Mengen komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Mengen komplexer Zahlen
in der Gaußschen Zahlenebene
✻
z2
z1
z1 − z2
✲
Für z1,z2 ∈ C ist
|z1 − z2|
der Abstand der Punkte,
die zu z1 und z2 gehören.
• Halbebenen werden durch Ungleichungen beschrieben:
z.B. {z ∈ C | Im(z) − Re(z) ≥ a} (a ∈ R)
• Kreise:
{z ∈ C | |z − z0| = r} (r ∈ R, r > 0)
• Kreisscheiben:
{z ∈ C | |z − z0| ≤ r} (r ∈ R, r > 0)
• Ringgebiete:
{z ∈ C | r1 ≤ |z − z0| ≤ r2}
(r1,r2 ∈ R, r2 > r1 > 0)
TU Dresden, 18.10.2010 INF-B-110, Lineare Algebra Folie 1
z0
✻
a
✲

Multiplikatives Inverses von z ∈ C \ {0}
z = r (cos ϕ + i sinϕ)
1
z
Probe:
= 1
r
✻ z
(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) ✲
1
z
r(cos ϕ + i sinϕ) · 1
r
(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = (cos(ϕ − ϕ) + isin(ϕ − ϕ)) = 1
r r
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Potenzieren in C
Sei z ∈ C.
Satz von MOIVRE:
z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
z 2 = r 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ)
z 3 = r 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ)
.
.
ßÞ
Für n ∈ N gilt: z n = r n (cos nϕ + i sinnϕ)
Formel von MOIVRE:
Sonderfall r = 1 : z n = cos nϕ + i sinnϕ
Die Zahlen z n liegen auf dem Einheitskreis.
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n-te Einheitswurzeln
Die Lösungen der Gleichung z n = 1 in C für eine natürliche Zahl n ≥ 1
heißen n-te Einheitswurzeln.
Ansatz zur Berechnung aller Lösungen von z n = 1:
w = r(cos ϕ + i sin ϕ) 1 = 1 · (cos 0 + i sin0)
w n = 1
Die Lösungen sind die n-ten Einheitswurzeln:
wk = cos 2kπ
n
Probe: (wk) n =cos 2kπ
n
+ i sin 2kπ
n
(k = 0, 1, . . . ,n − 1)
+ i sin 2kπ
nn
= cos 2kπ + i sin 2kπ = 1 + 0i = 1
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Geometrische Interpretation der n-ten
Einheitswurzeln
Die Lösungen der Gleichung z n = 1 in C bilden die Eckpunkte eines regulären
n-Ecks, das dem Einheitskreis einbeschrieben ist.
Beispiel: n = 6
w3
w2
w4
✻
w1
w5
✲
w0 = 1
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Radizieren in C
Berechnen aller Lösungen von z n = r0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0) in C:
Ansatz: z = r (cos ϕ + i sinϕ)
Probe:
(r (cos ϕ + i sin ϕ)) n = r0 (cos ϕ0 + i sinϕ0)
r n (cos ϕ + i sinϕ) n = r0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0)
r n (cos nϕ + i sinnϕ) = r0 (cos ϕ0 + i sinϕ0)
zk = n√ r0cos ϕ0 + 2kπ
n
+ i sin ϕ0 + 2kπ
(k
n
(zk) n =n √ r0cos ϕ0+2kπ
n + i sin ϕ0+2kπ
= 0, 1, . . .,n − 1)
nn
= ( n√ r0) ncos
ϕ0+2kπ
+ i sin n ϕ0+2kπ
nn
= r0 (cos ϕ0 + i sinϕ0)
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Zusammenhang zu n-ten Einheitswurzeln
Man erhält alle Lösungen von
in C,
z n = a + bi = r(cos ϕ + isinϕ)
wenn man eine feste Lösung z0 dieser
Gleichung
mit allen n-ten Einheitswurzeln multipliziert:
zk = z0 · wk
Probe:
(k = 0,1, . . .,k − 1)
z.B. n = 6
(zk) n = (z0 · wk) n = (z0) n · (wk) n = (a + bi) · 1 = a + bi
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z2
z1
z3
z0
z4
z5