1.6M - Institut für Theoretische Physik der Universität Stuttgart

Semiklassische Lösungen der
Newton-Schrödinger-Gleichung
Diplomarbeit von
Daniel Greiner
21. April 2005
Hauptberichter : Prof. Dr. Günter Wunner
Mitberichter : Prof. Dr. Alejandro Muramatsu
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Stuttgart, den 21. April 2005 Daniel Greiner

Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis v
Tabellenverzeichnis vii
1 Eine kurze Einführung 1
2 Theoretische Grundlagen 3
2.1 Die Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Problemstellung und Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Objektive Zustandsreduktion nach Penrose . . . . . . . . . 4
2.2 Basiszustände für eine objektive Zustandsreduktion . . . . . . . . 8
2.2.1 Herleitung der Newton-Schrödinger-Gleichung aus einem
Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Einordnung und Vergleich mit ähnlichen Systemen . . . . 10
2.3 Die WKB-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Ziele der WKB-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Herleitung der WKB-Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Einschränkungen und Probleme . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4 Die uniforme Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Quantenmechanik und Semiklassik . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Ein kurzer Vergleich zwischen Quantenmechanik und Semiklassik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Energieniveaus und Bohr-Sommerfeld-Quantisierung . . . 18
3 Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung 21
3.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Die Standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Klassifizierung der Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . 22
3.1.3 Symmetrie von S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.4 Darstellung in Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Verschiedene Lösungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Partikuläre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Gebundene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i

ii Inhaltsverzeichnis
3.3 Skalierungsverhalten des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Asymptotik von Potential und Wellenfunktion . . . . . . . . . . . 25
3.4.1 Verhalten für r → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.2 Verhalten für r → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung 29
4.1 Die Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Natürliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Einige Wellenfunktionen und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Genauigkeit der ermittelten Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . 35
4.6 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Vergleich mit den analytisch bekannten Eigenschaften . . . . . . . 45
4.8 Neue Erkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung 47
5.1 Vorbemerkungen und verworfene Ansätze . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Der WKB-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Die Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.1 Klassisch erlaubter Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.2 Klassischer Umkehrpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.3 Klassisch verbotener Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.4 Bestimmung der Integrationskonstanten . . . . . . . . . . 55
5.5 Höhere Ordnungen der WKB-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.1 Beispiel: klassisch erlaubtes Gebiet . . . . . . . . . . . . . 57
5.6 Die uniforme Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.7 Energieniveaus und Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.7.1 Das Wirkungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.7.2 Quantendefekt und Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . 61
5.7.3 Wellenfunktionen und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . 62
5.8 Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse . . . . . . . . 63
6 Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung 67
6.1 Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Potentiale und Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Zusammenfassung 75
7.1 Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Die Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A Asymptotik für S(r) aus vollständigem U∞
79

Inhaltsverzeichnis iii
B Parametrisierte Lösung 81
B.1 WKB-System gekoppelter DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.2 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C Wirkungsintegral eines einfachen Modellpotentials 85
Literatur 89

iv Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis
2.1 Aufbau, der einen Überlagerungszustand eines massiven Objektes
erzeugt (nach [Penrose (1995)]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Überlagerung der Raumzeiten der Einzelzustände einer Masse an
zwei verschiedenen, äquivalenten Positionen . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Freies Teilchen in Minkowksi- und allgemeiner Metrik: Selbstwechselwirkung
durch Raumkrümmung? . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 S(r) für verschiedene Genauigkeiten der Startwertbestimmung. . . 30
4.2 Normierte Wellenfunktion und Potential im Grundzustand. . . . . 32
4.3 Zweiter angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Zehnter angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 30. angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 η, aufgetragen über 1
4.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n
∆η bei Erhöhung von n um 1, aufgetragen über
38
1
4.8
. . . . . . . . . n
Bestimmung des asymptotischen Quantendefekts µ und des Ener-
38
gierenormierungsfaktors κ aus den Energieeigenwerten. . . . . . . 39
4.9 Die höheren n aus Abbildung 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.10 Typische Situation in der Atomphysik. . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.11 Die kurzreichweitigen Beiträge zum Wirkungsintegral WKr fallen
in guter Näherung linear ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.12 Veränderung von WKr von n nach n + 1. . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Die Integranden des Wirkungsintegrals für den 5. bis 15. angereg-
43
ten Zustand der Newton-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . 44
4.14 Zum Vergleich: Die Integranden des Coulombschen Wirkungsintegrals
zu den in Abbildung 4.13 gezeigten Zuständen . . . . . . . . 44
4.15 Funktion U und angepasster 1-Abfall
exemplarisch für den ersten
r
angeregten Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.16 U und S zeigen nahe bei r = 0 das erwartete Parabel-Verhalten . 46
5.1 Das effektive Potential U(r) in WKB-Näherung für den Grundzustand.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Wie 5.1 für den 30. angeregten Zustand . . . . . . . . . . . . . . . 59
v

vi Abbildungsverzeichnis
5.3 Vergleich von Wellenfunktion S und effektivem Potential U des
normierten dritten angeregten Zustand in WKB- und uniformer
Näherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Wie 5.3, für den 15. angeregten Zustand. . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Wie 5.3, für den 30. angeregten Zustand. . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Der Bereich um r = 0 aus Abbildung 5.5. . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion und effektives Potential
des 9. angeregter Zustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion des normierten ersten
angeregten Zustandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Numerisch exaktes und effektives WKB-Potential des normierten
ersten angeregten Zustandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Wie 6.2 für den normierten 9. angeregten Zustand. . . . . . . . . 72
6.5 Wie 6.3 für den normierten 9. angeregten Zustand. . . . . . . . . 72
6.6 Wie 6.2 für den normierten 19. angeregten Zustand. . . . . . . . . 73
6.7 Wie 6.3 für den normierten 19. angeregten Zustand. . . . . . . . . 73
6.8 Wie 6.2 für den normierten 36. angeregten Zustand; rechts unten
die Divergenz der numerischen Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.9 Wie 6.3 für den normierten 36. angeregten Zustand. . . . . . . . . 74
7.1 Doppeltlogarithmische Auftragung der numerischen Energieeigenwerte
sowie der reskalierten WKB-Energien. . . . . . . . . . . . . 77
C.1 Einige Zustände des Modellpotentials für σ = 0, 5. . . . . . . . . . 87
C.2 Die Integranden des Wirkungsintegrals einiger Zustände bei σ = 0, 5. 87
C.3 Aus dem Modellpotential resultierender Korrekturfaktor zur
Rydberg-Serie des Coulomb-Potentials. . . . . . . . . . . . . . . . 88

Tabellenverzeichnis
2.1 Lebensdauern ∆T bei Masse m und ” Abstand“ d . . . . . . . . . 8
4.1 Energieeigenwerte: direkte Ausgabe des Programms . . . . . . . . 34
4.2 Vergleich der erhaltenen Energien für verschiedene Genauigkeiten 35
4.3 Energieeigenwerte: gerundet entsprechend der ermittelten Genauigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Test der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für die ersten 40 Eigenzustände
der Newton-Schrödinger-Gleichung. . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Kurzreichweitiger Beitrag zum Wirkungsintegrals zusätzlich zum
reinen Coulomb-Fall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 Energieeigenwerte für die Einteilchen-Newton-Schrödinger-
Gleichung in WKB-Näherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1 Vergleich der Energieeigenwerte aus WKB- und numerischer Lösung 68
7.1 Ausdehnung des klassisch erlaubten Bereichs ∆rerlaubt eines Teilchens
der Masse m im Newton-Schrödinger-Grundzustand . . . . 76
vii

viii Tabellenverzeichnis

Kapitel 1
Eine kurze Einführung
Die Newton-Schrödinger-Gleichung bietet sich als einfacher nichtrelativistischer
Grenzfall einer vollständigen Theorie der Quantengravitation an, anhand dessen
einige der Eigenschaften, die eine solche Theorie aufweisen sollte, genauer betrachtet
werden können. Sie wurde von Penrose [Penrose (1995)] explizit konstruiert,
um den als ” Kollaps der Wellenfunktion“ bezeichneten quantenmechanischen Vorgang
der Reduktion des Zustandsvektors beim Messprozess auf eine (üblicherweise
vernachlässigte) gravitative (Selbst-)Wechselwirkung zurückzuführen. Damit ist
die Newton-Schrödinger-Gleichung eingebettet in eine sehr prinzipielle Fragestellung
und Interpretation der Quantenmechanik.
Die Newton-Schrödinger-Gleichung ist vom Typ einer nichtlinearen
Schrödinger-Gleichung. Die gängigen Lösungsmethoden für eine lineare
Schrödinger-Gleichung können daher nicht unmittelbar übertragen werden. In der
Literatur existiert bereits eine Reihe von analytischen und numerischen Rechnungen
für die radialsymmetrische Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung [Jones
(1995); Moroz u. a. (1998); Soni (2002); Harrison u. a. (2003); Epple (2003)], eine
genauere Analyse unter dem Gesichtspunkt der Semiklassik steht allerdings aus.
Das konkrete Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, mit Hilfe der WKB-
Näherung eine approximative Lösung der radialsymmetrischen Einteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung im semiklassischen Limes zu finden, diese Näherung
mit den bekannten numerischen und analytischen Ergebnissen zu vergleichen
und auf diese Weise ein erweitertes Verständnis der Lösungen der Newton-
Schrödinger-Gleichung zu gewinnen. Von besonderem Interesse ist die Frage der
Anwendbarkeit der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung auf nichtlineare Schrödinger-
Gleichungen, da sich in numerischen Arbeiten [Epple (2003)] die Notwendigkeit
einer Renormierung des Planck’schen Wirkungsquantums anzudeuten scheint.
Ein bereits in der Literatur vorliegender WKB-Zugang [Hartmann (1999)] hat
sich nicht mit dieser Frage beschäftigt.
Nach einem Überblick über die Grundlagen der Newton-Schrödinger-
Gleichung und der WKB-Theorie (Kapitel 2) wird das Augenmerk zunächst auf
die bereits bekannten analytischen Eigenschaften von Lösungen gelegt (Kapi-
1

2 Kapitel 1. Eine kurze Einführung
tel 3). Im weiteren Verlauf wird eine einfache numerische Lösung der Einteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung vorgestellte und es werden einige ihrer Eigenschaften
diskutiert (Kapitel 4). Dies ermöglicht es, eine in Kapitel 5 neu entwickelte
WKB-Lösung mit numerischen und analytischen Ergebnissen zu vergleichen
(Kapitel 6).
An dieser Stelle soll noch auf die in der Arbeit verwendeten Konventionen eingegangen
werden. Es wurde versucht, eine möglichst eindeutige und konsequente
Schreibweise zu verwenden, ohne auf übliche Definitionen wie G für die Gravitationskonstante
oder p für den Impuls zu verzichten. Ausnahmen wurden gemacht,
wenn sich durch Anwendung der unten aufgeführten Regeln eine Doppelbelegung
ergeben hätte. Solche abweichenden Definitionen sind aber aus dem Kontext klar
zu erkennen. Im Folgenden sind die der Nomenklatur zugrundeliegenden Richtlinien
angegeben.
• Konstanten werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet: a, b, ci, α
• Variablen erhalten ebenfalls Kleinbuchstaben: x, r, t
• Funktionen sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet: U, Ψ, A
• Vektoren werden fettgedruckt dargestellt: r
• Beträge werden durch senkrechte Striche symbolisiert: |Ψ|
• n-te Ableitungen nach der Variablen x: ∂ n x
Ableitungen beziehen sich immer nur auf den direkt folgenden Term.
• Auswerten von f(x) an x0: f(x0) = f|x0
Auf f angewandte Operatoren sind vor der Auswertung anzuwenden; so ist
z.B. ∂rf|x0 als Ableitung von f nach r an der Stelle x0 zu lesen.
• Einfache Transformationen werden durch Modifikationen der Funktionssymbole
ausgedrückt: Ψ, ˜ S
Mit einer Tilde gekennzeichneten Funktionen beziehen sich immer auf normierte
Lösungen.

Kapitel 2
Theoretische Grundlagen
Die folgenden Abschnitte sollen einen knappen Umriss der dieser Arbeit zugrundeliegenden
Theorien und Methoden geben. Detailliertere Darstellungen finden
sich in der zitierten Literatur.
2.1 Die Newton-Schrödinger-Gleichung
2.1.1 Problemstellung und Ziel
Die quantenmechanische Beschreibung eines Systems drückt sich in seiner Wellenfunktion
aus, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür darstellt,
das System bei einer Messung im entsprechenden Zustand zu finden. Die Tatsache,
dass bei einer solchen Messung der Zustand des Systems fixiert wird, äußert
sich als ” Kollaps“ der Wellenfunktion – weitere Messungen finden das System
nun immer in dem zuerst festgestellten Zustand. Diese Reduktion des Zustandsvektors
weicht von der üblichen Zeitevolution durch unitäre Operatoren ab. Die
Frage, was genau eine ” Messung“ darstellt und was physikalisch beim ” Kollaps“
der Wellenfunktion passiert, stellt sich deshalb schon aus Konsistenzgründen und
ist keinesfalls trivial. Verschiedene Erklärungsmodelle wurden im Laufe der Zeit
entwickelt und verfeinert:
• Die traditionelle Kopenhagener (Wahrscheinlichkeits-)Interpretation der
Quantenmechanik versteht die Wellenfunktion nicht direkt als Ausdruck
der tatsächlichen physikalischen Gegebenheiten, sondern lediglich als das
” maximale Wissen“ das uns über den betrachteten Zustand vorliegt. Die
Zustandsreduktion geschieht somit nicht als echter Prozess, sondern lediglich
in der mathematischen Beschreibung bzw. im Wissen“ des Beobachters
”
(vgl. z.B. [Jammer (1974)]).
• Ein anderer Ansatz geht davon aus, dass beim Messprozess das beobachtete
System mit der Umgebung in einer Weise wechselwirkt, die sich – alleine
auf das System bezogen – in der Beobachtung einer (scheinbaren)
3

4 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Zustandsreduktion äußert. Der tatsächliche Vorgang wird durch die unitäre
Evolution der Gesamtwellenfunktion von System und Messgerät/Umgebung
bestimmt. Durch die sehr große Anzahl quantenmechanischer Freiheitsgrade
der Umgebung, die an das System angekoppelt werden, verliert dieses
seine internen Phasenbeziehungen (daher das in diesem Zusammenhang oft
gebrauchte Stichwort Dekohärenz). Es sieht dann für den Beobachter so
aus, als wäre das System beim Messvorgang einem nichtunitären, plötzlichen
Kollaps unterworfen. In [Bransden u. Joachain (1989)] und [Schwabl
(1998)] ist dieser Ansatz weiter ausgeführt.
• Eine weitere Alternative ist auch die ” Viele-Welten-Interpretation“ der
Quantenmechanik [Everett III (1957)]. Ausgehend von der Überlegung, dass
Beobachter und beobachtetes System in Kontakt sein müssen und damit ein
Gesamtsystem bilden (wie im vorherigen Erklärungsversuch), ordnet sie jedem
möglichen Messergebnis einen Zustand des Beobachters zu. In diesem
Sinne ergibt eine Messung alle möglichen Ergebnisse auf einmal, aber jedes
von ihnen wird nur von dem Beobachter im zugehörigen Zustand wahrgenommen.
Es existieren dann viele ” Parallelwelten“, innerhalb derer eine
Zustandsreduktion wahrgenommen wird.
Eine gänzlich andere Interpretation sieht die Quantenmechanik lediglich als
Grenzfall einer komplexeren Theorie, in deren Rahmen das Problem der Zustandsreduktion
zu einem physikalisch eindeutig nachzuvollziehenden Prozess werden
sollte. Berücksichtigt man die hervorragende Übereinstimmung aller bisherigen
Experimente mit den Vorhersagen der Quantenmechanik, so ist aber klar, dass
eine Korrektur nur in einer Form auftreten kann, die experimentell (noch) nicht
zugänglich ist. Es ist nun interessant, dass im Rahmen der Arbeit an einer Theorie
der Quantengravitation Schwierigkeiten auftreten, die darauf hindeuten, dass
Quantenmechanik oder Allgemeine Relativitätstheorie einer Neuformulierung bedürfen.
Da die gravitative Wechselwirkung experimentell nutzbarer quantenmechanischer
Systeme nur winzig klein ist, während im makroskopischen Bereich
Quanteneffekte nur unter ganz besonderen Bedingungen beobachtbar sind, liegt
die Idee nahe, einen gravitativen Effekt als Ursache der Zustandsreduktion zu
vermuten.
2.1.2 Objektive Zustandsreduktion nach Penrose
Um die Schwierigkeiten einer Vereinigung von Quantenmechanik und Allgemeiner
Relativitätstheorie zu veranschaulichen, betrachtet man als einfaches Beispiel
einen Überlagerungszustand eines massiven Objektes an zwei verschiedenen Positionen.
Penrose [Penrose (1995, 1998)] beschreibt ein der berühmten ” Schrödinger-
Katze“ ähnliches Gedankenexperiment, das die Instabilität eines solchen Zustandes
nahelegt. Ausgangspunkt ist eine Masse m, die mit einer Apparatur so verbun-

2.1. Die Newton-Schrödinger-Gleichung 5
Photonenquelle
Position 2
Position 1
einzelnes
Photon
semitransparenter
Spiegel, z.B. 50:50
Detektor
“Verschiebe-
Apparatur”
Abb. 2.1: Aufbau, der einen Überlagerungszustand eines massiven Objektes erzeugt
(nach [Penrose (1995)])
den ist, dass ihre Position P1 oder P2 vom Ergebnis eines quantenmechanischen
Messprozesses abhängt. In Abbildung 2.1 ist das Schema einer solchen Anordnung
wiedergegeben. Beide Zustände |Ψi〉 für sich genommen sind selbstverständlich
stationär, des weiteren seien ihre Energien Ei dieselben:
H|Ψ1〉 = E|Ψ1〉 (2.1)
H|Ψ2〉 = E|Ψ2〉. (2.2)
Der allgemeinste Gesamtzustand des präparierten Systems ist – ohne irgendwelche
Wechselwirkungseffekte –
|Ψ〉 = a1|Ψ1〉 + a2|Ψ2〉 mit H|Ψ〉 = E|Ψ〉, (2.3)
also ebenfalls ein stationärer Zustand zur Energie E. Welche Effekte werden nun
zusätzlich durch die Gravitation verursacht?
Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie erzeugen beide Zustände für sich
eine eigene (hier identische 1 ) Geometrie. Die Berücksichtigung der Gravitation
erzwingt also eine Überlagerung zweier verschiedener Raumzeiten (vgl. hierzu
Abbildung 2.2). Damit ist aber die Frage nach der Stabilität des Überlagerungszustandes
nicht mehr ohne weiteres zu beantworten.
1 In der Tat gibt es in einem ansonsten leeren Raum keine Möglichkeit, die Zustände zu
unterscheiden. Da aber allein aufgrund der Schwerpunktserhaltung beim Verschieben der Masse
eine (sehr viel größer gedachte) Bezugsmasse (die ” Erde“) vorhanden sein muß, können die
Zustände unterschieden werden. Um die Betrachtungen möglichst einfach zu halten, kann man
sich das Experiment etwa in einer kugelförmigen Höhle im Zentrum der Bezugsmasse vorstellen,
so daß ihr Gravitationsfeld keine Rolle spielt.

