1.7M - Institut für Theoretische Physik der Universität Stuttgart

Semiklassisches Photoabsorptionsspektrum
des Wasserstoffatoms im Magnetfeld:
Suche der geschlossenen Bahnen mittels
eines Multishooting-Algorithmus
Diplomarbeit von
Ralf Habel
27.Februar 2004
Hauptberichter : Priv.-Doz. Dr. Jörg Main
Mitberichter : Prof. Dr. Hans-Rainer Trebin
Institut für Theoretische Physik Teil 1
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre hiermit, dass ich diese Diplomarbeit selbständig verfasst und keine
anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Stuttgart, 27. Februar 2004 Ralf Habel

Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis iii
Tabellenverzeichnis v
1 Einleitung 1
2 Das diamagnetische Keplerproblem 3
2.1 Anfangsbedingungen der Closed Orbits . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Stabilität der Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus 9
3.1 Einfaches Shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Multishooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Der symbolische Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Die γ-δ-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Berechnung der Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.1 Erzeugen des symbolischen Codes . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.2 Startwerte der Nullstellensuche mit Map-Lookup . . . . . 16
3.4.3 Finden der Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.4 Pruning bei ˜ E = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.5 Durchführung der Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Closed Orbit Theorie 25
4.1 Auslaufende Coulombwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Semiklassische Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Rückkehrende Coulombstreuwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Oszillatorenstärkedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Berechnung skalierter Spektren 37
6 Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente 43
6.1 Harmonische Inversion des Wiederkehrsignals . . . . . . . . . . . 43
6.2 Ergebnisse der harmonischen Inversion . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale . . . . 50
i

ii Inhaltsverzeichnis
7 Zusammenfassung 61
A Atomare Einheiten 63
Literatur 65

Abbildungsverzeichnis
2.1 Effektive Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Einfaches Shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Multishooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Poincaré-Schnitte geschlossener Bahnen bei ˜ E = 0.5 und ˜ E = 0 . 13
3.4 Segmente der Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Maps von K und φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Bahnfindung des Closed Orbits 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Pruning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Closed Orbits bei ˜ E = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1 Trajektorienschar geschlossener Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1 Grobes skaliertes Spektrum bei ˜ E = 0.5 und |1s0〉 . . . . . . . . . 38
5.2 Skaliertes Spektrum bei ˜ E = 0.5 und |1s0〉 . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Skaliertes Spektrum bei ˜ E = 0 und |1s0〉 . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Skaliertes Spektrum bei ˜ E = 0 und |2p0〉 . . . . . . . . . . . . . . 42
6.1 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit harmonischer Inversion
bei ˜ E = 0.5 und |1s0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit harmonischer Inversion
bei ˜ E = 0.5 und |2p0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit harmonischer Inversion
bei ˜ E = 0 und |1s0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit harmonischer Inversion
bei ˜ E = 0 und |2p0〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit kreuzkorrelierter
harmonischer Inversion bei ˜ E = 0.5 und |1s0〉 . . . . . . . . . . . 52
6.6 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit kreuzkorrelierter
harmonischer Inversion bei ˜ E = 0.5 und |2p0〉 . . . . . . . . . . . 53
6.7 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit kreuzkorrelierter
harmonischer Inversion bei ˜ E = 0 und |1s0〉 . . . . . . . . . . . . 56
6.8 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit kreuzkorrelierter
harmonischer Inversion bei ˜ E = 0 und |2p0〉 . . . . . . . . . . . . 57
iii

iv Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis
3.1 Reduzierung des symbolischen Codes . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.1 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit Anfangszustand
|1s0〉 und ˜ E = 0.5 im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit Anfangszustand
|2p0〉 und ˜ E = 0.5 im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit Anfangszustand
|1s0〉 und ˜ E = 0 im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente mit Anfangszustand
|2p0〉 und ˜ E = 0 im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
v

vi Tabellenverzeichnis

Kapitel 1
Einleitung
Anyone who uses words ‘quantum’ and
‘chaos’ in the same sentence should be
hung by his thumbs on a tree in the park
behind the Niels Bohr Institute.
Joseph Ford
Die Semiklassik stellt ein Bindeglied zwischen der klassischen Mechanik und der
Quantenmechanik dar. Sie ist eine Theorie, mit deren Hilfe quantenmechanische
Eigenschaften eines Systems aus Eigenschaften des korrespondierenden klassischen
Systems berechnet werden können.
Die Quantenmechanik ist eine rein lineare Theorie, das heißt es treten keine
nichtlinearen Effekte auf, im Gegensatz zur klassischen Mechanik. Betrachtet man
ein klassisch chaotisches System, so zeigt das korrespondierende quantenmechanische
System zwar ein komplexes Verhalten, der Formalismus ist aber aufgrund
der Wellennatur und der Schrödinger-Gleichung linear.
Die semiklassische Behandlung von Systemen, insbesondere chaotischen Systemen,
ermöglicht es quantenmechanische Ergebnisse besser zu interpretieren und
auf klassische Eigenschaften zu beziehen.
Der in dieser Arbeit benutze Teil der Semiklassik, die Closed Orbit Theorie,
wurde erst 1988 von Du/Delos [1] und Bogomolny [2] entwickelt. Der Name rührt
daher, dass die Theorie klassische Elektronenbahnen benutzt, die aus dem Kern
starten und wieder zum Kern zurückkehren. Aus der Closed Orbit Theorie lassen
sich zum Beispiel näherungsweise Photoabsorptionsspektren, Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente berechnen.
Das hier betrachtete System ist das Wasserstoffatom im Magnetfeld. Trotz
der relativ einfachen Anordnung zeigt es beim Erhöhen des Magnetfeldes oder
der Energie einen Übergang von geordnetem zu chaotischem Verhalten. Außerdem
stellt die quantenmechanische Berechnung keine Probleme dar und die Ergebnisse
können auch experimentell überprüft werden.
1

2 Kapitel 1. Einleitung
Das Ziel dieser Arbeit ist, mit Hilfe der Closed Orbit Theorie so gut wie möglich
ein hochaufgelöstes semiklassisches Spektrum, Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
des Wasserstoffatoms im Magnetfeld bei unterschiedlichen Magnetfeldstärken
zu berechnen.
Das Hauptproblem besteht darin, einen möglichst vollständigen Satz an Closed
Orbits zu finden. Für die Berechnung der Bahnen an sich wird ein Multishooting-
Algorithmus in Kombination mit einem symbolischem Code angewandt. Desweiteren
wird für die Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
ein neueres Verfahren, die harmonische Inversion, mit und ohne Kreuzkorrelation
eingesetzt.
Aufbau der Arbeit
Das betrachtete System ist, wie oben erwähnt, das Wasserstoffatom im Magnetfeld.
Dazu wird in Kapitel 2 die klassische Seite, bekannt als das diamagnetische
Keplerproblem, im Detail bearbeitet. In Kapitel 3 wird dann die Berechnung der
Bahnen mit Multishooting aufgezeigt. Die Closed Orbit Theorie wird in Kapitel
4 dargestellt und alle benötigten Formeln werden hergeleitet. Aufbauend darauf
werden die mathematischen Methoden und die Ergebnisse der Berechnungen, die
Photoabsorptionsspektren in Kapitel 5, und die Energieeigenwerte beziehungsweise
Dipolmatrixelemente in Kapitel 6 gezeigt.

Kapitel 2
Das diamagnetische
Keplerproblem
Das diamagnetische Keplerproblem, das aus dem klassischen Keplerproblem in
einem homogenen Magnetfeld besteht, bildet die Grundlage zur Berechnung der
benötigten klassischen Elektronenbahnen. Eine zentrale Rolle in der Closed Orbit
Theorie spielen dabei die am Kern geschlossenen Bahnen. Dies stellt aufgrund der
Singularität am Kern ein numerisches Problem dar, auf das später eingegangen
wird.
Das Magnetfeld wird so gewählt, dass es in die positive z-Richtung der Koordinaten
des Keplerproblems zeigt. Desweiteren werden keine relativistischen oder
quantenmechanische Effekte betrachtet. In atomaren Einheiten (Anhang A) ist
die Hamiltonfunktion somit
H = 1
2 p2 − 1 1
+
r 2 γLz + 1
8 γ2 (x 2 + y 2 ), (2.1)
wobei γ die Stärke des Magnetfeldes ist. Da nur Übergänge mit verschwindender
magnetischer Quantenzahl betrachtet werden (|Lz| = 0), entfällt die z-Komponente
des Drehimpulses. Weiter lässt sich aufgrund der Zylindersymmetrie des Systems
die φ -Bewegung separieren und das Problem ist auf zwei Koordinaten, ρ und z
reduziert. Damit ist nach dem Übergang in Zylinderkoordinaten die neue Hamil-
tonfunktion
H = 1
2 (p2ρ + p 2 z) + 1
8 γ2ρ 2 1
− . (2.2)
ρ2 + z2 Diese Hamiltonfunktion ist immer noch von zwei äußeren Parametern abhängig,
der Energie und der Magnetfeldstärke γ. Man kann Skalierungseigenschaften der
Hamiltonfunktion [3] nutzen, um diese zwei Parameter auf einen zu reduzieren.
Substituiert man den Ort r und Impuls p mit
1
− ˜p = pγ 3 (2.3)
˜r = rγ 2
3 , (2.4)
3

4 Kapitel 2. Das diamagnetische Keplerproblem
so erhält man eine skalierte Hamiltonfunktion, die nur einen äußeren Parameter,
die skalierten Energie ˜ E = Eγ
2
˜H
−
= Hγ 3 = 1
− 2
3 enthält:
2 (˜p2 ρ + ˜p 2 z) + 1 1
˜ρ −
8 ˜ρ 2 + ˜z 2 = ˜ E. (2.5)
Durch die Transformation werden ebenfalls die Wirkung S und die Zeit t mit
˜S = Sγ 1
3 (2.6)
˜t = tγ (2.7)
skaliert. Die Reduzierung auf einen äußeren Parameter lässt sich so verstehen,
dass eine Veränderung der Magnetfeldstärke die Bahn zwar aufbläht beziehungsweise
schrumpft, der Typ der Bahn jedoch nicht verändert wird.
Die Hamiltonfunktion 2.5 beinhaltet aber immer noch die Singularität am Kern,
weswegen man sie in semiparabolischen Koordinaten [4] regularisiert. Setzt man
mit Zylinderkoordinaten
beziehungsweise
µ = √ ˜r + ˜z, ν = √ ˜r − ˜z (2.8)
ρ = µν, z = 1
2 (µ2 − ν 2 ) (2.9)
und die neue Zeiteinheit
d˜t
dτ = 2˜r = µ2 + ν 2
(2.10)
mit der sich die neuen Impulse zu
pµ = dµ
dτ , pν = dν
dτ
ergeben, so ist die neue Hamiltonfunktion in semiparabolischen Koordinaten
(2.11)
H = 1
2 (p2 µ + p 2 ν) − ˜ E(µ 2 + ν 2 ) + µ2 ν 2
8 (µ2 + ν 2 ) = 2. (2.12)
Hier tritt die skalierte Energie ˜ E nur als Parameter des effektiven Potentials
Veff = − ˜ E(µ 2 + ν 2 ) + µ2 ν 2
8 (µ2 + ν 2 ) (2.13)
auf. Abbildung 2.1 zeigt das jeweilige effektive Potential für ˜ E = 0 beziehungsweise
˜ E = 0.5, den skalierten Energien, bei denen später die Closed Orbits berechnet
werden. Weiter folgt, dass die gültigen Bahnen diejenigen sind, bei denen die Hamiltonfunktion
(2.12) den Wert 2 annimmt.

˜E = 0
˜E = 0.5
Abb. 2.1: Effektive Potentiale für die skalierten Energien ˜ E = 0 und ˜ E = 0.5.
Zur besseren Darstellung sind die Potentiale nur bis Veff = 2 dargestellt.
5

6 Kapitel 2. Das diamagnetische Keplerproblem
Die semiparabolischen Koordinaten sind nach der Definition ausschließlich
positiv, jedoch wird die Bahn prinzipiell im gesamten Potential berechnet, so
dass keine Reflexionen beachtet werden müssen. Das Potential weist eine C4v-
Symmetrie auf. Für geschlossene Bahnen bedeutet dies, dass im allgemeinen vier
Symmetriepartner im gesamten Potential existieren, die durch Spiegelung an den
Winkelhalbierenden beziehungsweise durch Zeitumkehr auseinander hervorgehen.
Für die Closed Orbit Theorie wird auch die skalierte Wirkung der einzelnen Bahnen
benötigt. Sie ergibt sich aus der Integration in semiparabolischen Koordinaten
und Reskalierung mit
Sγ 1
3 = ˜ S = 1
2π
pµdµ + pνdν. (2.14)
2.1 Anfangsbedingungen der Closed Orbits
Um die Anfangsbedingungen für die geschlossenen Bahnen festzulegen, betrachten
wir zunächst die sich aus (2.12) ergebenden kanonischen Bewegungsgleichungen
[3]
µ ′ = ∂H
= pµ
∂pµ
ν ′ = ∂H
= pν
∂pν
(2.15)
(2.16)
p ′ µ = − ∂H
∂µ = 2µ ˜ E − 1
4 µν2 (ν 2 + 2µ 2 ) (2.17)
p ′ ν = − ∂H
∂ν = 2ν ˜ E − 1
4 νµ2 (µ 2 + 2ν 2 ). (2.18)
Da nur Bahnen gesucht werden die am Kernort starten, wird
µ(0) = 0 (2.19)
ν(0) = 0 (2.20)
gesetzt. Als weitere Einschränkung dient die Tatsache, dass die Hamiltonfunktion
H = 2 sein muss, so dass ein freier Parameter übrig bleibt. Wählt man für die
Impulse
pµ(0) = 2 cos θ
2
pν(0) = 2 sin θ
2
(2.21)
(2.22)
so ergibt sich, dass der letzte freie Parameter θ der Winkel ist, den die Bahn
mit der Magnetfeldrichtung in Zylinderkoordinaten einschließt. Damit ist jeder
Closed Orbit ausschließlich durch seinen Anfangswinkel definiert.

