.2 Lösung durch einen selbstkonsistenten Algorithmus
Das selbstkonsistente Verfahren, welches in dieser Arbeit verwendet wurde, entspricht
mehr oder weniger dem Hartree-Verfahren. Dabei werden zuerst die Gleichungen
(3.27) und (3.28) für ein vorgegebens Potential Φ(r) gelöst. Dies kann
im Prinzip wie beim Einteilchenproblem geschehen. Es werden Startwerte für die
Wellenfunktionen und deren Ableitungen vorgegeben. Auch hier verschwinden
die Ableitungen für r = 0, es gilt also ϕ ′ (r = 0) = 0. Die andere Startbedingung
ϕi(r = 0) = 1 kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit vorgegeben werden,
da die numerisch erhaltenen Wellenfunktionen im Folgenden sowieso normiert
werden müssen. Haben wir jedoch beim Einteilchen-Problem Startwerte für das
Potential gesucht, suchen wir nun Startwerte für die Energieeigenwerte. Auch hier
gilt natürlich die Einschränkung, dass eine exakte Lösung numerisch unmöglich
ist.
Unterhalb des exakten Wertes divergiert die Wellenfunktion ab einem bestimmten
Radius nach +∞, oberhalb des Wertes nach −∞. Dies kann man sich zu
Nutze machen, um sich mittels einer Intervallschachtelung dem exakten Wert
anzunähern. Auf diese Weise kann man die Schrödinger-Gleichung mittels eines
Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung lösen.
Das Problem der Divergenz der Wellenfunktion für große r wird umgangen, in-

34 Kapitel 3. Numerische Verfahren
dem ab einem bestimmten Radius die Wellenfunktion durch einen exponentiellen
Abfall der Form
ψ = Ce −λr
(3.33)
angenähert wird. Dies ist möglich, da in Kapitel 2.2.6 gezeigt wurde, dass die
Wellenfunktion für große r exponentiell abfällt.
Die so bestimmten Wellenfunktionen werden noch normiert und dann wird aus
ihnen über Gleichung (3.29) ein neues Potential bestimmt. Dieses wird dann
wieder in die Gleichungen (3.27) und (3.28) eingesetzt. Dann werden diese wieder
neu gelöst, die Wellenfunktionen normiert und so weiter, bis zur Konvergenz der
Wellenfunktion und des Potentials.
Bei diesem Verfahren treten allerdings einige Probleme auf:
i. Das erste Problem ist, dass man kein adaptives Runge-Kutta-Verfahren anwenden
kann. Es ist zwar prinzipiell möglich, aus den adaptiven Stützstellen
jeden Wert der Wellenfunktion für beliebige Radien zu interpolieren, jedoch
benötigt dies deutlich mehr Zeit, als wenn man das Problem von vorneherein
mit einer konstanten Schrittweite von ∆r angeht (bei unseren Rechnungen
wurde minimal ∆r = 5 · 10 −5 [aB] gewählt).
ii. Das zweite Problem ist, dass man die Werte des Potentials zwischenspeichern
muss. Im verwendeten Algorithmus wurde dies realisiert, indem die
Werte in einen Vektor geschrieben wurden. Dieser hat jedoch nur eine endliche
Anzahl Einträge (hier 4,8 Millionen). Damit war die Hardware, die für
diese Arbeit zur Verfügung stand, ausgelastet. Dies hatte zur Folge, dass
für höhere Ordnungen die Genauigkeit auf ∆r = 10 −4 [aB] reduziert werden
musste. Und diese Genauigkeit ließ sich auch nur dadurch erreichen,
dass ab einem Radius von 200 [aB] für ∆r = 5 · 10 −5 [aB] und ab 400 [aB]
für ∆r = 10 −4 [aB] die Schrittweite um den Faktor 100 erhöht wurde. In
beiden Fällen war aber immer sichergestellt, dass der interessante Bereich
der Wellenfunktion im Abschnitt höherer Genauigkeit lag.
iii. Es stellt sich auch noch die Frage, welches Potential man als Startwert
nehmen soll. Erfreulicherweise hat sich der Algorithmus als sehr stabil erwiesen.
Man kann im Grund immer das gleiche Potential verwenden. Dieses
konstruiert man einfach, indem man, je nach Teilchenzahl, das totalsymmetrische
N-Teilchen-Problem aus Kapitel 3.2.1 löst, und aus den damit
erhaltenen Wellenfunktionen ein Start-Potential konstruiert.
3.2.3 Ansatz einer (anti-)symmetrischen Wellenfunktion
Der nächste logische Schritt, den Ansatz für die Gesamtwellenfunktion zu verallgemeinern,
wäre eine symmetrische bzw. eine antisymmetrische Wellenfunktion.

3.2. Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 35
Dies wollen wir nun für das Zweiteilchenproblem genauer untersuchen. Die Gesamtwellenfunktion
hat dann die Form
ψ(r1, r2) = 1
ϕ1(r1)ϕ2(r2) ± ϕ1(r2)ϕ2(r1) . (3.34)
N
Dabei seien N eine Normierungskonstante und ϕ1(r) und ϕ2(r) (o.B.d.A.) reelle
normierte Lösungen einer Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung der Form
2 ∂ 2 ∂
− + + Φ(r) ϕi(r) = E1ϕi(r), (3.35)
∂r2 r ∂r
wobei Φ(r) dem dimensionslosen radialsymmetrischen Potential (2.73) entspricht,
wenn man in dieses den Ansatz (3.34) einsetzt
∞ ∞
|(ϕ1(r
0 0
′ 1)ϕ2(r ′ 2) ± ϕ1(r ′ 2)ϕ2(r ′ 1)| 2
|r − r ′ 1 |
r ′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′ 2
∞ ∞
|(ϕ1(r
0 0
′ 1)ϕ2(r ′ 2) ± ϕ1(r ′ 2)ϕ2(r ′ 1)| 2
|r − r ′ r
2|
′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′
2
Φ(r) = − 32π2
N 2
+
. (3.36)
Da immer über den ganzen Raum integriert wird, sind die beiden Integrale in
(3.36) für positives oder negatives Vorzeichen identisch. Die Gleichung vereinfacht
sich also zu
Φ(r) = − 64π2
N 2
∞ ∞
0
0
|(ϕ1(r ′ 1 )ϕ2(r ′ 2 ) ± ϕ1(r ′ 2 )ϕ2(r ′ 1 )|2
|r − r ′ r
1|
′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′
2 . (3.37)
Wenn man darüber hinaus berücksichtigt, dass ϕ1(r) und ϕ2(r) reell sind, kann
man dies in
Φ(r) = − 64π2
N 2
+ 2
∞ ∞
|(ϕ1(r
0 0
′ 1 )ϕ2(r ′ 2 )|2 + |ϕ1(r ′ 2 )ϕ2(r ′ 1 )|2
|r − r ′ r
1|
′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′ 2
∞ ∞
| ± (ϕ1(r
0 0
′ 1)ϕ1(r ′ 2)ϕ2(r ′ 2)ϕ2(r ′ 1)|
|r − r ′ 1 |
r ′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′
2
(3.38)
umformen. Da ϕ1(r) und ϕ2(r) auch noch normiert sind, vereinfacht sich das
Ganze noch zu
∞
|(ϕ1(r
0
′ 1)| 2
|r − r ′ 1 | r′ ∞
2 ′ |(ϕ2(r
1 dr 1 +
0
′ 2)| 2
|r − r ′ 2 | r′ 2 ′
2 dr 2
∞ ∞
| ± (ϕ1(r
0 0
′ 1 )ϕ1(r ′ 2 )ϕ2(r ′ 2 )ϕ2(r ′ 1 )|
|r − r ′ r
1|
′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′
2 .
Φ(r) = − 16π
N 2
+ 8π
Hier zeigt sich, dass sich dieses Potential nur um den Term
Φ12 = 8π
∞ ∞
0
0
| ± (ϕ1(r ′ 1)ϕ1(r ′ 2)ϕ2(r ′ 2)ϕ2(r ′ 1)|
|r − r ′ 1 |
r ′ 2 ′ 2 ′
1 r 2 dr 1dr ′ 2
(3.39)
(3.40)

36 Kapitel 3. Numerische Verfahren
vom Potential des Produktansatzes (3.29) unterscheidet. Betrachten wir diesen
also etwas genauer, indem wir ihn in
Φ12 = 8π
∞
0
|ϕ1(r ′ 2 )ϕ2(r ′ 2 )|r′ 2 ′
2 dr 2
∞
0
| ± (ϕ1(r ′ 1)ϕ2(r ′ 1)|
|r − r ′ 1 |
r ′ 2 ′
1 dr 1
(3.41)
umformen. Nun lässt sich aber zeigen (siehe Anhang A), dass ϕ1 und ϕ2, falls es
sich nicht ausnahmsweise um die gleichen Wellenfunktionen handelt, orthogonal
aufeinander stehen (siehe Anhang A). Dies bedeutet, dass das erste Integral in
Gleichung (3.41) verschwindet und damit auch der gesamte Austauschterm (3.40)
Null ist.
Bei einer numerischen Überprüfung wird dies ebenfalls deutlich. In den Abbildungen
3.4 und 3.5 sind exemplarisch einige Einteilchen-Wellenfunktionen sowie
deren Produkte dargestellt. Wie man leicht sieht, verschwinden die Produkte beinahe.
Numerisch zeigt sich jedoch, dass das Integral
∞
0
ϕ1(r)ϕ2(r)r 2 dr (3.42)
nicht identisch null wird. Allerdings ist der Austauschterm (3.41) um acht bis
zehn Größenordnungen kleiner als alle anderen vorkommenden Summanden in
der Gleichung für das Potential (3.39). Diese Störung ist klein genug, dass man
annehmen kann, dass sie durch numerische Ungenauigkeiten entsteht.
Zum Schluss wollen wir noch die Normierungskonstante bestimmen, um zu überprüfen,
ob es sich sowohl für ϕ1 = ϕ2, als auch für ϕ1 = ϕ2 um das selbe Problem
wie in Kapitel 3.2.2 handelt. Es muss gelten:
∞ ∞
0
0
|ψ(r1, r2)| 2 d 3 r1d 3 r2
!
= 1. (3.43)
Mit dem Ansatz für (anti-)symmetrische Wellenfunktionen (3.34) erhält man
16π2 N 2
∞ ∞
|ϕ1(r1)ϕ2(r2) ± ϕ1(r2)ϕ2(r1)|
0 0
2 r1 2 r2 2 dr1dr2
= 1
N 2
∞ ∞
2 | ± ϕ1(r1)ϕ2(r2)ϕ1(r2)ϕ2(r1)|r1
0 0
2 r2 2 dr1dr2+
∞ ∞
|ϕ1(r1)ϕ2(r2)|
0 0
2 r1 2 r2 2 dr1dr2+
∞ ∞
|ϕ1(r2)ϕ2(r1)|
0 0
2 r1 2 r2 2
dr1dr2 .
Wenn man wieder die Normierung der Einzelfunktionen ausnützt, werden die
letzten beiden Integrale zu eins, und man erhält mit der Bedingung (3.43) für die

3.2. Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 37
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
ϕ 1 ⋅ϕ 2
ϕ1
ϕ 2
0 50 100 150 200
r [a B ]
Abb. 3.4: Kombination des 4. und 5. angeregten Zustandes sowie das Produkt
beider Zustände der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Normierungskonstante:
N =
2 + 32π 2 ∞
0 |ϕ1(r1)ϕ2(r1)|r1 2 dr1
=
2 + 32π2 ∞
1
1
0 |ϕ1(r)ϕ2(r)|r 2 dr
2 .
∞
0 | ± ϕ1(r2)ϕ2(r2)|r2 2 dr2
(3.44)
Wenn die beiden Wellenfunktionen ungleich sind, dann verschwindet das Integral
in (3.44) und es gilt für die Normierungskonstante
N = 1
√ 2 .
Sind sie hingegen gleich, was natürlich nur für den symmetrischen Ansatz sinnvoll
ist, gilt für das Integral
4π
∞
0
|ϕ1(r)ϕ2(r)|r 2 dr = 4π
und damit gilt für die Normierungskonstante
N = 1
2 .
∞
|ϕ(r)|
0
2 r 2 dr = 1 (3.45)

38 Kapitel 3. Numerische Verfahren
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
ϕ 1 ⋅ϕ 2
ϕ1
ϕ 2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
r [a B ]
Abb. 3.5: Kombination des 7. und 8. angeregten Zustandes sowie das Produkt
beider Zustände der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Setzt man nun die beiden Normierungskonstanten in den Ansatz (3.34) ein, dann
erhält man für das Potential immer die gleiche Funktion wie wenn man von Anfang
an den Ansatz (3.19) verwendet hätte. Der Grund, weshalb es keinen Unterschied
macht, welchen Ansatz man verwendet, liegt im Potential. Es handelt sich
1
um ein zentralsymmetrisches Potential, ohne die |r1−r2| -Wechselwirkungsterme,
wie sie zum Beispiel in der Atomphysik wichtig sind.
Die ganzen Überlegungen, die in diesem Kapitel für das Zweiteilchen-Problem
angestellt wurden, lassen sich natürlich unmittelbar auf das N-Teilchen-Problem
erweitern. Auch hier fallen stets die Mischterme weg und man kann das Problem
auf einen einfachen Produktansatz zurückführen.