6 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ein Zustand stationär, wenn ein
zeitartiger Killing-Vektor auf der gegebenen Geometrie existiert. Als Operator
generiert dieser Killing-Vektor infinitesimale Zeittranslationen – er ersetzt den
∂t-Operator der Minkowski-Metrik; Eigenzustände zum Killing-Vektor sind
stationär. In unserem Fall der Überlagerung von Raumzeiten gibt es aber
keine eindeutig definierten Killing-Vektoren mehr, sondern nur Überlagerungen
der Killing-Vektoren der einzelnen Raumzeiten. Im Allgemeinen werden die
Killing-Vektoren der Geometrie von Masse m an der Position P1 von den Killing-
Vektoren der Geometrie von Masse m an der Position P2 abweichen. Dies könnte
eine entsprechende Abweichung der Energien der Eigenwerte implizieren, was
für den Überlagerungszustand als Unsicherheit der Energien der Eigenzustände
interpretiert werden kann. Zustände mit unscharfen Energien sind aber gerade
solche mit begrenzter Lebensdauer – die Überlagerungszustände sind diesen
Überlegungen zufolge instabil. Zwei Fragen drängen sich nun auf: Wie groß ist
die Lebensdauer eines solchen Überlagerungszustandes, und passt die erhaltene
Größenordnung zu den Beobachtungen? Was sind die Grundzustände, nachdem
ja in der Quantenmechanik alle Teilchen nur durch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
beschrieben werden können? Um diese Fragen zu klären, beschäftigen wir
uns zunächst mit dem Problem der Größe dieser Energieunschärfe. Dabei folgen
wir der Argumentation von Penrose [Penrose (1995)].
Eine eindeutige Abbildung von Punkten aus beiden Raumzeiten aufeinander
ist der Allgemeinen Relativitätstheorie zufolge prinzipiell nicht möglich –
man kann sich jedoch mit einer ungefähren“ Abbildung zufriedengeben. Zu die-
”
sem Zweck ist es sinnvoll, zunächst nur Newtonsche Gravitation im Sinne der
Newton-Cartan-Raumzeit (siehe z.B. [Misner u. a. (1973)]) zu betrachten (vgl.
auch den folgenden Abschnitt). Damit sind die Zeitkoordinaten beider Raumzeiten
absolut und können leicht identifiziert werden. Die Frage, wie groß die
Energieunsicherheit der gegebenen Konfiguration tatsächlich ist, wird innerhalb
der 3D-Raumkoordinaten mit Hilfe einer ungefähren punktweisen Identifikation
auf die lokale Abweichung ihrer Metriken zurückgeführt.
Wir betrachten dazu die Geodäten, die uns in jedem Punkt die Freifallbeschleunigung
einer Testmasse angeben. Seien f 1 und f 2 die Kraftvektoren pro
Masseneinheit an einem identifizierten Punkt. Dann ist die skalare Größe
1
G (f 2 − f 1) 2
(2.4)
invariant unter orthogonalen Koordinatentransformation, und als Maß für die
Abweichung der Raumzeiten voneinander kann die Größe
∆E = 1
(f 2 − f
G
1) 2 d 3 x (2.5)
angenommen werden. Mit den Newtonschen Gravitationspotentialen φi gilt
∇φi = −f i, (2.6)

2.1. Die Newton-Schrödinger-Gleichung 7
und eingesetzt
∆E = 1
G
Nimmt man nun noch die Poisson-Gleichung
hinzu, so erhält man
(∇φ2 − ∇φ1) 2 d 3 x (2.7)
= 1
(∇(φ2 − φ1)) (∇(φ2 − φ1)) d
G
3 x (2.8)
= − 1
(φ2 − φ1)∇
G
2 (φ2 − φ1)d 3 x. (2.9)
∇ 2 φ = 4πGρ (2.10)
∆E = 4π (φ2 − φ1)(ρ2 − ρ1) d 3 x. (2.11)
Mit der integralen Formulierung der Poisson-Gleichung
φ(x) = G
ρ(x ′ )
|x − x ′ | dx′
führt uns das auf die Form
(ρ2(x) − ρ1(x)) (ρ2(x
∆E = 4πG
′ ) − ρ1(x ′ ))
|x − x ′ |
(2.12)
d 3 x d 3 x ′ , (2.13)
die gerade der Energie eines Teilchens mit der Differenzmassenverteilung im eigenen
Gravitationsfeld entspricht. Diese Energieunschärfe“ ermöglicht eine Ab-
”
schätzung der Lebensdauer eines solchen Zustandes nach der Heisenbergschen
Unschärferelation
∆T =
. (2.14)
∆E
In Tabelle 2.1 sind Größenordnungen einiger Lebensdauern für Überlagerungszustände
gegeben, die gemäß (2.13) und (2.14) berechnet wurden. Dabei wird der
Einfachheit halber eine Überlagerung zweier räumlich getrennter Zustände im
”
Abstand d“ betrachtet, so dass kein Überlapp“ zustandekommt und die Dichte-
”
funktionen auf Delta-Funktionen reduziert werden können. Die Energiedifferenz
wird damit bis auf einen Zahlenfaktor der Größenordnung 1 zu
entsprechend gilt für die Lebensdauer
∆E = 4π Gm2
, (2.15)
d
∆T = d
. (2.16)
4πGm2

8 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
m [kg] d [m] ∆T [s] Kommentar
10 −30 10 −10 10 25 Elektron mit d = aB
10 −27 10 −10 10 19 Nukleon mit d = aB
10 −18 10 −7 10 4 Wassertropfen mit r = 10 −7 m, berührend
10 −12 10 −5 10 −6 Wassertropfen mit r = 10 −5 m, berührend
Tab. 2.1: Lebensdauern ∆T bei Masse m und ” Abstand“ d
Man kann aus Tabelle 2.1 deutlich erkennen, dass die Lebensdauern für die
in der Quantenmechanik üblicherweise betrachteten Teilchen in einem Bereich
liegen, der die beschriebenen Zustandsreduktionen vernachlässigbar erscheinen
lässt. Ortszustände für makroskopische Objekte unterliegen dagegen schnellen
Reduktionen. 2
2.2 Basiszustände für eine objektive Zustandsreduktion
Welches sind nun die Basiszustände, aus denen solche Überlagerungszustände
aufgebaut sind, und in die sie also auch zerfallen?
Offensichtlich können dies nicht die üblichen Freie-Teilchen-Zustände der
nichtrelativistischen Quantenmechanik sein. Es ist aber evident, dass die Basiszustände
die Rückwirkung der Massen auf die Krümmung der Raumzeit widerspiegeln
müssen, wie dies bereits oben bei der Definition der Differenzenergie
der Fall war. Penrose selbst hat in [Penrose (1995, 1998)] vorgeschlagen, diese
Rückwirkung zu inkorporieren, indem als Basiszustände die Lösungen der zeitunabhängigen
Schrödinger-Gleichung
mit dem Potential V aus
− 2
∆Ψ = (E − V )Ψ (2.17)
2m
∆V = 4πGm 2 |Ψ| 2
(2.18)
gewählt werden. 3 Formal ist dies eine nichtlineare Schrödingergleichung, in der
das betrachtete Teilchen ein Potential sieht, wie es sich aus seiner Aufenthaltswahrscheinlichkeit
ergibt.
2 Die in der Tabelle betrachteten Wassertröpfchen sind natürlich schon mit einem einfachen
Mikroskop beobachtbar. Um die Newton-Schrödinger-Gleichung experimentell zu überprüfen,
müsste aber jeder äußere Einfluß auf ein solches Tröpfchen unterbunden werden, der ebenfalls
zu einer Zustandsreduktion führen kann.
3 Als Analogie mag die Hartree-Näherung in der Vielteilchentheorie herangezogen werden, bei
der ein herausgegriffenes Teilchen das über die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten aller anderen
Teilchen gemittelte Potential sieht.

2.2. Basiszustände für eine objektive Zustandsreduktion 9
Die Newton-Schrödinger-Gleichung ist damit der in Abbildung 2.3 veranschaulichte
Versuch, die Rückwirkung der gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie
durch die Masse erzeugten Raumkrümmung auf die quantenmechanischen
Zustände dieser Masse selbst zu beschreiben. Bei Vernachlässigung der Raumkrümmung,
also bei Verwendung der Minkowski-Metrik, wird die Wellenfunktion
eines freien Teilchens durch ebene Wellen beschrieben. Berücksichtigt man dagegen
eine vom Teilchen selbst verursachte Raumkrümmung, so sollte man eine
nicht konstante Form der Aufenthaltswahrscheinlichkeit erwarten.
1
2
(
Raumzeit durch
Masse an Position 1
+
)
Raumzeit durch ( Masse an Position 2)
=
?
? ? ?
Abb. 2.2: Überlagerung der Raumzeiten der Einzelzustände einer Masse an zwei
verschiedenen, äquivalenten Positionen
2.2.1 Herleitung der Newton-Schrödinger-Gleichung aus
einem Variationsprinzip
Die Newton-Schrödinger-Gleichung kann auch als Grenzfall einer Quantisierung
der Newton-Cartan-Raumzeit mit Hilfe eines Variationsprinzips gewonnen werden.
Eine detaillierte Herleitung aus den differentialgeometrischen Zusammenhängen
findet sich in [Christian (1997)]. Hier sollen nur die relevanten Ergebnisse
zitiert werden.
Das Wirkungsfunktional I in der quantisierten Newton-Cartan-Raumzeit wird

10 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
freies Teilchen in
flacher Raumzeit
freies Teilchen erzeugt
gekrümmte Raumzeit
quantenmechanische Wellenfunktion
= ebene Welle
quantenmechanische Wellenfunktion
= lokalisierte Welle
Abb. 2.3: Freies Teilchen in Minkowksi- und allgemeiner Metrik: Selbstwechselwirkung
durch Raumkrümmung?
– für eine verschwindende kosmologische Konstante – durch
1 2
I =
φ∆φ +
8πG 2m δab∂aΨ∂bΨ + i
Ψ∂tΨ − Ψ∂tΨ
2
− mΨΨφ dx dt
(2.19)
beschrieben. Aus der Variation dieses Wirkungsfunktionals nach dem skalaren
Potential φ ergibt sich für das Potential φ die Gleichung
∆φ = 4πGmΨΨ ∗
(2.20)
und bei Variation nach dem Materiefeld Ψ die Schrödinger-Gleichung
i∂tΨ = − 2
∆ + mφ Ψ (2.21)
2m
mit einem externen Gravitationspotential. Die beiden gekoppelten Gleichungen
werden in diesem Zusammenhang als Beschreibung eines Teilchens in seinem eigenen
Gravitationsfeld im Rahmen der Newton-Cartan-Raumzeit interpretiert.
2.2.2 Einordnung und Vergleich mit ähnlichen Systemen
Drückt man das Potential V nicht durch die differentielle Poisson-Gleichung
(2.18) aus, sondern in integraler Form
2 −Gm
V (r) =
|r − r ′ | |Ψ(r′ )| 2 dr ′ , (2.22)

2.3. Die WKB-Theorie 11
so kann das gesamte System durch Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung (2.17)
als Integro-Differentialgleichung geschrieben werden,
− 2
2 Gm
∆Ψ = (E +
2m |r − r ′ | |Ψ(r′ )| 2 dr ′ )Ψ. (2.23)
Es ist daher ein Element der Klasse allgemeiner nichtlinearer Schrödinger-
Gleichungen
− 2
∆ + K(r, r
2m ′ )|Ψ(r ′ )| 2 dr ′
Ψ(r) = EΨ(r), (2.24)
mit beliebigem Kern K(r, r ′ ). Ein prominentes Beispiel dieser Klasse ist die der
Bose-Einstein-Kondensation zugrundeliegende Gross-Pitaevskii-Gleichung
− 2
2m ∆ + g|Ψ(r′ )| 2
Ψ(r) = EΨ(r), (2.25)
die durch den Integralkern
K(r, r ′ ) = gδ(r, r ′ ) (2.26)
entsteht. Bose-Einstein-Kondensation in dipolaren Gasen kann durch den Integralkern
K(r, r ′ ) = 2d 2 ′ n(r − r )
P2
|r − r ′
1
| |r − r ′ | 3
(2.27)
beschrieben werden [Santos u. a. (2000)]. Dabei ist P2 das zweiten Legendre-
Polynom, d die Kopplungsstärke und n der Einheitsvektor, der die Ausrichtung
der Dipole angibt. Vergleicht man die letzte Gleichung mit (2.23), so fällt die
formale Ähnlichkeit mit Monopol- bzw. Dipolterm aus der Elektrodynamik ins
Auge. Das Newton-Schrödinger-System ist somit Teil einer Klasse von physikalisch
relevanten nichtlinearen Schrödingergleichungen.
2.3 Die WKB-Theorie
2.3.1 Ziele der WKB-Theorie
Zielsetzung der nach Wenzel, Kramers und Brillouin benannten Methode ist die
Bestimmung näherungsweiser Wellenfunktionen und Energieeigenwerte für ein
(z.B. radialsymmetrisches) eindimensionales quantenmechanisches Problem. Voraussetzung
ist, dass das zugehörige Potential V hinreichend langsam mit dem
Ort variiert. Die grundsätzliche Schwierigkeit der Anwendung dieser Methode
auf nichtlineare Schrödinger-Gleichungen liegt in der Zustandsabhängigkeit der
Potentiale.

12 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.3.2 Herleitung der WKB-Wellenfunktionen
Ausgangspunkt ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung des eindimensionalen
Systems
EΨ = − 2
2m ∂2
x + V Ψ. (2.28)
Man setzt nun die Form
i
Ψ(x) = A(x) exp
B(x)
(2.29)
mit den (für E > V reellen) Funktionen A(x) und B(x) (die Amplitude und Phase
beschreiben) an, führt die Ableitungen aus und trennt nach Real- und Imaginärteil.
Man erhält dann nach Division durch den Exponentialterm die Gleichungen
2m
2 (E − V )A = −∂2 xA + 1
2 (∂xB) 2 A (2.30)
0 = 2∂xA∂xB + A∂ 2 xB. (2.31)
Die zweite Gleichung kann sofort integriert werden und liefert den Zusammenhang
c1 e
A =
(2.32)
∂xB
mit einer beliebigen Integrationskonstanten c1. Einsetzen in die erste Gleichung
ergibt nach kurzer Umformung
2m(E − V ) = − 3
4 2
2 2
∂xB +
∂xB
1
2 2 ∂3 xB
∂xB + (∂xB) 2 . (2.33)
Bis hierher wurde noch keine Nährung angewendet! Leider ist die nun vorliegende
nichtlineare Differentialgleichung dritter Ordnung aber keineswegs einfacher zu
lösen als die ursprüngliche. Daher muss eine sinnvolle Näherung gefunden werden,
die das System vereinfacht.
Man entwickelt dazu die Funktion B in eine Potenzreihe von λ = 2 , das als
Ordnungsparameter angesehen wird (im klassischen Grenzfall wäre ja → 0):
B = B0 + λB1 + λ 2 B2 + . . . (2.34)
Mit Hilfe dieser Entwicklung kann man jetzt Gleichung (2.33) nach Potenzen von
λ ordnen:
0 =2m(E − V ) − (∂xB0) 2
3
+ λ
4 (∂2 xB0) 2 − 1 ∂
2
3
xB0
− 2(∂xB0∂xB1)
∂xB0
+ λ 2 (. . .) + . . . (2.35)

2.3. Die WKB-Theorie 13
Als erste Näherung betrachtet man das System in nullter Ordnung von λ, so dass
2m(E − V ) = (∂xB0) 2
(2.36)
zu lösen bleibt. Für ein gegebenes Potential lässt sich dieses Problem dann meist
einfach integrieren. Man findet allgemein zwei Typen von Lösungen, die sich im
Vorzeichen von E−V unterscheiden. Da in der klassischen Mechanik nur Zustände
möglich sind, für die E > V gilt, spricht man von klassisch erlaubten und klassisch
verbotenen Zuständen.
• Betrachtet man zunächst klassisch erlaubte Zustände, so fällt auf, dass bei
der Lösung von (2.36) in der Form
∂xB0(r) = ± 2m(E − V (x)) = ±p(x) (2.37)
der klassische Impuls p(x) auftritt. Die Funktion B0 entspricht dann der
Wirkung
B0(x) − B0(a) = ±
x
p(x
a
′ )dx ′
(2.38)
gemessen von einem Anfangspunkt a; da B0(a) = const, vereinfacht sich
dies nun noch zu
x
B0(x) = ± p(x
a
′ )dx ′ + const . (2.39)
Damit wird die allgemeine Wellenfunktion dieser Zustände zu
Ψ(x) =
x
1
i
C1 exp p(x
p(x) a
′ )dx ′
+ C2 exp − i
x
p(x
a
′ )dx ′
,
(2.40)
wobei c1 und der aus der Integrationskonstante resultierende Faktor zu Faktoren
Ci zusammengefasst wurden. Es handelt sich also um eine Überlagerung
oszillierender Funktionen.
• In den klassisch verbotenen Gebieten wird der Impuls p(x) imaginär. Formal
kann die Wellenfunktion in diesem Bereich aber genauso gewonnen werden.
Berücksichtigt man zusätzlich noch die Bedingung der Normierbarkeit, so
fällt der Anteil der Wellenfunktion mit exponentiellem Anstieg weg, und es
verbleibt
Ψ(x) = 1
C exp −
|p(x)| 1
x
|p(x
a
′ )|dx ′
. (2.41)

14 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
2.3.3 Einschränkungen und Probleme
• Die WKB-Methode ist nur auf eindimensionale Systeme anwendbar; d.h.,
ein Problem muß zumindest in Radial- und Winkelanteil separierbar sein,
wobei der Winkelanteil auf andere Weise gelöst werden muß. Die Erweiterung
der WKB-Theorie auf mehrdimensionale Probleme ist nur für integrable
Systeme möglich und als als EBK-Methode (nach Einstein, Brillouin
und Keller) oder unter dem Stichwort ” Torusquantisierung“ bekannt. Für
unsere Zwecke ist die WKB-Methode aber ausreichend.
• Wie bei jeder Näherungsmethode muss die Gültigkeit der WKB-Lösung
eines Systems geprüft werden. Als erster Test kann eine Betrachtung des
zweiten Terms der Entwicklung (2.34) gelten. Er resultiert in einem Korrekturfaktor
der Wellenfunktion:
Ψ1 = Ψ0 exp {iB1} (2.42)
Die Indizes der Wellenfunktionen Ψi sollen hier die höchste in die Lösung
einfließende Ordnung der Entwicklung angeben. Man kann nun sofort sagen,
dass die Näherung in nullter Ordnung gültig sein wird, wenn
B1 ≪ 1 (2.43)
ist. Aus der nach λ sortierten Gleichung findet man für die Korrekturen
erster Ordnung
2 2
3 ∂xB0 λ
−
4
1 ∂
2
3 xB0
− 2∂xB0∂xB1 = 0. (2.44)
Mit der Abkürzung
∂xB0
ℓ =
und aufgelöst nach ∂xB1 gilt
oder, einmal integriert
∂xS0
∂xB0
=
2m(E − V )
(2.45)
∂xB1 = − 1 (∂xℓ)
8
2 1
+
ℓ 4 ∂2 xℓ (2.46)
B1 = 1
4 ∂xℓ − 1
8
Bedingung (2.43) wird dann erfüllt sein, wenn
(∂xℓ) 2
. (2.47)
ℓ
∂xℓ ≪ 1 (2.48)

2.3. Die WKB-Theorie 15
gilt; die äquivalente Formulierung mit dem Potential V lautet
m∂xV
(2m(E − V )) 3
2
≪ 1. (2.49)
Diese Gleichung stellt die quantifizierte Version der erwähnten Forderung
hinreichend langsamer Variation des Potentials dar.
• Wie unschwer aus den oben hergeleiteten WKB-Wellenfunktionen (2.40)
und (2.41) zu erkennen ist, treten an den klassischen Umkehrpunkten, wo
E = V bzw. p = 0 gilt, Singularitäten auf. Dies kann zum einen zu Schwierigkeiten
mit der Normierung der Wellenfunktion führen, zum anderen stellt
sich die Frage, wie der Zusammenhang zwischen den Wellenfunktionen im
klassisch erlaubten und verbotenen Bereich ist. Beide Probleme können oft
durch die Methode der uniformen Näherung gelöst werden.
2.3.4 Die uniforme Näherung
Ausgangspunkt der uniformen Näherung ist die Idee, anstelle des gegebenen Problems
ein einfacher lösbares mit derselben Struktur – bezogen auf die Umkehrpunkte
– zu lösen und die gewonnene Lösung an das ursprüngliche Problem anzupassen.
Eine ausführliche Übersicht über die Methode findet sich z.B. in [Berry
u. Mount (1972)]. Wir beschränken uns im Folgenden auf Probleme mit einem
einzigen Umkehrpunkt.
Sei xU die Koordinate des Umkehrpunktes. Für den Impuls p gilt
und
p 2 > 0 für x < xU (2.50)
p 2 < 0 für x > xU. (2.51)
Am Umkehrpunkt selbst ist natürlich p(xU) = 0. Dies legt die Näherung
p 2 ≈ c(xU − x) (2.52)
mit der Konstanten
c = ∂xp 2 nahe. Die Schrödinger-Gleichung
x=xU
(2.53)
∂ 2 p2
x +
2
Ψ = 0 (2.54)
lässt sich mit dieser Näherung in der Umgebung des Umkehrpunktes schreiben
als
∂ 2 x + c(xU − x)
2
Ψ = 0. (2.55)