2.2. Stabilität der Bahnen 7
2.2 Stabilität der Bahnen
Die Stabilitätsmatrix drückt in ihren Komponenten die Stabilität der einzelnen
Bahnen aus. Betrachtet man eine Bahn im 2N-dimensionalen Phasenraum die
mit
β(t) = (x1(t), . . . xN(t), p1(t) . . . pN(t)) (2.23)
gegeben ist, so lässt sich für kleine Variationen der Anfangsbedingungen ∆β(0)
die Änderung des Endpunktes ∆β(t) durch
linearisieren, wobei
∆β(t) = S(0, t) · ∆β(0) (2.24)
Sij(0, t) = ∂βi(t)
∂βj(0)
i, j = 1 . . . 2N (2.25)
die Stabilitätsmatrix der Bahn β darstellt. Wie in [5] gezeigt, lässt sich die 4 × 4dimensionale
Stabilitätsmatrix für das diamagnetische Keplerproblem in einem
lokalen Koordinatensystem auf eine 2 × 2-Matrix reduzieren, die nur transversale
Abweichungen der Bahn berücksichtigt. Für die sich daraus ergebende Monodromiematrix
(aus dem griechischen ’mono’= einzeln und ’dromo’= Lauf zusammen-
gesetzt) gilt
y(T )
py(T )
=
m11 m12
m21 m22
y(0)
py(0)
(2.26)
mit y als Transversalkomponente beziehungsweise py deren Ableitung und T die
Zeit eines kompletten Umlaufs der Bahn.
Für die Berechnung von Photoabsorptionsspektren in der Closed Orbit Theorie
wird nur das Monodromiematrixelement m12 benötigt. Wir erhalten für das
Element mit den Anfangsbedingungen der geschlossenen Bahnen (2.19)- (2.22)
[6]
˜m12 = 1
pµ(T )
2
dν
dθ (T ) − pν(T ) dµ
dθ
wobei das Matrixelement in regularisierten Koordinaten mit
1
−
m12 = γ 3 ˜m12
(T ) , (2.27)
(2.28)
skaliert. Die Differentiale nach θ sind dabei Lösungen der nach θ differenzierten
Bewegungsgleichungen (2.15)- (2.18) und anschließender Vertauschung der

8 Kapitel 2. Das diamagnetische Keplerproblem
Differentationen:
′
dµ
dθ
= dpµ
′
dν
dθ
=
dθ
(2.29)
dpν
′
dpµ
dθ
=
dθ
(2
(2.30)
˜ E − 1
4 ν4 − 3
2 µ2ν 2 ) dµ
dθ − µν(µ2 + ν 2 ) dν
′
dpν
dθ
=
dθ
(2
(2.31)
˜ E − 1
4 µ4 − 3
2 µ2ν 2 ) dν
dθ − µν(µ2 + ν 2 ) dµ
.
dθ
(2.32)
Die Anfangswerte dieser Gleichungen erhält man aus der Differentiation der Anfangsbedingungen
(2.19)- (2.22) zu
dµ
dpµ
(0) = 0 (0) = − sin dθ
dθ
θ
2
(2.33)
dν (0) = 0
dθ
dpν
θ
(0) = cos dθ
2 .
Damit stehen alle Ausdrücke zur Verfügung, die zur gleichzeitigen numerischen
Berechnung aller Monodromiematrixelemente benötigt werden. Die Eigenwerte
der Monodromiematrix können zusätzlich als Maß der Instabilität dienen. Für
marginal stabile Bahnen liegen die Eigenwerte auf dem komplexen Einheitskreis
und sind daher vom Betrag 1. Bei instabilen Bahnen wachsen die Beträge je nach
Stärke der Instabilität.

Kapitel 3
Bahnberechnung mittels eines
Multishooting Algorithmus
Die Berechnung von Closed Orbits stellt aufgrund ihrer teils sehr großen Instabilitäten
ein numerisches Problem dar. Schon in den ersten Veröffentlichungen
[1] [7] wurde dazu einfaches Shooting eingesetzt. Jedoch lassen sich durch diese
Methodik sehr instabile geschlossene Bahnen nur schwer finden und die Vollständigkeit
ist nicht gewährleistet. Es gibt auch noch weitere Ansätze wie zum Beispiel
der bisection-Algorithmus von Hansen [8], oder eine Vorgehensweise, die darauf
beruht, instabile Fixpunkte zu stabilisieren [9] [10].
Der hier vorgestellte Multishooting Algorithmus zum Finden geschlossener
Bahnen vereint Shooting- und Relaxierungsmethoden, um die endlichen Genauigkeiten
der Berechnungen zu umgehen, und ermöglicht eine systematische Suche
der Bahnen. Eine ähnliche Herangehensweise wie in dieser Arbeit ist in der Moleküldynamik
zu finden, die periodische Bahnen in hamiltonschen Systemen mit
vielen Freiheitsgraden behandelt [11] [12].
3.1 Einfaches Shooting
Bei einfachen Shooting-Algorithmen, die ein Anfangswertproblem behandeln, werden
zunächst Anfangswerte für Orte und Impulse in einem Phasenraumvektor
als unabhängige Variablen in der nichtlinearen Funktion
x(0) = s (3.1)
B(T, s) = x(T, s) − s (3.2)
gesetzt. T ist dabei die Zeit, bei der die Trajektorie ihre gegebenen Endwerte
x(T, s) erreicht. Im Fall einer periodischen Bahn wären dies zum Beispiel wiederum
die Anfangswerte. Für andere Endbedingungen muss B(T, s) entsprechend
9

10 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
Abb. 3.1: Schematische Darstellung einer einfachen Shooting Methode. Durch
Ändern der Anfangswerte s wird die Funktion B(T, s) = 0.
abgeändert werden. Speziell bei Closed Orbits müssen nur die Orte, nicht aber
die Impulse übereinstimmen. Die Nullstellen der Funktion (3.2) werden als
B(T, s0) = 0 (3.3)
bezeichnet. Ist nun s in der Nähe einer Nullstelle s0, so lässt sich die Funktion
B(T, s) ausrechnen, indem man die Hamiltonfunktion, die das System beschreibt,
bis zur Zeit T aufintegriert. Variiert man die Anfangswerte s, so dass B → 0 konvergiert,
so läuft auch s → s0. Die mehrdimensionale Nullstellensuche der Funktion
kann zum Beispiel iterativ mit der Newton-Raphson Methode geschehen. Eine
bildliche Darstellung des Vorgangs zeigt Abbildung 3.1.
Ein Nachteil dieser Methode ist, dass die gesamte Trajektorie aufintegriert werden
muss und die Anfangswerte (3.1) in der Nähe der Lösung liegen müssen, da sonst
die Konvergenz nicht gegeben ist. Ist eine Bahn außerdem stark instabil und
sehr lang, so kann diese aufgrund der endlichen Maschinengenauigkeit nicht mehr
durch ihre Anfangswerte dargestellt werden und dieser Weg führt nicht auf ein
Ergebnis.
3.2 Multishooting
Anstatt eine Trajektorie vollständig aufzuintegrieren, wie beim einfachen Shooting,
wird die Trajektorie mit Stützstellen in einzelne Segmente unterteilt, die

3.2. Multishooting 11
Abb. 3.2: Die Trajektorie wird in Untertrajektorien unterteilt. Durch entsprechendes
Ändern der Anfangswerte sj werden alle Cj = B = 0 .
dann einzeln integriert werden (siehe Abbildung 3.2). Teilt man die Trajektorie
in (m − 1) Untertrajektorien, so lässt sich für jedes Segment ein eigener Zeitabschnitt
mit
0 = τ1 < τ2 < · · · < τm−1 < τm = T (3.4)
einführen. Bezeichnet man die Anfangswerte einer Untertrajektorie an einer Stützstelle
j mit sj zur Zeit τj und deren Endwerte bei τj+1 als x(τj+1, sj), so müssen
insgesamt (m − 2) Kontinuitätsbedingungen
C(sj, sj−1) = x(τj, sj) − sj−1 = 0 j = 1, 2, · · · m − 2 (3.5)
und natürlich die Endbedingung
B(sm−1, s1) = x(τm, sm−1) − s1 = 0 (3.6)
erfüllt sein. Damit sind also (m − 1) Anfangswertprobleme gestellt, die dann zum
Beispiel mit einer mehrdimensionalen Nullstellensuche gelöst werden können. Im
Gegensatz zum einfachen Shooting ist hier die Nullstellensuche entsprechend der
Anzahl der Stützstellen und Randbedingungen höherdimensional. Die Wahl der
Segmentierung und der Anfangswerte der einzelnen Segmente muss dazu dem zu
behandelnden Problem angepasst werden.

12 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
3.3 Der symbolische Code
Eine symbolische Dynamik ist die Repräsentation einer Bahn in einem gegebenen
System als eine Folge von Symbolen, einem symbolischen Code. Zum Beispiel
lassen sich solche in dynamischen Systemen wie der Horseshoe-map [13] oder speziellen
Billardsystemen [14] definieren. Im besonderen sind hier das Vier-Scheiben
Billard [15] und das Hyperbel-Billard [16] [17] zu nennen, da diese aufgrund der
Potentialbeschaffenheit mit dem diamagnetischen Keplerproblem verwandt sind
und ebenfalls semiklassisch behandelt wurden.
Als erstes haben Eckhardt und Wintgen [18] eine symbolische Dynamik für
das Wassertoffatom im Magnetfeld entwickelt. Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten
einen symbolischen Code zu definieren, wie zum Beispiel der Well Ordered
Code von Hansen [15] oder auf der Basis von Nulldurchgängen des Monodromiematrixelements
m12 [19].
Es stellt sich heraus, dass alle geschlossenen Bahnen im diamagnetischen Keplerproblem
ab einer skalierten Energie von ˜ E = 0.3287 . . . [20] aus prinzipiell vier
Segmentarten bestehen. Dies ist eine Folge daraus, dass eine Markovpartition ab
dieser Energie besteht. Dieser Sachverhalt ist deutlich im Poincaré-Schnitt aller
geschlossenen Bahnen zu erkennen, wobei der Schnitt an den Koordinatenachsen
erfolgt und so gewählt wurde, dass die positive µ-Achse nach rechts und die
positive ν-Achse nach links aufgetragen ist (siehe Abbildung 3.3). Wegen der
Symmetrie des Potentials und der Bahnen sieht jedoch jede Kombination der
positiven und negativen Teile der µ- und ν-Achse gleich aus. Daran lässt sich
ebenfalls feststellen, dass jede Bahn im allgemeinen drei Symmetriepartner hat.
Im Fall ˜ E = 0.5 erkennt man aufgrund der Markovpartition deutlich getrennte,
entsprechend mit µ, ν, d und z gekennzeichnete Mannigfaltigkeiten. Es sind alle
Übergänge zwischen den Mannigfaltigkeiten erlaubt, mit der Ausnahme, dass
auf einen Punkt in d ein Punkt in z folgen muss. In Abbildung 3.4 sind die vier,
durch verschiedene Übergänge möglichen, Segmentarten dargestellt. Alle weiteren
Übergänge gehen aus diesen durch Achsen- oder Winkelhalbierendenspiegelung
beziehungsweise Zeitumkehr hervor.
Ordnet man jeder der drei Schnittmöglichkeiten jeweils ein Symbol zu, so kann
jede Bahn durch eine biunedliche Folge von Symbolen
c = . . . a−2a−1a0 · a1a2 . . . (3.7)
eindeutig beschrieben werden, wobei a die Symbole sind. Der Punkt trennt dabei
die Zukunft der Bahn von der Vergangenheit. Für die Symbole wurden
• Schnitt mit µ-Achse : 1
• Schnitt mit ν-Achse : 2
• dz-Schnitt : 0

3.3. Der symbolische Code 13
Abb. 3.3: Poincaré-Schnitte geschlossener Bahnen bei ˜ E = 0.5 und ˜ E = 0. Nach
rechts ist (µ, pµ), nach links (ν, pν) aufgetragen. In Grün bezeichnen µ, ν, d und
z die unterschiedlichen Mannigfaltigkeiten. Während bei ˜ E = 0.5 eine Markovpartition
besteht, verschmelzen die Gebiete bei ˜ E = 0.

14 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
Abb. 3.4: Segmentarten aus denen jede Bahn zusammengesetzt ist.
gewählt. Dazu wird noch die Konvention getroffen, dass für diesen symbolischen
Code die Closed Orbits immer in den ersten Quadranten vom Ursprung aus starten,
um die Eindeutigkeit zu gewährleisten. Wegen der Potentialsymmetrie existieren
im allgemeinen drei Symmetriepartner, die durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden
und Zeitumkehr auseinander hervorgehen, und damit in einem
symbolischen Code zusammengefasst werden können (siehe Kapitel 3.4.1 ). Zusätzlich
ermöglicht die Wahl der Symbole eine ternäre Interpretation, was für die
Berechnungen wichtig ist.
Für Closed Orbits und periodische Bahnen reicht eine endliche Symbolfolge zur
Beschreibung aus, da diese sich periodisch wiederholt. Bei Closed Orbits wiederholt
sich dabei, nach einmaligem Durchlaufen der Bahn, dieselbe Symbolfolge
mit 1 und 2 vertauscht, um wieder die Anfangswerte in Ort und Impuls zu erhalten.
Dies resultiert daraus, dass im allgemeinen Closed Orbits, die die zweifache
Periode ihrer selbst durchlaufen, periodische Orbits sind. Auf diese Art verdoppelte
Closed Orbits sind also eine Untermenge der periodischen Orbits, die die
Eigenschaft haben, exakt durch den Kern zu laufen. Eine weitere Bedingung ist,
dass das erste oder das letzte Symbol eines Closed Orbits immer 0 ist, um die
Randbedingungen zu erfüllen.
Mit dem symbolischen Code ist es nun möglich, die vom Multishooting Verfahren
benötigten Stützstellen vorzugeben. Durch die zugehörige Symbolfolge wird
festgelegt, aus welchen Segmenten ein Closed Orbit besteht, und dann, wie in
Kapitel 3.2 beschrieben, durch eine mehrdimensionale Nullstellensuche gefunden.