Kapitel 4
Zusammenfassung der
Einteilchen-Ergebnisse
Der Vollständigkeit halber werden in diesem Kapitel die Ergebnisse der Lösung
der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung vorgestellt. Diese Daten wurden
mit dem in Kapitel 3.1 beschriebenen Algorithmus bestimmt. Zuerst werden die
ersten 41 Energieeigenwerte aufgelistet. Dann werden einige Überlegungen zur
Genauigkeit der erhaltenen Werte und zu möglichen Gesetzmäßigkeiten, denen
die Eigenwerte gehorchen, gemacht. Im Anschluss werden noch einige ausgewählte
Wellenfunktionen grafisch dargestellt.
4.1 Lösungen der Einteilchen-Gleichungen
In Tabelle 4.1 sind die numerisch ermittelten Energieeigenwerte zu den ersten 41
Zuständen angegeben. Dabei bezeichnet der Index n = 0 den Grundzustand, n =
1 den ersten angeregten und so weiter. Die Ergebnisse sind immer in Einheiten
der gravitativen Rydbergenergie
ERyd = 1 G
2
2m5 2 angegeben.
Sie stimmen in den ersten drei von Null verschiedenen Stellen mit den Ergebnissen
aus [Epple (2003)] und [Harrison u. a. (2003)] 1 überein.
Um die Genauigkeit der bestimmten Eigenwerte zu überprüfen wurde wie folgt
vorgegangen. In der verwendeten Routine aus den GSL-Bibliotheken gibt es
die Möglichkeit, den absoluten Fehler innerhalb des adaptiven Runge-Kutta-
Verfahrens vorzugeben.
1 Die Tatsache, dass in [Harrison u. a. (2003)] die Eigenwerte halb so groß wie die in dieser
Arbeit erhaltenen sind, liegt daran, dass in dieser Diplomarbeit eine halb so große gravitative
Rydbergenergie (siehe Gleichung (2.29)) als in [Harrison u. a. (2003)] angenommen wurde.
39

40 Kapitel 4. Zusammenfassung der Einteilchen-Ergebnisse
n Energieeigenwert n Energieeigenwert
0 -0,325(73) 21 -0,000402(58)
1 -0,0616(29) 22 -0,000367(98)
2 -0,0250(66) 23 -0,000337(65)
3 -0,0135(01) 24 -0,000310(92)
4 -0,00842(23) 25 -0,000287(24)
5 -0,00575(06) 26 -0,000266(17)
6 -0,00417(44) 27 -0,000247(33)
7 -0,00316(74) 28 -0,000230(43)
8 -0,00248(53) 29 -0,000215(21)
9 -0,00200(19) 30 -0,000201(43)
10 -0,00164(70) 31 -0,000188(95)
11 -0,00137(87) 32 -0,000177(58)
12 -0,00117(10) 33 -0,000167(22)
13 -0,00100(69) 34 -0,000157(73)
14 -0,000875(13) 35 -0,000149(03)
15 -0,000767(57) 36 -0,000141(03)
16 -0,000678(69) 37 -0,000133(66)
17 -0,000604(40) 38 -0,000126(85)
18 -0,000541(67) 39 -0,000120(55)
19 -0,000488(22) 40 -0,000114(71)
20 -0,000442(31)
Tab. 4.1: Energieeigenwerte der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung
Um nun die Zahl der verwendbaren Nachkommastellen zu bestimmen, kann man
das Verfahren für verschiedene vorgegebene absolute Fehler ∆GSL durchführen,
und dann die erhaltenen Ergebnisse miteinander vergleichen. Die Ergebnisse sind
in Tabelle 4.2 zusammengefasst.
Man erkennt, dass trotz der hohen Genauigkeit der GSL-Bibliotheken die ersten
drei von Null verschiedenen Stellen als gesichert angesehen werden können.
Teilweise mag es so aussehen, dass beim Vergleich von ∆GSL = 10 −19 und
∆GSL = 10 −18 schon die ersten vier gültigen Stellen gesichert sind, jedoch müsste
man dazu eine noch höhere Genauigkeit ansetzen, um dies zu überprüfen. Dies
würde jedoch deutlich längere Rechenzeiten erfordern.
Insgesamt haben wir also die Energieeigenwerte Der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung auf die ersten drei von Null verschiedenen Ziffern genau
bestimmt.
Davon abgesehen zeigt sich das erwartete Verhalten. Die Eigenwerte steigen für
größer werdende n streng monoton an und gehen für n −→ ∞ gegen Null, ebenso
wie die Zahl der Nullstellen der Wellenfunktionen zu deren Ordnung passt.

4.2. Darstellung der Energieeigenwerte in Form einer Rydbergserie 41
absoluter Fehler der GSL-Bibliotheken
n 10 −19 10 −18 10 −16 10 −14
0 -0,3257363530 -0,3258322331 -0,3262710823 -0,3273823744
1 -0,0616290628 -0,0616467421 -0,0617270059 -0,0619303530
2 -0,0250660389 -0,0250729491 -0,0251039980 -0,0251824377
3 -0,0135018033 -0,0135053849 -0,0135215395 -0,0135622957
4 -0,0084223783 -0,0084245272 -0,0084342435 -0,0084588132
5 -0,0057506043 -0,0057520328 -0,0057585118 -0,0057749319
10 -0,0016470415 -0,0016474183 -0,0016491250 -0,0016534753
15 -0,0007675782 -0,0007677454 -0,0007685069 -0,0007685069
25 -0,0002872424 -0,0002872967 -0,0002875465 -0,0002882641
40 -0,0001147131 -0,0001147325 -0,0001148240 -0,0001150555
Tab. 4.2: Zur Genauigkeit der Energieeigenwerte der
Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
4.2 Darstellung der Energieeigenwerte in Form
einer Rydbergserie
Nach der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für Potentiale, die nur kurzreichweitig
vom Coulomb-Verhalten abweichen, müssten die Energien einem Gesetz der Form
1
En = −
(n + µn) 2 ERyd ≡ − 1
ERyd
(4.1)
gehorchen (siehe [Friedrich (1990)]). Dabei ist n die Quantenzahl (n ∈ N0) und
µn ein Quantendefekt, der für n −→ ∞ gegen einen endlichen und vor allem konstanten
Grenzwert µ geht. Da alle Energien bereits in Einheiten der gravitativen
Rydbergenergie angegeben sind, vereinfacht sich die Gleichung (4.1) zu
En = − 1
ν2 . (4.2)
n
Unsere numerischen Ergebnisse erlauben es, diese Bedingung zu überprüfen. Dazu
betrachten wir Tabelle (4.1) und bestimmen für die ersten 21 Energieeigenwerte
sowohl νn, als auch µn.
Das erste, was auffällt, ist, dass µn eindeutig nicht gegen einen konstanten Grenzwert
strebt. Es ist vielmehr so, dass die Differenz aufeinander folgender µn ungefähr
gleich bleibt. In Abbildung 4.1 sieht man dann auch, dass die νn über n
aufgetragen linear ansteigen und durch die Ausgleichsgerade
sehr gut angenähert werden können.
ν 2 n
νn = 1.75 + 2.29 · n. (4.3)

42 Kapitel 4. Zusammenfassung der Einteilchen-Ergebnisse
n Energieeigenwert νn µn
0 -0,325(73) 1,752132 1,752132
1 -0,0616(29) 4,028165 3,028164
2 -0,0250(66) 6,316218 4,316218
3 -0,0135(01) 8,606055 5,606055
4 -0,00842(23) 10,896390 6,896390
5 -0,00575(06) 13,186917 8,186917
6 -0,00417(44) 15,477560 9,477560
7 -0,00316(74) 17,768211 10,768211
8 -0,00248(53) 20,058926 12,058926
9 -0,00200(19) 22,349666 13,349666
10 -0,00164(70) 24,640399 14,640399
11 -0,00137(87) 26,931174 15,931174
12 -0,00117(10) 29,221924 17,221924
13 -0,00100(69) 31,512718 18,512718
14 -0,000875(13) 33,803491 19,803491
15 -0,000767(57) 36,094305 21,094305
16 -0,000678(69) 38,385106 22,385106
17 -0,000604(40) 40,675889 23,675889
18 -0,000541(67) 42,966709 24,966709
19 -0,000488(22) 45,257478 26,257478
20 -0,000442(31) 47,548317 27,548317
Tab. 4.3: Energieeigenwerte und zugehörige effektive
Quantenzahl νn und Quantendefekt µn
Bei einem konvergierenden Quantendefekt µn müsste diese Gerade jedoch für
große n die Steigung 1 haben. Wir finden also für die Energieeigenwerte der radialsymmetischen
Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung eine quadratische Abhängigkeit
von der Quantenzahl n der Form:
1
En −
(1, 75 + 2, 29 · n) 2
= − 1 1
·
. (4.4)
(2, 29) 2 (n + 0, 764) 2
Die Energiewerte bilden somit eine Rydbergserie mit konstantem Quantendefekt,
1
En ∼ −
(n + 0, 764) 2
wenn man die Energieskalen zusätzlich mit dem Faktor 1
(2,29) 2 reskaliert. Der
Grund für die Notwendigkeit dieser Renormierung ist Gegenstand einer parallel

4.3. Einige ausgewählte Wellenfunktionen 43
ν n
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20
n
ν n
1,75+2,29n
Abb. 4.1: Effektive Quantenzahl νn in Abhängigkeit vom Anregungsgrad. Das
lineare Anwachsen wird durch die eingezeichnete Ausgleichsgerade gut wiedergegeben.
angefertigten Diplomarbeit [Greiner (2005)] und wird dort ausführlich untersucht.
Damit ist es erstmals gelungen, die Energieeigenwerte der radialsymmetrischen
Newton-Schrödinger-Gleichung für alle n ∈ N0 anzugeben.
4.3 Einige ausgewählte Wellenfunktionen
In den Abbildungen 4.2 bis 4.5 sind einige ausgewählte Wellenfunktionen mit
ihren zugehörigen selbstkonsistenten Potentialen V (r) dargestellt. Dabei ist zu
bedenken, dass die gezeichneten Funktionen nur auf Grund der numerischen Ungenauigkeit
für große r divergieren. Die exakten Lösungen folgen natürlich dem
in Kapitel 2.2.6 hergeleiteten asymptotischen Verlauf.
Ansonsten erkennt man den erwarteten Verlauf, also immer eine der Ordnung
entsprechende Zahl an Nullstellen, in der Umgebung des Ursprungs einen quadratischen
Abfall der Wellenfunktion, sowie vor der numerisch bedingten Divergenz
einen exponentiellen Abfall.

44 Kapitel 4. Zusammenfassung der Einteilchen-Ergebnisse
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0 10 20 30 40 50 60 70
r [a B ]
V(r)
ψ(r)
Abb. 4.2: Grundzustandswellenfunktion (n = 0) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0 100 200 300 400 500
r [a B ]
V(r)
ψ(r)
Abb. 4.3: Dritter angeregter Zustand (n = 3) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

4.3. Einige ausgewählte Wellenfunktionen 45
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
0 500 1000 1500 2000 2500
r [a B ]
V(r)
ψ(r)
Abb. 4.4: 10. angeregter Zustand (n = 10) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
-0.0001
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
r [a B ]
V(r)
ψ(r)
Abb. 4.5: 30. angeregter Zustand (n = 30) und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential V (r) = E − Φ(r) der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

46 Kapitel 4. Zusammenfassung der Einteilchen-Ergebnisse

Kapitel 5
Lösungen der Mehrteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung
für verschiedene Teilchenzahlen
Nachdem die Ergebnisse für die Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung aufgeführt
worden sind, werden hier die neu gewonnenen Erkenntnisse zur
Mehrteilchen-Problematik aufgeführt.
5.1 Ansatz über bosonische Wellenfunktionen
5.1.1 Energieeigenwerte
Bei der numerischen Berechnung der Energieeigenwerte der Newton-Schrödinger-
Gleichung für den totalsymmetrischen Ansatz
ψ(r1, r2, . . . , rN) =
N
ϕ(ri)
haben sich die in Kapitel 3.2.1 in Gleichung (3.18) erwarteten Energieeigenwerte
i=1
E = N 3 EEinteilchen
im Rahmen der möglichen Genauigkeit bestätigt. Dies erkennt man deutlich beim
Vergleich von einem und zehn Teilchen (siehe Tabelle 5.1). Hier sieht man sofort,
ohne großen Rechenaufwand, dass die Eigenwerte der Zehnteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung gerade 1000 mal so groß sind wie die der Einteilchen-
Gleichung.
Die grafische Darstellung der Wellenfunktionen wird auf Kapitel 6.1 verschoben
(vgl. Abbildungen 6.1 bis 6.3).
47