16 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Ein Übergang auf die immer reelle Variable
q =
vereinfacht die genäherte Schrödinger-Gleichung zu
wobei
c
2 1
3
(xu − x) (2.56)
(∂ 2 q + q)ψ = 0, (2.57)
ψ(q) = Ψ(q(x)) (2.58)
ist. Gleichung (2.57) wird von den Airy-Funktionen Ai(−q) und Bi(−q) gelöst:
ψAiry = αAi(−q) + βBi(−q), α, β beliebig (2.59)
Das asymptotische Verhalten der Airy-Funktionen ist bekannt. Es gilt
Ai(−q) ∼ 1
1
− 2 3
√ q 4 cos q 2 −
π 3 π
4
für q → ∞ (2.60)
für q → −∞ (2.61)
und
∼ 1
2 √ 1
|q|− 4 exp
π
Bi(−q) ∼ 1
1
− 2
√ q 4 sin
π
∼ 1 1
− √ |q| 4 exp
π
− 2 3
|q| 2
3
q 3
2 − π
3 4
2 3
|q| 2
3
Nach Gleichung (2.40) ist die WKB-Lösung von (2.57) aber
ψ = 1
c1 exp
4 q2 für q → ∞ (2.62)
für q → −∞. (2.63)
q
i
q ′ ′
dq + c2 exp −
a
i
q
q ′ ′
dq
a
(2.64)
im klassisch erlaubten Bereich, und entsprechend im verbotenen. Da wir um xU
entwickelt haben, wird der Umkehrpunkt als Startpunkt der Integration verwendet:
a = xU
(2.65)
Das Integral im Exponenten lässt sich nun auswerten, und man erhält (der Einfachheit
halber sei der aus xU resultierende konstante Anteil in den ci’s absorbiert)
ψ = 1
c1 exp
4 q2 i 2 3
q 2
3
+ c2 exp
−i 2 3
q 2
3
. (2.66)

2.4. Quantenmechanik und Semiklassik 17
Der Vergleich mit (2.40) zeigt, dass die WKB-Wellenfunktion Ψ durch
˜Ψ =
2 q
|p2 1
4
ψAiry
|
(2.67)
mit der Definition
2 3
q 2 =
3 1
x
p(x
xU
′ )dx ′
(2.68)
im klassisch erlaubten Bereich angenähert werden kann. Im klassisch verbotenen
Bereich muss q < 0 gelten. Deshalb führt man einen zusätzlichen Phasenfaktor
ein und definiert dort
2 3
q 2 = exp ±
3 3πi
x
1
p(x
2 xU
′ )dx ′ . (2.69)
Somit ist Gleichung (2.67) eine für alle x gleichermaßen gültige Näherungsschreibweise
für Ψ, die die Divergenz am klassischen Umkehrpunkt vermeidet.
2.4 Quantenmechanik und Semiklassik
Der Formalismus der Quantenmechanik gestattet die Lösung einer Vielzahl von
Problemstellungen. Dennoch gibt es Systeme, für die Näherungsmethoden zur Lösung
notwendig sind – ein Beispiel wäre die bereits beschriebene WKB-Methode
– und solche, bei denen zwar eine quantenmechanische Lösung vorhanden, ihre
anschauliche Deutung aber nicht offensichtlich ist. In solchen Fällen können oft
semiklassische Methoden zu einem tieferen Verständnis des physikalischen Gehalts
eines Problems und seiner Lösungen führen. Die Bezeichnung ” Semiklassik“
deutet bereits an, dass hierbei Parallelen zur klassischen Mechanik – insbesondere
zum Lagrange- bzw. Hamiltonformalismus – gezogen werden. Allgemein versteht
man unter Semiklassik – im Sinne des Bohrschen Korrespondenzprinzips – die
Quantenmechanik im Fall ” großer“ Quantenzahlen.
2.4.1 Ein kurzer Vergleich zwischen Quantenmechanik
und Semiklassik
Welche Näherungen werden gegenüber der Quantenmechanik in der Semiklassik
eingeführt?
Im Feynmanschen Pfadintegralformalismus der Quantenmechanik wird die
Propagation eines Teilchens im wesentlichen durch die Aufsummierung der In-
tegration der klassischen Lagrangefunktion L
alle Pfade
Endpunkt
Anfangspunkt
exp
i
Ldt

18 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
entlang aller möglichen Pfade von Anfangs- zu Endort durchgeführt. Im klassischen
Grenzfall muss der tatsächliche Pfad das oben auftretende Wirkungsintegral
minimieren. Für hohe Quantenzahlen wird die Exponentialfunktion stark oszillieren,
so dass sich Beiträge abseits des minimierenden Pfades schnell wegheben
werden. Aus diesem Grund ist es dann legitim, als erste Näherung für das quantenmechanische
System tatsächlich nur den klassischen Pfad zu berücksichtigen.
Sind – wie etwa beim Doppelspaltexperiment – klassisch zwei unterschiedliche
Pfade möglich, dann muss bei diesem Vorgehen aber die Superposition der Wegintegrale
entlang dieser beiden Wege als Näherungslösung verwendet werden. In
diesem Sinne ist die Behandlung des Systems immer noch ” quantenmechanisch“
– es werden lediglich die Pfade mit geringerer Wahrscheinlichkeit vernachlässigt.
Man kann bereits hier Analogien zur Bohr-Sommerfeld-Näherung erkennen, die
den ” stabilen Bahnen“ der Elektronen im Atom Bedingungen hinsichtlich der
integrierten Wirkung auferlegt.
2.4.2 Energieniveaus und Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Die Energieniveaus eines Systems sind in der Quantenmechanik die Eigenwerte
des Hamiltonoperators. Im semiklassischen Grenzfall können diese auf die periodischen
Bahnen des korrespondierenden klassischen Systems zurückgeführt werden
(Bohr-Sommerfeld-Quantisierung). Anschauliche Vorstellung ist, dass zwischen
zwei Umkehrpunkte genau eine ganze Zahl von Halbwellen passen muss, damit
die entsprechende Bahn periodisch ist. Durch die zusätzliche Forderung eines
stetigen Übergangs von oszilliernder Wellenfunktion im klassisch erlaubten Bereich
zu exponentiellem Abfall im klassisch verbotenen Bereich kommt noch ein
” Maslov-Index“ genannter Term η hinzu, so dass die vollständige Quantisierungsbedingung
für die Wirkung W (E) zwischen den Umkehrpunkten a und b
W (E) = 2
b
a
p(x)dx ! = h (n + η) (2.70)
gilt. Beim harmonischen Oszillator ist η beispielsweise 1.
Für ein vorgegebenes
2
Potential V ist dann der Weg zu den Energieeigenwerten vorgezeichnet. Mit dem
Impuls
p(x) = 2m (E − V (x)) (2.71)
stellt Gleichung (2.70) eine Bedingung für die zulässigen Energien dar. Betrachtet
man ein Coulomb-Potential,
VC = − Ze2
(2.72)
x
so führt uns das zu der Bestimmungsgleichung
W (E) = 2
xU
0
E + Ze2
dx = 2πZe2
x
− m
2E
!
= h (n + η) (2.73)

2.4. Quantenmechanik und Semiklassik 19
mit dem Umkehrpunkt
xU = − Ze2
. (2.74)
E
Auflösen nach E ergibt schlussendlich
E = − 1 Z
2
2e4m 2 (n + η) 2 = Z2Ry , (2.75)
(n + η) 2
wobei Ry die Rydbergenergie darstellt. Ein Vergleich mit den exakten Energien
liefert für das Coulomb-Problem den Maslov-Index η = 0. Die Tatsache, dass
mit dieser Wahl von η die quantenmechanischen Ergebnisse von der Semiklassik
vollständig reproduziert werden, stellt aber eine echte Ausnahme dar.

20 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen

Kapitel 3
Analytische Eigenschaften der
Newton-Schrödinger-Gleichung
Aus dem Newton-Schrödinger-System allein können bereits einige allgemeine Eigenschaften
von Lösungen abgeleitet werden. Dies ermöglicht es, gezielt Ansätze
für Näherungslösungen aufzustellen. Neben den allgemeinen Eigenschaften der
Gleichungen wird besonderes Augenmerk auf die zu erwartenden Lösungstypen
und ihre asymptotischen Eigenschaften gelegt.
3.1 Allgemeine Eigenschaften
3.1.1 Die Standardform
Das eigentliche Newton-Schrödinger-System
∆Ψ(r) = − 2m
(E − V (r))Ψ(r) (3.1)
2 ∆V (r) = 4πGm 2 |Ψ(r)| 2 . (3.2)
bestehend aus der Schrödingergleichung der Quantenmechanik und der Poissongleichung
der Newtonschen Gravitation, kann insbesondere für die hier relevanten
radialsymmetrischen Probleme auf eine handlichere Form gebracht werden. Mit
der radialsymmetrischen Form des ∆-Operators
und der Transformation
∆ → ∂ 2 r
+ 2
r ∂r
(3.3)
U(r) = 2m
(E − V ) (3.4)
2 √
8πGm3 S(r) = Ψ (3.5)
21

22 Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
erhält man ein vereinfachtes System für S und U,
∆S = −US (3.6)
∆U = −|S| 2 . (3.7)
1
Beide Funktionen haben die Dimension
(Länge) 2 . Im Folgenden werden die Funktionen
U und S der Einfachheit halber als Potential und Wellenfunktion bezeichnet.
3.1.2 Klassifizierung der Newton-Schrödinger-Gleichung
Das Newton-Schrödinger-System besteht aus zwei gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung. Sie können in eine einzige nichtlineare Differentialgleichung
vierter Ordnung umgeschrieben werden:
∂ 4 r S(r) = S|S|2
r 2
− 2(∂rS) 2 ∂ 2 r S
S 2
− 2∂3 r S
r + (∂2 r S)2
S + 2∂rS∂ 2 r S
rS
+ 2∂rS∂ 3 r S
S
(3.8)
Ein lineares System vierter Ordnung hätte vier unabhängige Konstanten in seiner
Lösung. Wir werden im Zuge der WKB-Näherung sehen, dass das dort entstehende
linearisierte Gleichungssystem ebenfalls vier unabhängige Konstanten
aufweisen wird.
3.1.3 Symmetrie von S
Betrachtet man Gleichungen (3.6) und (3.7), so wird unmittelbar klar, dass zu
einer gegebenen Lösung (U, S) auch (U, −S) eine Lösung darstellt. Somit kann
das Vorzeichen von S beliebig gewählt werden. Da lediglich |S| 2 physikalische
Bedeutung hat, ist dies nicht weiter überraschend. Im Folgenden wird deshalb
von
S(0) ≥ 0 (3.9)
ausgegangen.
3.1.4 Darstellung in Integralform
Ausgehend von den Gleichungen (3.6) und (3.7) kann man, wie in [Tod u. Moroz
(1999)] gezeigt, eine integrale Form des Systems aufstellen. Man schreibt das
System dazu als
1
r 2 ∂r(r 2 ∂rS) = −US (3.10)
1
r 2 ∂r(r 2 ∂rU) = −S 2 . (3.11)

3.2. Verschiedene Lösungstypen 23
Multiplizieren mit r 2 und Integration von 0 bis r liefert
∂rS(r) = − 1
r 2
∂rU(r) = − 1
r 2
eine weitere Integration führt zu
r
0 r
0
∂xS(x)dx = S(r) − S(0) = −
r
∂xU(x)dx = U(r) − U(0) = −
x 2 U(x)S(x)dx (3.12)
0 r
x
0
2 S(x) 2 dx, (3.13)
r
0 r
0
1
y2 1
y2 y
x 2 U(x)S(x)dx dy (3.14)
0 y
x
0
2 S(x) 2 dx dy. (3.15)
Das innere Integral kann als Funktion der Variablen y innerhalb des äußeren
Integrals behandelt werden. Eine partielle Integration vereinfacht die Gleichungen
dann zu
und schließlich
S(r) − S(0) = 1
r
r 0
U(r) − U(0) = 1
r
r
0
S(r) = S(0) +
U(r) = U(0) +
x 2 U(x)S(x)dx −
x 2 S(x) 2 r
dx −
0
r
0 r
x( x
r
r
3.2 Verschiedene Lösungstypen
3.2.1 Partikuläre Lösungen
0
0
1
y y2U(y)S(y)dy (3.16)
1
y y2S(y) 2 dy, (3.17)
− 1)U(x)S(x)dx (3.18)
x( x
r − 1)S(x)2 dx. (3.19)
Hartmann und Schmidt [Hartmann (1999)] haben darauf hingewiesen, dass partikuläre
Lösungen existieren, deren einfachste die triviale
ist. Eine weitere Lösung ist das System
S = 0 (3.20)
U = const (3.21)
S = ±2
r 2
(3.22)
U = −2
, (3.23)
r2 das für r → 0 quadratisch divergiert und somit nicht mehr normierbar ist.

24 Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
3.2.2 Gebundene Lösungen
In [Tod u. Moroz (1999)] wurde gezeigt, dass es eine Familie von gebundenen
Lösungen gibt, d.h. Lösungen, die für alle r endlich und normierbar sind. Neben
einem eindeutigen, normierbaren Grundzustand minimaler negativer Energie der
Funktion S ohne Nullstelle gibt es zu jedem n ∈ N normierbare Lösungen höherer
Energie mit n Nullstellen, deren Eindeutigkeit aber noch nicht analytisch
bewiesen werden konnte. Für n → ∞ geht die (negative) Energie der zugehörigen
gebundenen Lösungen streng monoton gegen null.
3.3 Skalierungsverhalten des Systems
Das Newton-Schrödinger-System weist eine Skalierungsinvarianz auf, die zur Bestimmung
normierter Lösungen von großem Nutzen ist. Seien S(r) und U(r) ein
Paar von Lösungen. Dann liefert die Abbildung
Γ : (S, U, r) → (µ 2 S, µ 2 U, r
µ ) =: ( ˜ S, Ũ, ˜r) (3.24)
wiederum ein Paar von Lösungen ˜ S und Ũ mit der ebenfalls skalierten Radiusvariablen
˜r. Der Beweis dieser Behauptung folgt direkt durch Einsetzen in das
System:
∂ 2 r S + 2
r ∂rS = −US → ∂ 2 r
∂ 2 2
r U +
r ∂rU = −S 2 → ∂ 2 r
˜S
µ 2 + 2
Ũ
µ 2 + 2
µ˜r ∂r
˜S
µ 2 = −Ũ ˜ S
µ 4
Ũ
µ˜r ∂r
µ 2 = − ˜ S2 µ 4 . (3.26)
(3.25)
Die Kettenregel liefert beim Übergang auf die skalierte Radiusvariable ˜r dann
und somit
∂r = 1
µ ∂˜r
∂ 2 r = 1
µ 2 ∂2 ˜r
(3.27)
(3.28)
∂ 2 ˜r ˜ S + 2
˜r ∂˜r ˜ S = − Ũ ˜ S (3.29)
∂ 2 2
˜r Ũ +
˜r ∂˜r Ũ = − ˜ S 2 . (3.30)
Ist eine nichtnormierte Lösung des Systems bekannt, gilt also
4π
∞
Ψ
0
2 r 2 dr = N = 1, (3.31)

3.4. Asymptotik von Potential und Wellenfunktion 25
oder mit der Funktion
geschrieben
S(r) =
2
2Gm 3
8πGm 3
Ψ(r) (3.32)
2 ∞
S
0
2 r 2 dr = N, (3.33)
dann erhält man eine normierte Lösung als Ergebnis einer Transformation Γ(µ)
mit µ so, dass gilt
2 2Gm3 ∞
˜S
0
2 ˜r 2 d˜r = 1. (3.34)
Einsetzen der Rücktransformation liefert dann für µ
µ = 1
. (3.35)
N
3.4 Asymptotik von Potential und Wellenfunktion
Aus den Integralgleichungen (3.18) und (3.19) lässt sich das asymptotische Verhalten
von Lösungen bestimmen (vgl. auch [Tod u. Moroz (1999)]). Dies ermöglicht
eine Prüfung der WKB-Lösung und die Bestimmung einiger auftretender
Integrationskonstanten.
3.4.1 Verhalten für r → ∞
Wir betrachten zunächst die Funktion U(r):
U(r) = U(0) −
r
0
xS 2 dx + 1
r
r
x
0
2 S 2 dx (3.36)
Da die betrachteten Lösungen alle normierbar sein sollen, ist klar, dass das zweite
Integral im Grenzfall r → ∞ einen endlichen Wert annehmen wird. Weil r > 0
gilt und S(0) ebenfalls einen endlichen Wert darstellt, ist unmittelbar einsichtig,
dass auch das erste Integral konvergieren muss. Damit nimmt die Funktion U im
Grenzfall die Form
U∞ = P + Q
(3.37)
r
mit den Abkürzungen
P := U(0) −
Q :=
∞
0
∞
0
xS 2 dx (3.38)
x 2 S 2 dx = 2Gm3
N (3.39)
2

26 Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
an. Unter Berücksichtigung der Skalierungsinvarianz kann jetzt der Energieeigenwert,
der zur normierten Lösung einer – etwa aus der Numerik – gegebenen
Funktion S(r) gehört, bestimmt werden. Dazu verwendet man die Definition der
Funktion Ũ und die Forderung, dass das Potential V im Unendlichen null werden
soll:
Ũ(r) = 2m
(E − V (r))
2 Ũ∞ = 2m
E
2 ⇒ E = 2
2m Ũ∞ = 2
2m µ2U∞ = 2
2m
4Gm6 4Q2 P = 2m5G2 2 P
Q 2
(3.40)
Mit Hilfe dieser Form können später die Integrationskonstanten der WKB-Lösung
und die Energieeigenwerte zu den nichtnormierten numerischen Lösungen bestimmt
werden.
Um das Verhalten von S(r) für r → ∞ zu bestimmen, setzt man (3.37) in
die bestimmende Differentialgleichung (3.6) ein. Für unsere Zwecke genügt es
hierbei, U∞ = P = const anzusetzen 1 . Die allgemeine Lösung der resultierenden
Differentialgleichung
∂ 2 r S + 2
r ∂rS + P S(r) = 0 (3.41)
ergibt
S(r) = 1
r exp
− √
−P r
c1 + c2
2 √
. (3.42)
−P
Ein solcher im wesentlichen exponentieller Abfall ist für die Wellenfunktion im
klassisch verbotenen Bereich auch zu erwarten.
3.4.2 Verhalten für r → 0
Um das Verhalten der Funktionen U(r) und S(r) in der Umgebung von null zu
untersuchen, entwickelt man beide Funktionen formal in eine Taylorreihe. Berücksichtigt
man darüber hinaus, dass beide Funktionen aus Symmetriegründen
gerade sein müssen, so erhält man für S(r)
S(r) = S(0) + 1
2 r2 ∂ 2 r S|0 + 1
24 r4 ∂ 4 r S|0 + 1
720 r6 ∂ 6 r S|0 + O(r 8 ), (3.43)
1 1
das Ergebnis für die vollständige Form mit dem r -Term findet sich im Anhang A; man
erhält dann Coulomb-Wellenfunktionen. Die für uns wesentlichen Eigenschaften ändern sich
aber nicht.