3.4. Berechnung der Bahnen 15
3.3.1 Die γ-δ-Ebene
In Folge der ternären Interpretation des symbolischen Codes eines Orbits lassen
sich alle Symbolfolgen auf die (0, 1) × (0, 1)-Ebene abbilden. Dazu definiert man
die beiden Zahlen γ und δ, wobei γ vom Punkt aus nach rechts läuft und δ
umgekehrt nach links aufgetragen wird:
. . . a−2a−1a0 · a1a2 . . .
←− −→
δ γ
(3.8)
Umgerechnet in das Dezimalsystem ergibt dies für
γ = 0.a1a2a3 . . .
∞ at
=
3t 0 ≤ γ ≤ 1 (3.9)
δ = 0.a0a−1a−2 . . . =
t=1
∞
t=1
a1−t
3 t 0 ≤ δ ≤ 1 (3.10)
die dann übereinander aufgetragen werden. Die Zahl γ repräsentiert also die Zukunft
der Bahn wohingegen δ die Vergangenheit darstellt. Ein Closed Orbit wird
damit als eine Punktmenge in der γ-δ-Ebene dargestellt, wobei die Punktanzahl
durch die Länge des symbolischen Codes bestimmt wird. Weil der Punkt, der im
symbolischen Code die Gegenwart repräsentiert, durch den Code läuft, entspricht
die Anzahl der Punkte einer geschlossenen Bahn in der γ-δ-Ebene der Anzahl der
Symbole.
Ein Vorteil dieser Darstellung ist, dass ähnliche Symbolfolgen respektive ähnliche
Bahnen in den Bereichen in denen sie sich nahezu gleich sind in der γ-δ-
Ebene eng beieinander liegen. Dies ist essentiell für die Anfangswertbestimmung
per Map-Lookup (Kapitel 3.4.2) im Multishooting-Verfahren.
3.4 Berechnung der Bahnen
In diesem Kapitel wird der Algorithmus zum Finden der Bahnen im Detail beschrieben.
Als erstes werden alle möglichen symbolische Codes der Reihe nach
erzeugt. Danach werden die ungefähren Startwerte der einzelnen Segmente bestimmt,
die dann an die Nullstellensuche übergeben werden. Ist die Bahn zu dem
symbolischen Code gefunden, wird diese nochmals integriert, um alle Werte zu erhalten.
Die konkrete Berechnung der Bahnen erfolgte bei den skalierten Energien
˜E = 0 und ˜ E = 0.5.
3.4.1 Erzeugen des symbolischen Codes
Für die Erzeugung aller möglichen symbolischen Codes wird im ternären Zahlensystem
zunächst hochgezählt, wobei führende Nullen angefügt werden, um auf

16 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
die gegebene Symbollänge zu kommen. Außerdem wird am Ende immer das Symbol
0 dazugefügt um die Bedingung zu erfüllen, dass die Bahn wieder zum Kern
zurückkehrt.
Durch die Symmetrie des Potentials (Abb.2.1) gibt es aber im allgemeinen
vier Bahnen respektive vier symbolische Codes, die durch Spiegelung an der ersten
Winkelhalbierenden beziehungsweise durch Zeitumkehr auseinander vorgehen.
Eine Spiegelung drückt sich dabei durch Austausch der Symbole 1 → 2;
2 → 1 aus, und die Zeitumkehr durch Invertieren des symbolischen Codes, wobei
das am Ende stehende 0 Symbol nicht mitinvertiert wird. Deshalb werden nur
symbolische Codes benutzt, deren erstes von 0 unterschiedlichen Symbols eine
1 ist. Danach wird dann geprüft, welcher der vier zusammengehörigen symbolischen
Codes überhaupt die vorherige Bedingung erfüllt und den kleinsten Wert
in ternärer Interpretation hat, und nur dieser wird an die weiteren Berechnungen
weitergegeben. Wird später ein symbolischer Code erzeugt, für den die Bahn
schon berechnet wurde, so kann dies anhand der genannten Bedingungen schnell
getestet werden.
Einen Spezialfall bilden Bahnen, die symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden
sind. Man kann sie im symbolischen Code daran erkennen, dass der invertierte
Code gleich dem originalen ist. Der zu diesen Bahnen in ternärer Interpretation
geringsten Wert gehörigen Codes repräsentiert also nur zwei Bahnen. Ein weiterer
Spezialfall sind alle Bahnen, die nur aus dem Symbol 0 bestehen. Sie liegen alle
exakt auf der ersten Winkelhalbierenden und haben deshalb keine Symmetriepartner.
Die Anzahl der Symmetriepartner wird für jede berechnete Bahn mitgeschrieben
und in den weiteren Berechnungen ausgewertet. Zur Veranschaulichung
der Vorgehensweise sind in Tabelle 3.1 die ersten 13 erzeugten symbolische Codes
und deren Reduzierung auf entsprechende Symmetriepartner aufgezeigt.
3.4.2 Startwerte der Nullstellensuche mit Map-Lookup
Zur Vereinfachung der Bestimmung der Anfangswerte der Segmente und deren
Berechnung wird die zu bestimmende Bahn nach jedem Segment an den Achsen
reflektiert beziehungsweise neu gesetzt, so dass die Bahn hauptsächlich im ersten
Quadranten verläuft, was die Implementierung erleichtert. Es ist wichtig Startwerte
zu setzen, die möglichst nahe an den eigentlichen Anfangswerten liegen,
da auf diese Weise viele Iterationsschritte in der Nullstellensuche gespart werden
können und die Konvergenz auf die gesuchte Bahn sicherer ist. Da nur Anfangsbedingungen
bei Achsenschnitten gesetzt werden, wird in der Hamiltonfunktion
(2.12) jeweils eine der Koordinaten 0, beispielsweise gilt für ν = 0
Hred = 1
2 (p2 µ + p 2 ν) − ˜ Eµ 2 = 2. (3.11)
Um immer Startwerte vorgeben zu können und die hyperbolischen Eigenschaften
der reduzierten Hamiltonfunktion (3.11) bei E > 0 auszunutzen, werden die

3.4. Berechnung der Bahnen 17
0
00
10
20
000
010
020
100
110
120
200
210
220
erzeugter Code
0
00
10
000
010
110
120
reduzierter Code
Tab. 3.1: Reduzierung des symbolischen Codes. Entsprechende Symmetriepartner
werden in einem Code zusammengefasst.
semiparabolischen Werte mit neuen Variablen, K und φ durch
beziehungsweise
[µ,ν] =
sinh K
1
2 ˜ E
(3.12)
pµ = 2 cosh K cos φ (3.13)
pν = 2 cosh K sin φ (3.14)
K = arcsinh
φ = arctan ±pµ
±pν
[µ,ν]
1
2 ˜
E
(3.15)
(3.16)
parametrisiert. Je nach dem welcher Wert von µ oder ν aufgrund eines Achsenschnittes
0 ist wird der jeweils andere Wert auf den Ausdruck in (3.12) beziehungsweise
(3.15) gesetzt. Da auch der Fall ˜ E = 0 gerechnet wird, indem sich die
reduzierte Hamiltonfunktion (3.11) noch weiter vereinfacht, kann hier K = [µ,ν]
gesetzt werden. Die Vorzeichen in (3.16) müssen dabei entsprechend dem Achsenschnitt
bestimmt werden.
Somit sind die Abhängigkeiten der Start- beziehungsweise Anfangswerte in
zwei Variablen zusammengefasst und die Bedingung H = 2 (2.12) ist immer
erfüllt, was die numerischen Berechnungen stabilisiert. Ein weiterer Vorteil ist,
dass im Ursprung respektive Kern 2φ = θ ist, der Winkel unter dem die Bahn in
Zylinderkoordinaten startet.

18 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
Abb. 3.5: Maps der Variablen K (links) und φ (rechts) bei einer skalierten Energie
von ˜ E = 0.5. Schwarz entspricht den minimalem, Weiss den maximalen Werten
der Variablen.
Um nun die Startwerte zu erhalten, wird der symbolische Code am benötigten
Segmentanfang in die γ-δ-Darstellung umgerechnet. Falls notwendig wird der
symbolische Code dazu entsprechend erweitert. Danach werden die K und φ Werte
aus den γ-δ-Maps der Variablen für jedes Segment ausgelesen. Die Maps der
γ-δ-Ebenen wurden dazu mit Bahnen erstellt, deren Startwerte aus sehr einfachen
Bahnen ermittelt wurden. Die Auflösung der Maps beträgt 81×81, es werden also
jeweils vier Symbole in der Zukunft und Vergangenheit zur Startwertbestimmung
beachtet. Die Maps für K und φ sind zur Veranschaulichung in Abbildung 3.5 zu
sehen. Sehr deutlich treten die unterschiedlichen Charakteristiken der Anfangsbedingungen
der einzelnen Segmentarten in der Unterteilung der Maps auf. Auf
diese Weise lassen sich die Startwerte der einzelnen Segmente für die Nullstellensuche
bis auf einen Fehler von ca. 1 0/00 der eigentlichen Anfangswerte bestimmen.
Dies ist vor allem wichtig, wenn mehrere Nullstellen nahe beieinander liegen, was
dazu führen kann, dass der Algorithmus auf die falsche Nullstelle konvergiert.
Die hier vorgestellte Methodik ist so erfolgreich, dass sich auch alle für die
Closed Orbit benötigten Werte einer gesamten Bahn näherungsweise ausschließlich
aus dem symbolischen Code, ohne sie zu integrieren, bestimmen lassen. Diese
Vorgehensweise wird in weiteren Forschungen bearbeitet.

3.4. Berechnung der Bahnen 19
3.4.3 Finden der Bahnen
Für die iterative Nullstellensuche wurde die Powell Hybrid Methode eingesetzt
[21]. Dieser Algorithmus benötigt zur Initialisierung die Startwerte, die in Kapitel
3.4.2 ermittelt wurden. Dazu wird ein (2N − 1)-dimensionaler Vektor
⎛
⎜
s = ⎜
⎝
K2(0)
K3(0)
.
KN(0)
φ1(0)
φ2(0)
.
φN(0)
⎞
⎟
⎠
(3.17)
erzeugt, wobei N die Anzahl der Segmente beziehungsweise der Symbole ist. Der
K1(0)-Wert fließt dabei nicht in die Berechnungen ein, da das erste Segment
immer vom Ursprung startet und daher der Anfangswert dieses Segments immer
K1(0) = 0 ist. Um alle Kontinuitäts- und Randbedingungen zusammenzufassen,
wird ein ebenfalls (2N − 1)-dimensionaler Vektor
⎛
⎜
f = ⎜
⎝
K1(τ1) − K2(0)
K2(τ2) − K3(0)
.
KN(τN) − 0
φ1(τ1) − φ2(0)
φ2(τ2) − φ3(0)
.
φN−1(τN−1) − φN(0)
⎞
⎟
⎠
(3.18)
erstellt. τj sind dabei die Zeiten am Ende des entsprechenden Segmentes. Die
Bedingung KN(τN) = 0 resultiert aus der Tatsache, dass das letzte Segment
wieder zurück zum Kern respektive Ursprung führt. Für φN(τN) gibt es keine
Randbedingung, da die gesuchten Bahnen zwar zum Kern zurückkehren sollen,
dies jedoch unter einem anderen Winkel als der Startwinkel geschehen kann.
Um die entsprechenden Werte bei den Zeiten τj zu erhalten, werden die einzelnen
Segmente mittels der Runge-Kutta Nystrom Methode mit einer einfachen
Schrittweitenanpassung in semiparabolischen Koordinaten aufintegriert und zurück
in K-φ-Koordinaten transformiert. Für die exakte Ermittlung der Achsenschnitte
wurde das Bus-Decker Verfahren verwendet. Die Nullstellensuche versucht
nun iterativ eine Lösung für
f(s) = 0 (3.19)

20 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
ν
2.5
2
1.5
1
0.5
Code: 120
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Abb. 3.6: Iteratives Finden des Closed Orbits 120 bei einer skalierten Energie
von ˜ E = 0.5. Rot entspricht den nicht zusammenhängenden Startsegmenten.
Gestrichelt sind Iterationsschritte zu sehen, die auf die geschlossene Bahn (blau)
konvergieren.
zu erhalten, womit alle gegebenen Randbedingungen erfüllt sind und der Closed
Orbit gefunden ist. Als Ergebnis erhält man die exakten Anfangswerte der
einzelnen Segmente bis auf eine Toleranz von 10 −7 . In Abbildung 3.6 ist der gesamte
Vorgang anhand des einfachen Closed Orbits mit dem symbolischen Code
120 bei einer skalierten Energie ˜ E = 0.5 gezeigt. Für die bessere Darstellung der
Berechnungen wurden die Startwerte der Segmente weit entfernt von der Lösung
gewählt.
Um nun alle benötigten Werte der geschlossenen Bahn für die Closed Orbit Theorie
zu erhalten, wird der Closed Orbit mit den gefundenen, nahezu exakten Anfangswerten
der einzelnen Segmente nochmals mit dem Gleichungssystem (2.15)-
(2.18) und (2.30)- (2.32) integriert. Desweiteren wird die skalierte Wirkung ebenfalls
parallel zu dem erweiterten Gleichungssystem wie in (2.14) mitintegriert.
Zusätzlich können die Anfangs- und Endwinkel der Bahn nach den Gleichungen
µ

