5.4.2.3 Signifikanztests beim Vorliegen von k (> 2) Stichproben (k ...

5.4.2.3 Signifikanztests beim Vorliegen von
k (> 2) Stichproben (k-Stichprobenproblem)
Wesentlich ist die Feststellung, ob es sich um unabhängige
oder um abhängige (verbundene) Stichproben handelt!
k unabhängige Stichproben:
Die Varianzanalyse (ANOVA)
Anliegen: Überprüfung von Hypothesen über die Gleichheit
der Durchschnittswerte von k unabhängigen normalverteilten
Zufallsgrößen bei unbekannten, aber gleichen Varianzen (Varianzhomogenität,
s. Levene-Test), parametrischer Test,
Verallgemeinerung des doppelten t-Tests auf k Stichproben
Voraussetzungen: Die k unabhängigen mathematischen Stichproben
stammen aus normalverteilten Schichten der Grundgesamtheit
mit gleichen Varianzen σ 2 (Varianzhomogenität)
Hypothesen:
(X11, X12, . . . , X1n1 ),
(X21, X22, . . . , X2n2 ), . . .
(Xk1, Xk2, . . . , Xkn k ),
H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk , H1 : µi = µj für mindestens
Testgröße:
(Globalhypothese) ein Paar (i, j)
siehe Sommersemester
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Entscheidung:
Bemerkungen: Grundgedanke des Verfahrens:
”Streuungszerlegung”.
Der doppelte t-Test untersucht im Unterschied zur ANOVA
jeweils nur ein Paar von Stichproben.
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Der Kruskal-Wallis-Test (H-Test)
Anliegen: Parameterfreier Test zur Überprüfung der
Hypothese, dass k Stichproben die gleiche Verteilung besitzen.
Verallgemeinerung des U-Tests auf k Stichproben
Voraussetzungen:
Die Verteilungsfunktionen F1, F2, . . . , Fk seien stetig.
Hypothesen:
H0 : F1 = F2 = · · · = Fk
HA : ”Mindestens ein Unterschied”
Testgröße:
siehe Sommersemester
Entscheidung:
Bemerkungen:
Lediglich ordinales Skalenniveau der Daten erforderlich.
Aber: Verteilung der Merkmale muss stetig sein (vgl. U-Test).
Nichtparamerische Variante der ANOVA.
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Der χ 2 -Homogenitätstest
Anliegen: Vergleich der Verteilungen von k unabhängigen Stichproben
für (kategoriale) Daten
Voraussetzung: (vgl. 3.2.2 Abhängigkeitsmaße bzw. 5.4.2.2.)
Die beobachtete Variable kann jeweils nur r diskrete Werte annehmen.
Die zufälligen Häufigkeiten des Auftretens dieser Werte
werden für alle k Stichproben ermittelt und in folgende
Tabelle eingetragen.
Kategorie SP 1 SP 2 . . . SP k Σ
1 H11 H12 . . . H1k H1 •
2 H21 H22 . . . H2k H2 •
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
r Hr1 Hr2 . . . Hrk Hr •
Σ H• 1 H• 2 . . . H• k H• • = n
Hypothesen:
H0 : pj1 = pj2 = · · · = pjk (j = 1, . . . , r) Verteilungen sind
identisch
HA : ”Mindestens ein Unterschied”
Testgröße:
vgl. χ 2 -Homogenitätstest für Zweistichprobenprobleme
Entscheidung:
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Beispiel: ALLBUS ’96
Wahlabsicht und Konfessionszugehörigkeit
katholisch evangelisch keine Σ
CDU 327 306 141 774
% 48,4 35,6 22,3 35,7
SPD 198 300 216 714
% 29,3 34,9 34,2 32,7
FPD 49 109 41 199
% 7,2 12,7 6,5 9,2
B’90/Gr. 92 129 134 355
% 13,6 15,0 21,2 16,4
PDS 10 16 100 126
% 1,5 1,9 15,8 5,8
Σ 676(100%) 860(100%) 632(100%) 2168
Der Test überprüft, ob die Abweichungen von der Homogenität
(Gleichheit) der Verteilungen des angekündigten Wahlverhaltens
für die drei Konfessionen mit zufälligen Schwankungen zu
erklären sind, oder ob sie einen signifikanten Unterschied des
beabsichtigten Wahlverhaltens für die verschiedenen Konfessionen
belegen. SPSS ermittelt einen Wert χ 2 = 252, 412 und
eine zugehörige Überschreitungswahrscheinlichkeit, die praktisch
Null ist. Damit wird die Nullhypothese - Gleichheit der
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Verteilungen des beabsichtigten Wahlverhaltens für die Konfessionen
- auf jedem (vernünftigen) Signifikanzniveau abgelehnt.
Es ist also von deutlichen Unterschieden im beabsichtigten
Wahlverhalten zwischen den Konfessionen auszugehen.
Bemerkung: Dieser Test kann ebenfalls als Unabhängigkeitstest
durchgeführt werden (vgl. 5.4.2.2.; k = 2).
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Der Levene-Test
Anliegen: Test der Varianzhomogenität bei doppeltem t-Test
oder ANOVA
siehe Literatur
Bemerkung: Dieser Test ist der U-Test für die betragsmäßigen
Abweichungen vom Gesamtmittelwert (also parameterfrei).
k abhängige Stichproben:
Zum Einsatz kommen z.B. Verfahren zur Analyse sogenannter
Zeitreihen (siehe Literatur).
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