48 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
n En(N = 1) En(N = 2) En(N = 10)
0 -0,325(74) -2,60(59) -325,(74)
1 -0,0616(29) -0,493(03) -61,6(29)
2 -0,0250(66) -0,200(53) -25,0(66)
3 -0,0135(02) -0,108(01) -13,5(02)
4 -0,00842(24) -0,0673(79) -8,42(24)
5 -0,00575(06) -0,0460(05) -5,75(06)
6 -0,00417(44) -0,0333(95) -4,17(44)
7 -0,00316(75) -0,0253(40) -3,16(75)
8 -0,00248(53) -0,0198(83) -2,48(53)
9 -0,00200(20) -0,0160(16) -2,00(20)
10 -0,00164(70) -0,0131(76) -1,64(70)
11 -0,00137(88) -0,0110(30) -1,37(88)
12 -0,00117(11) -0,00936(86) -1,17(11)
13 -0,00100(70) -0,00805(60) -1,00(70)
14 -0,000875(14) -0,00700(11) -0,875(14)
15 -0,000767(58) -0,00614(06) -0,767(58)
16 -0,000678(69) -0,00542(96) -0,678(69)
17 -0,000604(40) -0,00483(52) -0,604(40)
18 -0,000541(67) -0,00433(33) -0,541(67)
19 -0,000488(22) -0,00390(58) -0,488(22)
20 -0,000442(31) -0,00353(85) -0,442(31)
Tab. 5.1: Energieeigenwerte der Ein-, Zwei- und
Zehnteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für totalsymmetrische
Wellenfunktionen
5.1.2 Zur Genauigkeit der erhaltenen Energieeigenwerte
Da sich das Verfahren im Prinzip nicht vom Algorithmus der Einteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung unterscheidet, hat sich hier auch nichts an der Genauigkeit
verändert. Es gilt weiterhin, dass nur die ersten drei von null verschiedenen Ziffern
als gesichert angesehen werden können, während sich schon die vierte, speziell bei
höheren Ordnungen, mit unterschiedlichen Genauigkeiten ändert.
5.2 Ansatz über eine Produktwellenfunktion
Bei der numerischen Berechnung der Energieeigenwerte der Newton-Schrödinger-
Gleichung für den Ansatz
N
ψ(r1, r2, . . . , rN) = ϕi(ri) (5.1)
i=1

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 49
wurden die Energieeigenwerte und Wellenfunktionen für verschiedene Teilchenzahlen
berechnet. Das Prinzip ist immer das gleiche. Allerdings ergeben sich für
höhere Teilchenzahlen auch mehr Kombinationsmöglichkeiten der Zustände. Deshalb
wurden hier nur noch einige ausgewählte Kombinationen berechnet.
5.2.1 Das Zweiteilchen-Problem
Zuerst wurde das Zweiteilchen-Problem behandelt. Für dieses wurden Kombinationen
aus den ersten zehn angeregten Zuständen berechnet, was insgesamt 66
verschiedenen Produktzuständen entspricht.
5.2.1.1 Energieeigenwerte
In Tabelle 5.2 sind die Energieeigenwerte der verschiedenen Kombinationen von
Einteilchenwellenfunktionen aufgeführt. Dabei gibt die Zahl k in der ersten Spalte
eine Art ” Anregungsstufe“ an, die es erleichtern soll, später einzelne Lösungen der
Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung zu klassifizieren. n1 und n2 sind die
zu den jeweiligen Einteilchen-Wellenfunktionen gehörigen Anregungsgrade sowie
E1 und E2 die zugehörigen Energien. Die letzte, etwas abgesetzte Spalte beinhaltet
die Gesamtenergie
Eges = E1 + E2. (5.2)
k n1 n2 E1 E2 Eges
0 0 0 -1,30(22) -1,30(22) -2,60(44)
1 0 1 -0,698(84) -0,384(14) -1,08(29)
2 1 1 -0,246(38) -0,246(37) -0,492(75)
3 0 2 -0,521(77) -0,189(25) -0,711(02)
4 1 2 -0,176(74) -0,130(06) -0,306(80)
5 2 2 -0,100(21) -0,100(20) -0,200(41)
6 0 3 -0,446(35) -0,113(89) -0,560(24)
7 1 3 -0,140(02) -0,0818(05) -0,221(82)
8 2 3 -0,0800(62) -0,0649(97) -0,145(05)
9 3 3 -0,0539(78) -0,0539(77) -0,107(95)
10 0 4 -0,407(32) -0,0763(60) -0,483(67)
11 1 4 -0,118(50) -0,0568(08) -0,175(30)
12 2 4 -0,0669(17) -0,0459(97) -0,112(91)
13 3 4 -0,0455(78) -0,0389(04) -0,0844(82)
14 4 4 -0,0336(71) -0,0336(70) -0,0673(41)
15 0 5 -0,384(54) -0,0548(34) -0,439(36)
16 1 5 -0,104(78) -0,0420(13) -0,146(79)
17 2 5 -0,0579(85) -0,0345(13) -0,0924(98)

50 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
k n1 n2 E1 E2 Eges
18 3 5 -0,0394(70) -0,0295(37) -0,0690(07)
19 4 5 -0,0294(07) -0,0258(81) -0,0552(88)
20 5 5 -0,0229(89) -0,0229(88) -0,0459(77)
21 0 6 -0,370(10) -0,0413(11) -0,411(41)
22 1 6 -0,0954(95) -0,0324(53) -0,127(94)
23 2 6 -0,0516(49) -0,0269(88) -0,0786(37)
24 3 6 -0,0349(44) -0,0233(00) -0,0582(44)
25 4 6 -0,0260(88) -0,0205(85) -0,0466(73)
26 5 6 -0,0205(36) -0,0184(51) -0,0389(88)
27 6 6 -0,0166(87) -0,0166(87) -0,0333(75)
26 0 7 -0,360(38) -0,0322(49) -0,392(63)
29 1 7 -0,0889(10) -0,0258(80) -0,114(79)
30 2 7 -0,0469(85) -0,0217(58) -0,0687(44)
31 3 7 -0,0315(07) -0,0189(21) -0,0504(28)
32 4 7 -0,0234(88) -0,0168(19) -0,0403(07)
33 5 7 -0,0185(39) -0,0151(69) -0,0337(09)
34 6 7 -0,0151(50) -0,0138(15) -0,0289(65)
35 7 7 -0,0126(63) -0,0126(63) -0,0253(27)
36 0 8 -0,353(52) -0,0258(77) -0,379(40)
37 1 8 -0,0840(71) -0,0211(49) -0,105(22)
38 2 8 -0,0434(52) -0,0179(59) -0,0614(11)
39 3 8 -0,0288(39) -0,0157(15) -0,0445(54)
40 4 8 -0,0214(21) -0,0140(40) -0,0354(61)
41 5 8 -0,0169(12) -0,0127(22) -0,0296(35)
42 6 8 -0,0138(57) -0,0116(43) -0,0255(01)
43 7 8 -0,0116(34) -0,0107(29) -0,0223(64)
44 8 8 -0,00993(95) -0,00993(95) -0,0198(79)
45 0 9 -0.348(50) -0.0212(25) -0.369(73)
46 1 9 -0.0804(17) -0.0176(25) -0.0980(42)
47 2 9 -0.0406(98) -0.0151(02) -0.0558(02)
48 3 9 -0.0267(27) -0.0132(95) -0.0400(23)
49 4 9 -0.0197(60) -0.0119(34) -0.0316(95)
50 5 9 -0.0155(75) -0.0108(54) -0.0264(29)
51 6 9 -0.0127(89) -0.00998(00) -0.0227(69)
52 7 9 -0.0107(69) -0.00923(51) -0.0200(04)
53 8 9 -0.00923(49) -0.00859(22) -0.0178(27)
54 9 9 -0.00802(52) -0.00802(52) -0.0160(50)
55 0 10 -0.344(73) -0.0177(27) -0.362(45)
56 1 10 -0.0775(69) -0.0149(22) -0.0924(92)
57 2 10 -0.0385(30) -0.0128(95) -0.0514(26)

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 51
k n1 n2 E1 E2 Eges
58 3 10 -0.0250(32) -0.0114(15) -0.0364(47)
59 4 10 -0.0183(92) -0.0102(82) -0.0286(74)
60 5 10 -0.0144(61) -0.00938(15) -0.0238(43)
61 6 10 -0.0118(81) -0.00865(76) -0.0205(38)
62 7 10 -0.0100(07) -0.00803(06) -0.0180(38)
63 8 10 -0.00860(55) -0.00749(93) -0.0161(04)
64 9 10 -0.00750(32) -0.00703(04) -0.0145(33)
65 10 10 -0.00660(25) -0.00660(25) -0.0132(05)
Tab. 5.2: Energieeigenwerte Ei und Anregungsgrade ni
der Einteilchenwellenfunktionen sowie die Gesamtenergie
für den Produktansatz der Zweiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung
Hier bestätigt sich die Theorie, dass die Energieeigenwerte in den einzelnen Energieserien
streng monoton steigen. Besonders deutlich zeigt sich dies, wenn man
z.B. alle berechneten Kombinationen mit dem Grundzustand (n2 = 0) betrachtet
(siehe hierzu Tabelle 5.3)
n1 n2 E1 E2 Eges
0 0 -1,30(22) -1,30(22) -2,60(44)
1 0 -0,384(14) -0,698(83) -1,08(29)
2 0 -0,189(25) -0,521(77) -0,711(02)
3 0 -0,113(89) -0,446(34) -0,560(24)
4 0 -0,0763(60) -0,407(31) -0,483(67)
5 0 -0,0548(34) -0,384(53) -0,439(36)
6 0 -0,0413(11) -0,370(10) -0,411(41)
7 0 -0,0322(49) -0,360(38) -0,392(63)
8 0 -0,0258(77) -0,353(52) -0,379(40)
9 0 -0.0212(25) -0.348(50) -0.369(72)
10 0 -0.0177(27) -0.344(73) -0.362(45)
Tab. 5.3: Energieserie der Zweiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung mit ϕ2(r2) als Einteilchen-
Grundzustand
oder alle Kombinationen mit dem vierten Zustand als (n2 = 4) (siehe hierzu
Tabelle 5.4).

52 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
E 2
n1 n2 E1 E2 Eges
0 4 -0,407(31) -0,0763(60) -0,483(67)
1 4 -0,118(49) -0,0568(08) -0,175(30)
2 4 -0,0669(16) -0,0459(97) -0,112(91)
3 4 -0,0455(77) -0,0389(04) -0,0844(82)
4 4 -0,0336(70) -0,0336(70) -0,0673(41)
5 4 -0,0258(81) -0,0294(07) -0,0552(88)
6 4 -0,0205(84) -0,0260(88) -0,0466(73)
7 4 -0,0168(19) -0,0234(88) -0,0403(07)
8 4 -0,0140(40) -0,0214(21) -0,0354(61)
9 4 -0.0119(34) -0.0197(60) -0.0316(95)
10 4 -0.0102(82) -0.0183(92) -0.0286(74)
Tab. 5.4: Energieserie der Zweiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung mit ϕ2(r2) als vierter angeregter
Einteilchenzustand
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
E 2 (n 2 =0)
Grundzustand, Einteilchen
E 2 (n 2 =1)
1.ang. Zustand, Einteilchen
0 2 4 6 8 10
Abb. 5.1: Energie des Grundzustandes und des 1. angeregten Zustandes bei
Kombination mit beliebiger anderer Wellenfunktion der Zweiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung
n 1

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 53
-1/2
-E1 14
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
Abb. 5.2: Energieserien der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Neben der Monotonie fällt noch etwas anderes auf. Betrachten wir den Wert der
Eigenenergie E2, deren Ordnung festgelassen wird. In Abbildung 5.1 ist diese für
den Grundzustand und den 1. angeregten Zustand dargestellt, wenn die Ordnung
n1 der anderen Wellenfunktion immer frei wählbar ist.
Zusätzlich eingezeichnet sind noch die Energien der beiden Zustände für den Fall,
dass es sich um Lösungen der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung handelt.
Man erkennt recht deutlich, dass die festen Energien für hohe Ordnungen
der frei wählbaren Energie gegen den Einteilchenwert strebt. Dies ist eigentlich
auch nicht anders zu erwarten, denn für n −→ ∞ geht E1,n −→ 0 und damit die
Gesamtenergie gegen E2. Ebenfalls wird die Wellenfunktion immer flacher. Es ist
deswegen klar, dass für n1 ≫ n2 überwiegend ϕ2(r2) für den interessanten Bereich
des Potentials verantwortlich ist, während ϕ1(r1) kaum noch einen Einfluss hat.
Für den Fall, dass die Ordnung eines der Energieeigenwerte fest gelassen wird,
kann man auch noch eine Aussage über den frei wählbaren Eigenwert treffen. Es
zeigt sich, dass dieser Eigenwert, wie beim Einteilchenproblemm einer quadratischen
Abhängigkeit der Form
n 1
E = − 1
1
bzw. ν =
ν2 |E|
mit ν = (n+µn) gehorcht. In Abbildung 5.2 ist dies für verschiedene Serien dargestellt.
Von unten nach oben sind hier die Serien {E0, En}, {E1, En}, bis {E10, En}
dargestellt. Man sieht hier recht deutlich, dass die Funktionen für Ordnungen, die

54 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
größer sind, als die Ordnung des festgehaltenen Eigenwertes, in Geraden übergehen.
In Abbildung 5.3 wurden für die Serien {E0, En} bis {E4, En} folgende
Geraden an die Punkte angepasst:
f0(n1) = 1, 01 + 0, 651 · n1
f1(n1) = 1, 52 + 0, 669 · n1
f2(n1) = 1, 93 + 0, 690 · n1
f3(n1) = 2, 30 + 0, 708 · n1
f4(n1) = 2, 65 + 0, 723 · n1
Die Steigungen der Geraden sind also immer von 1 verschieden. Hier kann man
-E 1 -1/2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
f 0 (n 1 )
f 1 (n 1 )
f 2 (n 1 )
f 3 (n 1 )
f 4 (n 1 )
0 2 4 6 8 10
Abb. 5.3: Energieserien der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit angepassten
Geraden
wieder die gleichen Überlegungen anstellen, wie bereits in Kapitel 4.2 zum Einteilchenproblem,
was dann wieder auf eine Renormierung der Energien der Form
n 1
˜En = c 2 n En
(5.3)
hinausläuft. Dann ergeben sich wieder ” reine“ Rydbergserien En = − 1
n+µ mit
konstantem Quantendefekt µ, die vom Anregungsgrad n des anderen Teilchens
abhängt.

