Hauptseminar Kosmologie Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung

Hauptseminar Kosmologie 

Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung 

von Peter Diemand

Hauptseminar Kosmologie: Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung 

Im letzten Vortrag haben wir anhand der 

kosmologischen Rotverschiebung gesehen, dass 

sich das Universum ausbreitet.


Im letzten Vortrag haben wir anhand der 

kosmologischen Rotverschiebung gesehen, dass 

sich das Universum ausbreitet. 

Die Frage, die wir uns heute stellen, ist: 

Expandiert das Universum mit immer größerer 

Geschwindigkeit, oder wird die Ausbreitung 

gebremst und zieht sich das Universum 

irgendwann wieder auf einen einzelnen Punkt 

zusammen?


– 

Abb. 1: Kontraktion des Universums; 

Quelle: http://besch2.physik.unisiegen.de/~mastro/content/pdf/ 

kap08.pdf


Definition astronomischer Längeneinheiten:


Definition astronomischer Längeneinheiten: 

– 1 astronomische Einheit (AE) entspricht der Länge der 

großen Halbachse der Ellipsenbahn der Erde um die 

Sonne: 

1 AE = 149.597.870 km





Sonne: 

1 AE = 149.597.870 km 

– 1 Parsec (Abkürzung für Parallaxensekunde) ist die 

Entfernung, in der 1 AE unter einem Winkel von 1 

1 

Bogensekunde ( 3600 Grad) erscheint: 

1 pc = 206265 AE = 3,0856776⋅10 13 km





Sonne: 

1 AE = 149.597.870 km 

– 1 Parsec (Abkürzung für Parallaxensekunde) ist die 

Entfernung, in der 1 AE unter einem Winkel von 1 

1 

Bogensekunde ( 3600 Grad) erscheint: 

1 pc = 206265 AE = 3,0856776⋅10 13 km 

– 1 Lichtjahr ist die Länge der Strecke, die Licht im 

Vakuum in einem Jahr zurücklegt: 

1 Lj = 9,460528⋅10 12 km


Messung astronomischer Entfernungen:


Messung astronomischer Entfernungen: 

– Bestimmung von Sternparallaxen: 

Diese Methode beruht darauf, dass der Winkel, unter 

dem man einen Stern sieht, sich ändert, da die Erde um 

die Sonne kreist. 

Aufgrund der unterschiedlichen Winkel kann man dann 

den Abstand des Sterns von der Erde bestimmen. 

Diese Methode lässt sich jedoch nur für Sterne, die 

maximal einige Dutzend Lichtjahre entfernt sind, 

anwenden, da die Winkeldifferenz für große 

Entfernungen verschwindend klein wird.


Vereinfachte Darstellung: 

Abb. 2: Parallaxe; Quelle: 

http://drfreund.bei.t-online.de 

/astronomy_distances.htm


Scheinbare Helligkeit wird im Vergleich zur 

scheinbaren Helligkeit an einem anderen Ort 

berechnet: 

m 1=m 2−2,5⋅lg I m 1 

I m2


Scheinbare Helligkeit wird im Vergleich zur 

scheinbaren Helligkeit an einem anderen Ort 

berechnet: 

m 1=m 2−2,5⋅lg I m 1 

I m2 

 

Absolute Helligkeit M: Scheinbare Helligkeit bei 

einem Abstand von 10 pc von der Quelle


Damit kann man die scheinbare Helligkeit im 

Vergleich zur absoluten Helligkeit als Funktion 

des Abstandes angeben:


Damit kann man die scheinbare Helligkeit im 

Vergleich zur absoluten Helligkeit als Funktion 

des Abstandes angeben: 

aus m=M −2,5⋅lg erhält man mit 

I m 

I M 

m=M 5lg D 

10 pc 

I ∝ 1 

D 2


Ereignishorizont:


Ereignishorizont: 

– Wir verwenden das Robertson-Walker-Linienelement 

d l 2 =c 2 dt 2 −S 2 t[ 

d 2 

1−k 22 d 2 ]




d 2 

d l 2 =c 2 dt 2 −S 2 t[ 

1−k 22 d 2 ] 

wobei die Funktion S(t) die Expansion der kosmischen 

Materie beschreibt und k für die konstante Krümmung 

des Raumes steht.




d 2 

d l 2 =c 2 dt 2 −S 2 t[ 

1−k 22 d 2 ] 

wobei die Funktion S(t) die Expansion der kosmischen 

Materie beschreibt und k für die konstante Krümmung 

des Raumes steht. 

