Einführung in die Mathematik für Informatiker INF–B–110 Lineare ...

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Dr. Jürgen Brunner
Einführung in die Mathematik für Informatiker INF–B–110
Lineare Algebra Wintersemester 2010/2011
3. Übungsblatt für die Woche 01.11. – 05.11.2010
Lösen linearer Gleichungssysteme
LA-Ü13. Ermitteln Sie die Lösungsmengen für die folgenden reellen linearen Gleichungssysteme:
(a) 3x1 + 2x2 + 2x3 = −1
x1 + 6x2 − x3 = 3
4x1 + x2 + 5x3 = −6
(b) 2x1 + 5x2 + x3 − x4 = 0
x1 − 4x2 + x4 = 0
−3x1 + 7x2 + x3 − 6x4 = 0
LA-H14. Lösen Sie die folgenden reellen bzw. komplexen linearen Gleichungsysteme:
(a) x1 + 2x2 − x3 + 4x5 = 2
x1 + 4x2 − 5x3 + x4 + 3x5 = 1
2x1 − 2x2 + 10x3 + x4 − x5 = 11
3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 2x5 = 12
(c) x1 − 2x2 = −2
ix1 + 3x2 = 1 + 3i
(c) 3x1 − x2 + 2x3 = 1
7x1 − 4x2 − x3 = −2
−x1 − 3x2 − 12x3 = −5
−x1 + 2x2 + 5x3 = 2
5x2 + 17x3 = 7
(b) x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 = 9
x1 + x2 + 3x3 + 3x4 + x5 = 9
x1 + x2 + x4 + x5 = 4
LA-Ü15. Gegeben ist das reelle lineare Gleichungssystem mit den Parametern a, b ∈ R:
x1 − 2x2 + 3x3 = −4
2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + ax2 + 2x3 = b
Berechnen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a und b.
LA-H16. (a) Ermitteln Sie die Lösungsmenge für das folgende reelle lineare Gleichungssystem in
Abhängigkeit vom Parameter a ∈ R:
x1 + x2 + x3 = 3
3x1 + 5x2 + x3 = 9
2x1 + 3x2 + x3 = a 2 − 4a + 6
5x1 + 6x2 + ax3 = 15
(b) Gegeben ist das inhomogene lineare Gleichungssystem:
= 1
x1 + x2
+ x3 = 0
2x2 − x3 = 2
2x1
Für die Lösungsmenge Lh des zugehörigen homogenen Systems gilt:
Lh = {t · (−1, 1, 2) T | t ∈ R}.
Erraten Sie eine Lösung des inhomogenen Systems, und geben Sie dann dessen Lösungsmenge
an.

LA-Ü17. Kreise in der (x, y)−Ebene kann man durch Gleichungen der Form
a(x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0
beschreiben, wobei a, b, c, d geeignete reelle Zahlen sind.
Finden Sie eine Gleichung, die den in der folgenden Abbildung dargestellten Kreis beschreibt.
Stellen Sie dazu ein lineares Gleichungssystem in den Unbestimmten a, b, c, d
auf und berechnen Sie die Lösungsmenge.
(−4, 5)
(−2, 7)
y ✻
(4, −3)
LA-H18. (a) Gegeben ist das lineare Gleichungssytem:
✲
x
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + x2 − x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 1
−x1 + x2 + x3 = 1
Untersuchen Sie das Gleichungssytem auf Lösbarkeit.
Durch welche Zahl ist die Eins auf der rechten Seite der ersten Gleichung zu ersetzen,
damit das Gleichungssystem lösbar wird?
(b) In der nebenstehenden Skizze ist ein Teilstück eines
Streckennetzes dargestellt. Dabei dienen die Zahlen an
den gerichteten Strecken zur Beschreibung von Verkehrsströmen.
Beschreiben Sie die dargestellte Situation durch ein
lineares Gleichungssystem, dessen Lösung die unbekannten
Zahlenangaben aus dem Diagramm liefert.
Das Berechnen der Lösungsmenge ist nicht erforderlich.
30 40
✻
80 ✛ ❄
■ x2 x5
✛
✻
100
60
x1 ✠ x6
✒
x3 x4
✲❄ ❘ ✲ 90
✻
❄
20 40