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 55
5.2.1.2 Einige ausgewählte Wellenfunktionen
In den Abbildungen 5.4 bis 5.12 sind einige ausgewählte Wellenfunktionen mit ihren
zugehörigen selbstkonsistenten Potentialen dargestellt, wobei sich immer die
Anregungsstufe auf das in Tabelle 5.4 eingeführte m bezieht. In jedem der Bilder
werden die Wellenfunktionen ϕi(ri), die Lösungen der zugehörigen Einteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung (3.23) sind, über der entsprechenden Radiuskoordinate
ri aufgetragen. Zusätzlich ist noch das zugehörige Potential mit in die
Graphen aufgenommen worden. Dabei ist zu beachten, dass, der besseren Übersichtlichkeit
wegen, das Potential durch den Faktor 20 geteilt wurde. Auch wurde
nicht der gesamte Radiusbereich geplottet, da sonst der eigentlich interessante
Bereich zu sehr ” zusammen gestaucht“ worden wäre.
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
ϕ 1 (n=0,r 1 )
ϕ 2 (n=1,r 2 )
Φ(r)/20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
r i [a B ]
Abb. 5.4: Einteilchenfunktion des 1. angeregten Zustandes und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

56 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
ϕ 1 (n=2,r 1 )
ϕ 2 (n=3,r 2 )
Φ(r)/20
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
r i [a B ]
Abb. 5.5: Einteilchenfunktion des 8. angeregten Zustandes und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
ϕ 1 (n=0,r 1 )
ϕ 2 (n=5,r 2 )
Φ(r)/20
0 20 40 60 80 100 120 140
r i [a B ]
Abb. 5.6: Einteilchenfunktion des 15. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 57
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
-0.004
ϕ 1 (n=4,r 1 )
ϕ 2 (n=5,r 2 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250 300
r i [a B ]
Abb. 5.7: Einteilchenfunktion des 19. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
ϕ 1 (n=1,r 1 )
ϕ 2 (n=8,r 2 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250 300
r i [a B ]
Abb. 5.8: Einteilchenfunktion des 37. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

58 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
ϕ 1 (n=4,r 1 )
ϕ 2 (n=8,r 2 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
r i [a B ]
Abb. 5.9: Einteilchenfunktion des 40. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
ϕ 1 (n=7,r 1 )
ϕ 2 (n=8,r 2 )
Φ(r)/20
0 100 200 300 400 500 600 700 800
r i [a B ]
Abb. 5.10: Einteilchenfunktion des 43. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 59
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
ϕ 1 (n=2,r 1 )
ϕ 2 (n=10,r 2 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
r i [a B ]
Abb. 5.11: Einteilchenfunktion des 57. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
ϕ 1 (n=9,r 1 )
ϕ 2 (n=10,r 2 )
Φ(r)/20
0 100 200 300 400 500 600 700 800
r i [a B ]
Abb. 5.12: Einteilchenfunktion des 64. angeregten Zustandes und zugehöriges
selbstkonsistentes Potential der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

60 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
5.2.2 Das Dreiteilchen-Problem
Neben dem Zweiteilchen-Problem wurde auch das Dreiteilchen-Problem mit dem
Produktansatz (5.1) bearbeitet. Für dieses wurden allerdings nur aus den ersten
vier angeregten Zuständen und dem Grundzustand alle möglichen Kombinationen
gebildet. Für einige spezielle Bilder sowie für die benötigten Energieserien
wurden allerdings noch einige höhere Ordnungen mit berücksichtigt. Der einzige
Grund, weshalb auf eine vollständige Betrachtung auch der höheren Ordnungen
verzichtet wurde, ist der, dass es eine große Anzahl an verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten
gibt. Dies ist auch der Grund, weshalb darauf verzichtet wurde,
größere Teilchenzahlen vollständig zu untersuchen.
5.2.2.1 Energieeigenwerte
In Tabelle 5.5 sind die Energieeigenwerte der verschiedenen Wellenfunktionen aufgeführt.
Die letzte, etwas abgesetzte Spalte beinhaltet wieder die Gesamtenergie
Eges = E1 + E2 + E3. (5.4)
Die ni sind die Anregungsgrade und die Ei die Energieeigenwerte der zum entsprechenden
Dreiteilchen-Zustand gehörenden Einteilchenwellenfunktionen, während
k dessen ” Anregungsstufe“ angibt.
k n1 n2 n3 E1 E2 E3 Eges
0 0 0 0 -2,93(00) -2,93(00) -2,93(00) -8,790(07)
1 0 0 1 -1,95(66) -1,95(66) -0,990(28) -4,90(36)
2 0 1 1 -1,25(45) -0,748(20) -0,748(20) -2,75(10)
3 1 1 1 -0,554(34) -0,554(34) -0,554(34) -1,66(30)
4 0 0 2 -1,64(88) -1,648(84) -0,506(59) -3,80(42)
5 0 1 2 -1,00(98) -0,611(85) -0,407(06) -2,02(88)
6 0 2 2 -0,807(96) -0,349(82) -0,349(82) -1,50(76)
7 1 1 2 -0,444(94) -0,444(94) -0,318(64) -1,20(85)
8 1 2 2 -0,355(19) -0,268(38) -0,268(38) -0,891(95)
9 2 2 2 -0,225(46) -0,225(46) -0,225(46) -0,676(40)
10 0 0 3 -1,51(59) -1,51(59) -0,309(07) -3,34(09)
11 0 1 3 -0,896(16) -0,537(80) -0,258(17) -1,69(21)
12 0 2 3 -0,708(21) -0,306(67) -0,227(99) -1,24(28)
13 0 3 3 -0,622(02) -0,205(55) -0,205(55) -1,03(31)
14 1 1 3 -0,383(56) -0,383(56) -0,209(30) -0,976(42)
15 1 2 3 -0,302(74) -0,232(50) -0,180(74) -0,715(99)
16 1 3 3 -0,257(44) -0,160(76) -0,160(76) -0,578(97)
17 2 2 3 -0,194(21) -0,194(21) -0,155(51) -0,543(95)
18 2 3 3 -0,167(07) -0,137(46) -0,137(46) -0,442(00)

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 61
k n1 n2 n3 E1 E2 E3 Eges
19 3 3 3 -0,121(44) -0,121(44) -0,121(44) -0,364(34)
20 0 0 4 -1,44(69) -1,44(69) -0,208(44) -3,10(23)
21 0 1 4 -0,834(75) -0,494(42) -0,179(00) -1,50(81)
22 0 2 4 -0,652(07) -0,277(65) -0,160(93) -1,09(06)
23 0 3 4 -0,571(21) -0,186(41) -0,147(44) -0,905(07)
24 0 4 4 -0,526(27) -0,136(18) -0,136(18) -0,798(63)
25 1 1 4 -0,346(53) -0,346(53) -0,149(01) -0,842(08)
26 1 2 4 -0,270(08) -0,208(27) -0,130(85) -0,609(20)
27 1 3 4 -0,228(24) -0,144(72) -0,118(11) -0,491(08)
28 1 4 4 -0,202(28) -0,108(17) -0,108(17) -0,418(64)
29 2 2 4 -0,172(78) -0,172(78) -0,114(37) -0,459(94)
30 2 3 4 -0,148(00) -0,123(14) -0,102(54) -0,373(69)
31 2 4 4 -0,131801) -0,0933(82) -0,0933(82) -0,317(78)
32 3 3 4 -0,108(52) -0,108(52) -0,0918(60) -0,308(90)
33 3 4 4 -0,0969(35) -0,0834(20) -0,0834(20) -0,290(80)
34 4 4 4 -0,0757(58) -0,0757(58) -0,0757(58) -0,227(27)
Tab. 5.5: Energieeigenwerte Ei und Anregungsgrade ni
der Einteilchenwellenfunktionen sowie die Gesamtenergie
der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Auch bei der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung zeigt sich, wie schon
bei der Zweiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung, der monotone Anstieg der
Energieeigenwerte in einer Energieserie. Dabei ist allerdings zu beachten, dass
immer die Quantenzahlen zweier Zustände fest gelassen werden müssen.
n1 n2 n3 E1 E2 E3 Eges
0 0 0 -2,93(00) -2,93(00) -2,93(00) -8,790(07)
1 0 0 -0,990(28) -1,95(66) -1,95(66) -4,90(36)
2 0 0 -0,506(59) -1,64(88) -1,64(88) -3,80(42)
3 0 0 -0,309(07) -1,51(59) -1,51(59) -3,34(09)
4 0 0 -0,208(44) -1,44(69) -1,44(69) -3,10(23)
5 0 0 -0.150(11) -1.40(66) -1.40(66) -2.96(35)
6 0 0 -0.113(26) -1.38(11) -1.38(11) -2.87(55)
7 0 0 -0.0884(99) -1.36(39) -1.36(39) -2.81(63)
8 0 0 -0.0710(54) -1.35(17) -1.35(17) -2.77(46)
9 0 0 -0.0583(02) -1.34(29) -1.34(29) -2.74(41)
Tab. 5.6: Energieserie der Dreiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung mit ϕ2(r2) und ϕ3(r3) als
Einteilchen-Grundzustand

62 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
In Tabelle 5.6 ist die Energieserie für (n2 = 0) und (n3 = 0) als Grundzustand
aufgeführt, während in Tabelle 5.7 die Energieserie für (n2 = 3) und (n3 = 4)
dargestellt ist.
-1/2
-E1 n1 n2 n3 E1 E2 E3 Eges
0 3 4 -0,571(21) -0,186(41) -0,147(44) -0,905(07)
1 3 4 -0,228(24) -0,144(72) -0,118(11) -0,491(08)
2 3 4 -0,148(00) -0,123(14) -0,102(54) -0,373(69)
3 3 4 -0,108(52) -0,108(52) -0,0918(60) -0,308(90)
4 3 4 -0,0834(20) -0,096(93) -0,0834(20) -0,290(80)
5 3 4 -0.0661(01) -0.0879(93) -0.0763(27) -0.230(42)
6 3 4 -0.0537(89) -0.0810(96) -0.0706(42) -0.205(52)
7 3 4 -0.0447(27) -0.0757(15) -0.0660(99) -0.186(54)
8 3 4 -0.0378(48) -0.0714(51) -0.0624(38) -0.171(73)
9 3 4 -0.0324(89) -0.0680(21) -0.0594(54) -0.159(96)
Tab. 5.7: Energieserie der Dreiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung mit ϕ2(r2) als dritter und
ϕ3(r3) als vierter angeregter Einteilchenzustand
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
f 00 (n 1 )
f 01 (n 1 )
f 02 (n 1 )
f 34 (n 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Abb. 5.13: Energieserien der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit angepassten
Geraden
n 1

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 63
In Abbildung 5.13 sind Geraden an die entsprechenden Energien angepasst worden.
Dabei handelt es sich um die beiden in den Tabellen 5.6 und 5.7 aufgeführten
Serien und um die Energien zu Kombinationen mit dem Grundzustand sowie entweder
dem 1. oder 2. angeregten Zustand. Dabei kennzeichnen die Indizes i, j der
E 2 ,E 3
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
E 2 (n 2 =0,n 3 =0)
Grundzustandsenergie zu ψ 00
E 2 (n 2 =0,n 3 =1)
Grundzustandsenergie zu ψ 01
E 3 (n 2 =0,n 3 =1)
Energie des 1. ang. Zustandes zu ψ 01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Abb. 5.14: Zum Grenzwert der Energieeigenwerte bei der Dreiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung
Geraden fij die Anregungsstufe der beiden ” festen“ Zustände. Auch hier sieht
man, dass die Energien dem Gesetz
n 1
1
| − E| = c1 + c2,n1n1
gehorchen. Für die Energieserien in Abbildung 5.13 ergaben sich als Geraden
f00(n1) = 0, 6260 + 0, 3908 · n1
f01(n1) = 0, 7887 + 0, 3928 · n1
f02(n1) = 0, 9191 + 0, 3932 · n1
f34(n1) = 1, 8025 + 0, 4170 · n1.
(5.5)
Betrachten wir nun noch, wie bereits beim Zweiteilchenproblem, das Verhalten
der Energien für festes n2 und n3. Dies ist in Abbildung 5.14 dargestellt.
Man erkennt, dass die drei Energiefunktionen gegen die entsprechenden Energien