– Nun betrachten wir ein von nach radial 

einwärtslaufendes Signal (Winkel bleiben konstant). 

Die Bahn auf dem Lichkegel ist durch dl gegeben. 

2 t 1, r1 t , r 

=0


● Damit erhalten wir aus 

r 

∫ r1 

d 

1−k 2=−c∫ t1 

t 

dt ' 

S t ' 

d l 2 =c 2 dt 2 −S 2 t[ 

d 2 

1−k 22 d 2 ] 

Abb.3: Lichtsignal 

zwischen zwei 

Weltlinien; Quelle: 

H. Goenner: Einführung 

in die Kosmologie


– Wir definieren 

r:=∫ 0 

t 

d 

1−k 2



r:=∫ 0 

t 

d 

1−k 2 

2 

sowie den radialen Eigenabstand durch −dl bei 

konstanten Winkeln und konstanter Zeit.



r:=∫ 0 

sowie den radialen Eigenabstand durch −dl bei 

konstanten Winkeln und konstanter Zeit. 

2 

– Durch Integration erhalten wir den Eigenabstand aus 

d l 2 =c 2 dt 2 −S 2 t[ 

t 

d 

1−k 2 

d t=S t r 

d 2 

1−k 22 d 2 ]


– Gibt es Lichtsignale, die uns nicht in endlicher Zeit 

erreichen?


– Gibt es Lichtsignale, die uns nicht in endlicher Zeit 

erreichen? 

Ein Beobachter befinde sich bei r=0 . Dadurch wird 

und man erhält mit 

r=d t=0 

r 

∫ r1 

d 

1−k 2=−c∫ t1 

t 

dt ' 

S t ' 

0= r= r 1−c∫ t1 

∞ 

und 

dt ' 

S t ' 

r=∫ 0 

für Lichtsignale, die den Beobachter erst in unendlicher 

Zeit erreichen. 

t 

d 

1−k 2


– Somit ist der Ort aller Ereignisse, deren ausgesandte 

Signale den Beobachter nicht in endlicher Zeit 

erreichen können, gegeben durch 

∞ 

r=c∫ t 

dt ' 

S t '


– Somit ist der Ort aller Ereignisse, deren ausgesandte 

Signale den Beobachter nicht in endlicher Zeit 

erreichen können, gegeben durch 

∞ 

r=c∫ t 

dt ' 

S t ' 

Dies bildet den Ereignishorizont des Beobachters. Es ist 

der Rückwärtslichtkegel des Beobachters bei r=0 zur 

Zeit t=∞ 

.


– Beispiel: Ereignishorizont im DeSitter-Kosmos ( 

k=0 ) 

Abb.4: Ereignishorizont im 

DeSitter-Kosmos; Quelle: 

H. Goenner: Einführung in 

die Kosmologie 

−ct 

a 

S t=a e


Anhand der Rotverschiebung haben wir gesehen: 

Je weiter eine Galaxie entfernt ist, desto schneller 

bewegt sie sich von uns weg:


Anhand der Rotverschiebung haben wir gesehen: 

Je weiter eine Galaxie entfernt ist, desto schneller 

bewegt sie sich von uns weg: 

Abb. 5: Geschwindigkeiten entfernter 

Galaxien; Quelle: *


Daraus haben wir geschlossen, dass das 

Universum sich ausbreitet. Dies kann man sich 

leicht anhand des Modells eines 2-dimensionalen 

Universums als Kugeloberfläche im 3dimensionalen 

Raum klarmachen:


Daraus haben wir geschlossen, dass das 

Universum sich ausbreitet. Dies kann man sich 

leicht anhand des Modells eines 2-dimensionalen 

Universums als Kugeloberfläche im 3dimensionalen 

Raum klarmachen: 

Abb. 6: 

Expansion des 

Universums; 

Quelle: *


Werden nun von einer Lichtquelle zwei 

aufeinanderfolgende Wellenberge zur Zeit t o und 

t 0t 0 ausgesandt, dann erreichen sie uns zur Zeit 

t1 und t1t 1.





t1 und t1t 1. 

