Algorithmen für Quantencomputer II - Institut für Theoretische Physik ...

Algorithmen für Quantencomputer II
Der Shor Algorithmus
Hauptseminar Theoretische Physik
Universität Stuttgart, SS 2011
Uwe Pracht

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Inhalte des Vortrags
● Motivation: wie findet man Primfaktoren auf klassischem Wege?
● Zwei Sätze der Zahlentheorie und ein Stellvertreterproblem.
● Die Quantenmechanik des Shor Algorithmus.
● Zusammenfassung und Literatur.
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 01/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Aufgabe: Finde zu einer natürlichen Zahl N zwei Primzahlen p,q mit N=pq.
Einfachster Algorithmus: Ausprobieren, ob ein Teiler von N ist.
Laufzeit völlig ineffizient!
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 02/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Aufgabe: Finde zu einer natürlichen Zahl N zwei Primzahlen p,q mit N=pq.
Einfachster Algorithmus: Ausprobieren, ob ein Teiler von N ist.
Laufzeit völlig ineffizient!
Derzeit bester Algorithmus: general number field sieve (GNFS) [Pom96]
Laufzeit ca. Kompl. Klasse NP
exp. schwierig.
[Pom96] Carl Pommercance, A Tale Of Two Sieves , Notices of the AMS 43 (12): pp. 1473–1485, (1996)
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 02/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Aufgabe: Finde zu einer natürlichen Zahl N zwei Primzahlen p,q mit N=pq.
Einfachster Algorithmus: Ausprobieren, ob ein Teiler von N ist.
Laufzeit völlig ineffizient!
Derzeit bester Algorithmus: general number field sieve (GNFS) [Pom96]
Laufzeit ca. Kompl. Klasse NP
exp. schwierig.
Abhilfe durch Quantenmechanik: Shor Algorithmus
Laufzeit Kompl. Klasse P
erheblich schneller
als GNFS!
Beispiel: L=130, GNFS benötigt 42 Tage L=260, GNFS benötig ca. 1 Mio. Jahre
L=130, Shor benötigt 7 Stunden L=260, Shor benötigt 8x7=56 Stunden
[Pom96] Carl Pommercance, A Tale Of Two Sieves , Notices of the AMS 43 (12): pp. 1473–1485, (1996)
[Bru04] Dagmar Bruß, Skriptum zur Vorlesung Quanteninformationstheorie, Uni. Düsseldorf (2004/2005)
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 02/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Der Shor Algorithmus (nach Peter W. Shor, 1994) führt die Suche nach den
Primfaktoren p,q auf die Suche nach der Periodizität r einer bestimmten Funktion f(x).
Primfaktoren p.q werden anschließend aus r berechnet.
Diese Periodizität kann klassisch ermittelt werden, oder wesentlich effizienter mit Hilfe
der sog. Quantenfouriertransformation (QFT).
Klassischer Teil zur
Reduzierung des Problems
auf Funktion f(x).
Shor Algorithmus
[Sho94]Peter W. Shor, SIAM Journal on Computing, ,26, S. 1484–1509 (1994)
Quantenmechanischer Teil
zur effizienten Lösung
des Restproblems.
(Finden der Periode r)
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 03/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
SATZ 1
Seien p,q Primzahlen mit N=pq und a

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
SATZ 1
Seien p,q Primzahlen mit N=pq und a

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
SATZ 1
Seien p,q Primzahlen mit N=pq und a