3.4. Asymptotik von Potential und Wellenfunktion 27
ebenso natürlich den Ausdruck für U(r). Bildet man nun die Ableitungen dieser
Terme
∂rS = r∂ 2 r S|0 + 1
6 r3 ∂ 4 r S|0 + 1
120 r5 ∂ 6 r S|0 + O(r 7 )
∂ 2 r S = ∂2 r S|0 + 1
2 r2 ∂ 4 r S0 + 1
24 r4 ∂ 6 r S|0 + O(r 6 ) (3.44)
und setzt sie in das Newton-Schrödinger-System ein, dann kann man nach Potenzen
von r ordnen. Es ergibt sich aus (3.6)
∂ 2 2
r S +
r ∂rS = 3∂ 2 r S0 + r 2
1 1
+ ∂
3 2
4 r S|0
+ r 4
1
24
= − S0U0 − 1
− r 4
2 r2 U0∂ 2 r S|0 + S0∂ 2 r U|0
1
24 U0∂ 4 r S|0 + 1
24 S0∂ 4 r U|0 + 1
4 ∂2 r S|0∂ 2
r U0
1
+ ∂
60
6 r S|0
+ O(r 6 )
+ O(r 6 )
und aus (3.7)
∂ 2 r U + 2
r ∂rU = 3∂ 2 r U0 + r 2
1
3 ∂4 r U|0 + 1
2 ∂4
r U|0
+ r 4
1
24 ∂6 r U|0 + 1
60 ∂6 r U|0
+ O(r 6 )
= − S 2 0 − r2S0∂ 2 r S|0 − r 4
1
12 S0∂ 4 r S|0 + 1
4 (∂2
2
r S|0) + O(r 6 )
Diese Beziehungen müssen für die verschiedenen Ordnungen von r separat erfüllt
sein. Damit gewinnt man für die höheren Ableitungen bei r = 0 die Relationen
∂ 2 r S|0 = − 1
3 U(0)S(0) ∂2 r U|0 = − 1
3 S(0)2
∂ 4 r S|0 = − 3
5 (U(0)∂2 r S|0 + S(0)∂ 2 r U|0) ∂ 4 r U|0 = − 6
5 S(0)∂2 r S|0
= 1
5 S0U 2 1
0 +
5 S3 0
∂ 6 r S|0 = − 1
7 S0U 3 0 − 19
21 S3 0U0
unter der Annahme, dass
= 2
5 S2 0 U0
∂ 6 r U|0 = − 16
21 S2 0U 2 0 − 2
7 S4 0
(3.45)
|S(0) 2 + r 2 S(0)∂ 2 r S|0 + O(r 4 )| = S(0) 2 + r 2 S(0)∂ 2 r S|0 + O(r 4 ). (3.46)
In einer geeigneten Umgebung von null gilt dies immer, wenn ∂ 2 r S|0 nicht divergiert
und S(0) > 0 erfüllt ist. Die Reihenentwicklungen von U(r) und S(r)

28 Kapitel 3. Analytische Eigenschaften der Newton-Schrödinger-Gleichung
ergeben sich somit zu
S(r) = S(0) − 1
6 r2 U(0)S(0) + 1
120 r4 (U(0) 2 S(0) + S(0) 3 ) + O(r 6 ) (3.47)
U(r) = U(0) − 1
6 r2 S(0) 2 + 1
60 r4 S(0) 2 U(0) + O(r 6 ). (3.48)

Kapitel 4
Numerische Lösung der
Newton-Schrödinger-Gleichung
Vorgehensweise und Ergebnisse einer numerischen Behandlung des Newton-
Schrödinger-Systems sollen in diesem Kapitel vorgestellt werden, um für die
WKB-Ergebnisse Vergleichswerte zur Verfügung zu haben. Außerdem werden einige
spezielle Eigenschaften der Lösungen herausgearbeitet und auf ihre physikalischen
Konsequenzen untersucht.
4.1 Die Vorgehensweise
In der numerischen Behandlung wurden gebundene Lösungen zum skalierten
System (3.6) und (3.7) gesucht. Dazu wurde ein Runge-Kutta-Verfahren vierter
Ordnung mit adaptiver Schrittweite verwendet, wie es die GSL-Bibliotheken
für C++ 1 implementieren. Aufgrund der in Abschnitt 3.3 gezeigten Eigenschaften
können die Lösungen durch Variation der Anfangswerte U(r0) bei festem,
aber beliebigem S(r0) und ∂rS|r0 = ∂rU|r0 = 0 (wegen der Radialsymmetrie)
gefunden werden. Der Grenzwert r0 → 0 ist dabei numerisch aufgrund der Divergenz
des Laplace-Operators nicht direkt zu realisieren, der durch den verwendeten
Wert r0 = 10 −19 in geeignet gewählten Einheiten entstehende Fehler ist aber zu
vernachlässigen.
Unterhalb eines gewissen (positiven) Startwertes U(r0) weist die gefundene numerische
Lösung für S keine Nullstellen auf und divergiert für endliches r gegen
+∞. Sukzessives Erhöhen von U(r0) führt dazu, dass ab einem bestimmten Wert
eine Nullstelle auftritt und S gegen −∞ strebt. Mit Hilfe eines Intervallhalbierungsverfahrens
kann dann U(r0) möglichst dicht an dem Wert gewählt werden,
an dem die zusätzliche Nullstelle auftritt. Dies sorgt automatisch dafür, dass die
numerische Divergenz erst möglichst spät auftritt. Der theoretische Grenzfall keiner
Divergenz für den gebundenen Zustand erfordert unendliche Genauigkeit des
1 siehe http://www.gnu.org/software/gsl/
29

30 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
Startwertes und ist praktisch somit unzugänglich. Abbildung 4.1 zeigt anhand
des Grundzustandes, wie sich mit steigender Genauigkeit des Startwertes U(r0)
der Ort der numerischen Divergenz zu höheren r verschiebt. In derselben Weise
können die höheren gebundenen Zustände durch Suche nach dem Wechsel von n
zu n + 1 Nullstellen bestimmt werden.
S(n=0) (unskaliert)
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
10 -5
10 -6
10 -7
10 -10
10 -12
10 -15
10 -19
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
r (unskaliert)
Abb. 4.1: S(r) für verschiedene Genauigkeiten der Startwertbestimmung; die numerische
Angabe im Diagramm bezieht sich auf die Länge des letzten Intervalls
im Halbierungsverfahren.
4.2 Natürliche Einheiten
Für die numerische Bestimmung werden natürliche Einheiten verwendet. In diesem
System ist
= G(= c) = 1. (4.1)
Darüber hinaus soll auch die betrachtete Masse als 1 angesehen werden können.
Mit diesen Festlegungen ist ein neues Einheitensystem eindeutig definiert – alle
Einheiten können als Kombinationen dieser Größen dargestellt werden. Sollen die
Ergebnisse dann in SI-Einheiten umgewandelt werden, ist eine Rückskalierung

4.3. Einige Wellenfunktionen und Potentiale 31
anzuwenden. Es gelten die Relationen
ESI = G2m5 E (4.2)
2 rSI = 2
m3 r. (4.3)
G
Damit sind die erhaltenen numerischen Werte von der betrachteten Masse unabhängig,
da diese in die verwendeten Einheiten eingeht.
4.3 Einige Wellenfunktionen und Potentiale
Die numerisch gewonnenen Funktionen S und U lösen zwar das System, müssen
aber noch umskaliert werden, da S im Allgemeinen noch nicht normiert ist. Nach
Anwendung der Skalierungsgesetze aus 3.3 erhält man normierte Wellenfunktionen
und die dazugehörigen Potentiale. Die Abbildungen 4.2 bis 4.5 zeigen einige
der erhaltenen Funktionen.
4.4 Energieniveaus
Die Energien zu den einzelnen Zuständen können entweder aus der Anpassung
von a + b an das Potential für Werte von r, die größer sind als der klassische
r
Umkehrpunkt, bestimmt werden, oder aus den nichtskalierten Funktionen unter
Berücksichtigung der Asymptotik.
• Die skalierte Funktion Ũ nimmt im Grenzfall den Wert
Ũ∞ = 2m
E (4.4)
2 an, da V natürlich gegen null streben muss. Aus einer Anpassung an die
oben angegebene Funktion folgt dann der Energieeigenwert
E = 2
b. (4.5)
2m
Diese Methode hat jedoch den Nachteil, dass neben der zur Bestimmung
des Skalierungsfaktors nötigen numerischen Integration auch noch ein Fit an
die skalierte Funktion vorgenommen werden muss. Aus diesem Grund sollte
aus den nichtskalierten Funktionen ein genauerer Wert gewonnen werden
können:

32 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
0 10 20 30 40 50 60 70
r
U(r)
S(r)
Abb. 4.2: Normierte Wellenfunktion und Potential im Grundzustand; die rechts
zu erkennende Divergenz ist numerisch bedingt, die Wellenfunktion kann hier
aber durch ihre asymptotische Form ausgedrückt werden.
0,04
0,03
0,02
0,01
0
-0,01
-0,02
-0,03
-0,04
0 50 100 150 200 250 300 350
r
U(r)
S(r)
Abb. 4.3: Zweiter angeregter Zustand

4.4. Energieniveaus 33
0,0035
0,003
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
-0,001
6e-05
4e-05
2e-05
0
-2e-05
-4e-05
-6e-05
0 500 1000 1500 2000 2500
r
U(r)
S(r)
Abb. 4.4: Zehnter angeregter Zustand
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
Abb. 4.5: 30. angeregter Zustand
r
U(r)/10
S(r)

34 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
• Bereits im Abschnitt 3.4 wurde in Gleichung (3.40) der Energieeigenwert
auf aus den nichtskalierten Funktionen zugängliche Größen zurückgeführt:
E = 2m5 G 2
2
mit P = U(0) −
P
Q2 ∞
0
xS 2 dx und Q =
∞
x
0
2 S 2 dx
Die Integration kann in Praxi natürlich nicht bis ∞ durchgeführt werden,
da das numerisch bestimmte S wie gezeigt schließlich divergiert. Die Integrale
werden deshalb vor der Divergenz abgebrochen. Da S jenseits des
klassischen Umkehrpunktes exponentiell abfällt, ist der hierdurch entstehende
Fehler ebenfalls exponentiell klein und kann durch Anpassen eines
exponentiellen Abfalls weiter verringert werden.
Tabelle 4.1 listet die gewonnenen Energieeigenwerte bis zur Ordnung n = 39 in
den in Abschnitt 4.2 verwendeten Einheiten auf, wie sie das Programm mit der
höchsten verwendeten Genauigkeit (relative und absolute Fehlervorgabe für die
gsl-Bibliotheken 10 −19 ) liefert.
n Energieeigenwert n Energieeigenwert
0 -0,1628681765212593 20 -0,0002211564989511983
1 -0,03081453138584109 21 -0,0002012930459669876
2 -0,01253301946649722 22 -0,0001839901493940441
3 -0,006750901627533464 23 -0,0001688264403084888
4 -0,004211189161992967 24 -0,0001554626445493706
5 -0,002875302157342785 25 -0,0001436212029005053
6 -0,002087204435908136 26 -0,0001330859338060408
7 -0,001583735262068196 27 -0,0001236690387326328
8 -0,001242666667415746 28 -0,0001152171624080823
9 -0,001000985788600076 29 -0,0001076055802739931
10 -0,0008235207534283319 30 -0,0001007187720299662
11 -0,0006893811761787296 31 -0,00009447862359910298
12 -0,0005855343497201638 32 -0,00008879489008692852
13 -0,00050349859658191 33 -0,00008361163463871026
14 -0,0004375693365156698 34 -0,00007886961882239671
15 -0,000383789077746053 35 -0,00007451962139554392
16 -0,0003393474186479111 36 -0,00007051982077162128
17 -0,0003022009795067046 37 -0,00006683369747712184
18 -0,0002708356646311647 38 -0,00006342916723486477
19 -0,0002441121013688074 39 -0,00006027831954420342
Tab. 4.1: Energieeigenwerte: direkte Ausgabe des Programms

4.5. Genauigkeit der ermittelten Energieeigenwerte 35
4.5 Genauigkeit der ermittelten Energieeigenwerte
Um die Anzahl der verlässlichen Nachkommastellen zu bestimmen, können mehrere
Programmdurchläufe mit niedrigerer Genauigkeit gestartet werden. Ein Vergleich
der Ergebnisse zeigt dann, bis zu welchem Grad sich eine Erhöhung der
Genauigkeit auf die erhaltenen Werte auswirkt. Tabelle 4.2 zeigt einige Energieeigenwerte,
wie sie bei verschiedenen Genauigkeiten ermittelt wurden. Man sieht
deutlich, dass bestenfalls die ersten drei gültigen Stellen als gesichert angenommen
werden können.
vorgegebene Fehler für die gsl-Bibliotheken
n 10 −19 10 −18 10 −17 10 −15
0 -0,1628681 -0,1629246 -0,1630153 -0,1633869
1 -0,0308145 -0,0308249 -0,0308415 -0,0309095
2 -0,01253301 -0,01253704 -0,01254348 -0,01256981
3 -0,006750901 -0,006752981 -0,006756307 -0,006769930
4 -0,004211189 -0,004212446 -0,004214448 -0,004222717
5 -0,002875302 -0,002876136 -0,002877478 -0,002882975
10 -0,000823520 -0,000823741 -0,000824094 -0,000825554
15 -0,000383789 -0,000383888 -0,000384046 -0,000384697
20 -0,000221156 -0,000221211 -0,000221300 -0,000221661
25 -0,0001436212 -0,0001436603 -0,0001437167 -0,0001439464
30 -0,0001007187 -0,0001007408 -0,0001007785 -0,0001009212
35 -0,00007451962 -0,00007453566 -0,00007456108 -0,00007466587
40 -0,00005735654 -0,00005736864 -0,00005738794 -0,00005746711
Tab. 4.2: Vergleich der erhaltenen Energien für verschiedene
Genauigkeiten
Damit erhält man als physikalisch sinnvolle Angabe der Energieeigenwerte die
in Tabelle 4.3 aufgeführten Werte.
n Energieeigenwert n Energieeigenwert n Energieeigenwert
0 -0,162(87) 15 -0,000383(79) 30 -0,000100(72)
1 -0,0308(15) 16 -0,000339(35) 31 -0,0000944(79)
2 -0,0125(33) 17 -0,000302(20) 32 -0,0000887(95)
3 -0,00675(09) 18 -0,000270(84) 33 -0,0000836(12)
4 -0,00421(12) 19 -0,000244(11) 34 -0,0000788(70)
5 -0,00287(53) 20 -0,000221(16) 35 -0,0000745(20)
6 -0,00208(72) 21 -0,000201(29) 36 -0,0000705(20)
7 -0,00158(37) 22 -0,000183(99) 37 -0,0000668(34)

36 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
n Energieeigenwert n Energieeigenwert n Energieeigenwert
8 -0,00124(27) 23 -0,000168(83) 38 -0,0000634(29)
9 -0,00100(10) 24 -0,000155(46) 39 -0,0000602(78)
10 -0,000823(52) 25 -0,000143(62) 40 -0,0000573(57)
11 -0,000689(38) 26 -0,000133(09)
12 -0,000585(53) 27 -0,000123(67)
13 -0,000503(50) 28 -0,000115(22)
14 -0,000437(57) 29 -0,000107(61)
Tab. 4.3: Energieeigenwerte: gerundet entsprechend der
ermittelten Genauigkeit
4.6 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Man kann nun versuchen, die in Abschnitt 2.4.2 angestellten Überlegungen auf
die vorliegenden numerischen Ergebnisse zu übertragen und zu prüfen, inwiefern
die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung auf diese nichtlineare Schrödinger-Gleichung
anwendbar ist. Als erstes kann direkt das Wirkungsintegral
W =
˜rU
p dq = 2
0
˜p(˜r)d˜r (4.6)
betrachtet werden; der Impuls ˜p(˜r) kann dabei aus den normierten Potential- und
Energieeigenwerten Ũ und ˜ E gewonnen werden:
˜p = 2Ũ (4.7)
Dann kann auf die vorliegenden nichtnormierten Größen übergegangen werden:
˜rU
2
0
rU
˜p(˜r)d˜r = 2
0
Ansetzen der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung liefert
2
rU
und vereinfacht als Bedingung für das Integral
0
µ √ U 1
µ dr (4.8)
µ √ U 1
µ dr ! = h(n + η) (4.9)
n + η = 1
π
rU
0
√ Udr. (4.10)
Die rechte Seite dieser Gleichung kann mit den erhaltenen Ergebnissen für das
Potential numerisch ausgewertet werden. In Tabelle 4.4 sind die so berechneten

4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung 37
Werte für n + η aufgeführt. Man erkennt deutlich, dass die geforderte Quantisierungsbedingung
erfüllt ist mit einem leicht von der Energie abhängenden
Quantendefekt η von etwa η ≈ 0, 74. Aus der Theorie für zustandsunabhängige
Potentiale mit identischem asymptotischen Verhalten folgt unmittelbar, dass η
für große n konvergieren muss (siehe z.B. [Friedrich (1990)]). In Abbildung 4.6
wird deshalb zur Überprüfung η über 1
n
aufgetragen. Es wird sofort klar, dass η
hier nicht konstant ist. Aus dieser Abbildung wird aber immer noch nicht deutlich,
ob η für n → ∞ konvergiert. Erst die Auftragung von ∆η, also der Differenz
zwischen zwei zu aufeinanderfolgenden n gehörenden η, wie sie in Diagramm 4.7
zu sehen ist, zeigt zum einen annähernd lineares Verhalten für n → ∞, so dass ∆η
zumindest gegen einen sehr kleinen Wert streben muss, und zum anderen auch,
dass die Genauigkeit des verwendeten Verfahrens ab etwa n = 25 nachlässt, so
dass die Berechnung noch höherer Zustände wenig sinnvoll erscheint.
n n + η n n + η n n + η n n + η
0 0,735761 11 11,74170 22 22,74370 33 33,74493
1 1,733298 12 12,74198 23 23,74383 34 34,74493
2 2,735047 13 13,74225 24 24,74402 35 35,74504
3 3,736586 14 14,74248 25 25,74409 36 36,74503
4 4,737774 15 15,74269 26 26,74414 37 37,74522
5 5,738705 16 16,74287 27 27,74415 38 38,74521
6 6,739451 17 17,74305 28 28,74434 39 39,74531
7 7,740061 18 18,74321 29 29,74456 40 40,74530
8 8,740486 19 19,74335 30 30,74461
9 9,741008 20 20,74349 31 31,74470
10 10,74137 21 21,74360 32 32,74452
Tab. 4.4: Test der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für
die ersten 40 Eigenzustände der Newton-Schrödinger-
Gleichung.
Aus der Quantendefekttheorie ist bekannt (vgl. z.B. [Friedrich (1990)]), dass
für zustandsunabhängige Potentiale, die nur bei kurzen Entfernungen von einem
reinen Coulomb-Potential abweichen, die Energieniveaus einem modifizierten
Rydberg-Spektrum
En = − RG y
(n − µ) 2 , n ∈ N0 (4.11)
mit der gravitativen Rydberg-Energie RG y und einem schwach energieabhängigen
Quantendefekt µ gehorchen. Eine Analyse der in Tabelle 4.1 aufgezeichneten
Daten liefert aber (vgl. auch Abbildung 4.8)
En = −κ RG y
(n − µ) 2
(4.12)

38 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,746
0,744
0,742
0,74
0,738
0,736
0,734
0,732
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1/n
Abb. 4.6: η, aufgetragen über 1
n
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Abb. 4.7: ∆η bei Erhöhung von n um 1, aufgetragen über 1 . Man erkennt für
n
große n ein näherungsweise lineares Verhalten von ∆η. Für n ≥ 25 nehmen die
numerischen Ungenauigkeiten stark zu.
1/n
η
Δη

4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung 39
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
-0,35
E n
κ = 0,192(631), μ = 0,769(001)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Abb. 4.8: Bestimmung des asymptotischen Quantendefekts µ und des Energierenormierungsfaktors
κ aus den Energieeigenwerten.
0
-0,0002
-0,0004
-0,0006
-0,0008
-0,001
-0,0012
-0,0014
-0,0016
-0,0018
10 15 20 25 30 35 40
n
E n
κ = 0,192(631), μ = 0,769(001)
Abb. 4.9: Die höheren n aus Abbildung 4.8
n

