Formale Sprachen und Automaten - Kapitel 1: Grundlagen

Formale Sprachen und Automaten
Kapitel 1: Grundlagen
Vorlesung an der DHBW Karlsruhe
Thomas Worsch
Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik
Wintersemester 2012

Ziel
Einführung
◮ der wichtigsten Grundbegriffe
◮ für prägnantes Reden
◮ der wichtigsten Notationen
◮ für prägnantes Schreiben
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 2/19

1.1 Beispiel
Ein Übersetzer für Java (oder C, oder . . . )
◮ liest als Eingabe eine Folge von Zeichen,
◮ von denen der Benutzer „verspricht“, dass sie alle aus einer
gewissen Menge A stammen.
(Java: Teilmenge von Unicode, C: ASCII-Zeichensatz).
◮ Diese Menge ist endlich und man nennt sie auch ein Alphabet.
Ein Programm ist eine Zeichenfolge mit der Eigenschaft syntaktisch
korrekt zu sein.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 3/19

1.2 Definition
◮ Alphabet: endliche Menge von Zeichen.
◮ Wort über A: Folge von Zeichen aus A.
◮ Länge |w| eines Wortes w:
Anzahl Zeichen, aus denen es besteht.
◮ Das leere Wort besteht aus 0 Zeichen: || = 0.
Damit man es trotzdem sieht, schreibt man ε, also |ε| = 0.
◮ Menge aller Wörter über einem Alphabet A schreiben wir A ∗ .
◮ Formale Sprache über A:
beliebige Teilmenge L ⊆ A ∗ von Wörtern
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 4/19

1.2 Definition
◮ Alphabet: endliche Menge von Zeichen.
◮ Wort über A: Folge von Zeichen aus A.
◮ Länge |w| eines Wortes w:
Anzahl Zeichen, aus denen es besteht.
◮ Das leere Wort besteht aus 0 Zeichen: || = 0.
Damit man es trotzdem sieht, schreibt man ε, also |ε| = 0.
Aber ε ist kein Symbol aus A !
◮ Menge aller Wörter über einem Alphabet A schreiben wir A ∗ .
◮ Formale Sprache über A:
beliebige Teilmenge L ⊆ A ∗ von Wörtern
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 4/19

Beachte: Benutzung des Wortes „Wort“
◮ eine beliebige Folge von Zeichen aus dem benutzten Alphabet
◮ auch wenn das Alphabet das Leerzeichen enthält
◮ Ein Java-Programm ist ein Wort (in diesem Sinne).
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 5/19

1.3 Definition (Konkatenation)
Es sei A ein beliebiges Alphabet.
◮ Für zwei Wörter w1, w2 ∈ A ∗ mit
w1 = a1 · · · ak, mit a1, . . . , ak ∈ A und
w2 = b1 · · · bℓ, mit b1, . . . , bℓ ∈ A ist ihre
Konkatenation w1 · w2 = w1w2 = a1 · · · akb1 · · · bℓ.
◮ Für das leere Wort gilt: w · ε = w = ε · w.
◮ Die Potenzen eines Wortes w ∈ A ∗ sind so definiert:
w 0 = ε
w k+1 = w k w für alle k ∈ N0
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 6/19

1.4 Beispiele
◮ 00 · 10 = 0010, aber 10 · 00 = 1000.
◮ Die Konkatenation von Wörtern ist also nicht kommutativ.
◮ w 1 = w 0+1 = w 0 · w = ε · w = w
◮ w 2 = w 1+1 = w 1 · w = w · w = ww
◮ 0 5 = 00000
◮ 0 3 1 3 = 000111
01 3 = 0111
(01) 3 = 010101
◮ (110101101) 0 = ε
◮ Für alle k ∈ N0 ist ε k = ε.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 7/19

1.5 Bemerkung
◮ Für alle Wörter w1, w2 ∈ A ∗ gilt: |w1w2| = |w1| + |w2|.
◮ Für alle k ∈ N0 ist daher |w k | = k|w|.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 8/19

Eingabealphabete
◮ In unseren Beispiele meist {0, 1} oder {a, b} o.ä.
◮ Bei Programmiersprachen: oft ASCII oder Unicode oder . . .
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 9/19

1.6 Definition (Produkte auf Sprachen)
Für formale Sprachen L1, L2, L ⊂ A ∗ definiert man:
◮ Die Konkatenation oder das Produkt zweier Sprachen
L1 · L2 = L1L2 = {w1w2 | w1 ∈ L1 ∧ w2 ∈ L2}
◮ Die Potenzen einer Sprache L sind so definiert:
L 0 = {ε}
L k+1 = L k L für alle k ∈ N
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 10/19