3.4. Berechnung der Bahnen 21
(2.21) und (2.22) aus den numerischen Werten der Impulse am Anfang (p i µ, p i ν)
beziehungsweise Ende (p f µ, p f ν) der Bahn mit
θi = 2 arctan pi ν
p i µ
θf = 2 arctan pf ν
p f µ
(3.20)
(3.21)
berechnet werden. Für die Berechnung der Monodromiematrix der vollständigen
Bahn werden die Monodromiematrizen der einzelnen Segmente ermittelt und
dann multipliziert, da sie sich als deren Produkt
M =
n
j=1
Mj
(3.22)
darstellen lässt. Zum Integrieren des erweiterten Gleichungssystems wurde der
Runge-Kutta-Merson Algorithmus [21] benutzt.
3.4.4 Pruning bei ˜ E = 0
Die hier vorgestellte Methodik zum Finden der Bahnen stellt bei einer skalierten
Energie von ˜ E = 0 noch zusätzliche Herausforderungen. Im Gegensatz zu
den Berechnungen bei einer skalierten Energie von ˜ E = 0.5, bei der es zu jedem
gegebenen symbolischen Code genau eine geschlossene Bahn gibt, kann es sein,
dass zu einem bestimmten Code keine geschlossene Bahn existiert. Dies rührt da-
her, dass alle Closed Orbits beim Erhöhen des Magnetfeldes durch Bifurkationen
auseinander hervorgehen. Erst ab einer skalierten Energie von ˜
ES = 0.3287 . . .
[20] sind alle Bifurkationen durchlaufen und jedem Code lässt sich eine Bahn zuordnen.
In Zusammenhang mit dem Multishooting-Algorithmus äußert sich dies
dadurch, dass für einen gegebenen symbolischen Code keine Nullstelle gefunden
werden kann. Dieses Verhalten wird als Pruning (engl. für ‘abschneiden’) bezeichnet
und tritt auch in dieser Form in anderen System, wie zum Beispiel dem
Hyperbelbillard [15] auf.
Durch die Nichtexistenz von Bahnen entstehen freie Gebiete in der γ-δ-Ebene,
wobei für die Darstellung die Symbole 1 und 0 vor der Umrechnung in die γ-δ-
Darstellung vertauscht werden. Diese Reinterpretation des symbolischen Codes
dient ausschließlich dazu, größere, zusammenhängend freie Gebiete in der γ-δ-
Ebene zu erhalten. Wie in Abbildung 3.7 zu sehen, entstehen sowohl großflächige,
aber auch fraktale freie Gebiete. Mit immer höherer skalierter Energie schrumpfen
die freien Gebiete, bis schließlich bei ˜
ES die gesamte γ-δ-Ebene ausgefüllt ist.
Pruning bietet ebenfalls eine Möglichkeit der Optimierung, da bereits anhand
des symbolischen Codes getestet werden kann, ob eine entsprechende Bahn existiert.
Fällt auch nur ein Punkt der Bahn nach dem Vertauschen des Symbole 1

22 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
Abb. 3.7: γ-δ-Ebene mit Pruning.
und 0 in der γ-δ-Darstellung in eines der freien Gebiete, so existiert zu diesem
Code keine Bahn und es muss gar nicht erst versucht werden sie zu berechnen.
Die Implementierung erfolgte dabei mit den K- und φ-Maps für die Startwerte
bei ˜ E = 0, da diese ebenfalls γ-δ-Ebenen sind und sich dort Pruning genauso
wie in Abbildung 3.7 zeigt. Für symbolische Codes, die einen Punkt in einem
geprunten Gebiet haben, können auch keine Startwerte vorgegeben werden und
die Bahn wird verworfen. Insgesamt konnte das Programm auf diese Weise um
20 % beschleunigt werden.
Aufgrund der überlappenden Mannigfaltigkeiten, wie in Abbildung 3.3 gezeigt,
besteht die Möglichkeit, dass Bahnen nahezu gleich sind, jedoch durch unterschiedliche
symbolische Codes beschrieben werden. Befinden sich zwei geschlossene
Bahnen sehr nahe an der Bifurkation aus der sie hervorgehen, so liegen ihre
zugehörigen mehrdimensionalen Nullstellen ebenfalls sehr nahe beieinander und
der Nullstellensuchalgorithmus kann zwischen ihnen nicht unterscheiden. Es kann
also vorkommen dass die Nullstellensuche falsch konvergiert und eine nicht zum
symbolischen Code gehörenden Bahn ausgibt. Diese Fehlerquelle wird aber durch
die geringen Fehler in den Startwerten minimiert. Insgesamt trat das Ereignis
unter den ersten 11000 geschlossenen Bahnen nur einmal auf, was nur zu einer
nicht messbaren Abweichung bei den Berechnungen der semiklassischen Werte
führt.

3.4. Berechnung der Bahnen 23
Eine weitere Fehlerquelle ist die Tatsache, dass geschlossene Bahnen in unmittelbarer
Nähe einer Bifurkation stabiler werden. Das heißt das Matrixelement
m12 wird sehr klein beziehungsweise direkt am Bifurkationspunkt 0, womit der
Beitrag dieser Bahnen zum Spektrum zu gross ist oder gar divergiert (vergleiche
4.48). Dem kann mithilfe uniformer Näherungen [22][23] abgeholfen werden. Jedoch
ist das Verfahren sehr aufwendig und lässt sich aufgrund der riesigen Anzahl
der Bahnen nicht umsetzen.
3.4.5 Durchführung der Berechnungen
Wie schon erwähnt, gibt es unendlich viele Closed Orbits. Das heißt man benötigt
ein Abbruchkriterium der Berechnungen. Für die Berechnung semiklassischer
Spektren in Kapitel 5 ist es erforderlich, eine maximale skalierte Wirkung der
Bahnen festzulegen und alle Closed Orbits zu finden, deren skalierte Wirkung
unterhalb des gegebenen Maximalwertes liegen. Dies bietet weiterhin eine Optimierungsmöglichkeit.
Analog der Anfangswertbestimmung kann auch die skalierte
Wirkung eines Closed Orbits vor der eigentlichen Berechnung per Map-Lookup
aus einer separat erstellten Map mit einer Genauigkeit von ca. 1 0/00 bestimmt
werden. Liegt der vorhergesagte Wert weit überhalb der vorgegebenen maximalen
Wirkung, so wird der Closed Orbit verworfen. Um ein Maximum an geschlossenen
Bahnen in vertretbarer Rechenzeit zu erhalten, wurde dazu bei der skalierten
Energie ˜ E = 0.5 die maximal skalierte Wirkung mit ˜ Smax = 20 und bei ˜ E = 0 der
Wert mit ˜ Smax = 13 festgelegt. Desweiteren steigt der Rechenaufwand für das Erzeugen
und Reduzieren der einzelnen Codes exponentiell. Bei einer Symbollänge
von 21 benötigte alleine das Erstellen der Symbolfolgen mehrere Tage. Deswegen
wurde ab dieser Symbollänge alle Codes der erfolgreich berechneten Bahnen der
vorhergehenden Symbollänge eingelesen, alle Möglichkeiten der Erweiterung um
ein Symbol erzeugt, und in den Algorithmus eingegeben. Erst dadurch ließ sich
ein vollständiger Bahndatensatz mit extrem langen Bahnen berechnen.
Insgesamt wurden bei ˜ E = 0.5 mit der Multishooting Methode 15.6 Millionen
Bahnen, bei ˜ E = 0 ungefähr 12.2 Millionen Closed Orbits gefunden. Die
Rechenzeit betrug dabei pro skalierter Energie auf einem DEC Alpha Computer
mit 1 GHz Taktrate ungefähr 1.5 Monate. Im Fall von ˜ E = 0 ist noch zu
beachten, dass es aufgrund der Form des Potentials unterhalb der maximalen
skalierten Wirkung immer noch unendlich viele Closed Orbits gibt, weswegen die
Berechnung bei einer Symbollänge von 99 abgebrochen wurde.
Beispielhaft sind einige Closed Orbits bei einer skalierten Energie ˜ E = 0.5
in Abbildung 3.8 nach ihrer Rückentfaltung in den gesamten Potenzialbereich
zu sehen, wobei deutlich die Segmentierung der Bahnen zu erkennen ist. Der
einfachste Closed Orbit entspricht der in Abbildung 3.6 gefundenen Bahn. Dass
das Verfahren nahezu unabhängig von der Stabilität ist, zeigt zum Beispiel die
längste dargestellte Bahn. Die Eigenwerte der Monodromiematrix liegen in der
Größenordung von 10 27 .

4
2
0
-2
-4
4
2
0
-2
-4
24 Kapitel 3. Bahnberechnung mittels eines Multishooting Algorithmus
Code: 120
-4 -2 0 2 4
Code: 1222222222101002122122202110
-4 -2 0 2 4
4
2
0
-2
-4
4
2
0
-2
-4
Code: 10222010220210
-4 -2 0 2 4
Symbolanzahl: 40
-4 -2 0 2 4
Abb. 3.8: Closed Orbits unterschiedlicher Länge in semiparabolischen Koordinaten
bei einer skalierten Energie von ˜ E = 0.5.

Kapitel 4
Closed Orbit Theorie
Mit der Closed Orbit Theorie ist es möglich, Photoabsorptionsspektra näherungsweise
semiklassisch zu berechnen. Die Theorie wurde von Du und Delos [1] und
von Bogomolny [2] entwickelt. Eine Beschreibung ist ebenfalls in [6] zu finden.
Es gibt auch noch eine weitere Formulierung der Theorie, die auf Ideen aus der
Quantendefekt-Theorie basiert [24].
Ein zentraler Bestandteil der Theorie ist, dass jede am Kern geschlossene Bahn
einen oszillierenden Beitrag abhängig von ihrer skalierten Wirkung ˜ Sk
∼ sin
(4.1)
2π ˜ 1
−
Skγ 3 − φk
zum Photoabsorptionsspektrum liefert, wobei φk eine zusätzliche Phase ist. Der
Intensitätsverlauf eines Photoabsorptionsspektrums wird durch die Oszillatorenstärke
beschrieben, das heißt die Stärke eines Übergangs von einem Anfangszustand
|Ψi〉 mit dessen Energie Ei zum Endzustand |Ψf〉 mit der Energie Ef. In
der Dipolnäherung [25] lautet der quantenmechanische Ausdruck für die Oszillatorenstärke
f = 2(Ef − Ei) · |〈Ψf|D|Ψi〉| 2
(4.2)
mit dem Dipoloperator D. Der Dipoloperator und der Anfangszustand sind bekannt,
jedoch muss für den Endzustand die Schrödingergleichung mit dem Hamiltonoperator
H = 1
2 p2 − 1 1
+
r 2 γLz + 1
8 γ2ρ 2
(4.3)
gelöst werden. Dies lässt sich mithilfe der retardierten Greenschen Funktion G +
des Hamiltonoperators (4.3) umgehen. Mit
G + 1 |Ψn〉〈Ψn|
=
= (4.4)
E − H + iɛ E − En + iɛ
und dessen Imaginärteil
n
Im G + = −π
δ(E − En)|Ψn〉〈Ψn| , (4.5)
n
25

26 Kapitel 4. Closed Orbit Theorie
wobei die Summation über eine Basis von Eigenzuständen |Ψn〉 erfolgt, lässt sich
die Oszillatorenstärke folgendermassen ausdrücken:
f(E) = − 2
π (E − Ei) Im〈Ψi|DG + D|Ψi〉 (4.6)
=
2δ(E − En)(E − Ei)〈Ψi|D|Ψn〉〈Ψn|D|Ψi〉 (4.7)
n
= − 2
π (E − Ei)
Im
d 3 x(DΨi) ∗ (x)F(x). (4.8)
F(x) = (G + DΨi)(x) ist dabei eine Lösung der inhomogenen Schrödingergleichung
(E − H + iɛ)F(x) = (DΨi)(x), (4.9)
die es zu bestimmen gilt. Zur näherungsweisen Berechnung von F(x) betrachtet
man sie dazu in zwei unterschiedlichen Gebieten. Zunächst kann beim energetisch
tiefliegenden Anfangszustand |Ψi〉, der am Kern lokalisiert ist, das Magnetfeld
vernachlässigt werden. Das heißt es wirkt nur das Coulombpotential und das
auslaufende Elektron kann als reine Coulombwelle beschrieben werden, wie es
in Kapitel 4.1 gezeigt wird. Dieser Bereich erstreckt sich über einen Radius von
ungefähr 50 Bohrschen Atomradien. Bei hochangeregten Endzuständen, die eine
Größe von mehreren tausend Bohrschen Radien erreichen, nimmt der Einfluss
des Coulombpotentials ab und das Magnetfeld kann nicht mehr vernachlässigt
werden. Das Wellenpaket kann in diesem Gebiet semiklassisch mithilfe klassischer
Bahnen propagiert werden, wie in Kapitel 4.2 aufgezeigt.
Ist die Bahn geschlossen, so kehrt das Wellenpaket zum Kern zurück, wo,
wie im Bereich des Anfangszustandes, das Magnetfeld vernachlässigt wird, und
es als einlaufende Coulombstreuwelle, wie in Kapitel 4.3 behandelt, dargestellt
werden kann. In Kernnähe besteht also eine Überlagerung der auslaufenden und
einlaufenden Coulombwellen, was zu dem Ansatz in Kugelkoordinaten
F =
∞
m=−∞
F aus
m (r, θ) + F in
m (r, θ) e imφ
(4.10)
führt. Aufgrund der Symmetrie des Systems kann die Koordinate φ separiert
werden, weswegen F aus
m (r, θ) und F in
m (r, θ) nicht von ihr abhängen.
4.1 Auslaufende Coulombwelle
Die auslaufende Coulombwelle wird mittels der retardierten Greenschen Funktion
des magnetfeldfreien Wasserstoffatoms beschrieben. Dazu wird sie in die Kugelflächenfunktionen
Ylm(θ, φ) und einen Radialanteil g E l (r, r′ ) entwickelt:
G + aus(x, x ′ , E) =
m,l
Ylm(θ, φ)g E l (r, r ′ )Ylm(θ ′ , φ ′ ). (4.11)

4.2. Semiklassische Wellenfunktion 27
Liegen die Endzustände nahe der Ionisationsgrenze, so kann in guter Näherung
E = 0 gewählt werden, wodurch sich der Radialanteil g E l (r, r′ ) analytisch durch
Bessel- und Hankelfunktionen [26] ausdrücken lässt. Damit ergibt sich
g 0 l (r, r ′
2
) = −πi
2
8r< ·
8r> , (4.12)
J2l+1
r<
H2l+1
r>
wobei r< = min(r, r ′ ) und r> = max(r, r ′ ) ist. Die Coulombwelle wird mit der
angenäherten retardierten Greenschen Funktion zu
∞
F aus
m (r, θ) =
l=|m|
= (−πi)
dx ′ (DΨi)(x ′ )Y ∗
lm(θ ′ , φ ′ )g 0 l (r, r ′ )Ylm(θ, φ) (4.13)
∞
H2l+1( √ 8r)Ylm(θ, 0) · Blm
l=|m|
mit den Entwicklungskoeffizienten
2
Blm = dx(DΨi)(x)
(4.14)
r J2l+1( √ 8r)Y ∗
lm(θ ′ , φ ′ ), (4.15)
welche nur vom Anfangszustand Ψi und dem Dipoloperator D abhängen. Wie in
[6] gezeigt, lassen sich diese analytisch berechnen. Weiter lassen sich für große
Kernabstände die Hankelfunktionen gemäss [26] mit
Hn(x) x→∞
−→
2
πx
π π
n+
ei(x− 2 4 )
nähern, wodurch die auslaufende Coulombwelle für große r die Form
F aus,as (r, θ) = −π 1
2 2 1 3
− 4 r 4 Ym(θ)e i(√8r− π
4 )
(4.16)
(4.17)
erhält. Die Winkelfunktionen sind dabei
∞
Y(θ) = (−1) l BlmYl,m(θ, 0). (4.18)
l=|m|
4.2 Semiklassische Wellenfunktion
Weit außerhalb des Anfangszustandes in einem Bereich von r ≥ 50a0 [1], indem
das Magnetfeld nicht mehr vernachlässigt werden kann, lässt sich die Wellenfunktion
semiklassisch annähern. Voraussetzung dafür ist, dass sich die de Broglie
Wellenlänge im Ortsraum nur langsam ändert, es muss also
dλ
dx
≪ 2π (4.19)