40 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
E1 E2 V
“echtes” Potential V(r)
r
E 1
E 2
U
Für das Wirkungsintegral
relevantes Potential U(r)
r
=
Abweichung vom
Coulomb-Integral
ist konstant.
Abb. 4.10: Typische Situation in der Atomphysik: Das Potential weicht nur bei
kleinen r vom Coulomb-Potential ab. Der hierdurch verursachte Beitrag zum
Wirkungsintegral WKr ist aber für hinreichend große Quantenzahlen konstant.
mit numerischen Werten
µ = 0, 769001 ≈ 0, 769 (4.13)
κ = 0, 192631 ≈ 0, 193. (4.14)
Es tritt also wie erwartet eine Rydbergserie mit Quantendefekten auf, allerdings
muss die Energieeinheit reskaliert werden. Um dies zu verstehen, betrachten wir
das Wirkungsintegral genauer.
Im Fall eines Coulomb-förmigen Potentials
bzw.
VC = Gm2
r
(4.15)
UC = 2m Gm2
(E − ) (4.16)
r
ist das Wirkungsintegral analytisch lösbar, und man erhält mit dem Umkehrpunkt
rU = − Gm2
E
für das Wirkungsintegral WC (vgl. auch (2.73))
WC = 2
rU
0
(4.17)
UC dr = 2πGm3
√ −2mE . (4.18)

4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung 41
Das von der Coloumb-Form abweichende Newton-Schrödinger-Potential kann nun
als Summe eines kurzreichweitigen Störpotentials – ab dem Umkehrpunkt geht es
ja in den 1-Abfall
über – und (4.16) geschrieben werden. In der Wirkung äußert
r
sich dies durch das Auftreten eines kurzreichweitigen Beitrags zum Wirkungsintegral
WKr mit
WKr = W − WC. (4.19)
Konvergiert dieser Korrekturterm für große n gegen einen festen Wert, so entsteht
in jedem Fall eine Rydbergserie, denn es gilt
W = WC + WKr = 2πGm3
√ −2mE + WKr
⇒ E =
(4.20)
!
= 2π(n + η) (Bohr-Sommerfeld) (4.21)
=
G 2 m 5
2 2 n + η − WKr
G 2 m 5
2 2 (n + ˜η) 2
2
(4.22)
(4.23)
= RG y
2 . (4.24)
(n + ˜η)
Eine numerische Berechnung der WKr liefert für die Newton-Schrödinger-
Gleichung aber die in Tabelle 4.5 aufgeführten Werte. Man kann unschwer erkennen
(vgl. auch Abbildung 4.11 und 4.12), dass die Korrekturen zur Wirkung
nicht konvergieren, sondern im Rahmen der numerischen Genauigkeit für große
n linear mit der Ordnung der Wellenfunktion anwachsen. Ein solches Verhalten
führt gerade zu einer durch einen konstanten Faktor modifizierten Rydberg-Serie:
WKr = c · (n + 1) (4.25)
⇒ W = 2πGm3
√ −2mE + c · (n + 1) ! = 2π(n + η) (4.26)
⇒ E = − G2m5 22 = −
= −
1 − c
h
1
c
c
n 1 − + η − h
h
R G y
2
n +
R G y
c 2 2
1 − (n + ˜η) h
c
η− h
1− c
2 h
Aus den numerischen Daten erhält man als Wert für c
2
(4.27)
(4.28)
(4.29)
c = −8, 10867 ≈ −8, 11 (4.30)

42 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
und somit für den Korrekturfaktor zur Energie
κ =
1
c 2 ≈ 0, 191 (4.31)
1 − 2π
in guter Übereinstimmung mit dem aus den Energien erhaltenen Wert.
n WKr n WKr n WKr n WKr
0 -6,386 11 -95,438 22 -184,639 33 -273,857
1 -14,419 12 -103,546 23 -192,748 34 -281,967
2 -22,501 13 -111,655 24 -200,858 35 -290,078
3 -30,595 14 -119,763 25 -208,973 36 -298,189
4 -38,695 15 -127,872 26 -217,083 37 -306,299
5 -46,798 16 -135,982 27 -225,194 38 -314,410
6 -54,903 17 -144,091 28 -233,304 39 -322,520
7 -63,008 18 -152,200 29 -241,408 40 -330,631
8 -71,115 19 -160,309 30 -249,526
9 -79,222 20 -168,419 31 -257,628
10 -87,330 21 -176,529 32 -265,748
Tab. 4.5: Kurzreichweitiger Beitrag zum Wirkungsintegrals
zusätzlich zum reinen Coulomb-Fall. Auch hier ist
das nahezu lineare Wachstum des Inkrements ablesbar.
In Worten ausgedrückt bedeutet obiger Befund, dass das Wirkungsintegral
der Newton-Schrödinger-Gleichung gegenüber einem Coulomb-Potential zur selben
Quantenzahl n keine konstante Abweichung aufweist, sondern eine linear
mit n steigende Abweichung zu kleineren Wirkungen zeigt. Die Linearität der
Abweichung sorgt dafür, dass das 1
n2 -Verhalten der Energieeigenwerte erhalten
bleibt und nur ein konstanter Korrekturfaktor zusätzlich eingeführt werden muss.
Die Abbildungen 4.13 und 4.14 zeigen die Integranden des Wirkungsintegrals
für mehrere Zustände. Man kann deutlich erkennen, dass im Coulomb-Fall die
höheren Zustände immer oberhalb der niedrigeren liegen, während im Newton-
Schrödinger-System höhere Zustände niedrigere Werte von U0 aufweisen. Dies
führt dazu, dass für höhere n die Abweichung zum Coulomb-Wirkungsintegral
anwächst. Die Linearität dieser Zunahme kann an dieser Stelle aber noch nicht
begründet werden. 2
2 In Anhang C ist eine Herleitung des Korrekturfaktors für ein einfaches Modellpotential aus
der Forderung der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung des Wirkungsintegrals zu finden, bei dem
gerade das beschriebene Verhalten zu beobachten ist.

4.6. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung 43
W Kr
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
W Kr
-8,10867⋅n - 6,26203
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Abb. 4.11: Die kurzreichweitigen Beiträge zum Wirkungsintegral WKr fallen in
guter Näherung linear ab.
ΔW Kr
-8,03
-8,04
-8,05
-8,06
-8,07
-8,08
-8,09
-8,1
-8,11
-8,12
n
Abnahme von W Kr von n nach (n+1)
0,078/x 3/2 -8,11
5 10 15 20 25 30 35 40
Abb. 4.12: Veränderung von WKr von n nach n + 1: für größere Quantenzahlen
nahezu lineares Verhalten (abgesehen von wenigen numerischen Ausreißern). Die
angefittete Funktion gibt den Verlauf gut wieder.

44 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
U 1/2
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
r
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
n=11
n=12
n=13
n=14
n=15
Abb. 4.13: Die Integranden des Wirkungsintegrals für den 5. bis 15. angeregten
Zustand der Newton-Schrödinger-Gleichung. Man erkennt deutlich die Zustandsabhängigkeit
bei kurzen Reichweiten.
1/2
UC 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 50 100 150 200 250
r
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
n=11
n=12
n=13
n=14
n=15
Abb. 4.14: Zum Vergleich: Die Integranden des Coulombschen Wirkungsintegrals
zu den in Abbildung 4.13 gezeigten Zuständen

4.7. Vergleich mit den analytisch bekannten Eigenschaften 45
4.7 Vergleich mit den analytisch bekannten Eigenschaften
Wir haben bereits gesehen, dass das numerische Lösen der Newton-Schrödinger-
Gleichung wie gefordert zu jedem n ∈ N genau eine normierte Wellenfunktion
liefert. Die zugehörigen negativen Energien streben für wachsendes n gegen null.
Von großer Bedeutung für die Auswertung der erhaltenen Funktionen ist ein
korrektes asymptotisches Verhalten. In Abbildung 4.15 wurde an die zum ersten
angeregten Zustand gehörenden Werte für U die Funktion
f(r) = a
+ b (4.32)
r
angepasst. Es wird deutlich, dass das Verhalten von U bereits ab dem Umkehrpunkt,
an dem U ja null wird, vom 1
-Abfall bestimmt wird. Wie gut die Über-
r
einstimmung tatsächlich ist, kann einfach überprüft werden. Dazu vergleicht man
den aus den numerischen Daten zu ermittelnden Umkehrpunkt mit dem aus dem
jeweiligen Energieeigenwert berechneten, für den
rU = Gm2
E
(4.33)
gilt. Im Grundzustand weichen die so bestimmten rU um etwa 3 Prozent voneinander
ab; die prozentuale Abweichung sinkt jedoch schnell – bereits der erste
angeregte Zustand weist nur noch etwa 1 Prozent Abweichung auf, ab dem 10.
angeregten Zustand beträgt die Abweichung unter einem Promille. Da die Genauigkeit
der Energieeigenwertbestimmung maximal drei gültige Stellen beträgt,
kann dieser Fehler auch auf numerische Ungenauigkeiten zurückgeführt werden.
Wie in Diagramm 4.16 zu sehen ist, verhalten sich die numerischen Lösungen
U und S für r → 0 wie in 3.4 gefordert parabolisch.
4.8 Neue Erkenntnisse
Neben der Bestätigung der unter anderem in [Harrison u. a. (2003); Epple (2003)]
veröffentlichten Energieeigenwerte und der Bestimmung der Wellenfunktionen
und Potentiale wurde erstmals das aus dem numerisch bestimmten effektiven
Potential zugängliche Wirkungsintegral untersucht. Es konnte gezeigt werden,
dass die bereits in [Epple (2003)] beobachtete Abweichung der Energieeigenwerte
von einer reinen Rydbergserie durch eine (im Rahmen der numerischen Genauigkeit)
lineare Abhängigkeit des durch den kurzreichweitigen Beitrag im Potential
verursachten Korrekturterms von der Ordnung des Zustandes zurückzuführen
ist. Die analytische Bestätigung dieser Eigenschaft der Newton-Schrödinger-
Gleichung steht aber noch aus.

46 Kapitel 4. Numerische Lösung der Newton-Schrödinger-Gleichung
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
0 50 100 150 200
r
U(r)
1,983/x - 0,0614
Abb. 4.15: Funktion U und angepasster 1
-Abfall exemplarisch für den ersten
r
angeregten Zustand
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
r
S(n=0)
S 0 - 1/6 r 2 S 0 U 0
U(n=0)
U 0 - 1/6 r 2 S 0 2
Abb. 4.16: U und S zeigen nahe bei r = 0 das erwartete Parabel-Verhalten

Kapitel 5
WKB-Lösung der Einteilchen-
Newton-Schrödinger-Gleichung
5.1 Vorbemerkungen und verworfene Ansätze
Die entscheidende Schwierigkeit bei der Bestimmung einer WKB-Lösung zur
Newton-Schrödinger-Gleichung ist die Abhängigkeit des auftretenden Potentials
von der Wellenfunktion selbst. Im Gegensatz zur üblichen Situation, in der
ein externes Potential vorgegeben wird, kann deshalb nicht einfach eine WKB-
Wellenfunktion äquivalent zu (2.40) und (2.41) aufgestellt werden. Der in dieser
Arbeit verfolgte Ansatz besteht darin, die Entwicklung der allgemeinen WKB-
Funktionen mit dem gekoppelten System nachzuvollziehen. Dabei hat sich herausgestellt,
dass eine günstige Transformation der Gleichungen vor Beginn der
WKB-Entwicklung zu deutlichen Vereinfachungen im Ergebnis führen kann. Um
dies zu verdeutlichen, wird in Anhang B eine WKB-Lösung der nichttransformierten
Newton-Schrödinger-Gleichung vorgestellt, die nur in parametrisierter Form
darstellbar ist.
5.2 Transformationen
Ausgegangen wird vom vereinfachten System (3.6) und (3.7). Eine weitere Vereinfachung
wird durch die Transformationen
die auf dimensionslose Gleichungen führen, und
X(r) = r 2 S(r) (5.1)
Y (r) = r 2 U(r), (5.2)
r = e t
47
(5.3)

48 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
erreicht. Zunächst erhält man
∂ 2 2
r X −
∂ 2 r Y − 2
r ∂rX + 2
X = −XY
r2 r2 r ∂rY + 2
Y = −
X
r2 r
2
(5.4)
, (5.5)
der Übergang zur Variablen t ergibt schließlich das autonome System
5.3 Der WKB-Ansatz
∂ 2 t X − 3∂tX + 2X + XY = 0 (5.6)
∂ 2 t Y − 3∂tY + 2Y + |X| 2 = 0. (5.7)
Für die Funktion X(t), die weiterhin im wesentlichen die Wellenfunktion beschreibt,
wird wie üblich der Ansatz
i
X(t) = A(t) exp
B(t)
(5.8)
mit einer reellen Amplitudenfunktion A(t) und einer Exponentenfunktion B(t)
gewählt. Die Ableitungen
i
∂tX = ∂tA exp
∂ 2 t X =
B(t)
+ A i
∂tB
i
exp
B(t)
∂ 2 i
t A + 2∂tA
∂tB + A i
∂2
1 2
t B − A (∂tB)
2 eingesetzt in Gleichung (5.6) ergeben
i
exp
B(t)
(5.9)
(5.10)
∂ 2 i
t A+2
∂tA∂tB + i
A∂2 1
t B −
2 A(∂tB) 2 −3∂tA−3 i
A∂tB +2A+Y A = 0, (5.11)
während Gleichung (5.7) zu
∂ 2 t Y − 3∂tY + 2Y + |A| 2
exp − 2
Im(B)
= 0 (5.12)
wird. Zur Bestimmung der Lösungen der beiden letzten Gleichungen muss nun
zwischen klassisch erlaubtem und verbotenem Bereich unterschieden werden.

5.4. Die Lösungen 49
5.4 Die Lösungen
5.4.1 Klassisch erlaubter Bereich
Im klassisch erlaubten Bereich sind beide Funktionen A und B reell, wir können
deshalb die Gleichung (5.11) in Real- und Imaginärteil trennen:
∂ 2 t A − 1
2 A(∂tB) 2 − 3∂tA + 2A + Y A = 0 (5.13)
2∂tA∂tB + A∂ 2 t B − 3A∂tB = 0. (5.14)
Weiterhin vereinfacht sich mit denselben Voraussetzungen (5.12) zu
∂ 2 t Y − 3∂tY + 2Y + |A| 2 = 0. (5.15)
Aus Gleichung (5.14) wird bei Division durch A und ∂tB
2 ∂tA
A + ∂2 t B
− 3 = 0 (5.16)
∂tB
∂t ln A 2 + ∂t ln (∂tB) − ∂t(3t + c1) = 0 (5.17)
A 2 ∂tB = exp {3t + c1} (5.18)
mit der beliebigen Integrationskonstanten c1. Für die Funktion A(t) und deren
Ableitungen gilt dann
A =
exp {3t + c1}
∂tB
(5.19)
∂tA = 1
⎛
⎝
2∂tB
exp {3t + c1}
3∂tB + ∂
∂tB
2 t B
⎞
⎠
∂ 2 1
t A =
4(∂tB) 2
⎛
⎝
exp {3t + c1}
9(∂tB)
∂tB
2 + 3∂ 2 t (B2 ) − 2∂tB 3∂ 2 t B + ∂3 t B
⎞
⎠ .
In Gleichung (5.13) eingesetzt erhält man wiederum
−1
42 (∂tB) 2
Diese Gleichung ist erfüllt für
exp {3t + c1}
2
(1 − 4Y )(∂tB)
∂tB
2 + 4(∂tB) 4
− 3 2 (∂ 2 t B)2 + 2 2 ∂tB∂ 3 t B
= 0. (5.20)
∂tB = ∞ (5.21)
t = −∞ ⇔ r = 0 (5.22)
0 = 2 (1 − 4Y )(∂tB) 2 + 4(∂tB) 4 − 3 2 (∂ 2 t B)2 + 2 2 ∂tB∂ 3 t B. (5.23)

50 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Vernachlässigt man den physikalisch nicht sinnvollen Fall ∂tB = ∞ und den
Grenzfall r → 0, der eine gesonderte Betrachtung (vgl. Abschnitt 3.4) erfordert,
so findet man für Y
Y = 1
4
∂ 2 t Y = 1
2
+ (∂tB) 2
2
2 3 ∂t B
−
4 ∂tB
4(∂tB) 4∂2 t B
1
∂tY =
2(∂tB) 3
2 ∂t B
−9
∂tB
+ (∂ 2 t B)2
4
2 + 17∂3 t B
(∂tB) 3
2
+ 1 ∂
2
3 t B
∂tB
2 + 3(∂ 2 t B)2 − 4∂tB∂ 2 t B∂3 t B + (∂tB) 2 ∂ 4 t B
4 + 4∂tB∂ 3 t B
2 3 2
∂t B
− 4
∂tB
− 5∂2 t B∂4 t B
(∂tB) 2 + ∂5 t B
,
∂tB
(5.24)
was nach Einsetzen in Gleichung (5.15) eine Differentialgleichung für B liefert:
0 =
1
2 2 (∂tB) 4
4(∂tB) 6 − 9 2 (∂ 2 t B)4 + (∂tB) 4 h 2 + 4(∂ 2 t B)2
+ 4(∂tB) 5 −3∂ 2 t B + ∂3 t B + 2 ∂tB(∂ 2 t B)2 −9∂ 2 t B + 17∂3 t B
− 2 (∂tB) 2
3(∂ 2 t B)2 + 4 ∂ 3 t B 2 2
+ ∂t B −12∂ 3 t B + 5∂4 t B
− 2 (∂tB) 3 −2 exp {3t + c1} − 2∂ 3 t B + 3∂ 4 t B − ∂ 5 t B
Entwickeln wir B(t) in eine Potenzreihe von λ := 2 , also
(5.25)
B(t) = B0(t) + λB1(t) + λ 2 B2(t) + . . . , (5.26)
setzen diese Entwicklung in (5.25) ein und vernachlässigen alle Terme der Ordnung
λ oder höher, so finden wir eine stark vereinfachte Differentialgleichung für
B0
(∂tB0) 2 + (∂ 2 t B0) 2 + ∂tB0
2
−3∂t B0 + ∂ 3
t B0 = 0. (5.27)
Setzen wir nun noch ˙ B := ∂tB0, so erhalten wir eine nichtlineare homogene DGL
2. Ordnung in ˙ B
˙B∂ 2 t
˙B + (∂t ˙ B) 2 − 3 ˙ B∂t ˙ B + ˙ B 2 = 0. (5.28)
Die allgemeine Lösung dieser DGL kann durch eine geeignete Transformation
(z.B. [Kamke (1967)]) gefunden werden. Dazu definiert man eine Funktion Υ(t)
mit
˙B(t) = Υ(t). (5.29)
Ableiten und Einsetzen in Gleichung (5.28) liefert eine lineare homogene Differentialgleichung
2. Ordnung
∂ 2 t Υ − 3∂tΥ + 2Υ = 0, (5.30)

5.4. Die Lösungen 51
deren Lösung sofort angegeben werden kann:
Somit ist
Υ(t) = c2 e t + c3 e 2t . (5.31)
˙B(t) = c2 e t + c3 e 2t . (5.32)
Die Amplitudenfunktion A(t) kann jetzt nach Gleichung (5.19) als
geschrieben werden.
A(t) =
exp {3t + c1}
√ c2 e t + c3 e 2t
(5.33)
Die Exponentenfunktion B(t) wiederum ist durch Integration von ˙ B(t) zu
erhalten. Substituiert man etwa
ν = e t , (5.34)
dann hat das zu berechnende Integral die Form
c2ν
1 c2 + c3ν
+ c3ν2 dν =
dν. (5.35)
ν ν
Abhängig von der Form der Parameter ci hat dieses Integral die Lösungen (vgl.
[Bronstein u. a. (2000)])
˙B(ν)dν = c2ν + c3ν 2
+ c2
2 ·
⎧
⎨
⎩
√
−1
−c3 arcsin
√1 ln
c3
nach Rücksubstitution also
˙B(t)dt = c2 e t + c3 e 2t
2c3ν+c2 + c4
c3 < 0, c2 ∈ R
|c2|
2 c2 3ν2
+ c2c3ν + 2c3ν + c2 + c4, c3 > 0
(5.36)
+ c2
2 ·
⎧
⎨ √
−1
−c3
⎩
arcsin
2c3 et
+c2 + c4
c3 < 0, c2 ∈ R
|c2|
√
1
c3 ln
2 c2 3 e2t + c2c3 et + 2c3 et
+ c2 + c4. c3 > 0
(5.37)
Welche dieser beiden Lösungen die gesuchte ist, kann erst entschieden werden,
wenn mehr über die Parameter c2 und c3 bekannt ist.
In Abschnitt 5.4.4 wird gezeigt, dass die Konstante c3 negativ sein muss, da sie
im wesentlichen die Energie des betrachteten gebundenen Zustandes beschreibt.
B(t) ist somit bestimmt.