1.7 Beispiele
◮ {01, 1} · {000, 01} = {01000, 0101, 1000, 101}
◮ {010, 11} 2 = {010010, 01011, 11010, 1111}
◮ {0, 1} 1 = {0, 1}
◮ {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11}
◮ {0, 1} 3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}
◮ A k = w ∈ A ∗ |w| = k
◮ A ∗ = A 0 ∪ A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ · · ·
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1.8 Bemerkung
Bei der Konkatenation gilt insbesondere:
◮
◮ analog: L · {ε} = L.
{ε} · L = {w1w2 | w1 ∈ {ε} ∧ w2 ∈ L}
= {w1w2 | w1 = ε ∧ w2 ∈ L}
= {εw2 | w2 ∈ L}
= {w2 | w2 ∈ L}
= L
◮ Wichtig: Die formale Sprache {ε} ist nicht die leere Menge,
sondern eine Menge, die genau ein Element enthält.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 12/19

1.9 Definition
Der ε-freie Konkatenationsabschluss L + einer formalen Sprache L
und der Konkatenationsabschluss L ∗ von L sind so definiert:
L + =
L ∗ =
∞
L k
k=1
∞
k=0
L k = L 0 ∪ L + = {ε} ∪ L +
◮ Das ist konsistent mit A ∗ wie wir es schon definiert haben!
◮ L ∗ = L 0 ∪ L 1 ∪ L 2 ∪ L 3 ∪ · · ·
◮ L + = L 1 ∪ L 2 ∪ L 3 ∪ · · ·
◮ Der ∗ heißt auch Kleene-Operator oder Kleene-Stern.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 13/19

1.10 Bemerkung
◮ L + ist die Menge aller Wörter, die man als Produkt von einem
oder mehreren Wörtern aus L schreiben kann.
◮ Beachte: Auch in L + kann schon ε enthalten sein,
nämlich dann, wenn ε ∈ L ist.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 14/19

1.11 Beispiel
◮ Die Menge der syntaktisch korrekten Java-Programme ist eine
formale Sprache LJava ⊂ A ∗ über dem Alphabet
A = {a, . . . , z, A, . . . , Z, +, −, ∗, . . .}.
◮ Ein Java-Übersetzer muss unter anderem überprüfen, ob eine
Eingabezeichenkette ein syntaktisch korrektes Java-Programm
ist oder nicht.
◮ Mit anderen Worten muss ein Übersetzer für jedes w ∈ A ∗
feststellen können, ob w ∈ LJava ist oder nicht
◮ und je nachdem dann verschiedene Aktionen durchführen.
Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 15/19

Probleme bei Programmiersprachen
◮ Wie spezifiziert man (präzise), welche Zeichenfolgen
syntaktisch korrekte Java-Programme sind?
◮ Wie kann z. B. ein Algorithmus aussehen, der überprüft, ob die
Eingabe ein syntaktisch korrektes Java-Programm ist?
Grundlagen „Verarbeitung“ formaler Sprachen 16/19

Probleme bei formalen Sprachen
Verallgemeinert auf beliebige formale Sprachen:
◮ Wie spezifiziert man eine formale Sprache?
◮ Inwieweit kann man Algorithmen angeben, die für
Eingabewörter entscheiden, ob sie zu einer vorher spezifizierten
formalen Sprache gehören?
Ist man erst einmal so weit, dann ergeben sich als weitere Fragen:
◮ Kann man den Entscheidungsalgorithmus womöglich
automatisch aus der Spezifikation der formalen Sprachen
erzeugen?
◮ Gibt es vielleicht Teilklassen (besonders „einfacher“) formaler
Sprachen, für die gewisse besonders „schöne“ Spezifizierungsund
Erkennungsmethoden benutzt werden können?
Grundlagen „Verarbeitung“ formaler Sprachen 17/19

Lösungsansätze
◮ Die Entscheidung über die Zugehörigkeit eines Wortes zu einer
formalen Sprache kann manchmal durch Angabe eines
Algorithmus in irgendeiner gängigen Programmiersprache
beschrieben werden.
◮ Für spezielle Klassen formaler Sprachen kommt man mit
Algorithmen einer bestimmten speziellen einfachen Struktur
aus.
◮ Übliche Darstellung: gewisse Sorten von Automaten.
◮ Typisch: eine Kontrolleinheit (sozusagen mit einem fest
verdrahteten Programm), die auf einen (Daten-)Speicher
zugreifen kann.
◮ Unterschiede insbesondere bei der Speichergröße und bei der
Art der möglichen Speicherzugriffe.
◮ Je nach „Kompliziertheit“ der formalen Sprache braucht man
unterschiedlich „mächtige“ Automaten für die Erkennung.
Grundlagen „Verarbeitung“ formaler Sprachen 18/19

Vorschau
◮ Chomsky-Hierarchie: unterscheide Typ-3-, Typ-2-, Typ-1- und
Typ-0-Sprachen (mit zunehmendem „Schwierigkeitsgrad“).
◮ Schwergewicht auf
◮ regulären Sprachen (Typ 3) und
◮ kontextfreien Sprachen (Typ 2)
da z. B. im Übersetzerbau von Bedeutung.
◮ Typ-1- und Typ-0-Sprachen und noch „kompliziertere“ werden
nur kurz abgehandelt.
◮ Regular Expressions
◮ Syntaxanalyse in einfacher Form
Grundlagen Vorschau auf die Vorlesung 19/19