28 Kapitel 4. Closed Orbit Theorie
gelten. Die semiklassische Wellenfunktion lässt sich in erster Ordnung von entwickeln,
wenn die Wellenfunktion auf einer Hyperfläche des Konfigurationsraumes
bekannt ist [27] [28]. Nimmt man den Ansatz
Ψ(q 0 ) = A(q 0 )e iS(q0 )
(4.20)
für die Wellenfunktion auf einer Anfangsfläche q 0 an, so ist die semiklassische
Näherung der Wellenfunktion im Punkt q
Ψ(q) =
k
π
i(Sk(q)−
Ak(q)e 2 µk)
, (4.21)
wobei über alle klassischen Bahnen mit der Energie E = 0 aufsummiert wird, die
auf der Anfangsfläche starten und den Ort q erreichen. Die Wirkungen Sk(q) der
einzelnen Bahnen erhält man dabei durch Integration von
Sk(q) = Sk(q 0 q
k) + p dq . (4.22)
Die Amplituden Ak(q) hängen davon ab, inwieweit sich benachbarte Bahnen
entfernen oder annähern. Sie ergeben sich aus
J(t = 0, q
Ak(q) =
0 k )
J(t, q0 k )
· A(q 0 k) (4.23)
mit der Jakobideterminante
J(t, q 0
k) =
det 0 δq(t, qk )
δ(t, q0 k )
. (4.24)
In singulären Punkten bricht aufgrund des Verschwindens der Jakobideterminante
J(t, q0 k ) die Näherung zusammen und die Wellenfunktion erfährt einen Phasensprung
von − π.
Singuläre Punkte treten bei Reflexionen, Kaustiken und Foki
2
einer der Bahn zugehörigen Trajektorienschar auf [27] [28]. Der Maslov-Index
µk in Gleichung (4.21) zählt mit, wieviele singuläre Punkte die klassische Bahn
durchlaufen hat und sorgt somit für die richtige Phase der genäherten Wellenfunktion.
Für den Übergang von der auslaufenden Coulombwelle zur semiklassischen Wellenfunktion
wird als Anfangsfläche q 0 eine Kugelfläche mit dem Radius ri um
den Kern gewählt. Die Wellenfunktion auf dieser Kugelfläche ist dabei durch die
asymptotische Form (4.17) der Coulombwelle gegeben, die die Form einer semiklassischen
Wellenfunktion hat. Die Wellenfunktion (4.17) kann also als
q 0 k
F aus,as
π
i(S(ri)−
m (ri, θi) = Am(ri, θi)e 4 )
(4.25)

4.2. Semiklassische Wellenfunktion 29
mit einer Amplitude
− 3
Am(ri, θi) = − √ π2 1
4 4 ri Ym(θi) (4.26)
geschrieben werden, wobei die Wirkung S(ri) der Wirkung eines aus dem Kern
mit einer Energie E = 0 kommenden klassischen Elektrons auf der Kugelfläche
ist. Dies lässt sich daran erkennen, dass das Wirkungsintegral
ri 2
S(ri) =
r dr = √ 8ri
(4.27)
0
dem Ausdruck im Exponenten von (4.17) entspricht. Dafür muss aber angenommen
werden, dass der Anfangszustand am Kern lokalisiert ist und deshalb alle
Bahnen direkt aus dem Kern starten. Desweiteren ist mit dieser Annahme jede
Bahn durch den Winkel θi, den der Anfangsimpuls mit dem Magnetfeld einschließt,
festgelegt, wie beim diamagnetischen Keplerproblem in Kapitel 2.
Summiert man nun in (4.21) alle Anteile der Trajektorien die den Ort (r, θ)
erreichen auf, so erhält man für die semiklassische Wellenfunktion
Ψm(r, θ) =
Am,k(r, θ)e
k
π π
i(Sm,k(r,θ)− µk− 2 4 ) . (4.28)
Soll diese Wellenfunktion am Kern berechnet werden, so muss über alle am Kern
geschlossenen Bahnen summiert werden. Jede dieser Bahnen ist von einer Trajektorienschar
umgeben, die nicht exakt durch den Kern gehen, aber unter dem selben
Winkel θf einlaufen. An jedem Ort (r, θ) liefern im allgemeinen vier Bahnen
der Trajektorienschar einen Beitrag zur Wellenfunktion (siehe Abbildung 4.1).
Die Wirkungen der vier unterschiedlichen Beiträge lässt sich leicht in semiparabolischen
Koordinaten berechnen, da in diesen Koordinaten die Hamiltonfunktion
der eines freien Elektrons mit der Nebenbedingung p 2 µ + p 2 ν = 4 entspricht, wie
durch die Geraden in Abbildung 4.1b dargestellt. Die Wirkungen ergeben sich
nach der Rücktransformation zu [6]
S 1 m(r, θ) = S 0
m − k1 r(1 + cos θf) − k2 r(1 − cos θf) − 2πm (4.29)
S 2 m(r, θ) = S 0
m + k1 r(1 + cos θf) − k2 r(1 − cos θf) − πm (4.30)
S 3 m(r, θ) = S 0
m + k1 r(1 + cos θf) + k2 r(1 − cos θf) − πm (4.31)
S 4 m(r, θ) = S 0
m − k1 r(1 + cos θf) + k2 r(1 − cos θf) (4.32)
mit k1 = 2 cos θf
2 und k2 = 2 sin θf
. Der Wirkungsanteil
2
S 0 m = 2π ˜ 1
−
Sγ 3 + 1
2 m ˜ T + mπnz
(4.33)

30 Kapitel 4. Closed Orbit Theorie
z
0
a)
0
2
1
3
4
ρ
ϑ f
ν
Abb. 4.1: Trajektorienschar um eine im Kern geschlossene Bahn in a) (ρ, z)-
Koordinaten und b) (µ, ν)-Koordinaten. Der gleiche Punkt in a) wird auf 4 Punkte
in b) transformiert (aus [22]).
setzt sich aus der Wirkung der exakt geschlossenen Bahn in skalierten Koordinaten
˜ S, und einem Anteil in Abhängigkeit der skalierten Rückkehrzeit ˜ T und der
magnetischen Quantenzahl m zusammen. Zusätzlich gibt der letzte Term einen
Beitrag der von nz bestimmt wird. Der Wert von nz wird dabei beim Start, der
Rückkehr und jedem Achsenschnitt jeweils um eins erhöht bezehungsweise wächst
bei jeder zusätzlichen Berührung des Ursprungs um zwei.
Um die klassischen Amplituden Am(r, θ) (4.23) der einzelnen Beiträge zu ermitteln,
betrachten wir zunächst die enthaltenen Jakobideterminanten (4.24) in
Kugelkoordinaten. Die Auswertung ergibt
J(t, θi, φi) =
det
x
(4.34)
δ(t, θi, φi)
= r 2
sin θ
det
δ(r, θ, φ)
(4.35)
δ(t, θi, φi
J(t, θi) = r 2
sin θ
det
δ(r, θ)
. (4.36)
δ(t, θi)
Die Jakobideterminante reduziert sich auf zwei Dimensionen, da φ eine zyklische
Koordinate ist. Auf der Anfangskugelfläche mit dem Radius ri ergibt sich daraus
J(ti, θi) = r 2 i sin θi
0
b)
✕
2
✕
3
0
µ
✕ 1
✕
4
δr
δt |t=ti
= r2
2
i sin θi . (4.37)
ri

4.2. Semiklassische Wellenfunktion 31
Für die Berechnung der Jakobideterminante am Endpunkt der Bahn zur Zeit t
geht man in semiparabolische Koordinaten über, womit sich (4.36) zu
J(t, θ) = r 2
sin θ
det
δ(r, θ) δ(µ, ν) δ(τ, θi) δ(˜t, θi)
(4.38)
δ(µ, ν) δ(τ, θi) δ(˜t, θi) δ(t, θi)
ergibt. Dieser Ausdruck lässt sich mit dem Monodromiematrixelement m12 (2.27)
auf
J(t, θ) = r 2 sin θ · 2γ 2
2
γ− 3
3 · 2|m12| ·
1
−
= 2r sin θ · γ 3 |m12| (4.39)
vereinfachen. Mit den ermittelten Jakobideterminanten und der Anfangsamplitude
(4.26) wird aus der Amplitude (4.23) am Endpunkt der Bahn
Am(r, θ) = − √ πγ 1
sin θi
6
r sin θ · |m12| Ym(θi) . (4.40)
Setzt man diese Amplitude und die Wirkungen (4.29)-(4.32) in die semiklassische
Wellenfunktion (4.28) ein, so erhält man für den rückkehrenden Anteil
F in
m (r, θ)
= − √ πγ 1
6
×
= − √ πγ 1
6
×
×
2r
sin θi,k
r sin θ · |m12| Ym(θi,k)e i(S0 m,k
k=c.o.
√ √
r(1+cos θ)−k2,k r(1−cos θ)−(2m−1)π)
e i(−k1,k
+e i(−k1,k
+e i(+k1,k
+ e i(+k1,k
k=c.o.
2
(r (1 + cos θ)) 1
4
2
(r (1 − cos θ)) 1
4
· γ
√ √ π
r(1+cos θ)+k2,k r(1−cos θ)−(2m−1) 2 )
√ √ π
r(1+cos θ)−k2,k r(1−cos θ)−(2m−1) 2 )
√ √
r(1+cos θ)−k2,k r(1−cos θ))
sin θi,k
|m k 12| Ym(θi,k)e i(S0 m,k
− π
2
π π
− µk− 2 4 )
π
π
µk− −(2m−1) 4 2 )
π π
cos k1,k r(1 + cos θ) − m −
2 4
π π
cos k2,k r(1 − cos θ) − m − . (4.41)
2 4
Die Summation erfolgt dabei nur über alle geschlossenen Bahnen. Zusätzlich wurde
bei den Anteilen S1 m eine Phase von π, bei den Anteilen S2 m und S3 m eine Phase
von π
2 eingeführt, so dass der Maslovindex µk jeweils bei einer Berührung mit der
z-Achse um eins wächst.

32 Kapitel 4. Closed Orbit Theorie
4.3 Rückkehrende Coulombstreuwelle
In Kernnähe ist die rückkehrende semiklassische Wellenfunktion wie bei der auslaufenden
nicht mehr gültig. Wir suchen deshalb eine Coulombstreuwellenfunktion,
die in asymtotischer Form der von (4.41) entspricht. Diese Bedingung wird
von der Coulombstreuwelle in semiparabolischen Koordinaten [6]
1
Ψθf (r, θ) =
2π J0
k1 r(1 + cos θ) J0 k2 r(1 − cos θ)
(4.42)
erfüllt. Die benutzten Besselfunktionen Jn haben für x → ∞ die asymtotische
Form [26]
Jn(x) x→∞
2
−→
πx cos
x − π π
n − ,
2 4
(4.43)
womit sich (4.42) für große r zu
Ψ as
m,θf (r, θ) =
×
×
(−1) m
(2π) 22 sin θf
2
(r(1 + cos θ)) 1
4
2
(r(1 − cos θ)) 1
4
π
cos k1 r(1 + cos θ) −
cos k2
π
m −
2 4
π π
r(1 − cos θ) − m −
2 4
(4.44)
ergibt. Ersetzt man die asymptotischen Anteile in (4.41) durch die soeben ermittelte
Wellenfunktion, so lässt sich der rückkehrende Anteil als
F in
m (r, θ) = −(2π) 5
2 γ 1
6
× Ym(θi,k) · e i(S0 m,k
k
sin θi,k sin θf,k
|m k 12|
darstellen, der eine Lösung der Schrödingergleichung ist.
4.4 Oszillatorenstärkedichte
π π
− µk+ 2 4 ) · Ψm,θf,k (r, θ) (4.45)
Mit den ermittelten Wellenpaketen lassen sich nun Photoabsorptionsspektren des
Wasserstoffatoms im Magnetfeld berechnen. Dazu wird die Oszillatorenstärke f
in einen konstanten und einen oszillierenden Anteil zerlegt:
f = f0 + fosz. (4.46)

4.4. Oszillatorenstärkedichte 33
Für den konstanten Anteil, der durch die auslaufende Coulombwelle bestimmt
wird, erhalten wir die Oszillatorenstärke an der Ionisationsschwelle ohne Magnetfeld.
Er ergibt sich aus
f0 = − 2
π (Ef
∞
− Ei) Im
m=−∞
= 2(Ef − Ei)
dx(DΨi) ∗
2
(x)
lm
= 2(Ef − Ei)
lm
B 2 lm
k=c.0.
dx(DΨi) ∗ (x)F aus
m (r, θ)e imφ
r J2l+1
|m k 12|
√
8r Ylm(θ, φ)Blm
(4.47)
mit den Entwicklungskoeffizienten Blm (4.15). Den oszillierenden Anteil erhält
man aus dem rückkehrenden Anteil mit
fosz = − 2
π (Ef
∞
− Ei) Im dx(DΨi)
m=−∞
∗ (x)F in
m (r, θ)e imφ
= 4(2π) 3
2 (Ef − Ei)γ 1
6 Im
sin θi,k sin θf,k
(4.48)
×
∞
m=−∞
e i(S0 m,k
π π
− µk+ 2 4 ) Ym(θi,k)
dx(DΨi) ∗ (x)Ψm,θf,k (r, θ)eimφ .
Entwickelt man die Coulombstreuwelle Ψm,θf,k (r, θ) in die Kugelflächenfunktionen
Ψm,θf (r, θ) =
∞
(−1) l√ 2rJ2l+1
l=|m|
so lässt sich das Integral in (4.48) mit
dx(DΨi) ∗ (x)Ψm,θf,k (r, θ)eimφ =
√
8r Ylm(θ, 0)Ylm(θf, 0), (4.49)
∞
(−1) l Ylm(θf, 0)Blm
l=|m|
vereinfachen. Insgesamt ergibt der oszillierende Anteil
fosz = 4(2π) 3
2 (Ef − Ei)γ 1
6 Im
k=c.o.
= Ym(θf) (4.50)
sin θi,k sin θf,k
|mk Y(θi,k)Y(θf,k)
12|
× e i(2π ˜ Skγ −1/3 + 1
2 m ˜ Tk+mπnz,k− π π
µk+ 2 4 ) . (4.51)
Damit ist die Oszillatorenstärke durch Eigenschaften aller klassischen, am Kern
geschlossenen Elektronenbahnen ausgedrückt.