52 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Für die Funktion X(t) finden wir
i
X(t) =A(t) exp
B(t)
=
exp {3t + c1}
√ c2 e t + c3 e 2t
i c2 · exp e
t + c3 e2t − c2
2 √ arcsin
−c3
2c3 et
+ c2
+ c4 .
|c2|
Die Rücksubstitution t → ln (r) und Gleichung (5.1) führen dann zur Wellenfunktion
e
S(r) =
c1
r √ c2r + c3r2
i c2r · exp
+ c3r
2 − c2
2 √
2c3r + c2
arcsin
+ c4 (5.38)
−c3
|c2|
Die Funktion Y (t) kann unabhängig von B(t) nach Gleichung (5.24) bestimmt
werden:
5c
Y (t) = −
2
2
1 et
2 + c2
+
2c2 + 2c3 et 2
+ c3 e2t 2 . (5.39)
16 (c2 + c3 e t )
Die Rücksubstitution t → ln (r) liefert dann die Gleichung
5c
Y (r) = −
2
2
1 r
2 + c2
+
16 (c2 + c3r) 2c2 + 2c3r 2
+ c3r2 und somit schließlich als effektives Potential
Y (r) 5c
U(r) = = −
r2 2 2
16r2
2 + c2
(c2 + c3r)
5.4.2 Klassischer Umkehrpunkt
1
2c2r2 1
+
+ 2c3r3 r2 2
+ c3
. (5.40)
2 Am klassischen Umkehrpunkt rU gilt E = V , die WKB-Funktion divergiert hier.
Eine einfache Betrachtung des Divergenzverhaltens von (5.38) liefert als Koordinate
rU des Umkehrpunktes
rU = −c2
. (5.41)
5.4.3 Klassisch verbotener Bereich
Da die Amplitudenfunktion im klassisch verbotenen Bereich imaginär wird, greift
die Argumentation des letzten Abschnittes nicht mehr. Um trotzdem eine Lösung
finden zu können, wählen wir anstelle einer beliebigen Funktion A(r) einen
c3

5.4. Die Lösungen 53
Ansatz, der sich mit dem in Kapitel 3.4 aufgezeigten asymptotischen Verhalten
S ∼ 1
exp {−kr} der Wellenfunktion für r → ∞ verträgt. Wir fordern für den
r
nichtexponentiellen Anteil der Wellenfunktion Sne somit
Sne ∼ 1
r
für r → ∞. (5.42)
Betrachtet man S(r) im klassisch erlaubten Bereich, so stellt man fest, dass der
nichtexponentielle Anteil der Lösung gerade dieser Forderung gehorcht:
Sne = 1
c1 e
r c3 + c2
r
∼ 1
r
für r → ∞ (5.43)
Da die Wellenfunktionen beim Überschreiten des Umkehrpunktes zwar divergiert,
aber trotzdem auf beiden Seiten eine funktionell ähnliche Form aufweisen sollte,
nehmen wir für den nichtexponentiellen Anteil der Wellenfunktion im klassisch
verbotenen Bereich das Verhalten
Sne, verboten = 1
c1 e
r |c3 + c2
r |
(5.44)
an. Unter Berücksichtigung der Transformationen aus Abschnitt 5.2 findet man
dann als sinnvollen Ansatz für ein reelles A(t)
c1
A(t) = a e t ec1
4 |c3 + c2
et e
= a et
4 | −c3 − c2
et (5.45)
mit beliebig konstantem a und fordert, dass B(t) im betrachteten Bereich rein
imaginär ist. Ableiten dieses Ansatzes und Einsetzen in Gleichung (5.6) liefert
für Y
1
Y (t) =
8(c2 + c3 et ) 32
8i∂tB c 2 2 + 3c2c3 e t + 2c 2 3 e2t
+ 16(c2 + c3 e t ) 2 (∂tB) 2 + c2(3c2 + 8c3 e t ) − 16i(c2 + c3 e t ) 2 ∂ 2 t B,
was mit der Abkürzung
γ =
c3 + c2
e t
(5.46)
(5.47)

54 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
nach zweimaligem Ableiten und Einsetzen in (5.7) auf eine Differentialgleichung
für B(t) führt:
16γ 9 e 4t (∂tB) 2 + 16γ 9 e 4t (∂ 2 t B) 2 − 4iγ 5 e 2t ∂ 2 t B 7c 2 2 + 15c2c3 e t + 10c 2 3 e 2t
+ 8γ 3 e t ∂tB i c 3 2 + 3c22 c3 e t + 3c2c 2 3 e2t + 2c 3 3 e3t − 6γ 6 e 3t ∂ 2 t B + 2γ6 e 3t ∂ 3 t B
+ 8a 2
exp c1 + 5t + iB
γ
8 + 3c2γ c 3 2 + 4c22 c3 e t + 6c2c 2 3 e2t + 8c 3 3 e3t
+ 4iγ 7 e 3t (7c2 + 8c3 e t )∂ 3 t B − 8iγ9 e 4t ∂ 4 t B
1
γ3 et = 0. (5.48)
Entwickelt man hier B(t) in eine Potenzreihe des Parameters 1 λ = und betrachtet
nur Terme nullter Ordung in λ, so erhält man als vereinfachte Differentialgleichung
( ˙ B(t) = ∂tB0)
˙B∂ 2 t
˙B + (∂t ˙ B) 2 − 3 ˙ B∂t ˙ B + ˙ B 2 = 0. (5.49)
Dies entspricht gerade der Differentialgleichung im klassisch erlaubten Bereich.
In dieser Ordnung sind also beide Bereiche durch dieselbe Funktion ˙ B(t) zu beschreiben.
Ableiten und Einsetzen in Gleichung (5.46) liefert für Y (t)
Y (t) =
1
16 2 (c2 + c3 e t )
16c 3 2 et + 16c 3 3 e4t + 8c2c3 e t (6c3 e 2t + 2 )
+ 3c 2 2 (16c3 e 2t + 2
) , (5.50)
und nach Rücksubstitution und Division durch r2 für das effektive Potential den
Ausdruck
c3
U(r) =
3
(c2 + c3r) 22 r2 3c2c
+
2 3
(c2 + c3r) 2 3c
r +
2 2 2c3 (c2 + c3r) 22 +
3c2 2
+
16(c2 + c3r) 2
c 3 2
r(c2 + c3r) 2 2
1
r +
c2c3
2(c2 + c3r) 2
1
. (5.51)
r
A ist fest gewählt – die beliebige Konstante a fällt bei der Näherung heraus,
so dass a in c1 einbezogen werden kann. Alle funktionalen Abhängigkeiten sind
somit bestimmt. Es gilt daher für die Wellenfunktion S(r)
S(r) = 1 e
r
c1 2
4 −c3 − c2
i c2r · exp
+ c3r
r
2 − c2
2 √
2c3r + c2
arcsin
+ c4 .
−c3
|c2|
(5.52)
Die im Exponenten auftretende Wurzel ist im klassisch verbotenen Bereich offensichtlich
imaginär. Der aus dem Arkussinus resultierende reelle Anteil wird durch
geeignete Wahl der Konstanten c4 (vgl (5.64)) kompensiert, so dass letztendlich
eine rein reelle abfallende Exponentialfunktion vorliegt.
1 es treten nun auch ungeradzahlige Potenzen von auf

5.4. Die Lösungen 55
5.4.4 Bestimmung der Integrationskonstanten
Konstante c1:
c1 wirkt lediglich als multiplikativer Faktor in der Wellenfunktion; mit ihrer Hilfe
lässt sich die Normierung der Wellenfunktion vornehmen.
Konstante c3:
Betrachtet man den Grenzfall r → ∞ der Gleichung (5.51), so findet man
c3
lim U(r) →
r→∞ 2 (5.53)
Mit der Definition der Funktion U(r), (3.4), findet man für die Konstante c3 einen
direkten Zusammenhang mit der Energie des Systems, wenn man das Potential
V (r) im Unendlichen null setzt. Es gilt
c3 = 2mE. (5.54)
Da die Energie eines gebundenen Zustandes (solche werden hier ja betrachtet)
negativ ist, ist hiermit auch die Funktion B(r) festgelegt.
Konstante c2:
Da wir wissen, dass c3 negativ ist, wird unmittelbar klar, dass c2 positiv sein
muss, damit ein klassischer Umkehrpunkt, an dem das WKB-System divergiert,
existiert:
c2 > 0. (5.55)
Zur Festlegung des Wertes von c2 betrachten wir die in Abschnitt 3.4 aufgezeigten
asymptotischen Eigenschaften des Newton-Schrödinger-Systems. In Gleichung
(3.37) wurde für U die asymptotische Form
Ur→∞ = U∞ + 1
r
2Gm 3
N (5.56)
2 bestimmt. Wählen wir c1 so, dass die Wellenfunktion normiert ist, dann gilt N = 1
→ 0
und ein einfacher Vergleich mit der Laurent-Entwicklung von (5.51) für 1
r
liefert für die Konstante c2
U(r → ∞) = c3 c2
+
2 2 c2 1
+ + O( ) (5.57)
r 2c3r3 r4 c2 = 2Gm 3 . (5.58)

56 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Konstante c4:
Es verbleibt sicherzustellen, dass B(r) im klassisch erlaubten Bereich rein reell,
im klassisch verbotenen Bereich dagegen rein imaginär ist, ansonsten tritt ein
Widerspruch zu den Voraussetzungen auf. Die Konstante c4 kann dazu noch frei
gewählt werden. Wir betrachten der Einfachheit halber die einzelnen Terme in
B(ν):
B(ν) = c2ν + c3ν 2 + c2
2
−1
· √ arcsin
−c3
2c3ν + c2
+ c4
|c2|
(5.59)
Der erste Term, die Wurzel, ist im erlaubten Bereich reell und im verbotenen
Bereich rein imaginär. Somit bleibt nur noch zu zeigen, dass der Term mit dem
Arkussinus keinen oder höchstens einen konstanten Imaginär - bzw. Realteil hat.
Im erlaubten Bereich ist dies sofort klar, da das Argument des Arkussinus hier
zwischen 1 und -1 liegt, es also keinen Imaginärteil gibt. Der verbotene Bereich
erfordert eine etwas eingehendere Untersuchung. Dazu betrachtet man die Zerlegung
des Arkussinus in Real- und Imaginärteil (vgl. [Abramowitz u. Stegun
(1970)]). Mit den Definitionen
gilt
z = x + iy
x, y ∈ R
k ∈ Z
arcsin (z) = kπ + (−1) k · arcsin (β) + (−1) k
· i ln α + √ α2
− 1
mit α = 1
(x + 1) 2 + y2 + (x − 1) 2 + y2 2
und β = 1
(x + 1) 2 + y2 − (x − 1) 2 + y2 .
2
(5.60)
In unserem Fall ist das Argument des Arkussinus reell, also x = z, y = 0. Damit
vereinfachen sich die Definitionen von α und β zu
α = 1
2
β = 1
2
1
|z + 1| + |z − 1|
2
1
|z + 1| − |z − 1|
2
Wir wissen aus Abschnitt 5.4.4, dass c3 < 0 und c2 > 0 gilt. Das bedeutet, dass
das Argument
2c3ν + c2
= 1 + 2 c3
ν ≤ 1 (5.61)
c2
c2

5.5. Höhere Ordnungen der WKB-Näherung 57
sein muss. Imaginäre Werte treten also für z < −1 auf. Mit dieser weiteren
Einschränkung können α und β zu
bestimmt werden. Somit ist
α = |z|
β = −1
arcsin (z) = kπ + (−1) k · arcsin (−1) + (−1) k · i ln
|z| + |z| 2
− 1 , (5.62)
und da
arcsin (−1) = −π
= const
2
(5.63)
ist, ist der Realteil von B(r) ebenfalls konstant und kann durch die Wahl
c4 = − c2π
4 √ −c3
eliminiert werden.
Damit sind alle in der Lösung auftretenden Konstanten festgelegt.
5.5 Höhere Ordnungen der WKB-Näherung
(5.64)
Eine Verbesserung der Genauigkeit des WKB-Verfahrens lässt sich im Prinzip
durch die Berücksichtigung von Korrekturen höherer Ordnung erreichen. Dabei
wird die Entwicklung (5.26) in (5.25) eingesetzt und die in nullter Ordnung bestimmte
Funktion B0 verwendet, um bei Vernachlässigung der Terme zweiter
Ordnung eine Differentialgleichung für B1 zu erhalten. Ein Iterieren dieses Vorgehens
erlaubt theoretisch eine beliebig gute Näherung. In der Praxis ist das Lösen
der entstehenden Differentialgleichung oft nicht ohne erheblichen Aufwand – falls
überhaupt – möglich.
5.5.1 Beispiel: klassisch erlaubtes Gebiet
Die beschriebene Methode liefert – angewandt auf Gleichung (5.25) – für B1(t)
die Differentialgleichung
0 = ∂tB1 24(∂tB0) 5 + 4(∂ 2 t B0) 2 + 20∂ 2 t B0(∂tB0)
4
+ ∂ 2 t B1
8∂tB0∂ 2 t B0 − 12(∂tB0) 5 + ∂ 3 t B1
4(∂tB0) 5
− 9(∂ 2 t B0) 4 + ∂tB0 − 9∂tB0(∂ 2 t B0) 3 + 17∂tB0(∂ 2 t B0) 2 ∂ 3 t B0 − 3(∂tB0) 2 (∂ 2 2
t B0)
− 4(∂tB0) 2 (∂ 3 t B0) 2 − (∂tB0) 2 ∂ 2 t B0
3
−12∂t B0 + 5∂ 4 t B0
− (∂tB0) 3 −2 exp {3t + c1} − 2∂ 3 t B0 + 3∂ 4 t B0 − ∂ 5 t B0
. (5.65)
Da sich auch nach dem Einsetzen der bekannten Form für B0 die Gleichung nicht
wesentlich vereinfacht, erscheint ein Lösungsversuch wenig erfolgversprechend.

58 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
5.6 Die uniforme Näherung
Wie in Abschnitt 2.3.4 gezeigt wurde, kann durch die uniforme Näherung eine
Wellenfunktion gefunden werden, die die Divergenz am klassischen Umkehrpunkt
vermeidet und zugleich abseits von ihm in die WKB-Wellenfunktionen übergeht.
Im vorliegenden Fall ist aber eine zusätzliche Schwierigkeit zu überwinden, die
die Anwendung des Verfahrens der uniformen Näherung erschwert. Üblicherweise
interessiert man sich für die Wellenfunktion eines Teilchens in einem vorgegebenen
äußeren Potential. Dann divergiert zwar die WKB-Wellenfunktion am Umkehrpunkt
rU, das Potential und der daraus zu bestimmende klassische Impuls
p jedoch nicht. Da hier aber S und U gekoppelt sind, divergiert auch U, was
die Berechung des Wirkungsintegrals p dq unmöglich macht. Um dennoch eine
am Umkehrpunkt reguläre Wellenfunktion zu erhalten, soll deshalb das Potential
(5.40) nochmals genähert werden. Dabei sind folgende Punkte von Interesse:
• Nahe bei 0 weicht das WKB-Potential stark vom eigentlich nicht divergierenden
Newton-Schrödinger-Potential ab. Die gesuchte Näherungsfunktion
kann deshalb in diesem Bereich vom WKB-Potential abweichen.
• Die im Potential enthaltenen Terme lassen sich in solche, die den Faktor 1
2
enthalten, und solche, bei denen das nicht der Fall ist, aufteilen. Wir haben
bereits bei der WKB-Entwicklung davon Gebrauch gemacht, dass 2 eine
sehr kleine Größe gegenüber 1 ist. Somit sollten vor allem die Terme mit
dem Faktor 1
2 erhalten bleiben.
• In der Umgebung des Umkehrpunktes sind diejenigen Terme, die höhere
enthalten, bereits stark abgeschwächt.
Potenzen von 1
r
Es liegt somit nahe, als Näherung die Funktion
Uuniform = c2 c3
+
r2 2 (5.66)
zu betrachten. In den Abbildungen 5.1 und 5.2 sind beide Funktionen aufgetragen.
Es zeigt sich, dass sowohl für Grundzustand als auch höher angeregte Zustände
bereits bei r ≪ rU die Funktion Uuniform eine recht gute Näherung darstellt, die
erst bei sehr kleinen r signifikant von U abweicht.
Im radialsymmetrischen Problem enthält die Schrödinger-Gleichung nicht, wie
in (2.54), einfach zweite Ableitungen, sondern den Laplace-Operator. Um dennoch
analog zu Abschnitt 2.3.4 vorgehen zu können, transformiert man deshalb ein
weiteres Mal und betrachtet
S ′ (r) = rS(r). (5.67)
Es folgt dann
∆S = r∂ 2 r S′ . (5.68)

5.6. Die uniforme Näherung 59
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 2 4 6 8 10 12
r
U WKB (n=0)
c 2 /r + c 3
Abb. 5.1: Das effektive Potential U(r) (vgl. (5.40) und (5.51)) in WKB-Näherung
für den Grundzustand. Das Potential (5.66) für die uniforme Näherung behebt
die Singularität am klassischen Umkehrpunkt.
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
r
U WKB (n=30)
c 2 /r + c 3
Abb. 5.2: Wie 5.1 für den 30. angeregten Zustand

60 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
Nach Division durch r ist die Schrödinger-Gleichung dann auf die Form von (2.54)
gebracht, und man kann eine Näherungslösung für S ′ direkt bestimmen.
Folgen wir der in Abschnitt 2.3.4 dargelegten Vorgehensweise, so finden wir
mit der Abkürzung
FAiry = (αAi(−q) + βBi(−q)) (5.69)
als Näherungswellenfunktion
S ′ =
2 q
|p2 1
4
FAiry
|
mit den Airy-Funktionen Ai und Bi und der Definition
2 3
q 2 =
3 1
rU
p(r
r
′ )dr ′
− r(c2 + c3r) + c2
√−c3 arctan
−1 − c2
c3r
(5.70)
=
(5.71)
im klassisch erlaubten Bereich. Einsetzen und Rücksubstitution liefern zuletzt für
S
S = 1
r FAiry
⎛
⎜ 1
6 3
⎜
⎜
2 ⎜
⎝
2 √
− r(c2+c3r)+
r
c q
√ 2 arctan −1−
−c3
c 2 ⎞ 1
4
2 3
c3r ⎟
h
⎟ .
c2 + c3r
⎟
⎠
(5.72)
Im klassisch verbotenen Bereich muss q < 0 gelten. Deshalb führt man einen
zusätzlichen Phasenfaktor ein und definiert dort
2 3
q 2 = exp ±
3 3πi
r
1
|p(r
2 rU
′ )|dr ′
= exp ± 3πi
2
−r(c2 + c3r) − c2
√ artanh 1 + −c3 c2
c3r
(5.73)
so dass für die Wellenfunktion dann
⎛
S = 1
r FAiry
1
3 6
2
⎜
⎜
⎜−
⎜
⎝
2r √
−r(c2+c3r)− c “q
√ 2 artanh 1+
−c3
c2 c3r
c2 + c3r
”
2
3
⎞
⎟
⎠
1
4
(5.74)
gilt.
Da die Näherungswellenfunktion ebenfalls normiert sein muss, die Funktion Bi
aber für r > − c2 divergiert, kann sofort β = 0 gesetzt werden. Die verbleibende
c3
Konstante α wird dann durch die Normierungsbedingung bestimmt.