Durch die Expansion des Raumes muss das Licht 

einen größeren Weg als den Abstand der Quelle 

zur Zeit der Emission zurücklegen und die Dauer 

bis zur Ankunft hängt vom Zeitpunkt der 

Emission ab.





t1 und t1t 1. 

Durch die Expansion des Raumes muss das Licht 

einen größeren Weg als den Abstand der Quelle 

zur Zeit der Emission zurücklegen und die Dauer 

bis zur Ankunft hängt vom Zeitpunkt der 

Emission ab. 

Außerdem vergrößert sich der Abstand der 

Wellenberge, da sich auch der Raum zwischen 

den Wellenbergen ausdehnt.


Helligkeitsabstand


Helligkeitsabstand: 

– Eine Punktquelle mit absoluter Helligkeit L strahle 

während eines Zeitintervalls t in einem 

Wellenlängenintervall 

isotrop aus.





Wellenlängenintervall isotrop aus. 

– Die Strahlung wird im Abstand r während des 

Zeitintervalls t 1 im Wellenlängenbereich 1 als 

Energie Lobs pro Flächen-, Zeit- und 

Wellenlängeneinheit gemessen.





Wellenlängenintervall isotrop aus. 

– Die Strahlung wird im Abstand r während des 

Zeitintervalls t 1 im Wellenlängenbereich 1 als 

Energie Lobs pro Flächen-, Zeit- und 

Wellenlängeneinheit gemessen. 

– Wir erhalten die Beziehung Lt =L obst 1 1 F 1 . 

Die Strahlung hat sich auf die Fläche F 1=4 d 

mit dem invarianten Eigenabstand der Quelle von 

der Kugelfläche bei konstantem r. 

2 t 1 

d t 1


– Den Eigenabstand hatten wir definiert als 

Mit Hilfe der Rotverschiebung 

1z= S t 1 

S t 

z := 1− 

 

d t=S t r 

erhalten wir aus Lt =L obst 1 1 F 1 , F 1=4 d 

mit der Annahme, dass die Ausbreitung im euklidischen 

Raum ( ) stattfindet 

2 t 1 

k=0 

L=L obs1z 2 4 S 2 t 1r 2


– Den Eigenabstand hatten wir definiert als 

Mit Hilfe der Rotverschiebung 

1z= S t 1 

S t 

z := 1− 

 

erhalten wir aus Lt =L obst 1 1 F 1 , F 1=4 d 

mit der Annahme, dass die Ausbreitung im euklidischen 

Raum ( ) stattfindet 

2 t 1 

k=0 

L=L obs1z 2 4 S 2 t 1r 2 

– Der Helligkeitsabstand Dm ist definiert durch 

Somit erhält man 

D m=1zS t 1r 

d t=S t r 

2 

L=L obs 4 Dm


Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung:


Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung: 

– Um einen Zusammenhang zwischen Intensität und 

Rotverschiebung zu bekommen, entwickeln wir 

zunächst in der Formel für die Rotverschiebung 

1 

den Term um : 

S t 

z=xx 2 1 q 0t 1 

2 

t=t 1 

x 3 1q 0t 1 1 

6 q 1t 1O x 4 

mit , der Hubble-Funktion 

und der Dezelerationsfunktion qn:=−1 n1 

x :=ct 1−t H t 1 H := S. 

S n2 

H n2 c n2 S 

cS 

1z= S t 1 

S t


Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung: 

– Um einen Zusammenhang zwischen Intensität und 

Rotverschiebung zu bekommen, entwickeln wir 

zunächst in der Formel für die Rotverschiebung 

1 

den Term um : 

S t 

z=xx 2 1 q 0t 1 

2 

t=t 1 

x 3 1q 0t 1 1 

6 q 1t 1O x 4 

mit , der Hubble-Funktion 

und der Dezelerationsfunktion qn:=−1 n1 

x :=ct 1−t H t 1 H := S. 