34 Kapitel 4. Closed Orbit Theorie
Für die konkrete Berechnung wird als Anfangszustand |1s0〉 oder |2p0〉 mit der
Polarisationsrichtung des anregenden π-polarisierten Laserlichtes parallel zur Magnetfeldrichtung
gewählt. Als Übergänge werden nur elektrische Dipolübergänge
in hohe Rydbergzustände betrachtet. Das heißt es gelten die Auswahlregeln
∆l = ±1 und ∆m = 0 mit dem Dipoloperator
D = r cos θ. (4.52)
Falls |1s0〉 als Anfangszustand gewählt wird, bleibt in der Entwicklung des Dipoloperators
nur ein Term übrig. Die Winkelfunktion (4.18)
ergibt sich mit dem Koeffizient
zu
Y1s0(θ) = B10Y10(θ, 0) (4.53)
B10 = 16
√ 3 e −2
(4.54)
Y1s0(θ) = − 8
√ π e −2 cos θ. (4.55)
Man betrachtet nur Übergänge deren Endzustände in der Nähe der Ionisationsgrenze
liegen, weswegen Ef = 0 gewählt wird. Den konstanten Anteil erhält man
mit der Grundzustandsenergie Ei = − 1
2 zu
f 1s0
0
und der oszillierende Anteil lässt sich als
= 28
3 e−4
f 1s0
osz = 2(2π) 3
2 γ 1
6 Im
k
sin θi,k sin θf,k
|m k 12|
× Y1s0(θi,k)Y1s0(θf,k)e i(2π ˜ Skγ −1/3− π π
µk+ 2 4 )
(4.56)
(4.57)
darstellen. Da für den Anfangszustand m = 0 und für die Übergänge ∆m = 0
gilt, entfallen einige Terme im Exponenten.
Die Entwicklung des Dipoloperators für |2p0〉 enthält zwei Terme ungleich Null.
Die Winkelfunktion ist damit
und den Koeffizienten [6]
Y2p0(θ) = B20Y20(θ, 0) + B00Y00(θ, 0) (4.58)
B20 =
1
3 √ 5
2 21
2 e −4
(4.59)
B00 = 1 15
2 2 e
3 −4 . (4.60)

4.4. Oszillatorenstärkedichte 35
Mit den entsprechenden Kugelflächenfunktionen erhält man
Y2p0(θ) = 1
√ 2π 2 7 e −4 (4 cos 2 θ − 1). (4.61)
Für den Zustand |2p0〉 ist Ei = − 1,
weswegen der konstante Anteil
8
f 2p0
0
ist und sich der oszillierenden Anteil zu
f 2p0
osz =
= 23
15 213 e −8
3
(2π) 2
γ
2
1
6 Im
k
sin θi,k sin θf,k
|m k 12|
(4.62)
× Y2p0(θi,k)Y2p0(θf,k)e i(2π ˜ Skγ −1/3− π π
µk+ 2 4 ) . (4.63)
ergibt. Ein prinzipielles Problem bei der Berechnung stellt die Summe über alle
geschlossenen Bahnen dar. Es gibt unendlich viele Closed Orbits, weswegen die
Summe divergiert und nie vollständig ausgeführt werden kann. Deswegen wird zur
numerischen Ausführung der Summe ein Abbruchkriterium eingeführt (Kapitel
3.4.5). Zusätzlich ist zu beachten, dass der Anfangszustand mit einer Coulombwelle
angenähert ist. Umso mehr der gewählte Anfangszustand davon abweicht,
umso schlechter repräsentiert die Summenformel die eigentliche Oszillatorenstärkedichte.

36 Kapitel 4. Closed Orbit Theorie

Kapitel 5
Berechnung skalierter Spektren
Die semiklassische Oszillatorenstärke besteht, wie in Kapitel 4.4 dargestellt, aus
der Überlagerung eines konstanten Anteils mit Modulationen, die sich ausschließlich
aus den klassischen Eigenschaften des Systems zusammensetzen. In einem
skalierten Spektrum wird dazu die Oszillatorenstärke aller Dipolübergänge von
einem Anfangszustand in hochangeregte Rydbergzustände in Abhängigkeit von
der Magnetfeldstärke mit dem Skalierungsparameter
1
−
w = γ 3 (5.1)
auftragen. Dadurch wird erreicht, dass jede geschlossene Bahn eine Sinusschwingung
mit einer Frequenz linear abhängig von ihrer skalierten Wirkung beiträgt.
Allerdings bleibt dadurch die nichtskalierte Energie im skalierten Spektrum nicht
konstant, sondern variiert mit
E(w) = ˜ 2
−
Eγ 3 = ˜ Ew 2 . (5.2)
Diese Technik wird nicht nur in theoretischen Untersuchungen [29], sondern auch
in der experimentellen Spektroskopie eingesetzt [30].
Bei der Berechnung muss beachtet werden, dass die einzelnen gefundenen
Bahnen zusätzlich zu ihrer Amplitude noch eine Gewichtung lk entsprechend der
Anzahl ihrer Symmetriepartner (siehe Kapitel 3.3) beitragen. Insgesamt ergibt
sich mit den Ergebnissen aus der Closed Orbit Theorie die Abhängigkeit der
Oszillatorenstärke vom Skalierungsfaktor
mit den Amplituden
f(w) = f0 + R √ w Im
k
Ak = lk
AkY(θi,k)Y(θf,k)e i(2πw ˜ Sk− π π
µk+ 2 4 )
(5.3)
sin θi,k sin θf,k
|mk , (5.4)
12|
37

38 Kapitel 5. Berechnung skalierter Spektren
f
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Anfangszustand: |1s0〉
0
4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 5.1: Quantenmechanisches und semiklassisches skaliertes Spektrum bei ˜ E =
0.5. Für das semiklassische Spektrum wurden nur geschlossene Bahnen unterhalb
der skalierten Wirkung ˜ Smax = 5 benutzt.
wobei die Summation k über alle berechneten Closed Orbits erfolgt. Die Faktoren
f0 und R beziehungsweise die Winkelfunktion Y werden dabei je nach betrachtetem
Anfangszustand, wie in Kapitel 4.4 hergeleitet, gewählt. Die skalierte Energie
˜E geht dabei implizit über die Bahnwerte in die Summe mit ein.
Um einen Vergleich zu den errechneten semiklassischen Spektren zu erhalten,
wurden skalierte quantenmechanische Spektren [31] erstellt. Die benutze Methode
basiert darauf, ein verallgemeinertes Eigenwertproblem des Wassertoffatoms
im Magnetfeld mit symmetrischen Matrizen zu formulieren und die Eigenwerte
und Eigenzustände durch deren numerische Diagonalisierung zu erhalten. Wie
bei den semiklassischen Berechnungen werden auch hier keine relativistischen
oder Spineffekte miteinbezogen. Aus den erhaltenen Werten lässt sich dann ein
skaliertes Spektrum erstellen [32]. Im Fall der skalierten Energie ˜ E = 0 ist das
Spektrum gebunden, es besteht also aus δ-Spitzen. Für einen besseren Vergleich
wurde deshalb bei dieser skalierten Energie das Spektrum mittels Fast Fourier
Transform in den Wirkungsraum transformiert und dort bei einer skalierten Wirkung
von ˜ Smax = 13, der maximalen Wirkung bis zu der geschlossene Bahnen
berechnet wurden, abgeschnitten und wieder zurücktransformiert.
Das semiklassische Spektrum nähert sich mit steigender maximaler skalierten
Wirkung, was dem Hinzunehmen von immer mehr Bahnen entspricht, dem
quantenmechanischen an. Dazu ist in Abbildung 5.1 ein niedrig aufgelöstes se-

miklassisches Spektrum mit einer maximalen skalierten Wirkung ˜ Smax = 5 im
Vergleich zur Quantenmechanik zu sehen. Es können grobe Strukturen aufgelöst
werden, hochfrequente Anteile sind jedoch nicht enthalten. Mit zunehmender maximaler
Wirkung werden dann auch längere Bahnen miteinbezogen, die aufgrund
ihrer größeren skalierten Wirkung die höherfrequenten Anteile zum Spektrum
beitragen.
In Abbildung 5.2 ist das quantenmechanische und semiklassische Spektrum
bei einer skalierten Energie ˜ E = 0.5 und dem Anfangszustand |1s0〉 mit allen
berechneten Bahnen dargestellt. Die Spektren stimmen im wesentlichen überein.
Für kleine w, was sehr großen Magnetfeldstärken entspricht, weichen sie jedoch
ab, was sich hauptsächlich auf die Näherungen in der Closed Orbit zurückführen
lässt.
Für die skalierte Energie ˜ E = 0 wurde ein Spektrum sowohl mit dem Anfangszustand
|1s0〉 als auch |2p0〉 erstellt. Trotz der vielen Näherungen und Annahmen
wie sie in Kapitel 3.4.4 erklärt sind, können die meisten Spitzen des
quantenmechanischen Spektrums reproduziert werden. Dabei ist das Spektrum
mit Anfangszustand |2p0〉 nicht so übereinstimmend wie im anderen Fall. Da die
Winkelfunktion Y bei |2p0〉 einen cos 2 -Term enthält, konvergiert das semiklassische
Spektrum aufgrund der höheren Frequenz der Winkelfunktion langsamer.
Desweiteren treten die Näherungen der Closed Orbit Theorie in diesem Fall mehr
in Erscheinung (siehe Kapitel 4.4).
39

40 Kapitel 5. Berechnung skalierter Spektren
f
f
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Anfangszustand: |1s0〉
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
w
semiklassisch
quantenmechanisch
0
4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 5.2: Quantenmechanisches und semiklassisches skaliertes Spektrum bei der
skalierten Energie ˜ E = 0.5 mit dem Anfangszustand |1s0〉.

f
f
20
15
10
5
0
-5
Anfangszustand: |1s0〉
-10
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
20
15
10
5
0
-5
w
semiklassisch
quantenmechanisch
-10
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 5.3: Quantenmechanisches und semiklassisches skaliertes Spektrum bei der
skalierten Energie ˜ E = 0 mit dem Anfangszustand |1s0〉. Das quantenmechanische
Spektrum wurde mit der maximalen skalierten Wirkung Smax = 13 gefiltert.
41

42 Kapitel 5. Berechnung skalierter Spektren
f
f
40
30
20
10
0
-10
Anfangszustand: |2p0〉
-20
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
40
30
20
10
0
-10
w
semiklassisch
quantenmechanisch
-20
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 5.4: Quantenmechanisches und semiklassisches skaliertes Spektrum bei der
skalierten Energie ˜ E = 0 mit dem Anfangszustand |2p0〉. Das quantenmechanische
Spektrum wurde mit der maximalen skalierten Wirkung Smax = 13 gefiltert.

Kapitel 6
Berechnung der
Energieeigenwerte und
Dipolmatrixelemente
Die harmonische Inversion ermöglicht es, Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
aus den erhaltenen Bahndatensätzen zu berechnen. Sie wurde von Wall
und Neuhauser [33] entwickelt und um ein wesentliches von Mandelshtam und
Taylor [34] verbessert. Eine ausführliche Darstellung in Bezug zur Semiklassik ist
auch in [35] zu finden. Der Grundgedanke besteht darin, ein nichtlineares Gleichungssystem
als ein allgemeines Eigenwertproblem umzuformulieren, und mit
einer entsprechenden Basis das Eigenwertproblem durch Filterdiagonalisierung
zu lösen. Ein Vorteil dieser Methode ist, dass das Signal aus sehr vielen Modulationen,
in dem betrachteten Fall mehrere Millionen, bestehen kann ohne dass
numerische Stabilität oder Rechenzeit Probleme darstellen, wie es bei bisherigen
Methoden der Fall ist [36]. Weiterhin hängt die harmonische Inversion nicht von
Eigenschaften des Systems wie Ergodizität oder einer symbolischen Dynamik ab,
ist also völlig unabhängig von den in dieser Arbeit benutzen numerischen Verfahren
zur Bahnfindung. Im folgenden werden nun die mathematischen Grundlagen
der harmonischen Inversion und die Ergebnisse aufgezeigt.
6.1 Harmonische Inversion des Wiederkehrsignals
Die quantenmechanische Antwortfunktion ist mit
g(E) = − 1
π 〈Ψi|DG + D|Ψi〉 = − 1 〈Ψi|D|Ψn〉
π
2
, (6.1)
E − En + iɛ
gegeben, wobei G + die retardierte Greenfunktion
G + = |Ψn〉〈Ψn|
E − En + ie
n
43
n
(6.2)