5.7. Energieniveaus und Quantisierung 61
5.7 Energieniveaus und Quantisierung
5.7.1 Das Wirkungsintegral
Analog zu Abschnitt 2.4.2 sollen hier die stabilen Zustände der genäherten
Newton-Schrödinger-Gleichung mit Hilfe der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung bestimmt
werden. Dabei stellen sich in erster Linie dieselben Probleme wie bei der
Anwendung der uniformen Näherung, dass nämlich die Integration des Impulses
p von 0 bis rU aufgrund der Form des Näherungspotentials keinen endlichen
Wert liefert. Wir behelfen uns deshalb wiederum mit dem nochmals genäherten
Potential (5.66), und setzen als Quantisierungsbedingung
rU
c2 c3
2
+
0 r2 2 !
= h(n + η) (5.75)
an. Ausführen der Integration und Einsetzen der Integrationskonstanten aus Abschnitt
5.4.4 liefert dann
oder, mit der gravitativen Rydberg-Energie R G y
geschrieben,
R G y
E = − G2m5 22 , (5.76)
(n + η) 2
1
=
2 α2 Gmc2 = G2m5 22 (5.77)
E = − RG y
. (5.78)
(n + η) 2
αG ist hier die Kopplungskonstante der Gravitation, die analog zur Feinstrukturkonstanten
α der Elektrodynamik definiert wird. Das Ergebnis bestätigt natürlich
die Erwartungen, da das verwendete Näherungspotential gerade dem Coulomb-
Potential entspricht.
5.7.2 Quantendefekt und Energieeigenwerte
Die Bestimmung des Quantendefekts η erfolgt im Rahmen der uniformen Näherung
durch Anpassung der Wellenfunktionen in den verschiedenen Bereichen
aneinander (siehe z.B. [Liboff (1992)]). Nach [Geldart u. Kiang (1986)] kann auch
direkt aus der Struktur der Umkehrpunkte auf den Quantendefekt geschlossen
werden. Dabei resultiert jeder der in endlicher Entfernung symmetrisch bei rU
, so dass in Summe
und −rU liegenden Umkehrpunkte in einem Beitrag von 1
4
η = 1
2
(5.79)

62 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
n En n En n En
0 -0,8888 14 -0,002298 28 -0,0006049
1 -0,1632 15 -0,002015 29 -0,0005649
2 -0,06611 16 -0,001782 30 -0,0005287
3 -0,03555 17 -0,001586 31 -0,0004960
4 -0,02216 18 -0,001422 32 -0,0004661
5 -0,01512 19 -0,001281 33 -0,0004389
6 -0,01097 20 -0,001161 34 -0,0004140
7 -0,008324 21 -0,001056 35 -0,0003912
8 -0,006530 22 -0,0009660 36 -0,0003702
9 -0,005259 23 -0,0008864 37 -0,0003508
10 -0,004326 24 -0,0008162 38 -0,0003329
11 -0,003621 25 -0,0007540 39 -0,0003164
12 -0,003075 26 -0,0006987 40 -0,0003011
13 -0,002644 27 -0,0006492
Tab. 5.1: Energieeigenwerte für die Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung in
WKB-Näherung. Ein Vergleich mit den numerischen Werten und die Diskussion
der auftretenden Abweichungen sind in Kapitel 6 zu finden.
gelten muss 2 . Im verwendeten Einheitensystem führt dies auf Energieeigenwerte,
wie sie in Tabelle 5.1 dargestellt sind. Ein Vergleich mit Tabelle 4.3 zeigt Abweichungen
von den numerisch bestimmten Werten. Diese Abweichungen werden in
Kapitel 6 diskutiert werden.
5.7.3 Wellenfunktionen und Potentiale
Mit den in Tabelle 5.1 aufgeführten Energieeigenwerten lassen sich nun erstmals
Wellenfunktionen und Potentiale grafisch darstellen. In den Abbildungen 5.3 bis
5.6 sind einige ausgewählte Wellenfunktionen nach Gleichung (5.38) bzw. (5.52)
sowie ihre uniformen Näherungen (5.72) und die zugehörigen Potentiale aufgetragen.
Um die aus der uniformen Näherung resultierende Wellenfunktion an die gezeichneten
Realteile der WKB-Wellenfunktion anzupassen, muss diesen noch ein
konstanter Phasenfaktor von π hinzugefügt werden. Dies resultiert aus der Anpas-
4
sung der WKB-Funktionen an die asymptotische Form der Airy-Funktionen (vgl.
etwa [Liboff (1992)]). Die Normierung der Suniform wurde numerisch durchgeführt,
2 Strenggenommen gilt dies nur für flache Potentiale mit endlichen Steigungen in den Umkehrpunkten.
Insbesondere im Fall des Coulomb-Potentials zu ℓ = 0 liefert eine genauere Analyse
(vgl. dazu [Berry u. Mount (1972)]), die die Divergenz des Potentials am Ursprung berücksichtigt,
wie erwähnt η = 0. Da wir aber wissen, dass das ” echte“ Newton-Schrödinger-Potential
am Ursprung einen endlichen Wert annimmt, ist (5.79) gerechtfertigt.

5.8. Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse 63
da das Normierungsintegral
2
2Gm 3
∞
S
0
2 uniformr 2 dr (5.80)
nicht analytisch gelöst werden konnte. Die WKB-Wellenfunktionen, für die dasselbe
gilt, wurden dann an Suniform angepasst. Eine numerische Normierung der
WKB-Wellenfunktion ist für diesen Vergleich nicht sinnvoll, da die Divergenz am
Umkehrpunkt das Ergebnis verfälschen würde und somit die Güte der Näherung
nicht beurteilt werden könnte.
In allen Abbildungen ist zu erkennen, dass die aus dem gegenüber dem
WKB-Potential (5.40) und (5.51) nochmals genäherten Potential (5.66) entwickelten
Wellenfunktionen hervorragend mit den WKB-Wellenfunktionen (5.38) und
(5.52) übereinstimmen. Da wir in der uniformen Näherung aber im Prinzip ein reines
Coulomb-Potential angesetzt hatten, bedeutet das, dass wir durch die WKB-
Näherung einen Großteil der speziellen Eigenschaften der Newton-Schrödinger-
Gleichung verloren haben. Im folgenden Kapitel wird dies noch deutlicher werden.
5.8 Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse
Eine WKB-Analyse der Newton-Schrödinger-Gleichung wurde bereits von Hartmann
[Hartmann (1999)] vorgestellt. Die hier durchgeführte Rechnung liefert
aber gegenüber den Literaturergebnissen einige signifikante Fortschritte. So
wurden erstmals Energieeigenwerte aus der Anwendung der Bohr-Sommerfeld-
Quantisierungsbedingung auf die WKB-Potentiale gewonnen. Die bestimmten
WKB-Wellenfunktionen und Potentiale stellen außerdem eine deutliche Vereinfachung
gegenüber den bekannten parametrisierten Formen dar. Darüberhinaus
konnten WKB-Wellenfunktionen hergeleitet werden, deren Knotenanzahl eindeutig
der zugehörigen Anregungsstufe entspricht, während in [Hartmann (1999)]
jede der erhaltenen Wellenfunktionen unendlich viele Knoten aufwies.

64 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
r
U WKB
S WKB ⋅10
S uniform ⋅10
4π 2 (c 2 /r+c 3 )/h 2
Abb. 5.3: Vergleich von Wellenfunktion S und effektivem Potential U des normierten
dritten angeregten Zustand in WKB- und uniformer Näherung.
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
0 100 200 300 400 500 600
r
U WKB
S WKB ⋅100
S uniform ⋅100
4π 2 (c 2 /r+c 3 )/h 2
Abb. 5.4: Wie 5.3, für den 15. angeregten Zustand.

5.8. Bisherige Literaturergebnisse und neue Erkenntnisse 65
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
1
0,5
0
-0,5
-1
0 500 1000 1500 2000
r
U WKB
S WKB ⋅100
S uniform ⋅100
4π 2 (c 2 /r+c 3 )/h 2
Abb. 5.5: Wie 5.3, für den 30. angeregten Zustand.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
r
U WKB
S WKB ⋅100
S uniform ⋅100
4π 2 (c 2 /r+c 3 )/h 2
Abb. 5.6: Der Bereich um r = 0 aus Abbildung 5.5; auch für kleine r ist die
Näherung noch ausgezeichnet.

66 Kapitel 5. WKB-Lösung der Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung

Kapitel 6
Vergleich von WKB-Näherung
und numerisch exakter Lösung
In diesem Kapitel soll die Güte der aus der WKB-Näherung gewonnenen Energieeigenwerte
und Potential- und Wellenfunktionen durch einen Vergleich mit
den numerisch ermittelten Größen bestimmt werden und einige der auftretenden
signifikanten Abweichungen erklärt werden.
6.1 Energieeigenwerte
Bereits ein flüchtiger Vergleich der numerischen Resultate aus Tabelle 4.1 mit den
aus der WKB-Näherung gewonnenen (Tabelle 5.1) zeigt deutliche Abweichungen
in den Energieeigenwerten. Wie ist dies zu verstehen?
Aus den in Abschnitt 4.6 gewonnenen Erkenntnissen können wir folgern, dass
die aus der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung erhaltenen Energieeigenwerte um
einen konstanten Faktor zu korrigieren sind. Natürlich kann das aus dem verwendeten
Potential (5.66) resultierende Wirkungsintegral (5.75) analytisch nach
der Energie aufgelöst werden. Wir vernachlässigen dabei aber, dass die entscheidenden
Effekte – nämlich das Verhalten von Potential und Wellenfunktion bei
kleinen Radien r – durch die WKB-Näherung verloren gehen, da die entsprechenden
WKB-Funktionen dort (im Falle des Potentials sogar quadratisch) divergieren.
Unter diesem Gesichtspunkt ist die WKB-Näherung zur Bestimmung der
Energieeigenwerte ungeeignet. Aus den numerischen Betrachtungen kennen wir
aber den Korrekturfaktor zu den aus dem in der uniformen Näherung verwendeten
Coulomb-Potential errechneten Energien. Die Anwendung des in Gleichung
(4.13) definierten Reskalierungsfaktors und des zugehörigen korrigierten Quantendefekts
liefert dann die in Tabelle 6.1 aufgeführten korrigierten Energieeigenwerte,
die für größere n gut mit den numerisch ermittelten übereinstimmen. Für niedrige
n liefert die WKB-Näherung im Allgemeinen schlechtere Übereinstimmungen.
67

68 Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
n En(WKB) En(numerisch) n En(WKB) En(numerisch)
0 -0,1560 -0,162(87) 21 -0,0002009 -0,000201(29)
1 -0,03002 -0,0308(15) 22 -0,0001836 -0,000183(99)
2 -0,01232 -0,0125(33) 23 -0,0001685 -0,000168(83)
3 -0,006664 -0,00675(09) 24 -0,0001552 -0,000155(46)
4 -0,004168 -0,00421(12) 25 -0,0001434 -0,000143(62)
5 -0,002851 -0,00287(53) 26 -0,0001329 -0,000133(09)
6 -0,002072 -0,00208(72) 27 -0,0001235 -0,000123(67)
7 -0,001574 -0,00158(37) 28 -0,0001150 -0,000115(22)
8 -0,001236 -0,00124(27) 29 -0,0001074 -0,000107(61)
9 -0,0009960 -0,00100(10) 30 -0,0001006 -0,000100(72)
10 -0,0008198 -0,000823(52) 31 -0,00009435 -0,0000944(79)
11 -0,0006866 -0,000689(38) 32 -0,00008868 -0,0000887(95)
12 -0,0005833 -0,000585(53) 33 -0,00008351 -0,0000836(12)
13 -0,0005018 -0,000503(50) 34 -0,00007878 -0,0000788(70)
14 -0,0004362 -0,000437(57) 35 -0,00007443 -0,0000745(20)
15 -0,0003826 -0,000383(79) 36 -0,00007044 -0,0000705(20)
16 -0,0003384 -0,000339(35) 37 -0,00006676 -0,0000668(34)
17 -0,0003014 -0,000302(20) 38 -0,00006336 -0,0000634(29)
18 -0,0002702 -0,000270(84) 39 -0,00006022 -0,0000602(78)
19 -0,0002435 -0,000244(11) 40 -0,00005730 -0,0000573(57)
20 -0,0002207 -0,000221(16)
Tab. 6.1: Vergleich der Energieeigenwerte aus WKB- und
numerischer Lösung
6.2 Potentiale und Wellenfunktionen
Da wir aus dem vorhergehenden Abschnitt wissen, dass die aus der WKB-
Näherung erhaltenen Energieeigenwerte mit einem Korrekturfaktor skaliert werden
müssen, um die Newton-Schrödinger-Eigenwerte zu erhalten, ist bereits hier
klar, dass numerische und WKB-Funktionen einander nicht entsprechen werden.
In Abbildung 6.1 ist beispielhaft die normierte numerische und die normierte
WKB-Lösung aufgetragen. Die Frage ist nun, ob analog zu den Energieeigenwerten
eine Skalierung gefunden werden kann, die die WKB-Wellenfunktionen
besser an die numerisch ermittelten Lösungen anpasst. Erste Hinweise gibt uns
die Betrachtung des klassischen Umkehrpunktes. Wir wissen, dass das Newton-
Schrödinger-Potential sich hier bereits wie das Coulomb-Potential verhält, der

6.2. Potentiale und Wellenfunktionen 69
Umkehrpunkt rU ist somit gegeben durch
rU = Gm2
. (6.1)
−E
Die Skalierung der Energieeigenwerte führt also dazu, dass der Umkehrpunkt nach
rU = 1
κ rU
wandert. Dies legt eine Radiusskalierung
nahe.
0,008
0,006
0,004
0,002
0
-0,002
-0,004
r = r
κ
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
r
U numerisch
U WKB
S numerisch
S WKB
(6.2)
(6.3)
Abb. 6.1: Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion und effektives Potential
des 9. angeregter Zustand: Aufgrund des auftretenden Reskalierungsfaktors für
die Energieeigenwerte müssen auch Potential und Wellenfunktion angepasst werden.
Untersucht man nun noch das Verhalten des Potentials U, so findet man, dass
mit
U = κU (6.4)
das korrekte asymptotische Verhalten sichergestellt ist.

70 Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
Die Radiusskalierung beeinflusst natürlich auch die Normierung der Wellenfunktion.
Ein Übergang zur Radiusvariablen r führt im Normierungsintegral zum
Auftreten eines Faktors κ 3 , so dass die WKB-Wellenfunktion dann zusätzlich zur
” normalen“ Normierung mit √ κ 3 multipliziert werden muss.
In den Abbildungen 6.2 bis 6.9 sind Wellenfunktion und Potential von numerischer
und WKB-Lösung einander gegenübergestellt. Man erkennt sofort den
Effekt der relativ großen Abweichung der Energieeigenwerte bei niedrigen Quantenzahlen:
Die Potentiale liegen auch im klassisch verbotenen Bereich nicht übereinander,
sondern sind gegeneinander verschoben. Dies bessert sich natürlich bei
höheren Quantenzahlen. Generell kann man auch feststellen, dass die WKB-
Funktionen bis auf die Anzahl der Nullstellen keine gute Näherung der Newton-
Schrödinger-Wellenfunktionen darstellen.
Unabhängig von der Ordnung des betrachteten Zustandes sind alle Nullstellen
in der WKB-Näherung in Richtung Ursprung verschoben, und zwar umso stärker,
je weiter innen sie liegen. Anschaulich ist das auch sofort klar: Da das WKB-
Potential im Gegensatz zum numerischen Potential zum Ursprung hin divergiert,
wird das Wirkungsintegral innen weitaus mehr Nullstellen durchlaufen als dies
im ” echten“ System der Fall ist.
Bei den Wellenfunktionen höherer Ordnung kann man erkennen, dass die Einhüllende
für größere r durch die WKB-Näherung akzeptabel wiedergegeben wird.
Abschließend läßt sich feststellen, dass die WKB-Näherung das Phasenverhalten
der Newton-Schrödinger-Eigenfunktionen nur ansatzweise korrekt beschreiben
kann.

6.2. Potentiale und Wellenfunktionen 71
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
r
S numerisch
S WKB
Abb. 6.2: Numerisch exakte und WKB-Wellenfunktion des normierten ersten angeregten
Zustandes.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
r
U numerisch
U WKB
Abb. 6.3: Numerisch exaktes und effektives WKB-Potential des normierten ersten
angeregten Zustandes.

72 Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
0,003
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
-0,001
-0,0015
-0,002
0 200 400 600 800 1000 1200
r
S numerisch
S WKB
Abb. 6.4: Wie 6.2 für den normierten 9. angeregten Zustand.
0,008
0,006
0,004
0,002
0
-0,002
-0,004
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
r
U numerisch
U WKB
Abb. 6.5: Wie 6.3 für den normierten 9. angeregten Zustand.

6.2. Potentiale und Wellenfunktionen 73
0,0001
5e-05
0
-5e-05
-0,0001
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
r
S numerisch
S WKB
Abb. 6.6: Wie 6.2 für den normierten 19. angeregten Zustand.
0,003
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
-0,0005
-0,001
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
r
U numerisch
U WKB
Abb. 6.7: Wie 6.3 für den normierten 19. angeregten Zustand.

74 Kapitel 6. Vergleich von WKB-Näherung und numerisch exakter Lösung
2e-05
1,5e-05
1e-05
5e-06
0
-5e-06
-1e-05
-1,5e-05
-2e-05
0 5000 10000 15000 20000
r
S numerisch
S WKB
Abb. 6.8: Wie 6.2 für den normierten 36. angeregten Zustand; rechts unten die
Divergenz der numerischen Lösung.
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
-0,0002
0 5000 10000 15000 20000 25000
r
U numerisch
U WKB
Abb. 6.9: Wie 6.3 für den normierten 36. angeregten Zustand.