64 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
des Zweiteilchenproblems laufen. Besonders deutlich wird dies, wenn man die
beiden Energieserien zu ψn01 betrachtet. E2 strebt gegen -0,699 [ERyd] und E3
gegen -0,384 [ERyd], was den Energien aus Tabelle 5.2 entspricht.
Dies lässt bei einer größeren Teilchenzahl ein analoges Verhalten erwarten. Ein
Ausblick auf weiterführende Arbeiten befindet sich in Kapitel 5.2.3.
5.2.2.2 Einige ausgewählte Wellenfunktionen
In den Abbildungen 5.15 bis 5.20 sind wieder einige ausgewählte Lösungen der
Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung aufgezeigt. Auch hier wurde wieder
das Potential um den Faktor 20 verkleinert und der Radiusbereich etwas eingeschränkt,
um eine bessere Darstellung zu ermöglichen.
Auch bei diesen Lösungen zeigen sich die erwarteten Merkmale. Die Einteilchen-
Wellenfunktionen fallen quadratisch für kleine und exponentiell für große r ab.
Außerdem entspricht die Ordnung der Zustände ihrer Zahl an Nullstellen.
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
ϕ 1 (n=0,r 1 )
ϕ 2 (n=1,r 2 )
ϕ 3 (n=2,r 3 )
Φ(r)/20
0 10 20 30 40 50 60 70
r i [a B ]
Abb. 5.15: Einteilchenwellenfunktion zu k = 5 und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 65
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
ϕ 1 (n=2,r 1 )
ϕ 2 (n=3,r 2 )
ϕ 3 (n=4,r 3 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200
r i [a B ]
Abb. 5.16: Einteilchenwellenfunktion zu k = 30 und zugehöriges selbstkonsistentes
Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
ϕ 1 (n=4,r 1 )
ϕ 2 (n=5,r 2 )
ϕ 3 (n=6,r 3 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250
r i [a B ]
Abb. 5.17: Kombination des 4., 5. und 6. angeregten Einteilchen-Zustandes und
zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gl.

66 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
ϕ 1 (n=1,r 1 )
ϕ 2 (n=4,r 2 )
ϕ 3 (n=8,r 3 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200
r i [a B ]
Abb. 5.18: Kombination des 1., 4. und 8. angeregten Einteilchen-Zustandes und
zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gl.
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
ϕ 1 (n=2,r 1 )
ϕ 2 (n=6,r 2 )
ϕ 3 (n=8,r 3 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250
r i [a B ]
Abb. 5.19: Kombination des 2., 6. und 8. angeregten Einteilchen-Zustandes und
zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gl.

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 67
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
-0.004
-0.005
ϕ 1 (n=6,r 1 )
ϕ 2 (n=7,r 2 )
ϕ 3 (n=8,r 3 )
Φ(r)/20
0 50 100 150 200 250 300 350 400
r i [a B ]
Abb. 5.20: Kombination des 6., 7. und 8. angeregten Einteilchen-Zustandes und
zugehöriges selbstkonsistentes Potential der Dreiteilchen-Newton-Schrödinger-Gl.
5.2.3 Zur Genauigkeit der erhaltenen Energieeigenwerte
Um zu überprüfen, wie genau die berechneten Ergebnisse sind, wurde wieder die
Genauigkeit des Runge-Kutta-Verfahrens geändert. Dabei hat sich gezeigt, dass
für eine Schrittweite von 10 −4 [aB] und 5 · 10 −5 [aB] die ersten drei, machmal auch
vier, von null verschiedenen Ziffern identisch waren. Bei niedrigerer Genauigkeit
wurden auch diese instabil. Man kann also die ersten drei gültigen Ziffern als
gesichert ansehen. Damit erzielt also auch dieses Verfahren eine mit dem Algorithmus
des Einteilchen-Problems vergleichbare Genauigkeit. Das Hauptproblem
bei Verkleinerung der Schrittweite bestand darin, dass die Anzahl der Werte, die
zwischengespeichert werden konnten, auf 4,8 Millionen beschränkt war.
5.2.4 Ausblick: Das Zehnteilchen-Problem
Um einen ersten Eindruck von größeren Teilchenzahlen zu bekommen, wird in
diesem Kapitel noch auf die Newton-Schrödinger-Gleichungen für zehn Teilchen
eingegangen. In Tabelle 5.8 ist eine Energieserie für Kombinationen von neun
Grundzuständen mit einem beliebigen anderen Zustand dargestellt.

68 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
n1 n2, n3 . . . n10 E1 E2, E3 . . . E10 Eges
0 0 -32.5(66) -32.5(66) -325.(66)
1 0 -13.1(05) -28.9(97) -274.(08)
2 0 -6.93(80) -27.7(74) -256.(91)
3 0 -4.27(68) -27.2(40) -249.(44)
4 0 -2.89(59) -26.9(62) -245.(56)
5 0 -2.08(94) -26.8(00) -243.(29)
6 0 -1.57(81) -26.6(96) -241.(85)
7 0 -1.23(38) -26.6(27) -240.(88)
8 0 -0.990(93) -26.5(78) -240.(19)
9 0 -0.813(31) -26.5(42) -239.(69)
Tab. 5.8: Energieserie zu ϕ2, ϕ3 . . . ϕ10 als Grundzustand
Auch hier zeigen sich die gleichen Eigenschaften, die bereits für zwei bzw. drei
Teilchen aufgeführt wurden. Betrachten wir die Eigenwerte E2 bis E10, stellen
wir fest, dass sie gegen den Eigenwert eines Neunteilchen-Problems E =
−26, 3(79) [ERyd] gehen, wenn wir dort ein Produkt aus neun Grundzuständen
als Gesamtwellenfunktion ansetzen. Dies ist in Abbildung 5.21 grafisch dargestellt.
Ebenfalls hat sich die These bestätigt, dass bei höheren Teilchenzahlen die
E 2 bis E 10
-26
-27
-28
-29
-30
-31
-32
-33
E 2 bis E 10 (n 2 =n 3 =...=n 10 =0)
Grundzustand, neun Teilchen
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Abb. 5.21: Zum Grenzwert der Energieeigenwerte der Zehnteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung
n 1

5.2. Ansatz über eine Produktwellenfunktion 69
Energien dem Gesetz
1
| − E| = ν1
mit ν1 = (n1 + µn1) gehorchen. Die erhaltene Gerade ist in Abbildung 5.22 dargestellt.
Für sie gilt:
f(n1) = 0, 1710 + 0, 1042 · n1. (5.6)
Man erkennt, dass sich alle Energieeigenwerte derart erhaltener Lösungen inner-
-E 1 -1/2
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
f(n 1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Abb. 5.22: Eine Energieserie der Zehnteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung mit
angepasster Gerade
halb solcher Energieserien gleich verhalten:
• Sie steigen streng monoton an, und streben für n −→ ∞ gegen Null.
• Wird die Ordnung aller bis auf einen Energieeigenwert fest gelassen, dann
gehorcht der Eigenwert mit variabler Ordnung einem Gesetz, welches gleich
aussieht wie bei dem auf kurzen Skalen modifizierten Coulomb-Problem,
also
n 1
En = − c2nERyd ν2 .

70 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Dabei ist cn jedoch eine von eins verschiedene Renormierungskonstante und
ν = (n + µ) die um einen Quantendefekt µ modifizierte Quantenzahl des
Zustandes.
• Die zu den Wellenfunktionen konstanter Ordnung gehörenden Energieeigenwerte
hingegen streben für den Fall, dass die variable Ordnung sehr groß
wird, gegen einen konstanten Wert. Dieser entspricht dann dem Fall, dass
man ein Teilchen weniger und die restlichen Teilchen alle in den entsprechenden
Anregungszuständen hat. Beispielsweise konvergieren die Energien
des Problems ψ34n→∞ gegen die Eigenwerte des Problems ψ34.
5.3 Ausblick: Unterschiedliche Massen
Eine wichtige Vereinfachung war bisher, dass alle Massen gleich groß sind. Was
passiert aber, wenn dies nicht mehr so ist? In diesem Kapitel wird ein kurzer
Ausblick auf diesen Fall gegeben. Zuerst einmal müssen wir uns überlegen, wie
sich unterschiedliche Massen auf das zu lösende Gleichungssystem auswirken.
Dazu gehen wir zurück zu den Gleichungen (2.64) und (2.66) bzw. zur Gleichung
(2.67). Nun werden diese wieder etwas vereinfacht, indem wir ” natürliche“ Einheiten
wählen, allerdings sollen diese diesmal massenunabhängig sein:
ERyd = 1
2 α2 Gc2 , (5.7)
aB =
und (5.8)
cαG
αG = G
. (5.9)
c
Mit diesen Einheiten vereinfacht sich dann Gleichung (2.67) zu
− 1
′ 1
|ψ(r 1, r
∆r1 − ∆r2 − 2m1 m1
m1 m2
′ 2)| 2
|r1 − r ′ 1| d3r ′ 1d 3 r ′ 2
′ |ψ(r 1, r
+ m2
′ 2)| 2
|r1 − r ′ 2| d3r ′ 1d 3 r ′ ′ |ψ(r 1, r
2 − 2m2 m1
′ 2)| 2
′ |ψ(r 1, r
+ m2
′ 2)| 2
ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2)
|r2 − r ′ 2| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2
|r2 − r ′ 1| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2 (5.10)
Durch einen Produktansatz für die Wellenfunktion und Abseperation der einzelnen
Koordinaten erhalten wir dann zwei Einteilchengleichungen der Form:
− 1
′ |ψ(r 1, r
∆ri − 2mi m1
mi
′ 2)| 2
|ri − r ′ 1| d3r ′ 1d 3 r ′ 2
′ |ψ(r 1, r
+ m2
′ 2)| 2
ϕ(ri) = Eϕ(ri), (5.11)
|ri − r ′ 2| d3 r ′ 1d 3 r ′ 2

5.3. Ausblick: Unterschiedliche Massen 71
bzw. für den radialsymmetrischen Fall:
2 1 ∂
mi
+ 2
∂
ϕi(ri) = (miΦ(ri) − E) ϕi(ri).
ri ∂ri
(5.12)
∂r 2 i
Diese Gleichungen wurden für den Spezialfall m1 = m2 bereits gelöst und werden
im Folgenden noch für die Fälle 2m1 = m2, 3m1 = m2 und 4m1 = m2 behandelt.
Der Einfachheit halber wird m1 = 1 angenommen. Es ist allerdings problemlos
möglich, auch beliebige Massen anzunehmen. Es wird allerdings nur exemplarisch
die Energieserie {E0, En} betrachtet. Diese Energieserie ist in den Tabellen 5.9
und 5.10 aufgeführt.
m1 = m2
2m1 = m2
n1 n2 E1 E2 E1 E2
0 0 -1,30(22) -1,30(22) -4,89(24) -16,7(93)
0 1 -0,384(15) -0,698(84) -2,52(81) -4,64(93)
0 2 -0,189(26) -0,5217(72) -1,60(87) -2,23(86)
0 3 -0,113(89) -0,446(35) -1,17(08) -1,33(75)
0 4 -0,0763(61) -0,407(32) -0,927(24) -0,898(47)
0 5 -0,0548(34) -0,384(54) -0,776(75) -0,649(37)
0 6 -0,0413(11) -0,370(10) -0,676(81) -0,493(35)
0 7 -0,0322(50) -0,360(38) -0,606(91) -0,388(63)
0 8 -0,0258(78) -0,353(52) -0,556(02) -0,314(65)
0 9 -0,0212(25) -0,348(50) -0,517(80) -0,260(30)
Tab. 5.9: Energieeigenwerte der Zweiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung für m1 = m2 und 2m1 = m2.
Wenn man verschiedene Massen zulässt, ist das Verhalten der einzelnen Energieeigenwerte
erst einmal gleich wie für den Fall, dass alle Massen gleich sind. Sie
steigen streng monoton an und gehen für n −→ ∞ gegen Null.
Ebenfalls zeigt sich bei einem Vergleich mit dem Fall gleicher Massen, dass die
Eigenwerte bei unterschiedlichen Massen deutlich größer sind. Dies liegt daran,
dass das Potential deutlich stärker bindet,wenn eine der Massen schwerer wird.
In Tabelle 5.9 fällt auf, dass für den Fall 2m1 = m2 der zu m2 gehörende Energieeigenwert
für niedrige Quantenzahlen größer ist als der zu m1 gehörende Eigenwert.
Dieses Verhalten kehrt sich jedoch ab n2 = 4 um. Auch bei den anderen
Massenverhältnissen deutet sich an, dass bei großen n2 die zu m2 gehörenden
Energieeigenwerte kleiner werden als die von m1.