44 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
darstellt. Ein Hindernis für die Berechnung ist jedoch, dass die Parameter energieabhängig
sind und wie im vorherigen Kapitel über das Spektrum variieren. Dies
kann umgangen werden, indem die Antwortfunktion bei einer fester skalierter
Energie als Funktion des Parameters w = γ −1/3 betrachtet wird. Ein quantenmechanischer
Zustand kann durch die skalierte Energie ˜ E und w, anstatt mit der
nichtskalierten Energie E und der Feldstärke γ ausgedrückt werden, womit die
Antwortfunktion als
mit den Koeffizienten
g(w) = − 1
π
n
d 2 n
w − wn + iɛ
, (6.3)
d 2 n = 〈Ψi|D|Ψn〉 2 , (6.4)
die die Dipolmatrixelemente beinhalten, geschrieben werden kann. Eine Fouriertransformation
der Antwortfunktion in den Wirkungsraum ergibt den Ausdruck
C qm (s) = 1
∞
g(w)e
2π
−isw dw = −i
d 2 ne −iswn . (6.5)
−∞
Um das semiklassische Äquivalent zu erhalten, wird das semiklassische Spektrum
(5.3) zunächst mit √ w multipliziert und unter Vernachlässigung des konstanten
Anteils ebenfalls fouriertransformiert, woraus sich
C sc (s) = 1
2π
∞
Bke −i(s−2π ˜
Sk)w
dw = Bkδ(s − 2π ˜ Sk) (6.6)
−∞
ergibt, wobei der neue Faktor
k
Bk = RAkY(θi,k)Y(θf,k)e
k
n
π π
i(− µk+ 2 4 )
(6.7)
die zur Bahn zugehörige Amplitude, Winkelfunktionen und Phaseninformation
aufnimmt. Der semiklassische Ausdruck besteht also aus δ-Funktionen mit den
Amplituden Bk an den Positionen ˜ Sk und kann somit leicht aus den Bahndatensätzen
ausgerechnet werden. Durch Gleichsetzen des quantenmechanischen und
des semiklassischen Ausdrucks
−i
d 2 ne −iswn !
= Bkδ(s − 2π ˜ Sk) (6.8)
n
ergibt sich die Möglichkeit, aus den Bahndaten die komplexen Parameter wn und
dn, die die Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente enthalten, zu gewinnen.
Dieses System kann dann durch Filterdiagonalisierung [23] gelöst werden.
6.2 Ergebnisse der harmonischen Inversion
Für den Vergleich der Werte wurden jeweils nur die Werte betrachtet, die mit einem
Fehler von < 1% konvergiert sind. Dies bezieht sich nur auf die Konvergenz
k

6.2. Ergebnisse der harmonischen Inversion 45
innerhalb der harmonischen Inversion und nicht auf die Konvergenz hinsichtlich
der quantenmechanischen Werte. Als Ergebnis der Berechnungen erhält man
einen Satz Energieeigenwerte und zugehörige Dipolmatrixelemente die unter anderem
unphysikalisch sind, zum Beispiel Werte mit negativen Realanteilen, die
nicht weiter miteinbezogen werden. Für den direkten Vergleich mit der Quantenmechanik
werden die Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente herangezogen,
die aus den quantenmechanischen Berechnungen, wie im vorherigen Kapitel dargestellt,
gewonnen wurden. Ein Vergleich der Energieeigenwerte bei ˜ E = 0.5 der
unterschiedlichen Anfangszustände in den Abbildungen 6.1 und 6.2 zeigt, dass
vor allem einzeln liegende Werte sehr gut auf ihr quantenmechanisches Äquivalent
konvergieren. Aufgrund der endlichen maximalen Wirkung von ˜ Smax = 20 ist
es prinzipiell nicht möglich, eng beieinander liegende Energieeigenwerte aufzulösen.
Dazu würde eine noch höhere Maximalwirkung benötigt, was jedoch wegen
dem exponentiellen Wachstum der Bahnanzahl mit steigender Maximalwirkung
nicht möglich ist. Wie die Auflösung dennoch gesteigert werden kann wird in
Kapitel 6.3 behandelt. Desweiteren gibt es Energieeigenwerte, die nicht eindeutig
quantenmechanischen Werten zugeordnet werden können. Dies sind Werte, die
aufgrund der Näherungen und Fehler nicht gut konvergiert sind.
Um die Dipolmatrixelemente zusammenfassend zu vergleichen sind in den Abbildungen
6.1 und 6.2 die Betragsquadrate aller eindeutig zuordenbare Energieeigenwerte
mit den quantenmechanischen Betragsquadraten dargestellt. Es ist zu
beachten, dass nicht nur das Betragsquadrat, sondern Real- und Imaginärteil der
Dipolmatrixelemente erhalten werden. Die einzelnen Anteile konvergieren dabei
jedoch nicht so gut wie das zugehörige Betragsquadrat. Die Dipolmatrixelemente
konvergieren schlechter als die entsprechenden Energieeigenwerte, jedoch ist eine
recht gute Übereinstimmung zu erkennen. Bei den Dipolmatrixelementen für den
Anfangszustand |2p0〉 ist im Vergleich die Konergenz nicht so gut wie bei |1s0〉.
Dieser Sachverhalt lässt sich hauptsächlich auf die ungenaueren Näherungen in
diesem Fall zurückführen.
Die Auswertung für ˜ E = 0, die in den Abbildungen 6.3 und 6.4 zu sehen ist,
zeigt, dass bei dieser skalierter Energie die harmonische Inversion keine so guten
Ergebnisse liefern kann wie bei ˜ E = 0.5. Es können nur wenige einzelne Energieeigenwerte
aufgelöst werden. Zwar liegen die quantenmechanischen Werte nicht
sehr dicht beieinander, jedoch ist die Maximalwirkung mit ˜ Smax = 13 wesentlich
kleiner als bei ˜ E = 0.5, was die Auflösungsfähigkeit stark heruntersetzt. Bei den
Dipolmatrixelementen konnte nur ein grobe oder gar falsche Konvergenz festgestellt
werden. Der Grund sind wiederum Näherungen in der Theorie als auch die
Tatsache, dass kein echt vollständiger Satz an Bahndaten erhalten werden kann.

46 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
Im w
|〈1s0|D|n〉| 2
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Anfangszustand: |1s0〉
-0.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0.5
0
-0.5
Re w
Anfangszustand: |1s0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.1: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0.5 mit dem Anfangszuständen |1s0〉. Die
nichtaufgelösten Werte sind grau dargestellt.

6.2. Ergebnisse der harmonischen Inversion 47
Im w
|〈2p0|D|n〉| 2
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Anfangszustand: |2p0〉
-0.1
1 2 3 4 5 6
1
0.5
0
-0.5
Re w
Anfangszustand: |2p0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-1
1 2 3 4 5 6
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.2: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0.5 mit dem Anfangszuständen |2p0〉. Die
nichtaufgelösten Werte sind grau dargestellt.

48 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
Im w
|〈1s0|D|n〉| 2
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Anfangszustand: |1s0〉
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Re w
Anfangszustand: |1s0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.3: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0 mit dem Anfangszuständen |1s0〉. Die
nichtaufgelösten Werte sind grau dargestellt.

6.2. Ergebnisse der harmonischen Inversion 49
Im w
|〈2p0|D|n〉| 2
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
Anfangszustand: |2p0〉
2 3 4 5 6 7 8 9
Re w
Anfangszustand: |2p0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-20
2 3 4 5 6 7 8 9
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.4: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0 mit dem Anfangszuständen |2p0〉. Die
nichtaufgelösten Werte sind grau dargestellt.

50 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
6.3 Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale
Die kreuzkorrelierte harmonische Inversion ist eine erweiterte Form der im vorherigen
Kapitel besprochenen Methodik. Anstatt nur einen Anfangszustand zu
benutzen, wird dieser mit weiteren Anfangszuständen korreliert. Dies ermöglicht
eine wesentliche Verbesserung der Konvergenz in der harmonischen Inversion.
Dazu wird Analog der Antwortfunktion eine Kreuzkorrelationsmatrix
gαα ′ = 〈Ψα|DG + D|Ψα ′〉 (6.9)
eingeführt, wobei |Ψα〉 mit α = 1, 2, . . . , L eine Satz unabhängiger Anfangszustände
ist. Mit der retardierten Greenfunktion (6.2) ergibt sich daraus nach der
Skalierung
mit den Koeffizienten
1 dn,αdn,α
gαα ′(w) = −
π
n
′
w − wn + iɛ
(6.10)
dn,α = 〈Ψα|D|Ψn〉 (6.11)
proportional zu den Dipolmatrixelementen. Die Fouriertransformation dieses Ausdruckes
liefert die Matrix
C qm
αα ′(s) = −i
dn,αdn,α ′e−iswn (6.12)
n
Den benötigten kreuzkorrelierten Ausdruck der semiklassischen Seite erhält man,
indem man der Herleitung des skalierten Spektrums (Kapitel 4.4) mit der Kreuzkorrelationsmatrix
(6.9) folgt.
Nach Multiplikation mit √ w , Vernachlässigung des konstanten Anteils und
einer Fouriertransformation analog (6.6) ergibt sich:
Die Koeffizienten
Bk,αα
C sc
αα
′(s) = Bk,αα ′δ(s − 2π ˜ Sk). (6.13)
k
π
i(−
′ = RAkYα(θi,k)Yα ′(θf,k)e 2
µk+ π
4 )
(6.14)
enthalten dabei die den Anfangszuständen |Ψα〉 entsprechenden Amplituden,
Winkelfunktionen und Phaseninformationen, die aus der Entwicklung des Dipoloperators
mit |Ψα〉, wie in Kapitel 4.4 gezeigt, hervorgehen. Nun kann wiederum
durch Gleichsetzen der Matrizen eine Filterdiagonalisierung durchgeführt werden.
Um eine 2 × 2 Kreuzkorrelation für der Anfangszustand Ψ1 = |1s0〉 zu konstruieren,
wurde zur Berechnung als zweiter Zustand |Ψ2〉 formal eine auslaufende
Superposition einer p- und f-Welle benutzt. Da die Entwicklung D|Ψ2〉 proportional
zu den Kugelflächenfunktion Y30 und Y10 ist, kann zur Vereinfachung

6.3. Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale 51
Y2 ∝ cos 3 θ gewählt werden. Um die Gewichtung der beiden Zustände auszugleichen,
wird derselbe Vorfaktor gesetzt, womit sich für diesen Anfangszustand die
Winkelfunktionen zu
Y 1s0
1 (θ) = − 8
√ π e −2 cos θ (6.15)
Y 1s0
2 (θ) = − 8
√ π e −2 cos 3 θ (6.16)
ergeben. Im zweiten Fall Ψ1 = |2p0〉 wurde als zu korrelierender Zustand eine formale
s-Welle gewählt, wodurch die Entwicklung D|Ψ2〉 ∝ Y00 und somit konstant
ist. Die Winkelfunktionen sind also für den Anfangszustand |2p0〉
Y 2p0
1 (θ) =
Y 2p0
2 (θ) =
1
√ 2π 2 7 e −4 (4 cos 2 θ − 1) (6.17)
1
√ 2π 2 7 e −4 = const. (6.18)
Da die jeweiligen neuen Winkelfunktionen Y1 den Anfangszuständen entsprechen,
sind als Ergebnis die gesuchten Dipolmatrixelemente direkt in den Koeffizienten
dn,1 enthalten.
Wie in den Ergebnissen der kreuzkorrelierten harmonischen Inversion für ˜ E = 0.5
(Abbildungen 6.5 und 6.6) zu sehen ist, konnte die Konvergenz wesentlich verbessert
werden. Vor allem beim Anfangszustand |2p0〉 sind viele weitere Energieeigenwerte
konvergiert. Man erkennt deutlich, dass auch enger beieinanderliegende
Werte aufgelöst werden. Für einen direkten Vergleich, vor allem der Real- und
Imaginärteile der Dipolmatrixelemente, sind in den Tabellen 6.1 und 6.2 alle zuordenbare
Werte den quantenmechanischen gegenübergestellt.
Auch bei ˜ E = 0 konnte eine Verbesserung festgestellt werden. Die Dipolmatrixelemente
gleichen den quantenmechanischen jedoch nur grob oder sind falsch
konvergiert. Auch für diese Energie sind die Werte in den Tabellen 6.3 und 6.4
angegeben.

52 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
Im w
|〈1s0|D|n〉| 2
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Anfangszustand: |1s0〉
-0.1
2 3 4 5 6 7 8 9
1
0.5
0
-0.5
Re w
Anfangszustand: |1s0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-1
2 3 4 5 6 7 8 9
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.5: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0.5 mit dem Anfangszustand |1s0〉.

6.3. Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale 53
Im w
|〈2p0|D|n〉| 2
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Anfangszustand: |2p0〉
-0.1
1 2 3 4 5 6
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Re w
Anfangszustand: |2p0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-2
1 2 3 4 5 6
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.6: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0.5 mit dem Anfangszustand |2p0〉.

54 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
quantenmechanisch semiklassisch
Re wqm Im wqm Re dqm Im dqm Re wsc Im wsc Re dsc Im dsc
2.09857 -0.02731 0.28375 0.38688 2.09540 -0.02723 0.45958 0.43486
3.15138 -0.04897 0.35796 -0.47880 3.14855 -0.04713 0.38342 -0.48931
3.44402 -0.06401 0.54154 -0.64918 3.44076 -0.06078 0.56978 -0.61957
3.56804 -0.02155 0.04160 -0.49990 3.56671 -0.02049 0.07919 -0.48545
3.72515 -0.01420 0.28576 -0.04050 3.72314 -0.01410 0.28862 -0.02618
3.89872 -0.03161 0.62829 -0.12129 3.89557 -0.03173 0.62798 -0.09813
4.00219 -0.04828 0.64891 -0.65713 3.99986 -0.04893 0.69887 -0.64469
4.08891 -0.01364 0.08652 -0.42424 4.08381 -0.01758 0.10611 -0.43554
4.53730 -0.00488 0.21945 0.02074 4.56867 -0.01742 0.01713 0.19670
4.89135 -0.02351 0.35191 -0.40679 4.88979 -0.02235 0.37995 -0.32706
5.11649 -0.01683 0.24863 -0.25912 5.11512 -0.01625 0.26612 -0.20772
5.19878 -0.09761 0.62381 -0.37040 5.19675 -0.09675 0.63498 -0.24531
5.30072 -0.04284 0.07951 -0.13602 5.29842 -0.04291 0.08310 -0.11221
5.36071 -0.06605 0.44203 -0.29148 5.35783 -0.06268 0.43199 -0.19972
5.56316 -0.01839 0.11625 -0.44923 5.56344 -0.01485 0.16351 -0.34579
5.65632 -0.01282 0.26027 -0.03437 5.65381 -0.01391 0.25060 0.00220
5.77577 -0.01692 0.33718 -0.14706 5.77347 -0.01875 0.33561 -0.10454
5.86521 -0.01316 0.36332 -0.29154 5.85663 -0.00883 0.28927 -0.21154
6.37774 -0.00727 0.42603 -0.22460 6.38539 -0.03952 0.48918 -0.19765
6.54541 -0.01013 0.21394 -0.19004 6.54426 -0.01016 0.22582 -0.13114
6.67255 -0.05659 0.45387 -0.17759 6.66890 -0.05592 0.43394 -0.10159
6.77880 -0.02208 0.46158 -0.25330 6.77762 -0.02166 0.45698 -0.13601
6.94270 -0.01100 0.12334 -0.05018 6.94500 -0.01063 0.11761 -0.01029
7.02111 -0.05914 0.50434 -0.21016 7.01952 -0.05834 0.49104 -0.08393
7.08517 -0.02738 0.04796 -0.06206 7.08266 -0.02385 0.04375 -0.02935
7.12141 -0.01034 0.32327 -0.24891 7.12098 -0.01005 0.34020 -0.14996
7.25559 -0.00882 0.27706 -0.14192 7.25640 -0.00729 0.26586 -0.05653
7.36289 -0.03577 0.24051 -0.43581 7.36910 -0.01631 0.41632 -0.05660
7.52560 -0.01228 0.27878 -0.14731 7.51024 -0.00905 0.14367 -0.14042
8.41565 -0.02697 0.09714 0.34243 8.41510 -0.02657 0.00645 0.31305
8.48250 -0.02949 0.40388 0.00308 8.48126 -0.02893 0.34508 0.08864
8.60388 -0.01588 0.34874 -0.13902 8.60223 -0.01571 0.33401 -0.05544
8.71703 -0.01766 0.16905 -0.00126 8.72116 -0.01956 0.14097 0.09119
Tab. 6.1: Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente der kreuzkorrelierten harmonischen
Inversion bei einer skalierten Energie ˜ E = 0.5 und dem Anfangszustand
|1s0〉 im Vergleich zu den quantenmechanischen Werten.