Kapitel 7
Zusammenfassung
Im Folgenden soll noch einmal ein Überblick über das Ziel der Arbeit und die
erhaltenen Ergebnisse gegeben werden. Von besonderem Interesse sind dabei die
physikalischen oder systematischen Folgerungen, die die vorliegende Arbeit zulässt.
7.1 Ziele der Arbeit
• Zunächst sollten numerische Lösungen der radialsymmetrischen
Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung gefunden werden, um die
Systematik der Zustände und Energieeigenwerte mit wachsenden Quantenzahlen
untersuchen zu können.
• Alternativ sollte eine semiklassische Lösung des Newton-Schrödinger-
Systems gefunden werden. Die erhaltenen Funktionen sollten dann mit numerisch
ermittelten Werten verglichen werden, um die Güte der WKB-
Näherung sicherzustellen, bevor sie zur Bestimmung der Energieeigenwerte
des Systems eingesetzt wurde. Dadurch sollte das von einer zu erwartenden
Rydberg-Serie abweichende Verhalten der numerisch bestimmten Energieeigenwerte
erklärt werden.
7.2 Die Ergebnisse
Die Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung wurde erstmals numerisch bis
zum Anregungszustand n = 40 gelöst. Nach der Bestätigung der Bohr-
Sommerfeld-Quantisierung aus den numerischen Potentialen wurde darüber hinaus
zum ersten Mal gezeigt, dass im Gegensatz zu bekannten Problemen aus
der Atomphysik die Abweichung des Wirkungsintegrals der Newton-Schrödinger-
Lösungen vom Coulomb-Wirkungsintegral nicht gegen einen festen Wert konvergiert,
sondern im Rahmen der numerischen Genauigkeit für höhere n linear
75

76 Kapitel 7. Zusammenfassung
m [kg] ∆rerlaubt [m] Kommentar
10 −30 10 30 Elektron
10 −27 10 21 Nukleon
10 −18 10 −5 Wassertropfen mit r = 10 −7 m
10 −12 10 −23 Wassertropfen mit r = 10 −5 m
Tab. 7.1: Ausdehnung des klassisch erlaubten Bereichs ∆rerlaubt eines Teilchens
der Masse m im Newton-Schrödinger-Grundzustand
mit n anwächst. Dies erklärt unmittelbar die Existenz eines Korrekturfaktors zu
den aus der Rydbergserie bekannten Energieeigenwerten. Anhand eines einfachen
Modellpotentials konnte das Zustandekommen dieses Korrekturfaktors im Prinzip
nachvollzogen werden.
Des Weiteren konnte gezeigt werden, dass sich die Methode der WKB-
Näherung prinzipiell auch auf nichtlineare Probleme anwenden lässt. Es ist gelungen,
die bisher besten semiklassischen Wellenfunktionen und Potentiale sowie
erstmals Energieeigenwerte (die in Abbildung 7.1 noch einmal wiedergegeben
sind) zu berechnen. Dabei wurde ein aus der Numerik bestimmter Reskalierungsfaktor
zur systematischen Korrektur der durch die semiklassische Näherung
auftretenden Fehler verwendet. Auf diese Weise konnten auch Wellenfunktionen
und Potentiale bestimmt werden, die wichtige Eigenschaften der numerisch bestimmten
Lösungen wiedergeben. Insbesondere soll hierbei die Bestätigung der
1
n 2 -Abhängigkeit der Energieeigenwerte, wie sie sich auch aus der Numerik ergibt,
erwähnt werden. Es ist zu erwarten, dass eine weitere quantitative und qualitative
Verbesserung der Ergebnisse aufbauend auf den hier dargestellten Ansätzen
erreicht werden kann.
Von grundsätzlichem Interesse ist die Frage nach der experimentellen Verifizierbarkeit
der der Newton-Schrödinger-Gleichung zugrundeliegenden Hypothesen.
In Tabelle 2.1 wurde bereits die Stabilität eines Überlagerungszustandes
betrachtet. Unter Zuhilfenahme der in dieser Arbeit erhaltenen Ergebnisse lassen
sich weitere Aussagen über den Grad der Lokalisierung der Eigenzustände
der radialsymmetrischen Einteilchen-Newton-Schrödinger-Gleichung treffen. Dazu
betrachtet man den klassischen Umkehrpunkt in Abhängigkeit von der Masse
des betreffenden Teilchens. Aus den Gleichungen (4.3) und (5.41) folgen für den
am stärksten lokalisierten Grundzustand die in Tabelle 7.1 aufgeführten Größenordnungen.
Hier wird augenscheinlich, dass Teilchen wie Elektronen oder Nukleonen selbst
im Newton-Schrödinger-Grundzustand quasi delokalisiert sind, während makroskopische
Objekte praktisch keine Ortsunschärfe mehr zeigen. 1 Somit widerspre-
1 Problematisch ist hier natürlich, dass der errechnete klassisch erlaubte Bereich für die Wassertropfen
kleiner ist als deren Ausdehnung. Das ist einfach darauf zurückzuführen, dass die

7.3. Ausblick 77
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
1e-05
1 10
E numerisch
κ⋅E WKB
0,1/x 2
Abb. 7.1: Doppeltlogarithmische Auftragung der numerischen Energieeigenwerte
sowie der reskalierten WKB-Energien.
chen die aus dieser Betrachtung der Newton-Schrödinger-Gleichung zu ziehenden
Folgerungen nicht den bekannten experimentellen Ergebnissen.
7.3 Ausblick
Im Hinblick auf das beobachtete Verhalten der Energieeigenwerte wäre es von besonderem
Interesse, aus dem Newton-Schrödinger-System selbst die Abweichung
des Wirkungsintegrals gegenüber dem Coulomb-Integral zu bestimmen, um zu
prüfen, ob in der Tat ein linearer Zusammenhang zwischen Ordnung und Abweichung
besteht. Dazu könnte z.B. ein aus einer eingehenderen Untersuchung der
analytischen Eigenschaften des Systems gewonnenes Modellpotential verwendet
werden. Ein weiterer Ansatzpunkt wäre die Anwendung alternativer Näherungsmethoden
anstelle der WKB-Näherung, um die Divergenz am Ursprung zu vermeiden
und so die Eigenschaften des Systems besser abzubilden. Relativ einfach
sollten Verbesserungen in der numerischen Behandlung des Systems zu erreichen
sein. Höhere Genauigkeiten ließen sich beispielsweise durch den Übergang
auf long double-Variablen erreichen, die aber von den in den gsl-Bibliotheken
Newton-Schrödinger-Lösung so nur für Punktteilchen gilt. Als Anhaltspunkt können obige Größenordnungen
dennoch verstanden werden.

78 Kapitel 7. Zusammenfassung
implementierten Runge-Kutta-Routinen nicht unterstützt werden. Die iterative
selbstkonsistente Lösung des Systems sollte bei entsprechender Rechenzeit ebenfalls
zu einer Erhöhung der Genauigkeit führen. Die numerischen Integrationen
wurden in der vorliegenden Arbeit über eine einfachen Trapezregel durchgeführt,
was weitere Optimierungsmöglichkeiten bietet. Andere Arbeitsgebiete könnten
eine numerische Behandlung von nichtradialsymmetrischen Situationen in Verallgemeinerung
bestehender Arbeiten für das Einteilchen- [Harrison u. a. (2003)]
oder Mehrteilchenproblem [Knapp (2005)] sein.

Anhang A
Asymptotik für S(r) aus
vollständigem U∞
Die in diesem Fall zu lösende Differentialgleichung ist
∂ 2 2
r S +
r ∂rS + (P + Q
)S(r) = 0, (A.1)
r
also eine radialsymmetrische Schrödinger-Gleichung mit Coulomb-Potential. Die
allgemeine Lösung kann entweder mit Hilfe der Laguerre-Polynome (siehe z.B.
[Schwabl (1998)]) oder über die konfluente hypergeometrische Funktion U(a, b, z)
und die konfluente hypergeometrische Kummer-Funktion M(a, b, z) (siehe z.B.
[Abramowitz u. Stegun (1970)]) ausgedrückt werden. Im letzteren Fall nimmt sie
die Form
S(r) = exp − √
−P r αM(1 − Q
2 √ −P , 2, 2√−P r)
+ βU(1 − Q
2 √ −P , 2, 2√ −P r)
(A.2)
an. M divergiert für große r stärker als exp √ −P r , so dass eine normierbare
Funktion nur für α = 0 existieren kann. In Integralschreibweise ist der übrigbleibende
Anteil
S(r) = exp − √
−P r
β
1
Γ(1 − Q
2 √ −P )
∞
Reihenentwicklung um r = ∞ liefert hierfür
S(r) ≈ exp − √ −P r
1
r
0
exp −2 √
−P rt
Q
1
2
+ 1
t √ −P
√
−P Q
1+ 2P
β · 2 −1−
√
−P Q
2P (−P ) −1−
√ −P Q
2P
79
dt.
(A.3)
+ O( 1
).
r2 (A.4)

80 Anhang A. Asymptotik für S(r) aus vollständigem U∞
Da der Exponent des 1-Terms
negativ werden kann – P = 2mE < 0 – und
r
die Größenverhältnisse von P und Q vom betrachteten Problem abhängen, kann
über den Potenzanteil keine weitere Aussage gemacht werden. Er spielt für die
Normierbarkeit aber keine Rolle, da der exponentiell abfallende Anteil in jedem
Fall dominiert. Die asymptotische Form der Wellenfunktion ist also korrekt durch
einen mit einem Potenzterm modifizierten exponentiellen Abfall wiedergegeben.

Anhang B
Parametrisierte Lösung
Aus den nichttransformierten Newton-Schrödinger-Gleichungen (2.17) und (2.18)
kann eine parametrisierte WKB-Lösung gewonnen werden.
B.1 WKB-System gekoppelter DGL
Der Ansatz für die Wellenfunktion in der WKB-Methode ist
i
Ψ(r) = A(r) exp
B(r)
(B.1)
mit einer reellen Amplitudenfunktion A(r) und einer reellen Exponentenfunktion
B(r). Anwenden des Laplace-Operators auf diesen Ansatz liefert
i
∆Ψ(r) =∆A(r) exp
B(r)
+ 2∇A(r) i
i
∇B(r) exp
B(r)
+ A(r) i
i
∆B(r) exp
B(r)
− A(r) 1
2 (∇B(r))2
i
exp
B(r)
,
(B.2)
während die Poisson-Gleichung (3.2) übergeht in
∆V = 4πGm 2 A(r) 2 . (B.3)
Nun wird die Schrödingergleichung in Real- und Imaginärteil separiert. Somit
erhält man ein System von drei gekoppelten Gleichungen
2 ∆A(r) + A(r) 2m (E − V (r)) − (∇B(r)) 2 = 0 (B.4)
2(∇A(r))(∇B(r)) + A(r)∆S(r) = 0 (B.5)
∆V − 4πGA(r) 2
exp − 2
Im(B(r))
= 0. (B.6)
Im klassisch erlaubten Bereich wird die Exponentenfunktion reell, somit gilt die
einfachere Gleichung
∆V − 4πGm 2 A(r) 2 = 0. (B.7)
81

82 Anhang B. Parametrisierte Lösung
B.2 Potentialgleichung
Wendet man die Ersetzungen ∇ → ∂ und die radialsymmetrische Form des
∂r
Laplace-Operators an, so geht Gleichung (B.5) über in
Division durch A und B ′ liefert
2A ′ (r)B ′ (r) + A(r)B ′′ (r) + 2
r A(r)B′ (r) = 0. (B.8)
2 A′
A
dies kann geschrieben werden als
B′′ 2
+ + = 0, (B.9)
B ′ r
2∂r ln (A) + ∂r ln (B ′ ) + 2∂r ln (r) = 0. (B.10)
Zusammenfassen der Ableitungen und Integrieren ergibt
2 ln (A) + ln (B ′ ) + 2 ln (r) = const . (B.11)
Als weiteren Schritt kann man noch die Logarithmen zusammenziehen, also
A 2 B ′ r 2 = exp {const} =: d. (B.12)
Auflösen nach B ′ und Einsetzen in Gleichung (B.4) liefert ein System von zwei
gekoppelten Differentialgleichungen, in dem die Funktion B(r) nicht mehr vorkommt.
Natürlich wäre es genauso möglich, nach A aufzulösen, so dass das System
von B und V anstelle von A und V abhängt. Die resultierenden Gleichungen
werden aber recht unhandlich, da die erste und zweite Ableitung von A benötigt
wird. Das erhaltene System ist noch exakt, es wurde bisher keine Näherung
vorgenommen!
2
A ′′ + 2
r A′
+ 2m (E − V ) A − d
A3 = 0
r4 (B.13)
V ′′ + 2
r V ′ − 4πm 2 GA 2 = 0 (B.14)
Auflösen der Gleichung (B.7) nach A(r) ergibt
∆V (r)
A(r) = . (B.15)
4πGm2 Die erste und zweite Ableitung des so bestimmten A(r) sind dann
A ′ =
2V ′
− r2 2V ′′
(3)
+ + V r
4 √ πGm2√∆V (B.16)
A ′′ = 12V ′2 − 12r2V ′′2 − r4 (V (3) ) 2 + 2r4V ′′ V (4) + 4r2V ′ 3V (3) + rV (4)
8 √ πGm2√∆V (2V ′ + rV ′′ ,
)
(B.17)

B.2. Potentialgleichung 83
was nach Einsetzen in Gleichung (B.13) eine Differentialgleichung für V (r) liefert,
aus der sowohl B(r) als auch A(r) eliminiert sind. Diese Differentialgleichung ist
nichtlinear und 4. Ordnung, wird aber durch die anschließende WKB-Entwicklung
nach dem kleinen Parameter“ λ =
” 2 deutlich vereinfacht. Zunächst einmal die
vollständige Differentialgleichung, sortiert nach Ordnungen von :
0 =
−64d 2 G 2 π 2 + 32mr 2 (E − V )(V ′ ) 2
+ 8mr 4 (E − V )(V ′′ ) 2 + 32r 3 m(E − V )V ′ V ′′
+ 2
+ 4
Wir definieren
−64d 2 G 2 π 2 − 16(V ′ ) 2 + 32mr 2 (E − V )(V ′ ) 2 + 8r 2 (V ′′ ) 2
+ 8mr 4 (E − V )(V ′′ ) 2 + 4r 3 V ′′ V (3) + 32mr 3 (E − V )V ′′ + 8r 2 V ′ V (3)
−4(V ′ ) 2 − 4r 2 (V ′′ ) 2 − r 4 (V (3) ) 2 + 4r 3 V ′′ V (3)
+2r 4 V ′′ V (4) + 8rV ′ + 20r 2 V ′ V (3) + 4r 3 V ′ V (4)
1
·
r √ Gm2∆V (B.18)
λ := 2
(B.19)
und entwickeln die Gleichung (B.18) nach Ordnungen von λ, wobei wir für V (r)
die Form
V (r) = V0(r) + λV1(r) + λ 2 ∞
V2(r) + . . . = λ n Vn(r) (B.20)
ansetzen. Üblicherweise wird diese Entwicklung in der WKB-Methode für die
Exponentenfunktion B(r) angesetzt. In nullter Ordnung von λ erhalten wir
bzw.
Mit der Definition
(∆V0(r)) 2 = 8π2 d 2 G 2 m 3
r 4 (E − V (r))
und nach Anwendung der Transformation
erhält man dann
n=0
(B.21)
∆V0(r) = √ 2m 2πdGm
r2 . (B.22)
E − V (r)
U(r) = E − V0(r) (B.23)
U = rU → ∂ 2 r U = r∆U (B.24)
∂ 2 c
r U(r) + √ = 0. (B.25)
rU

84 Anhang B. Parametrisierte Lösung
Dies ist ein Sonderfall der Emden-Fowler-Differentialgleichungen (vgl. [Polyanin
u. Zaitsev (2002)]), die die Form
∂ 2 xy(x) = Ax n y m
c1I 1
3
(τ) + c2K 1
3
(B.26)
haben. Für n = m = − 1
kann die Lösung in parametrisierter Form angegeben
2
werden. Mit der Hilfsfunktion Z(τ)
c1J 1 (τ) + c2Y 1 (τ)
3
3
Z(τ) =
(B.27)
(τ)
die die (verallgemeinerten) Bessel-Funktionen (siehe z.B. [Abramowitz u. Stegun
(1970)]) enthält, können r und U(r) als Funktionen von τ geschrieben werden:
r = τ 2
3 Z(τ) 2
U(r) = 3√ ∓9c2 2
−
τ 3
τ∂τ Z(τ) + 1
3 Z(τ)
2
(B.28)
(B.29)
Die Bestimmung des korrekten Vorzeichens sowie der zu verwendenen Definition
von Z und anschließende Rücktransformation liefert dann als parametrisierte
Darstellung des Potentials V0(r)
V (τ) = E − 3√ 9c2 2
−
τ 3
c1J − 2
3
c1J 1
3
(τ) + c2Y − 2
3
(τ) + c2Y 1
3
(τ)
(τ)
2
. (B.30)
Mit Hilfe von V0 können hieraus die Funktionen A und B und daraus dann die
WKB-Wellenfunktion in parametrisierter Form gewonnen werden.

Anhang C
Wirkungsintegral eines einfachen
Modellpotentials
Wir wissen aus den Betrachtungen zur Asymptotik des Newton-Schrödinger-
Systems, dass Lösungen nahe am Ursprung parabelförmig werden, während sie
für große r wie 1 abfallen. Aus den numerischen Lösungen konnten wir erken-
r
nen, dass dieses Verhalten bereits am Umkehrpunkt dominant ist. Es liegt daher
nahe, als erstes Modellpotential eine stetige und differentierbare abschnittweise
definierte Funktion der Form
U(r) =
c + 3d
2rK
c + d
r
d − 2r3 r
K
2 für r < rK
für r > rK
(C.1)
mit konstanten Koeffizienten c und d anzunehmen. Der Verbindungspunkt rK
muss dabei natürlich zwischen Ursprung und Umkehrpunkt liegen:
0 < rK ≤ rU
Setzt man nun den Verbindungspunkt proportional zum Umkehrpunkt
(C.2)
rK = σrU mit 0 < σ ≤ 1 (C.3)
so kann das Wirkungsintegral berechnet und die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
angewandt werden. Die so definierten Potentiale und die zugehörigen Wirkungsintegrale
sind für einen Wert von σ = 0, 5 in den Abbildungen C.1 bzw. C.2
dargestellt. Interessant ist der Vergleich mit den Abbildungen 4.13 und 4.14, in
denen dieselbe Größe für das Newton-Schrödinger- und das Coulomb-Potential
85

86 Anhang C. Wirkungsintegral eines einfachen Modellpotentials
aufgezeichnet ist. Für das Wirkungsintegral gilt dann
rU √
σrU
Udr = c +
0
0
3d
−
2σrU
d
2σ3r3 r
U
2
rU
dr + c +
σrU
d
r dr
= 1
d
2 2σ3r3
−σ
U
d
2cσ3 3 rU + 3σ
c d
2r2 d2
U + σ2
c2 3 3 2cσ rU + + 3σ
d
2 r 2 ⎛
⎜
U · arsinh ⎝−σ d
d
c 2σ3r3
U c + 3d
⎞
⎟
⎠
2σrU
d2 −
c (σ2 − σ) + πd
4 √ d
+
−c 2 √ arcsin (1 − 2σ) (C.4)
−c
und nach
und mit den Definitionen
c = 2mE
2
rU √ !
2 Udr = 2π(n + η) (C.5)
0
d = 2Gm3
2
rU = − d
c
zur Anpassung an das Newton-Schrödinger-Potential erhält man
E = −
G2m5 22π2 (n + η) 2
(C.6)
− 4(σ − σ2 ) + π
+ arcsin (1 − 2σ)
2
− σ
4 − 4σ
2 σ +
2
2
1
(3 − 2σ) arcsin −
.
σ 3 − 2σ
(C.7)
Im Grenzfall σ → 0 reduziert sich dies erwartungsgemäß auf die Rydberg-Serie
des gravitativen Coulomb-Problems. Für alle anderen Werte von σ erhält man
aber einen nur von σ abhängigen Korrekturfaktor für die Energieeigenwerte. In
Abbildung C.3 sind diese über σ aufgetragen.

U(r)
U 1/2
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
0 10 20 30 40 50 60 70
r
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Abb. C.1: Einige Zustände des Modellpotentials für σ = 0, 5.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 20 40 60 80 100 120 140
r
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
Abb. C.2: Die Integranden des Wirkungsintegrals einiger Zustände bei σ = 0, 5.
87

88 Anhang C. Wirkungsintegral eines einfachen Modellpotentials
κ
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Abb. C.3: Aus dem Modellpotential resultierender Korrekturfaktor zur Rydberg-
Serie des Coulomb-Potentials.
σ

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Danksagung
Diese Arbeit wäre nicht möglich gewesen ohne die Unterstützung zahlreicher Kollegen
und Freunde, die mir über die gesamte Zeit mit Rat und Tat zu Seite
standen.
• An erster Stelle möchte ich hier ganz besonders meinem Hauptberichter
Herrn Professor Wunner danken, der mir ein überaus spannendes Thema
zur Verfügung gestellt hat und mir das Jahr hindurch in vielen Gesprächen
über auftretende Schwierigkeiten hinweggeholfen hat.
• Als zweites möchte ich meinen Kollegen, Frau Sabine Latzel, Herrn Holger
Cartarius, Herrn Markus Knapp, Herrn Ralf Peter und Herrn Ulrich
Raitzsch nennen, die mich durch das Studium begleitet haben und ohne
die viel Physik und fast aller Spass an mir vorbeigegangen wäre. Holger, an
dieser Stelle nochmals ein extra- ” Dankeschön“ für die unzähligen LaTex-
GnuPlot- und sonstigen Erfahrungsschätze (wie funktioniert ein Dienstreiseantrag?),
die Du mit Markus und mir geteilt hast! Und – wie könnte es
anders sein – natürlich darf ich noch einmal ausdrücklich meinem Newton-
Schrödinger-Arbeitsgruppen- und Bürokollegen Markus danken, der immer
ein offenes Ohr für Probleme hatte und mit dem ich so manche anregende
und wertvolle Diskussion (neben einigen anderen...) führen konnte. Das
wäre ein langweiliges Jahr geworden ohne dich, Markus!
• Zum dritten ist es mir wichtig, mich bei den bisher nicht genannten Institutsmitgliedern,
allen voran der Arbeitsgruppe von Herrn Dr. Main, für
die freundliche Integration zu bedanken. Namentlich erwähnt seien an dieser
Stelle auch Herr Steffen Bücheler und Herr Dirk Engel, die als Systemadministratoren
Hard- und Softwareproblemen keine Chance gaben.
• Schlussendlich möchte ich noch meinem Mitberichter Herrn Professor Muramatsu
meinen Dank aussprechen, ohne dessen durchaus auch kritische
Anmerkungen diese Arbeit sicher nicht den jetzigen Stand erreicht hätte.