72 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
3m1 = m2
4m1 = m2
n1 n2 E1 E2 E1 E2
0 0 -11,2(86) -96,2(25) -19,9(51) -365,(81)
0 1 -6,59(38) -24,1(26) -13,4(13) -84,0(11)
0 2 -4,20(32) -11,3(50) -8,89(66) -38,6(89)
0 3 -2,96(18) -6,67(72) -6,31(39) -22,5(27)
0 4 -2,24(36) -4,43(13) -4,75(00) -14,8(34)
0 5 -1,79(03) -3,17(32) -3,73(90) -10,5(52)
0 6 -1,48(42) -2,39(40) -3,04(59) -7,91(18)
0 7 -1,26(73) -1,87(65) -2,55(21) -6,17(09)
0 8 -1,10(73) -1,51(42) -2,18(57) -4,95(79)
0 9 -0,985(51) -1,24(99) -1,90(57) -4,07(73)
Tab. 5.10: Energieeigenwerte der Zweiteilchen-Newton-
Schrödinger-Gleichung für 3m1 = m2 und 4m1 = m2.
5.4 Kritik am Penroseschen Ansatz
Penrose geht in seinem Ansatz zur Mehrteilchen-Gleichung in [Penrose (1998a)]
nicht auf die direkte Wechselwirkung zwischen den Teilchen ein. In seinem Ansatz
ist diese Wechselwirkung bereits in der Defomierung der Metrik durch die Wellenfunktion
und damit im Potential enthalten. Hier soll nun eine Korrektur der
Energieeigenwerte durch einen konventionellen Wechselwirkungsterm der Form
∆E12 = −Gm1m2
∞ ∞
0
0
|ψ(r1, r2)| 2
|r1 − r2| d3 r1d 3 r2
(5.13)
berechnet werden. Dies liefert eine Abschätzung dafür, wie stark sich eine direkte
Wechselwirkung zwischen den Teilchen auf die Energieeigenwerte auswirken würde.
Um ∆E12 numerisch zu berechnen, führt man zuerst wieder natürliche Einheiten
ein, und betrachtet das System für eine Produktwellenfunktion in s-Wellen-
Näherung. Damit vereinfacht sich die Energie (5.13) zu
mit
∆E12 = 16π 2
∞
dr1r
0
2 ∞
2 1
1 |ϕ1(r1)| |ϕ2(r2)|
0 r>
2 r 2 2dr2 = 16π 2
∞
0
r 2 1 |ϕ1(r1)| 2 C(r1)dr1
C(r1) = 1
r1
r1 0
|ϕ2(r2)| 2 r 2 2dr2 ∞
+
r1
(5.14)
|ϕ2(r2)| 2 r2dr2. (5.15)

5.4. Kritik am Penroseschen Ansatz 73
In Tabelle 5.11 sind die um ∆E12 korrigierten Energien Ekorr zusammengefasst.
In der Tabelle wurde wieder in der ersten Spalte die Anregungsstufe k des Zweiteilchenzustandes
und in den beiden folgenden Spalten die Anregungsgrade n1
und n2 der entsprechenden Einteilchenzustände eingetragen. ˜ Eges ist die in Kapitel
5.2.1.1 bestimmte Zweiteilchen-Energie.
Es zeigt sich, dass man, wenn man über (5.13) wechselwirkende Massen betrachtet,
eine nicht zu vernachlässigende Energiekorrektur erhält. Insbesondere weiterführende
Arbeiten sollten daher selbstkonsistent die gravitative Wechselwirkung
zwischen den Teilchen berücksichtigen.
k n1 n2
˜Eges ∆E12 Ekorr
0 0 0 -2,60(44) -0,43(44) -2,17(00)
1 0 1 -1,08(29) -0,15(99) -0,92(30)
2 1 1 -0,492(75) -0,082(13) -0,410(62)
3 0 2 -0,711(02) -0,085(72) -0,625(30)
4 1 2 -0,306(80) -0,049(54) -0,257(26)
5 2 2 -0,200(41) -0,033(41) -0,167(00)
6 0 3 -0,560(24) -0,053(86) -0,506(38)
7 1 3 -0,221(82) -0,033(60) -0,188(22)
8 2 3 -0,145(05) -0,023(83) -0,121(22)
9 3 3 -0,107(95) -0,017(99) -0,089(96)
10 0 4 -0,483(67) -0,037(09) 0,446(58)
11 1 4 -0,175(30) -0,024(50) 0,150(80)
12 2 4 -0,112(91) -0,017(97) 0,094(94)
13 3 4 -0,0844(82) -0,0139(67) 0,0705(15)
14 4 4 -0,0673(41) -0,0112(23) 0,0561(18)
15 0 5 -0,439(36) -0,027(12) -0,412(22)
16 1 5 -0,146(79) -0,018(76) -0,128(03)
17 2 5 -0,0924(98) -0,0141(16) -0,0783(82)
18 3 5 -0,0690(07) -0,0111(93) -0,0578(14)
19 4 5 -0,0552(88) -0,0091(65) -0,0461(23)
20 5 5 -0,0459(77) -0,0076(62) -0,0383(15)
21 0 6 -0,411(41) -0,020(69) -0,390(72)
22 1 6 -0,127(94) -0,014(86) -0,113(08)
23 2 6 -0,0786(37) -0,0114(26) -0,067211
24 3 6 -0,0582(44) -0,0092(02) -0,0490(42)
25 4 6 -0,0466(73) -0,0076(40) -0,0390(33)
26 5 6 -0,0389(88) -0,0064(73) -0,032515
27 6 6 -0,0333(75) -0,0055(62) -0,027813
26 0 7 -0,392(63) -0,016(31) -0,376(32)
29 1 7 -0,114(79) -0,012(09) -0,102(70)
30 2 7 -0,0687(44) -0,0094(65) -0,0592(79)

74 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
k n1 n2
˜Eges ∆E12 Ekorr
31 3 7 -0,0504(28) -0,0077(21) -0,0427(07)
32 4 7 -0,0403(07) -0,0064(80) -0,0338(27)
33 5 7 -0,0337(09) -0,0055(47) -0,0281(62)
34 6 7 -0,0289(65) -0,0048(14) -0,0241(51)
35 7 7 -0,0253(27) -0,0042(20) -0,0211(07)
36 0 8 -0,379(40) -0,013(19) -0,366(21)
37 1 8 -0,105(22) -0,010(03) -0,095(19)
38 2 8 -0,0614(11) -0,0079(85) -0,0534(26)
39 3 8 -0,0445(54) -0,0065(86) -0,0379(68)
40 4 8 -0,0354(61) -0,0055(78) -0,0298(83)
41 5 8 -0,0296(35) -0,0048(13) -0,0248(22)
42 6 8 -0,0255(01) -0,0042(09) -0,0212(92)
43 7 8 -0,0223(64) -0,0037(19) -0,0186(45)
44 8 8 -0,0198(79) -0,0033(10) -0,0165(69)
45 0 9 -0,369(73) -0,010(88) -0,358(85)
46 1 9 -0,0980(42) -0,0084(70) -0,0895(72)
47 2 9 -0,0558(02) -0,0068(35) -0,0489(67)
48 3 9 -0,0400(23) -0,0056(94) -0,0343(29)
49 4 9 -0,0316(95) -0,0048(60) -0,0268(35)
50 5 9 -0,0264(29) -0,0042(21) -0,0222(08)
51 6 9 -0,0227(69) -0,0037(15) -0,0190(54)
52 7 9 -0,0200(04) -0,0033(04) -0,01967(36)
53 8 9 -0,0178(27) -0,0029(59) -0,0148(68)
54 9 9 -0,0160(50) -0,0026(63) -0,0133(87)
55 0 10 -0,362(45) -0,0091(33) -0,36153(67)
56 1 10 -0,0924(92) -0,0072(46) -0,0852(46)
57 2 10 -0,0514(26) -0,0059(23) -0,0455(03)
58 3 10 -0,0364(47) -0,0049(79) -0,0314(68)
59 4 10 -0,0286(74) -0,0042(78) -0,0243(96)
60 5 10 -0,0238(43) -0,0037(38) -0,0201(05)
61 6 10 -0,0205(38) -0,0033(07) -0,0172(31)
62 7 10 -0,0180(38) -0,0029(53) -0,0150(85)
63 8 10 -0,0161(04) -0,0026(63) -0,0134(41)
64 9 10 -0,0145(33) -0,0024(10) -0,0121(23)
65 10 10 -0,0132(05) -0,0021(94) -0,0110(11)
Tab. 5.11: Energieeigenwerte für den Fall wechselwirkender
Teilchen
Die Energiekorrektur (5.13) stellt nur eine Möglichkeit dar, solch eine Wechselwirkung
zu berechnen. In [Jones (1995)] wird eine andere Korrektur vorgestellt.

5.4. Kritik am Penroseschen Ansatz 75
Diese hat für zwei Teilchen mit der Wellenfunktion ψ(r1, r2) = 1
N ϕ1(r1)ϕ2(r2)
die Form
∞ ∞
∆E12 =
0 0
d 3 r1d 3 r2d 3 ˜r1d 3 ˜r2
1
2
2
i,j=1
Gm 2
|ri − ˜rj|
und wird in der Schrödinger-Gleichung wie folgt berücksichtigt:
− 2
∆r1 −
2m1
2
∆r2 + m1Φ(r1) + m2Φ(r2) − ∆E12
2m2
ψ 2 (r1, r2)ψ 2 (˜r1, ˜r2)
(5.16)
ψ(r1, r2) = Eψ(r1, r2).
(5.17)
Diese Form der Wechselwirkung beinhaltet zwar die von uns vorgeschlagenen Korrekturen,
erweitert sie jedoch noch um eine gravitative Selbstwechselwirkung der
Einteilchenwellenfunktionen mit sich selbst. Weiterführende Untersuchungen zu
diesen über die Newton-Schrödinger-Gleichung hinausgehenden Ansätzen werden
durch die vorliegende Arbeit angeregt und dürften sich als lohnend erweisen.

76 Kapitel 5. Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

Kapitel 6
Teilchenzahlabhängige Diskussion
der verschiedenen Ergebnisse
In diesem Kapitel werden noch die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten
Ergebnisse miteinander verglichen.
6.1 Vergleich zwischen Einteilchen- und totalsymmetrischen
Mehrteilchen-Ansatz
Zuerst werden die beiden einfachsten Fälle betrachtet. Wie wir bereits in Gleichung
(3.18) gesehen haben, sind die Energieeigenwerte bei totalsymmetrischen
Wellenfunktionen als Lösungen der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger Gleichung
abhängig von der Teilchenzahl:
E = N 3 EEinteilchen.
Dies hat sich in Tabelle 5.1 sehr klar gezeigt. Aber wie verhalten sich die Wellenfunktionen?
Dazu betrachten wir als Beispiele den zweiten (siehe Abbildung
6.1), den vierten (siehe Abbildung 6.2) und den achten (siehe Abbildung 6.3) angeregten
Zustand. (In den Graphen wurde die Zehnteilchen-Wellenfunktion der
Übersicht halber oberhalb eines bestimmten Wertes abgeschnitten.)
Je mehr Teilchen zum Potential beitragen, desto geringer ist die Breite der Wellenfunktionen.
Ein einzelnes Teilchen ist über einen recht großen Bereich ” verschmiert“,
während eine größere Zahl von Teilchen stärker im klassischen Massenzentrum
lokalisiert sind. Sehr schön ist dies bei zehn Teilchen zu sehen, die
eine besonders große Aufenthaltswahrscheinlichkeit um ihren klassichen Ort herum
haben 1 .
1 In Tabelle 2.1 hat sich gezeigt, dass große Massen sehr schnell in einen Eigenzustand kollabieren
und sich dann keine quantenmechanischen Effekte mehr bemerkbar machen.
77

78 Kapitel 6. Teilchenzahlabhängige Diskussion der verschiedenen Ergebnisse
ϕ i (r)
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
Einteilchenfunktion
Dreiteilchenfunktion
Zehnteilchenfunktion
0 10 20 30 40
r [aB ]
50 60 70 80
Abb. 6.1: 2. angeregter Zustand einer totalsymmetrischen Wellenfunktion als Lösung
der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3 und 10 Teilchen
ϕ i (r)
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
Einteilchenfunktion
Dreiteilchenfunktion
Zehnteilchenfunktion
0 50 100
r [aB ]
150 200
Abb. 6.2: 4. angeregter Zustand einer totalsymmetrischen Wellenfunktion als Lösung
der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3 und 10 Teilchen

6.1. Vergleich zwischen Einteilchen- und totalsymmetrischen Mehrteilchen-Ansatz79
ϕ i (r)
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
-0.004
Einteilchenfunktion
Dreiteilchenfunktion
Zehnteilchenfunktion
0 50 100 150 200
r [aB ]
250 300 350 400
Abb. 6.3: 8. angeregter Zustand einer totalsymmetrischen Wellenfunktion als Lösung
der Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3 und 10 Teilchen
Dieses Verhalten lässt sich durch das Potential erklären. Betrachten wir hierzu
die Abbildungen 6.4 bis 6.6. In diesen sind die Mehrteilchen-Potentiale für ein
einzelnes Teilchen, für drei Teilchen und schließlich noch für zehn Teilchen im
Grundzustand dargestellt.
Man erkennt, dass die Potentiale für mehr Teilchen vom Betrag her deutlich
tiefer sind. (Dies war auch nicht anders zu erwarten, da eine größere Masse auch
ein stärker anziehendes Gravitationspotential erzeugt.) Die Folge ist dann eine
viel stärkere Lokalisierung der Wellenfunktion im Zentrum.

