Übung 6/7/8: Spektralanalyse kontinuierlicher Signale mittels DFT

AG Digitale Signalverarbeitung - Übung „Digitale Signalverarbeitung“ WS 07/08
Übung 6/7/8: Spektralanalyse kontinuierlicher Signale mittels DFT 26. 11. / 3./10. 12. 2007
Übung 6/7/8: Spektralanalyse kont. Signale mittels DFT
Gegeben ist das reellwertige kontinuierliche periodische Signal
v(t) = cos(2πfpt + ϕ),
wobei fp = 10kHz ist und für die Nullphase ϕ = 0 gilt.
1. Zeichnen Sie das vollständige frequenzkontinuierliche und frequenzdiskrete Spek-
trum des Signals v(t)! Geben Sie dabei die verwendeten Spektraltransformationen
mitsamt den konkreten Transformierten an.
Im Folgenden soll eine Spektralanalyse von v(t) durchgeführt werden. Dazu soll das Signal
mit der Abtastrate fA = 1
TA = 32kHz zu v(k) = v(t)| t=kTA
das DFT-Spektrum V (n) bestimmt werden.
abgetastet und anschließend
2. Bestimmen Sie unter den gegebenen Randbedingungen das diskrete Signal v(k). Ist
es periodisch? Bestimmen Sie ggf. die Periodenlänge.
3. Berechnen Sie das DFT-Spektrum V (n), indem Sie die abgetastete Version v(k) des
Signals v(t) einer DFT der Länge N = 16 unterwerfen! Warum ist es reell?
4. Zeichnen Sie das DFT-Spektrum V (n) im Bereich [−fA, fA]! Verwenden Sie dabei
auch die bei DFT-Spektren übliche Beschriftung der Frequenzachse! Kennzeichnen
Sie die Lage des Grundintervalls des DFT-Spektrums und die Lage des Spektrums
des Signals v(t) vor der Abtastung.
5. Interpretieren Sie die einzelnen Werte von V (n) für n = 0, . . .,15 und vergleichen
Sie diese dabei mit der Fourierreihen-Entwicklung von v(t) aus Aufgabe 1.
6. Existiert die zeitdiskrete Fourier-Transformierte V e jΩ von v(k) gemäß ihrer De-
finition? Bestimmen Sie die DTFT V ′
jΩ e von v ′
(k) = v(k) [1 − ɛ(k − 16)] und
diskutieren Sie den Zusammenhang zwischen V ′ e jΩ und V (n).
7. Plotten Sie mit Rechnerunterstützung das DFT-Spektrum der mit Zero-Padding auf
die Länge N erweiterten Folge v(k), k = 0, . . .,(L − 1), mit
(a) L = 16, N = 16,
(b) L = 16, N = 128,
(c) L = 16, N = 1024,
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Übung 6/7/8: Spektralanalyse kontinuierlicher Signale mittels DFT 26. 11. / 3./10. 12. 2007
(d) L = 64, N = 64,
(e) L = 64, N = 1024,
(f) L = 1024, N = 65536.
Diskutieren Sie die Ausgaben qualitativ in Verbindung mit den Ergebnissen aus
Aufgabe 6.
8. Plotten Sie das DFT-Spektrum von v(k) mit L = N = 20. Zeichnen Sie auch die
dazugehörige Zeitfunktion. Wie bezeichnet man den entstehenden Fehler? Wodurch
kommt er zustande, was ist seine Ursache?
Das allgemeine von Hann-Fenster der Länge N ist im Zeitbereich durch
f α N (k) =
⎧
⎨(1
− α) − α cos
⎩
2πk , 0 ≤ k ≤ (N − 1)
N−1
0 sonst
definiert und kann durch den Parameter α ∈ R, 0 ≤ α ≤ 1 konfiguriert werden. Bekannte
Werte von α sind:
α = 0 Rechteckfenster
α = 0, 5 von Hann-Fenster
α = 0, 46 Hamming-Fenster
9. Bestimmen Sie (ggf. mit Rechnerunterstützung) die Zeitfolgen fα 20(k) und zeitdiskre-
jΩ e für die genannten 3 Fälle α = {0; 0, 5; 0, 46}!
ten Fourier-Transformierten F α 20
10. Multiplizieren Sie die Folgen f α 20(k) mit v(k) punktweise im Zeitbereich für die ge-
nannten 3 Fälle! Bestimmen Sie für jeden Fall das DFT-Spektrum mit N = L = 20
dieses Produktes und vergleichen Sie das Spektrum jeweils mit dem Spektrum aus
Aufgabe 8.
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