S n2 

H n2 c n2 S 

1z= S t 1 

S t 

– Damit diese Entwicklung sinnvoll ist, muss die Zeit, die 

zwischen der Ausstrahlung und dem Empfang des 

Signals liegt, möglichst klein sein. 

cS


– Nun bildet man die Umkehrfunktion und erhält 

ct 1−t H t 1=z [1−1 q0t 1 z1q 0t 1 2 

1 

2 q 2 

0t1 

− 1 

6 q1t 1 z2 ]Ox 4



ct 1−t H t 1=z [1−1 q0t 1 z1q 0t 1 2 

1 

2 q 2 

0t1 

− 1 

6 q1t 1 z2 ]Ox 4 

– Als nächstes entwickelt man um den Helligkeitsabstand 

umzuschreiben den Term S t 1 r um t=t 1 , die 

Ableitung von r erhalten wir aus der Beziehung 

r=r 1c∫ t1 

t 

dt ' 

S t ' 

für ein auslaufendes Signal 

S t 1 r=S t 1 r 1 ct−t 1 1 

2 H t 1 t−t 1 2 c 2 1 

6 H 2 t 1 2q 0 t−t 1 3 c 3 O t−t 1 4



ct 1−t H t 1=z [1−1 q0t 1 z1q 0t 1 2 

1 

2 q 2 

0t1 

− 1 

6 q1t 1 z2 ]Ox 4 

– Als nächstes entwickelt man um den Helligkeitsabstand 

umzuschreiben den Term S t 1 r um t=t 1 , die 

Ableitung von r erhalten wir aus der Beziehung 

r=r 1c∫ t1 

t 

dt ' 

S t ' 

für ein auslaufendes Signal 

S t 1 r=S t 1 r 1 ct−t 1 1 

2 H t 1 t−t 1 2 c 2 1 

6 H 2 t 1 2q 0 t−t 1 3 c 3 O t−t 1 4 

Setzen wir die Quelle in r=0 , so erhalten wir 

S t 1 r 1 =ct 1 −t 1 

2 H t 1 t 1 −t2 c 2 1 

6 H 2 t 1 2q 0 t 1 −t 3 c 3 Ot−t 1 4


– ct 1−t drücken wir nun durch die Rotverschiebung 

aus und erhalten 

S t 1 r 1= z 

H t 1 [1−1q 0t 1 2 

z 1 

6 24 q0t 13 q 2 

0t1 

−q1t 1 z 2 ]Oz 4




S t 1 r 1= z 

H t 1 [1−1q 0t 1 2 

z 1 

6 24 q0t 13 q 2 

0t1 

−q1t 1 z 2 ]Oz 4 

D m=1zS t 1r 

– Somit können wir den Helligkeitsabstand 

r 

bzw. Dm=1zS t 1r 1 an der Stelle r=r r 1 durch die 

1 

r 

Rotverschiebung ausdrücken. Für k=0 wird , r 1 

für andere Krümmungen ergibt sich noch ein von k 

abhängiger Term für : 

=1 

D m 

Dm = z 1 

1 

H t 1 2 1−q 0t 1 

1 z 

6 −1q0 t 13q 0t 1−q 1t 1− k 

H 2 t 1S 2 t 1 z2O z 4




S t 1 r 1= z 

H t 1 [1−1q 0t 1 2 

z 1 

6 24 q0t 13 q 2 

0t1 

−q1t 1 z 2 ]Oz 4 

D m=1zS t 1r 

– Somit können wir den Helligkeitsabstand 

r 

bzw. Dm=1zS t 1r 1 an der Stelle r=r r 1 durch die 

1 

r 

Rotverschiebung ausdrücken. Für k=0 wird , r 1 

für andere Krümmungen ergibt sich noch ein von k 

abhängiger Term für : 