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Ausgangspunkt für Quantenteil:
2 Register der Länge n und m N
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 05/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Ausgangspunkt für Quantenteil:
2 Register der Länge n und m N
● Erzeuge gleichgewichtete
Superposition im 1. Register
mit
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 05/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Ausgangspunkt für Quantenteil:
2 Register der Länge n und m N
● Erzeuge gleichgewichtete
Superposition im 1. Register
mit
Beispiel N=15 (1111)
● Wähle (mindestens) n=3 und m=4
● Superposition
● Die Nummer eines Zustands ist
gleichzeitig der Messwert.
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 05/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Bilde das erste auf das zweite Register
durch die unitäre Transformation
ab. Es folgt
● Periodizität ist globale Eigenschaft der
Funktion und steckt nach bereits einer
Operation in den Zuständen des 1.
Registers!
David Deutsch:
“massive quantum parallelism”
Erster Hauptgrund für hohe Effizienz!
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 06/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Bilde das erste auf das zweite Register
durch die unitäre Transformation
ab. Es folgt
● Periodizität ist globale Eigenschaft der
Funktion und steckt nach bereits einer
Operation in den Zuständen des 1.
Registers!
David Deutsch:
“massive quantum parallelism”
Erster Hauptgrund für hohe Effizienz!
Wähle ein a < N = 15 mit ggT(a,N)=1
z.B. a=11 (oder 14, 13, 8, 7, 4, 2)
Damit lautet der Zustand nach der
unitären Transformation
Die Nummern der Zustände des 1.
Registers haben i.A einen Offset l
gegenüber Null. Hier ist l=0 und l=1.
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Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Messung am 2. Register projeziert das
1. Register je nach Offset l auf
Mit [d/r] der größten natürlichen Zahl
kleiner gleich d/r (Gauß-Klammer)
● Durch (sehr) häufige Wiederholung der
Messung und Selektion nach Offset
lässt sich prinzipiell jetzt schon Periode
r auslesen.
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 07/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Messung am 2. Register projeziert das
1. Register je nach Offset l auf
Mit [d/r] der größten natürlichen Zahl
kleiner gleich d/r (Gauß-Klammer)
● Durch (sehr) häufige Wiederholung der
Messung und Selektion nach Offset
lässt sich prinzipiell jetzt schon Periode
r auslesen.
Nur Projektion auf die Zustände
des 2. Registers ist ungleich 0:
● Offset l=0 ; also Projektion auf
1. Register in Superposition
● Offset l=1 ; also Projektion auf
1. Register in Superposition
● Durch häufige Messung am 1. Register
lassen sich die Nummern der Zustände
und damit die Periode zu r=2 auslesen
● Für große N unpraktisch, schneller mit
Quantenfouriertransformation (QFT)
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 07/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Idee der QFT : Verschiebe den uninteressanten Offset in eine für die Messung irrelevante
Phase. Die Wirkung des unitären QFT Operators auf einen Zustand ist definiert als
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 08/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Idee der QFT : Verschiebe den uninteressanten Offset in eine für die Messung irrelevante
Phase. Die Wirkung des unitären QFT Operators auf einen Zustand ist definiert als
Betrachte im Folgenden den Fall , also . Die QFT des 1.
Registers lautet somit
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 08/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Genauere Betrachung der Funktion g(z)
Summe ist geometrische Reihe
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 09/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Genauere Betrachung der Funktion g(z)
Summe ist geometrische Reihe
1) sei
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 09/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Genauere Betrachung der Funktion g(z)
Summe ist geometrische Reihe
1) sei
2) sei
Alle Zustände, die die Bedingung 2) erfüllen, verschwinden durch destruktive Interferenz.
Zweiter Hauptgrund für hohe Effizienz!
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 09/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Zusammengefasst lautet die QFT des 1. Registers somit
z-Summation auf k-Summation umgeschrieben
Unterschied zum Anfang: Offset l steht nicht mehr im Zustand sondern in dem für die
quantentheoretische Messung irrelevanten Phasenfaktor.
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 10/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Der Gesamtzustand ( 1. und 2. Register)
lautet somit
Wobei der l-abhängige Phasenfaktor in
das nicht interessierende 2. Register
geschoben wurde. Die Periodizität steht
nun in der Bezeichnung der Zustände
des 1. Registers und ist durch Messung
am 1. Register direkt zugänglich
Bekannt:
Bekannt durch Messung:
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 11/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Der Gesamtzustand ( 1. und 2. Register)
lautet somit
Wobei der l-abhängige Phasenfaktor in
das nicht interessierende 2. Register
geschoben wurde. Die Periodizität steht
nun in der Bezeichnung der Zustände
des 1. Registers und ist durch Messung
am 1. Register direkt zugänglich
Bekannt:
Bekannt durch Messung:
Register 2 wurde im Zustand
entsprechend l=1 präpariert. QFT des 1.
Registers:
Damit lautet der Endzustand
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 11/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Endzustand
● Mit der Wahrscheinlichkeit ½ wird am 1. Register der Messwert gemessen,
der zum Zustand mit Nummer 0 (k=0) gehört
, also keine Information
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 12/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Endzustand
● Mit der Wahrscheinlichkeit ½ wird am 1. Register der Messwert gemessen,
der zum Zustand mit Nummer 0 (k=0) gehört
, also keine Information
● Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird , also der Zustand mit Nummer 4 (k=1)
gemessen
, also r=2
● Damit ist der Quantenteil des Algorithmus am Ende.
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 12/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
● Endzustand
● Mit der Wahrscheinlichkeit ½ wird am 1. Register der Messwert gemessen,
der zum Zustand mit Nummer 0 (k=0) gehört
, also keine Information
● Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird , also der Zustand mit Nummer 4 (k=1)
gemessen
, also r=2
● Damit ist der Quantenteil des Algorithmus am Ende.
● Klassisch geht es weiter nach SATZ 2:
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 12/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Zusammenfassung des Shor Algorithmus
● Findet nicht-triviale Faktoren in polynomialer Zeit und damit wesentlich schneller als
alle bisher bekannten klassischen Verfahren (exponentielle Laufzeit).
● Aufgebaut aus klassischem und quantenmechanischen Teil.
● Im Quantenteil: Suche nach Faktoren wird in Suche nach Periodizität r der Funktion
f(x) verwandelt. Suche erfolgt durch Quantenfouriertransformation.
● Superposition Implementierung QFT Durchläufe Insgesamt
● Praktische Umsetzung jedoch auf heutigem Stand ausgesprochen schwierig und
bisher nur für den einfachsten Fall N=15 mit insgesamt 7 Qubits gelungen, [Lan07].
● Größtes Problem: Für Zahlen, die klassisch nicht mehr faktorisiert werden können,
sind extrem lange Dekohärenzzeiten (> mehrere Stunden) erforderlich.
● Fazit: Shor Algorithmus in der Theorie von großer Bedeutung, aber momentan noch
jenseits einer praktischen Umsetzung.
[Lan07] B. P. Lanyon et al., PRL 99, 250505 (2007)
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 13/14

Einführung zahlentheo. Aspekte Implementierung von f QFT Auswertung Konklusion
Verwendete und weiterführende Literatur
● Zahlentheoretische Aspekte
[Pom96] Carl Pommercance, A Tale Of Two Sieves , Notices of the AMS 43 (12): pp. 1473–1485, (1996)
● Zur Theorie
[Bru04] Dagmar Bruß, Skriptum zur Vorlesung Quanteninformationstheorie, Uni. Düsseldorf (2004/2005)
[Ste97] Andrew Steane, Skriptum Quantum Computing, University of Oxford (1997)
[Aud05] Jürgen Audretsch, Verschränkte Systeme, Wiley-VCH Verlag (2005)
[Sho94] Peter W. Shor, SIAM Journal on Computing, ,26, S. 1484–1509 (1994)
● Zur experimentellen Umsetzung
[Lan07] B. P. Lanyon et al., PRL 99, 250505 (2007)
Algorithmen für Quantencomputer II Uwe Pracht 14/14