80 Kapitel 6. Teilchenzahlabhängige Diskussion der verschiedenen Ergebnisse
Φ N (r)
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
Einteilchen-Potential
0 5 10 15
r [aB ]
20 25 30
Abb. 6.4: Potential für eine totalsymmetrische Wellenfunktion als Lösung der
Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1 Teilchen
Φ N (r)
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Einteilchen-Potential
Dreiteilchen-Potential
0 5 10 15
r [aB ]
20 25 30
Abb. 6.5: Potentiale für eine totalsymmetrische Wellenfunktion als Lösung der
Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1 und 3 Teilchen

6.2. Vergleich zwischen den unsymmetrischen Wellenfunktionen 81
Φ N (r)
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
Einteilchen-Potential
Dreiteilchen-Potential
Zehnteilchen-Potential
0 5 10 15
r [aB ]
20 25 30
Abb. 6.6: Potentiale für eine totalsymmetrische Wellenfunktion als Lösung der
Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung für 1, 3 und 10 Teilchen
6.2 Vergleich zwischen den unsymmetrischen
Mehrteilchen-Wellenfunktionen
Ebenfalls von Interesse ist der Vergleich zwischen den unsymmetrischen Wellenfunktionen
2 . Dazu betrachten wir zuerst die Energieeigenwerte. Es ist zwar etwas
schwierig, sie direkt zu vergleichen, aber eine gewisse Tendenz lässt sich trotzdem
ablesen. Die Dreiteilchen-Energieeigenwerte sind deutlich kleiner 3 als die
Zweiteilchen-Energieeigenwerte. Dies ist nicht wirklich überraschend, denn mehr
Teilchen bedeuten ein stärkeres Potential, was wiederum kleinere Energien bedeutet.
Dies macht sich auch bei den Wellenfunktionen bemerkbar. Wenn man z.B. die
Einteilchenwellenfunktionen der Gesamtwellenfunktionen ψ01 mit denen von ψ011
vergleicht, dann haben die Einteilchenfunktionen von ψ001 eine geringere Breite
2 Formal werden damit auch gleich die symmetrischen und antisymmetrischen Wellenfunktionen
behandelt, da sich, wie in Kapitel 3.2.3 gezeigt, die Einteilchenprobleme, auf die das
Mehrteilchen-Problem zurückgeführt wird, nicht von dem unsymmetrischen Produktansatz unterscheiden.
3 Vom Betrag her ist das Potential natürlich deutlich größer.

82 Kapitel 6. Teilchenzahlabhängige Diskussion der verschiedenen Ergebnisse
(siehe hierzu Abbildung 6.7) als die von ψ011, welche aber wiederum eine geringere
Breite haben als die aus ψ01. Einerseits sorgt also wieder, wie in Kapitel
6.1, eine höhere Zahl von Teilchen auf Grund des größeren Potentials dafür, dass
die Einteilchenfunktionen stärker lokalisiert sind. Andererseits ist es aber auch
entscheidend, welche Einteilchen-Wellenfunktionen am Gesamtzustand beteiligt
sind. Der Grund dafür ist offensichtlich. Sind z.B. wie hier zwei Grundzustands-
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
ϕ(n=0) aus ψ 01
Φ/20 zu ψ 01
ϕ(n=0) aus ψ 011
Φ/20 zu ψ 011
ϕ(n=0) aus ψ 001
Φ/20 zu ψ 001
0 5 10 15 20 25
r [a B ]
Abb. 6.7: Zu ψ01, ψ001 und ψ011 gehörender Einteilchen-Grundzustand und zugehöriges
Potential
Wellenfunktionen statt nur einer an einem Gesamtzustand beteiligt, dann wird
das Potential aus Gleichung (3.29) in der Nähe des Zentrums stärker, da der
Grundzustand im Vergleich zum 1. angeregten eine viel höhere Aufenthaltswahrscheinlichkeit
in der Nähe des Ursprungs hat (siehe auch hierzu die Abbildung
6.7).
Dies wird auch besonders deutlich, wenn man einen direkten Vergleich von Zwei-,
Drei- und Zehnteilchenfunktionen betrachtet, was in den Abbildungen 6.8 und 6.9
dargestellt ist. Hier zeigt sich ebenfalls für beide dargestellten Zustände, dass eine
höhere Teilchenzahl eine stärkere Lokalisierung der Zustände bedeutet. Die zugehörigen
Potentiale verhalten sich im Prinzip gleich wie die in den Abbildungen
6.4 - 6.6 aufgeführten Potentiale.

6.2. Vergleich zwischen den unsymmetrischen Wellenfunktionen 83
ϕ i (r i )
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Grundzustand zu ψ 01
Grundzustand zu ψ 001
Grundzustand zu ψ 0 9 1
0 2 4 6 8 10
ri [aB ]
Abb. 6.8: Zu ψ01, ψ001 und ψ 0 9 1 gehörender Einteilchen-Grundzustand
ϕ i (r i )
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
1. angeregter Zustand zu ψ 01
1. angeregter Zustand zu ψ 001
1. angeregter Zustand zu ψ 0 9 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
ri [aB ]
Abb. 6.9: Zu ψ01, ψ001 und ψ 0 9 1 gehörender Einteilchen-1. angeregter Zustand

84 Kapitel 6. Teilchenzahlabhängige Diskussion der verschiedenen Ergebnisse
6.3 Vergleich von totalsymmetrischen Ansatz
mit unsymmetrischer Wellenfunktion
Dieser Vergleich ist eigentlich schon abgeschlossen, da die totalsymmetrischen
Wellenfunktionen eine Teilmenge des Raums der unsymmetrischen Wellenfunktionen
bilden. Deren Verhalten wurde an Hand der Zweiteilchen- bzw. Dreiteilchenwellenfunktionen
bereits untersucht.
Bei den für diese Fälle aufgeführten Energieserien ist immer auch ein totalsymmetrischer
Zustand dabei. So ist zum Beispiel bei der Serie {E0, En} eine Kombination
aus zwei Grundzuständen Teil der Serie bzw. eine Kombination aus zwei
4. angeregten Zuständen bei der Serie {E4, En}.
Es werden also keine neuen Erkenntnisse gewonnen, wenn wir näher auf diesen
speziellen Vergleich eingehen.

Kapitel 7
Zusammenfassung
Im Folgenden sollen noch einmal kurz Ziele und Ergebnisse dieser Diplomarbeit
zusammengefasst werden. Am Ende des Kapitels folgt noch ein kleiener Ausblick
auf zukünftige Problemstellungen.
7.1 Ziele der Diplomarbeit
• Das erste Ziel war es, die bereits vorhandenen Lösungen zur Einteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung zu überprüfen, um Referenzwerte zu erhalten
und dann noch gegebenenfalls zu erweitern.
• Danach sollte ein numerisches Verfahren entwickelt werden, mit dessen Hilfe
man Lösungen für die Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichungen findet.
• Eine weitere Aufgabe war es, mit den so erzielten Datensätzen Gesetzmäßigkeiten
zu finden, um gegebenenfalls Aussagen über numerisch noch nicht
bestimmbare Lösungen zu machen.
7.2 Ergebnisse der Diplomarbeit
• In dieser Arbeit wurden, unseres Wissens nach, die ersten Ergebnisse
zur Mehrteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichungen aufgezeigt. Diese wurden
durch einen selbstkonsistenten Algorithmus bestimmt, welcher ähnlich
wie das Hartree-Verfahren abläuft.
• Es hat sich gezeigt, dass die Energieeigenwerte des Mehrteilchenproblems
ähnlichen Gesetzen gehorchen wie sie bereits für das Einteilchenproblem
gefunden wurden. Dies gilt jedoch nur innerhalb der einzelnen Energieserien,
bei denen die Ordnung aller bis auf einen Energieeigenwert festgehalten wird
85

86 Kapitel 7. Zusammenfassung
(Man hat es also immer mit einem ” freien“ und N − 1 ” festen“ Eigenwerten
zu tun.).
i. Sie streben, streng monoton steigend für n −→ ∞ gegen Null.
ii. Der ” freie“ Eigenwert gehorcht einem Gesetz, welches die gleiche Form
hat wie ein auf kurzen Skalen modifiziertes Coulomb-Problem, also
En = − c2nERyd ν2 , (7.1)
wobei ERyd hier die gravitative Rydbergenergie, cn eine von eins verschiedene
Renormierungskonstante und ν = (n + µ) die um den Quantendefekt
µ modifizierte Ordnung des betrachteten Zustandes ist.
iii. Die ” festen“ Eigenwerte nähern sich für den Fall, dass die variable
Ordnung sehr groß wird, einem Eigenwert, welcher dem Fall entspricht,
dass man ein Teilchen weniger und die gleichen Ordnungen hat.
• Es lassen sich außerdem noch einige qualitative Aussagen treffen:
i. Eine höhere Teilchenzahl bedeuten bei vergleichbaren Zuständen deutlich
niedrigere Energieeigenwerte, was vor allem daran liegt, dass eine
höhere Teilchenzahl auch ein stärkeres Potential erzeugt.
ii. Ebenfalls zeigte sich, dass die Lösungen bei Mehrteilchen-Problemen
stärker lokalisiert sind, wenn es mehr Teilchen sind. Dies liegt wiederum
am stärker anziehenden Potential.
• Ansonsten wurden auch noch die in [Epple (2003)] oder [Moroz u. a. (1998)]
gefundenen Einteilchen-Lösungen überprüft, bestätigt und erweitert.
7.3 Ausblick
• In der Zukunft wird man sich vor allem damit beschäftigen müssen, bestehende
Algorithmen zu verbessern. Insbesondere muss versucht werden,
die Genauigkeit zu erhöhen ohne einen größeren Bedarf an Hardware zu
benötigen. Dies kann man vielleicht durch die Methode der Finiten Elemente
erreichen, bei der der Definitionsbereich in n Teilbereiche, die finiten
Elemente, unterteilt wird. In einem solchen Element werden dann
die Lösungen der Differentialgleichung nach lokalen Basisfunktionen, zum
Beispiel B-Splines, entwickelt. Diese Methode hat sich bei Hartree-Fock-
Rechungen als sehr schnell erwiesen [Klews (2003)]. Ihre Verwendbarkeit
bei der Newton-Schrödinger-Gleichung muss noch überprüft werden.
• Dann kann man die erste Vereinfachung, dass alle Massen gleich groß sind,
weglassen. Dies wurde bereits in Kapitel 5.3 angedeutet. Dazu müsste noch

7.3. Ausblick 87
ein vollständiger Satz von Eigenwerten und Eigenfunktionen bestimmt werden.
• Ebenfalls könnte man eine Wechselwirkung der Teilchen wie in Kapitel 5.4
genauer untersuchen, und vor allem für beliebige Teilchenzahlen berechnen.
Dies wird insbesondere dann interessant, wenn die Genauigkeit der Energieeigenwerte
besser ist.
• Die wichtigste Verallgemeinerung, die jedoch bei weitem komplizierter sein
dürfte als alle bisherigen Rechnungen, ist es, sich von den radialsymmetrischen
Problemen zu lösen. Es gibt zwar bereits Vorschläge, axialsymmetrische
Probleme [Harrison u. a. (2003)] zu bearbeiten, jedoch wäre es
natürlich das endgültige Ziel, ein vollkommen unsymmetrisches Problem zu
lösen.

88 Kapitel 7. Zusammenfassung

Anhang A
Hermitesche Operatoren
Es sollen nun zwei wichtige Eigenschaften von hermiteschen Operatoren überprüft
werden. Als erstes wird gezeigt, dass ihre Eigenwerte reell sind und als zweites,
dass ihre Eigenfunktionen orthogonal aufeinander stehen.
Sei H(x) ein hermitescher Operator, es gelte also:
H(x) = H + (x).
Sei h1 Eigenwert zur Eigenfunktion |ψ〉 von H(x), dann gilt
〈ψ |H ψ〉 = h1〈ψ|ψ〉 = h1
= 〈ψH + |ψ〉 = h ⋆ 1 〈ψ|ψ〉 = h⋆ 1 .
Also gilt h1 = h⋆ 1 , was nur erfüllt ist, wenn die Eigenwerte zu H(x) reell sind.
Sei nun noch h2 Eigenwert zur Eigenfunktion |χ〉 von H(x), wobei |χ〉 = |ψ〉 ist,
dann gilt
〈χ| H ψ〉 = h1〈χ|ψ〉
= 〈χH + |ψ〉 = h2〈χ|ψ〉.
Dies soll für beliebige h1 und h2 gelten, was nur dann möglich ist, wenn
〈χ|ψ〉 = 0
gilt, falls |χ〉 = |ψ〉 erfüllt ist. Also sind die Eigenfunktionen zu verschiedenen
Eigenwerten eines hermiteschen Operators orthogonal.
89