6.3. Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale 55
quantenmechanisch semiklassisch
Re wqm Im wqm Re dqm Im dqm Re wsc Im wsc Re dsc Im dsc
2.03520 -0.01729 1.17116 0.75585 2.02952 -0.01505 0.02164 0.35484
2.25324 -0.00009 0.24724 0.03788 2.25058 0.00034 0.16789 0.38238
2.41661 -0.00480 0.26888 -0.20806 2.41612 -0.00427 0.08003 -0.55024
2.44319 -0.06542 0.44685 1.11708 2.43035 -0.06054 0.88266 -0.31498
3.32859 -0.02114 0.12997 0.27714 3.32663 -0.02063 0.13238 -0.41859
3.57592 -0.02234 0.24071 -0.00851 3.57324 -0.02198 0.33189 0.38721
3.73250 -0.01733 0.39266 0.68382 3.72748 -0.01698 0.12350 0.58047
3.84891 -0.02636 0.08270 -1.08290 3.84532 -0.02586 0.22470 -0.60461
3.97354 -0.04542 0.30456 1.36182 3.97118 -0.04157 0.69887 0.20696
4.00158 -0.00995 0.57177 0.39189 3.99886 -0.00997 0.15314 0.55772
4.09806 -0.03383 0.15239 -0.66020 4.09180 -0.03222 0.31707 -0.53519
4.18873 -0.01770 0.06458 -0.51342 4.16829 -0.01739 0.53539 0.13708
4.86547 -0.01005 0.38623 0.50657 4.86320 -0.01045 0.47013 0.01007
5.02184 -0.01475 0.57464 -0.35919 5.01992 -0.01395 0.40266 0.47239
5.19840 -0.01655 0.14165 0.65832 5.19560 -0.01699 0.06814 -0.45843
5.30417 -0.01276 0.15539 0.69393 5.30197 -0.01216 0.44595 0.12016
5.42642 -0.01586 0.21320 0.54280 5.42590 -0.01589 0.48871 0.17491
5.58358 -0.01962 0.28965 -0.55007 5.58179 -0.01883 0.43910 0.41221
5.63674 -0.01905 0.52047 0.16837 5.63438 -0.01753 0.20889 0.45636
5.72232 -0.00930 0.23333 -0.43576 5.71959 -0.00999 0.36269 0.33316
5.81107 -0.00589 0.39688 -0.49347 5.80637 -0.00518 0.39055 0.35218
6.17118 -0.01686 0.26025 0.18897 6.16941 -0.01733 0.16861 0.26113
Tab. 6.2: Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente der kreuzkorrelierten harmonischen
Inversion bei einer skalierten Energie ˜ E = 0.5 und dem Anfangszustand
|2p0〉 im Vergleich zu den quantenmechanischen Werten.

56 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
Im w
|〈1s0|D|n〉| 2
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Anfangszustand: |1s0〉
3 4 5 6 7 8 9
Re w
Anfangszustand: |1s0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-2
3 4 5 6 7 8 9
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.7: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0 mit dem Anfangszustand |1s0〉.

6.3. Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale 57
Im w
|〈2p0|D|n〉| 2
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
Anfangszustand: |2p0〉
2 3 4 5 6 7 8 9
Re w
Anfangszustand: |2p0〉
semiklassisch
quantenmechanisch
-20
2 3 4 5 6 7 8 9
Re w
semiklassisch
quantenmechanisch
Abb. 6.8: Semiklassische und quantenmechanische skalierte Energieeigenwerte
und Dipolmatrixelemente bei ˜ E = 0 mit dem Anfangszustand |2p0〉.

58 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
quantenmechanisch semiklassisch
Re wqm Im wqm Re dqm Im dqm Re wsc Im wsc Re dsc Im dsc
1.31811 0.00000 2.04598 0.00000 1.30216 0.12753 0.00244 0.01622
3.47686 0.00000 0.68257 0.00000 3.42017 0.02998 0.07764 -0.29736
3.84231 0.00000 0.90929 0.00000 3.86418 0.02098 0.30193 -0.59813
4.04217 0.00000 0.36387 0.00000 4.02262 0.02127 0.03527 0.38482
4.21029 0.00000 0.99578 0.00000 4.21255 0.00857 0.18991 -0.81974
4.84067 0.00000 1.12569 0.00000 4.83858 0.00064 0.37891 -1.15801
5.33037 0.00000 0.28033 0.00000 5.31320 0.02788 0.07407 -0.27538
5.77492 0.00000 0.91885 0.00000 5.79177 -0.00212 0.67614 -0.75335
6.04708 0.00000 0.77003 0.00000 6.04577 0.03742 0.04298 -0.25942
6.24370 0.00000 0.74985 0.00000 6.23672 -0.02243 0.46193 -1.01012
6.40655 0.00000 0.62821 0.00000 6.41024 -0.00117 0.33943 -0.64384
6.47335 0.00000 0.07474 0.00000 6.46815 0.00334 0.10988 -0.13284
6.58580 0.00000 0.80455 0.00000 6.58155 0.00363 0.41412 -0.86494
6.74428 0.00000 0.04740 0.00000 6.73920 0.00287 0.22479 -1.05979
6.96835 0.00000 0.19228 0.00000 6.96241 0.04943 0.01119 -0.18445
7.07893 0.00000 0.62361 0.00000 7.06317 -0.00838 0.12161 -0.48268
7.18210 0.00000 0.53756 0.00000 7.16573 -0.00576 0.23796 -0.76889
7.25403 0.00000 0.90728 0.00000 7.25113 0.00954 0.09141 -0.83323
7.34732 0.00000 0.04993 0.00000 7.36223 -0.00995 0.51906 -0.01834
7.62889 0.00000 0.83043 0.00000 7.63313 0.00573 0.38967 -0.69006
7.71839 0.00000 0.24877 0.00000 7.72667 0.01269 0.16180 -0.28944
7.81347 0.00000 0.75118 0.00000 7.82381 -0.00188 0.45651 -0.84232
8.43191 0.00000 0.03940 0.00000 8.43024 0.00527 0.16449 0.44397
8.45161 0.00000 0.88358 0.00000 8.45740 0.01882 0.29086 -0.69498
8.91040 0.00000 0.75214 0.00000 8.91539 0.02376 0.32370 -0.55456
9.28330 0.00000 0.12303 0.00000 9.29486 0.01436 0.12247 -0.53034
9.91777 0.00000 0.13252 0.00000 9.91258 -0.01287 0.00469 0.08087
9.94235 0.00000 0.64667 0.00000 9.95402 -0.01097 0.21175 -0.75858
Tab. 6.3: Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente der kreuzkorrelierten harmonischen
Inversion bei einer skalierten Energie ˜ E = 0 und dem Anfangszustand
|1s0〉 im Vergleich zu den quantenmechanischen Werten.

6.3. Harmonische Inversion kreuzkorrelierter Wiederkehrsignale 59
quantenmechanisch semiklassisch
Re wqm Im wqm Re dqm Im dqm Re wsc Im wsc Re dsc Im dsc
1.49927 0.00000 9.32209 0.00000 1.48218 0.03531 1.05204 -1.83399
2.75789 0.00000 3.66674 0.00000 2.75664 0.01091 3.34098 -0.95509
3.55862 0.00000 2.20266 0.00000 3.55496 0.01847 1.45087 -0.07324
3.84907 0.00000 3.15552 0.00000 3.84838 -0.00351 3.17293 0.24714
4.15219 0.00000 3.37576 0.00000 4.13308 -0.01912 3.96240 -4.46358
4.26230 0.00000 0.94877 0.00000 4.26228 0.00359 3.47185 -0.02568
4.47670 0.00000 2.64925 0.00000 4.45461 0.01101 1.82942 0.05621
4.63904 0.00000 1.05307 0.00000 4.65656 0.00820 0.76752 1.44988
5.75518 0.00000 3.07298 0.00000 5.72374 0.01068 2.99066 -0.91058
6.27177 0.00000 2.15622 0.00000 6.28217 -0.01194 1.87945 1.06322
7.47425 0.00000 0.92901 0.00000 7.45507 -0.00629 1.83727 0.17021
8.69137 0.00000 2.20605 0.00000 8.68142 -0.00924 3.83383 -0.13510
Tab. 6.4: Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente der kreuzkorrelierten harmonischen
Inversion bei einer skalierten Energie ˜ E = 0 und dem Anfangszustand
|2p0〉 im Vergleich zu den quantenmechanischen Werten.

60 Kapitel 6. Berechnung der Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente

Kapitel 7
Zusammenfassung
In dieser Diplomarbeit wurde mithilfe der semiklassischen Closed Orbit Theorie
hochaufgelöste Spektren, Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente des Wasserstoffatoms
im Magnetfeld bei zwei unterschiedlichen skalierten Energien berechnet.
Die dafür benötigten geschlossenen Bahnen sind durch einen Multishooting-Algorithmus
in Verbindung mit einer symbolischen Dynamik gefunden
worden. Dazu wurde ein auf das Problem zugeschnittener symbolischer Code
entwickelt und mehrere Optimierungen, hauptsächlich Map-Lookup Techniken,
zur Beschleunigung der Rechnungen eingesetzt. Es stellte sich heraus, dass es
mit Map-Lookup möglich ist, alle benötigten Werte mit einem kleinen Fehler zu
ermitteln. Diese Vorgehensweise könnte zunächst bei einfacheren Systemen wie
dem hier betrachteten angewandt werden. Weiter konnten Energieeigenwerte und
Dipolmatrixelemente mit der harmonischen Inversion, mit und ohne Kreuzkorrelation,
näherungsweise semiklassisch berechnet werden.
Der Multishooting-Algorithmus hat sich zur Bahnfindung bewährt und es
wurden trotz teils sehr starker Instabilität mehrere Millionen Bahnen ermittelt.
Die Ergebnisse zeigen auch, dass mit der harmonischen Inversion eine mächtige
Methodik zur Verfügung steht, Energieeigenwerte und Dipolmatrixelemente
semiklassisch zu erhalten.
Die hier vorgestellte Vorgehensweise benötigt relativ wenig Kenntnis des zu
untersuchenden Systems und lässt sich auch auf andere Vorraussetzungen anpassen.
Zum Beispiel ließen sich alleine durch die Änderung der Randbedingungen
periodische Bahnen für das Wasserstoffatom im Magnetfeld, wie sie in der Periodic
Orbit Theorie [37] benötigt werden, finden. Auch höherdimensionale und
kompliziertere Systeme wie das hier untersuchte sollten keine prinzipellen Probleme
darstellen, solange eine symbolische Dynamik definiert werden kann. Damit
ist die Grundlage geschaffen, die verwendeten Methoden auch auf komplexere
Systeme anzuwenden oder sie in anderen Bereichen der Semiklassik einzusetzen.
61

62 Kapitel 7. Zusammenfassung

Anhang A
Atomare Einheiten
Atomare Einheiten nach der Empfehlung von CODATA 2002 (The NIST Reference
in Constants, Units and Uncertainty):
Grösse Atomare Einheit Symbol SI-Einheit
Masse Elektronenmasse me 9.1093826 · 10 −31 kg
Ladung Elementarladung e 1.6021765310 · 10 −19 C
Wirkung Plancksche Konst. 6.6260693 · 10 −34 Js
Länge Bohrscher Radius a0 = 4πɛ0 2 /(mee 2 ) 0.5291772108 · 10 −10 m
Energie Hartree E0 = mec 2 α 2 4.35974417 · 10 −18 J
Zeit Plancksche Zeit t0 = /E0 5.39121 · 10 −44 s
mag. Feldstärke B0 = /(ea 2 0) 2.35051742 · 10 5 T
el. Feldstärke F0 = e/(πɛ0a 2 0) 5.14220642 · 10 11 V/m
63

64 Anhang A. Atomare Einheiten

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Danksagung
Ich danke Prof. Günter Wunner für die Aufnahme am Institut für Theoretische
Physik 1. Priv.-Doz. Dr. Jörg Main danke ich für die exzellente Betreuung und
Prof. Dr. Hans-Rainer Trebin für die Übernahme des Mitberichts. Weiterer Dank
geht an Steffen Bücheler und Dirk Engel für die tatkräftige technische Unterstützung.
Auch Thomas Bartsch und Tomaˇz Fabčič gilt Dank für die anregenden
Diskussionen.
Meinen Eltern Friedrich und Elsbeth Habel danke ich für die Unterstützung
während meines Studiums.