=1 

D m 

Dm = z 1 

1 

H t 1 2 1−q 0t 1 

1 z 

6 −1q0 t 13q 0t 1−q 1t 1− k 

H 2 t 1S 2 t 1 z2O z 4 

– Dies entspricht in niedrigster Näherung genau dem 

Hubbleschen Gesetz 

z=H D m


– Setzt man in die Formel für die Differenz zwischen 

absoluter und scheinbarer Helligkeit 

Dm = z 1 

[1 

H t 1 2 1−q 0t 1 

1 z 

6 −1q0 t 13q 0t 1−q 1t 1− ein, so erhält man die Helligkeits-Rotverschiebungs- 

Beziehung: 

m=M −51lg H t 15 lg z 5 

2 

m=M 5 lg D 

10 pc 

k 

H 2 t 1 S 2 t 1 z2 ]O z 4 

1 

ln 10 ⋅1−q 0t 1 zOz 2 

wobei der Logarithmus der eckigen Klammern 

entwickelt und nach dem ersten Term abgebrochen 

wurde.


– In der Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung steht 

noch die absolute Helligkeit, man darf also nicht 

wahllos Helligkeit und Rotverschiebung von 

Himmelskörpern miteinander vergleichen.





Himmelskörpern miteinander vergleichen. 

– Deshalb benötigt man sogenannte “Standardkerzen”, 

Objekte, die alle dieselbe absolute Helligkeit besitzen.





Himmelskörpern miteinander vergleichen. 

– Deshalb benötigt man sogenannte “Standardkerzen”, 

Objekte, die alle dieselbe absolute Helligkeit besitzen. 

– Supernovae Typ Ia (Explosion eines weißen Zwerges) 

erfüllen diese Bedingung annähernd, jedoch ist noch 

nicht klar, ob diese Explosionen vor Milliarden von 

Jahren die gleiche absolute Helligkeit wie jetzt hatten.


– Wir haben gesehen, dass es nicht so einfach ist, Objekte 

mit gleicher, zeitunabhängiger absoluter Helligkeit zu 

finden. Deswegen ergibt sich noch ein Korrekturterm 

E z 

für die Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung, 

der von der Evolution der Galaxien abhängt.





E z für die Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung, 

der von der Evolution der Galaxien abhängt. 

– Eine weitere Korrektur, die K-Korrektur K z, 

ist nötig, 

da die Messinstrumente nur eine bestimmte Bandbreite 

im Wellenlängenbereich besitzen. Die gemessene 

Helligkeit hängt somit von der Rotverschiebung ab:








ist nötig, 



Helligkeit hängt somit von der Rotverschiebung ab: 

● Zum einen wird das Spektrum verschoben und man misst 

über eine andere effektive Bandbreite








ist nötig, 



Helligkeit hängt somit von der Rotverschiebung ab: 

● Zum einen wird das Spektrum verschoben und man misst 

über eine andere effektive Bandbreite 

● Zum anderen wegen des unterschiedlichen Energieflusses 

von rotverschobenem und unverschobenem Spektrum


– Daraus ergibt sich die korrigierte Helligkeits- 

Rotverschiebungs-Beziehung: 

m=M −51lg H t 1−K z−E z5lg z 

5 

2 

1 

ln 10 ⋅1−q 0t 1 zOz 2


– Daraus ergibt sich die korrigierte Helligkeits- 

Rotverschiebungs-Beziehung: 

m=M −51lg H t 1−K z−E z5lg z 

5 

2 

1 

ln 10 ⋅1−q 0t 1 zOz 2 

– Anhand der durchgeführten Mesungen von Intensität 

und Rotverschiebung kann man dann die Kurve an die 

Messdaten anpassen, indem man die Hubblekonstante 

und den Brems- bzw. Beschleunigungsparameter 

q 0t 1 

variiert. So erhält man Auskunft über die Ausbreitung 

des Universums.


– Beispiele für aktuelle Messungen: 

Quelle:http://hpfrs6.physik.uni-freiburg.de/~herten/sem2001/GH_kosmologie.pdf


– 

Quelle: http://www-supernova.lbl.gov/public/papers/physicstoday03/ 

HubbleDiagramPhysicsToday.pdf


– Neueste Messungen deuten sehr stark darauf hin, dass 

sich das Universum mit steigender Geschwindigkeit 

ausbreitet.

Hauptseminar Kosmologie Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung

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