90 Anhang A. Hermitesche Operatoren

Anhang B
Reihenentwicklung von ψ(r) und
V (r) um r = 0 herum.
Um die Wellenfunktion ψ(r) und das Potential V (r) der radialsymmetrischen
Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung um den Ursprung herum in eine
Taylor-Reihe zu entwickeln, schreiben wir zuerst die Gleichungen (2.38) und (2.39)
in
∂ 2
(rψ(r))= − rV (r)ψ(r) und (B.1)
∂r2 (rψ(r)) ≡ ∂2 r
∂2 ∂r2 (rV (r)) ≡ ∂2 r (rV (r))= − 8πrψ2 (r) (B.2)
um. Zur Vereinfachung des Systems führen wir
˜V (r) ≡ rV (r) und
˜ψ(r) ≡ rψ(r) (B.3)
ein, und lassen von jetzt an immer die Koordinatenabhängigkeit weg. Damit
schreiben sich die Gleichungen (B.1) und (B.2) als:
Mit den Bedingungen (2.50), (2.51) und (2.52)
∂ 2 r ˜ ψ = − 1
r ˜ V ˜ ψ und (B.4)
∂ 2 r ˜ V = − 8π
r ˜ ψ 2 . (B.5)
∂rψ = 0
∂rV = 0
ψ(0) = ψ0
V (0) = V0
91
(B.6)

92 Anhang B. Reihenentwicklung von ψ(r) und V (r) um r = 0 herum.
kann man dann damit beginnen, ˜ ψ(r) und ˜ V (r) in Taylorreihen
˜ψ(r) = ˜ ψ(0) + ∂r ˜ ψ(0) r + ∂ 2 r ˜ ψ(0) r 2 + ∂ 3 r ˜ ψ(0) r 3 + . . . (B.7)
˜V (r) = ˜ V (0) + ∂r ˜ V (0) r + ∂ 2 r ˜ V (0) r 2 + ∂ 3 r ˜ V (0) r 3 + . . . (B.8)
zu entwickeln. Dazu müssen aber zuerst die ganzen Ableitungen von ˜ ψ und ˜ V an
der Stelle r = 0 bestimmt werden. Da man für höhere Ableitungen der beiden
Funktionen auch immer Ableitungen der jeweils anderen Funktion benötigt, werden
die Ableitungen parallel bestimmt. Beginnen wir mit den Funktionen selbst:
Dann folgen die ersten Ableitungen:
Dann die zweiten Ableitungen:
∂ 2 r ˜ ψ (0) (B.4)
=
∂ 2 r ˜ V (0) (B.5)
=
˜ψ(0) = rψ (0)= 0 (B.9)
˜V (0) = rV (0)= 0. (B.10)
∂r ˜ ψ (0) = ψ + r(∂rψ) (0) = ψ0
(B.11)
∂r ˜ V (0) = V + r(∂rV ) (0)= V0. (B.12)
− 1
r ˜ ψ ˜
V (0) (B.3)
= − rψV (0) = 0 (B.13)
− 8π
r ˜ ψ 2
(0) (B.3)
= − 8πrψ 2 )(0) = 0. (B.14)
Ab jetzt werden der Übersichtlichkeit halber die einzelnen Funktionen getrennt
betrachtet. Also kommt nun die dritte Ableitung zuerst von ˜ ψ(r):
3 (B.4)
∂ ˜
r ψ (0) = ∂r − 1
r ˜ ψ ˜
V (0)
= − 1
r ( ˜ ψ∂r ˜ V + ˜ V ∂r ˜ ψ) + 1
r2 ˜ V ˜
ψ (0)
(B.3)
= − 1
r (rψ∂r ˜ V + rV ∂r ˜ ψ) + 1
rV rψ (0)
r2 (B.6)
= −ψ0V0 − V0ψ0 + V0ψ0
= −V0ψ0
(B.15)

und dann die dritte Ableitung von ˜ V (r):
3 (B.5)
∂ ˜
1
r V (0) = −8π∂r
r ˜ ψ 2
(0)
= −8π − 1
r2 ˜ ψ 2 + 2
r ˜ ψ∂r ˜
ψ (0)
(B.3) 1
= −8π
r2 r2ψ 2 + 2
r rψ∂r ˜
ψ (0)
(B.6)
= −8π(−ψ 2 0 + 2ψ 2 0 )
93
= −8πψ 2 0. (B.16)
Jetzt braucht man noch die vierte Ableitung von ˜ ψ(r):
4 (B.15)
∂ ˜
r ψ (0) = ∂r − 1
r ( ˜ ψ∂r ˜ V + ˜ V ∂r ˜ ψ) + 1
r2 ˜ V ˜
ψ (0)
1
=
r2 ( ˜ ψ∂r ˜ V + ˜ V ∂r ˜ ψ) − 1
r ( ˜ ψ∂ 2 r ˜ V + 2(∂r ˜ V )(∂r ˜ ψ) + V ∂ 2 r ˜ ψ)
+ 1
r2 ( ˜ ψ∂r ˜ V + ˜ V ∂r ˜ ψ) − 2
r3 ˜ V ˜
ψ (0)
(B.3)
= − 2 2
rV rψ +
r3 r2 (rψ∂r ˜ V + rV ∂r ˜ ψ)
− 1
r (rψ∂2 r ˜ V + 2(∂r ˜ V )(∂r ˜ ψ) + rV ∂ 2 r ˜
ψ) (0)
(B.13) 2
= −V ψ + ψ∂r
(B.14) r
˜ V + V ∂r ˜ ψ − (∂r ˜ ψ)(∂r ˜
V )
(0)
(B.6) 2
=
r (−V0ψ0
+ 2V0ψ0 − V0ψ0)
r=0
= 0 (B.17)
und die vierte Ableitung von ˜ V (r):
4 (B.16)
∂ ˜
r V (0) = −8π∂r − 1
r2 ˜ ψ 2 + 2
r ˜ ψ∂r ˜
ψ (0)
2
= −8π
r3 ˜ ψ 2 − 4
r2 ˜ ψ∂r ˜ ψ − 2
˜ψ∂ 2
r ψ ˜ + (∂r
r
˜ ψ) 2
(0)
(B.3)
=
(B.13) −8π
2
r ψ2 − 4
r ψ∂r ˜ ψ + 2
r (∂r ˜ ψ) 2
(0)
(B.6) 2
2
= −8π ψ0 − 2ψ
r
2 0 + ψ2
0
r=0
= 0. (B.18)

94 Anhang B. Reihenentwicklung von ψ(r) und V (r) um r = 0 herum.
Schließlich wird noch die fünfte Ableitung von ˜ ψ(r) benötigt:
5 (B.17)
∂ ˜
r ψ (0) = ∂r − 2
r3 ˜ V ˜ ψ + 2
r2 ( ˜ ψ∂r ˜ V + ˜ V ∂r ˜ ψ)
− 1
r ( ˜ ψ∂ 2 r ˜ V + 2(∂r ˜ V )(∂r ˜ ψ) + ˜ V ∂ 2 r ˜
ψ) (0)
6
=
r4 ˜ ψ ˜ V − 6
r3
˜ψ∂r ˜ V + ˜ V ∂ ˜
ψ
+ 3
r2
˜ψ∂ 2 ˜
r V + 2(∂r ˜ V )(∂r ˜ ψ) + ˜ V ∂ 2 r ˜
ψ
− 1
˜ψ∂ 3
r V ˜ + 3(∂r
r
˜ V )(∂ 2 r ˜ ψ) + 3(∂r ˜ ψ)(∂ 2 r ˜ V ) + ˜ V ∂ 3 r ˜
ψ
(0)
(B.3) 6 6
= ψV −
r2 r2
ψ∂r ˜ V + V ∂ ˜
ψ
+ 3
r2
rψ∂ 2 r ˜ V + 2(∂r ˜ V )(∂r ˜ ψ) + rV ∂ 2 r ˜
ψ
− 1
rψ∂
r
3 r ˜ V + 3(∂r ˜ V )(∂ 2 r ˜ ψ) + 3(∂r ˜ ψ)(∂ 2 r ˜ V ) + rV ∂ 3 r ˜
ψ
(0)
6
=
r2 ψ0V0 − 12
r2 ψ0V0 + 6
r2 ψ0V0 + 3
r (ψ0∂ 2 r ˜ V + V0∂ 2 r ˜ ψ)
+8πψ 3 0
= 8πψ 3 0
3
−
r (ψ0∂ 2 r ˜ V + V0∂ 2 r ˜ ψ) + ψ0V 2
0
+ ψ0V 2
0
sowie die fünfte Ableitung von ˜ V (r):
r=0
(B.19)
5 (B.18)
∂ ˜
2
r V (0) = −8π∂r
r3 ˜ ψ 2 − 4
r2 ˜ ψ∂r ˜ ψ + 2
˜ψ∂ 2
r ψ ˜ + (∂rψ)
r
2
(0)
6
= −8π
r4 ˜ ψ 2 + 12
r3 ˜ ψ∂r ˜ ψ − 6
r2 ( ˜ ψ∂ 2 r ˜ ψ + (∂r ˜ ψ) 2 )
+ 2
r ( ˜ ψ∂ 3 r ˜ ψ + 3(∂ 2 r ˜ ψ)(∂r ˜
ψ)) (0)
= −8π − 6
r2 ψ2 4
0 +
r2 ψ2 8
0 +
r2 ψ2 4
0 −
r2 ψ2 2
0 −
r2 ψ2 0 − 2V0ψ 2
0
r=0
= 16πV0ψ 2 0. (B.20)
Die sechsten Ableitungen verschwinden wieder. Dies kann man entweder nachrechnen
oder aber man verwendet, dass die Funktionen ψ und V ungerade, und
damit die Funktion ˜ ψ und ˜ V gerade sind. Deshalb verschwinden alle Ableitungen

mit gerader Ordnung, was sich bisher auch bestätigt hat. Also gilt:
∂ 6 r ˜ ψ (0) = 0 (B.21)
∂ 6 r ˜ V (0) = 0. (B.22)
Insgesamt bekommt man dann für die Taylorreihenentwicklung von ˜ ψ und ˜ V :
˜ψ(r) = ψ0r − 1
6 V0ψ0r 3 + 1
120 (8πψ3 0
95
+ V 2
0 ψ0)r 5 + O(r 7 ) (B.23)
˜V (r) = V0r − 8π
6 ψ2 0 r3 + 8π
60 V0ψ 2 0 r5 + O(r 7 ). (B.24)
Um noch die Taylorreihenentwickung von ψ und V zu erhalten, teilt man einfach
die Gleichungen (B.23) und (B.24) durch r. Damit erhält man dann:
ψ(r) = ψ0 − 1
6 V0ψ0r 2 + 1
120 (8πψ3 0 + V 2
0 ψ0)r 4 + O(r 6 ) (B.25)
V (r) = V0 − 8π
6 ψ2 0r 2 + 8π
60 V0ψ 2 0r 4 + O(r 6 ). (B.26)

96 Anhang B. Reihenentwicklung von ψ(r) und V (r) um r = 0 herum.

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Relativity and Gravitation (1995), Nr. 28, S. 581–601
Penrose 1998a
Penrose, Roger: Gravitationally Induced Quantum State Reduction. 1998.
– Vortrag
Penrose 1998b
Penrose, Roger: Quantum Computation, Entanglement and State Reduction.
In: Phil. Trans.: Math., Phys. and Eng. Sciences (1998), Nr. 356, S.
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Schwabl, Franz: Quantenmechanik. 5. Auflage. Springer-Verlag, 1998
Schwabl 2000
Schwabl, Franz: Quantenmechanik für Fortgeschrittene. 2. Auflage.
Springer-Verlag, 2000
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In: Phys. Lett. A (2001), Nr. 280, S. 173–176
Trebin 2001
Trebin, Hans-Rainer: Theoretische Physik I - Mechanik. 1. Auflage. Institut
für Theoretische und Angewandte Physik, 2001
Vogel 1999
Vogel, Helmut: Gerthsen Physik. 20. Auflage. Springer-Verlag, 1999

Danksagung
Ich möchte mich an dieser Stelle bei all den Personen bedanken, ohne die ich
nicht in der Lage gewesen wäre, das Physikstudium zu absolvieren und damit
auch diese Diplomarbeit anzufertigen.
Insbesondere gilt mein Dank den folgenden Personen:
• Herrn Prof. Dr. G. Wunner für die ausgezeichnete Betreuung während meiner
Diplomarbeit und die Anfertigung des Hauptberichts. Sie sind mir immer
mit hilfreichen Gesprächen zur Seite gestanden und Ihre Anregungen
und Vorschläge haben mir immer wieder geholfen, wenn ich nicht mehr
weiter wusste.
• Herrn Prof. Dr. H.-R. Trebin für die Anfertigung des Mitberichts und für
die vielen Jahre, in denen Sie mir in Ihrer Mentorengruppe durchs Studium
geholfen haben.
• Den Herren Steffen Bücheler und Dirk Engel, ohne deren administrative
Tätigkeiten diese Arbeit sicher nicht so problemlos anzufertigen gewesen
wäre. Auch für die freundliche Aufnahme am Institut möchte ich den beiden
danken.
• Ebenfalls möchte ich mich bei Sabine Latzel, Holger Cartarius, Ralf Peter
und Ulrich Raitzsch bedanken, die mich durch das ganze Studium begleitet
haben, und mir auch in Fragen zu C++ und Latex immer weiterhelfen
konnten.
• Dann möchte ich mich noch bei Daniel Greiner für die vielen anregenden
Gespräche bedanken, die wir führten, während wir uns mit verschiedenen
Aspekten der Newton-Schrödinger-Gleichung beschäftigten.
• Mein ganz besonderer Dank gilt meinen Eltern, Rolf und Sieglinde Knapp,
ohne die ich dieses Studium niemals hätte vollenden können.