Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten ...

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit
konstanten Koeffizienten
Teil 2: Inhomogene Gleichungen
Eine (in)homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
hat die folgende Gestalt:
y (n) +an−1y (n−1) +...+a2y ′′ +a1y ′ +a0 = s(x) (1)
mit einer gewissen sogenannten Störfunktion s(x) auf der rechten Seite. Dabei sind die Koeffizienten
a0,a1,...,an−1 wieder fest vorgegebene reelle Zahlen und dürfen nicht von x abhängen
(deshalb konstante Koeffizienten)!
Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) zu bestimmen, geht man nach folgenden
drei Schritten vor:
S1: Bestimme die allgemeine Lösung yh(x) der zugehörigen homogenen Gleichung, also
von
y (n) +an−1y (n−1) +...+a2y ′′ +a1y ′ +a0 = 0.
Wie das geht, wissen wir schon (charakteristische Gleichung aufstellen und lösen ...).
S2: Bestimme eine partikuläre Lösung yp(x) von (1). Wie das geht, klären wir später (s.u.).
S3: Die allgemeine Lösung der Ausgangsgleichung ergibt sich als Summe von yh(x) und
yp(x):
y(x) = yh(x)+yp(x).
Die einzige Frage, die noch bleibt, ist:
Wie bestimmt man eine partikuläre Lösung von (1)?
Prinzipiell ist immer die Methode Variation der Konstanten möglich, ähnlich wie bei Differentialgleichungen
erster Ordnung, aber mit mehr Rechenaufwand verbunden. Bei spezieller Gestalt
der rechten Seiten s(x) lässt sich jedoch der große Aufwand sparen, indem man einen geeigneten
Ansatz für eine partikuläre Lösung macht. Dieses Vorgehen wollen wir hier erläutern. Es
soll zunächst darum gehen, welcher Ansatz sich für welche rechte Seite anbietet. Grundsätzlich
gilt: Die Ansatzfunktion richtet sich nach der Struktur der rechten Seite. Wir
unterscheiden vier Fälle.

1. s(x) ist ein Polynom
Wir betrachten den Fall, dass auf der rechten Seite ein Polynom vom Grade m steht, also s(x)
die folgende Gestalt hat:
s(x) = cmx m +cm−1x m−1 +...+c2x 2 +c1x+c0.
• Falls λ = 0 keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, lautet der Ansatz:
yp(x) = Amx m +Am−1x m−1 +...+A2x 2 +A1x+A0
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A0,...,Am.
• Falls λ = 0 eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit v ist, dann
liegt der sogenannte Resonanzfall vor und obiger Ansatz muss noch mit x v multipliziert
werden:
Beispiel: Es sei s(x) = 5x 2 −3.
yp(x) = x v · Amx m +Am−1x m−1 +...+A2x 2
+A1x+A0 .
– Wenn λ = 0 keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, dann lautet der Ansatz für
eine partikuläre Lösung
yp(x) = Ax 2 +Bx+C.
– Wenn λ = 0 eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit 1 ist, dann
lautet der Ansatz für eine partikuläre Lösung
Usw.
yp(x) = x(Ax 2 +Bx+C) = Ax 3 +Bx 2 +Cx.

2. s(x) ist eine e-Funktion, ggf. multipliziert mit einem Polynom
Wir betrachten den Fall, dass s(x) die folgende Gestalt hat:
s(x) = (cmx m +cm−1x m−1 +...+c 2 x +c1x+c0)·e αx .
• Falls λ = α keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, lautet der Ansatz:
yp(x) = Amx m +Am−1x m−1 +...+A2x 2 αx
+A1x+A0 ·e
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A0,...,Am.
• Falls λ = α eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit v ist, dann
liegt der sogenannte Resonanzfall vor und obiger Ansatz muss noch mit x v multipliziert
werden:
Beispiel: Es sei s(x) = 2xe 7x .
yp(x) = x v · Amx m +Am−1x m−1 +...+A2x 2 αx
+A1x+A0 ·e .
– Wenn λ = 7 keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, dann lautet der Ansatz für
eine partikuläre Lösung
yp(x) = (Ax+B)e 7x .
– Wenn λ = 7 eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit 1 ist, dann
lautet der Ansatz für eine partikuläre Lösung
Usw.
yp(x) = x(Ax+B)e 7x = (Ax 2 +Bx)e 7x .

3. s(x) ist eine Cosinus- oder Sinus-Funktion, ggf. multipliziert mit einem Polynom
Wir betrachten den Fall, dass s(x) die folgende Gestalt hat:
oder
s(x) = (cmx m +...+c1x+c0)·cos(βx)
s(x) = (cmx m +...+c1x+c0)·sin(βx).
• Falls λ = βi keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, lautet der Ansatz:
yp(x) = (Amx m +...+A1x+A0)·cos(βx)+(Bmx m +...+B1x+B0)·sin(βx)
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A0,...,Am sowie B0,...,Bm. Wir wollen betonen, dass in der
Ansatzfunktion Cosinus- und Sinusterme vorkommen, auch wenn in s(x) nur eines von beiden auftritt.
• Falls λ = βi eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit v ist, dann liegt der sogenannte
Resonanzfall vor und obiger Ansatz muss noch mit x v multipliziert werden:
yp(x) = x v ·(Amx m +...+A1x+A0)·cos(βx)+x v ·(Bmx m +...+B1x+B0)·sin(βx).
Beispiel: Es sei s(x) = −xcos(5x).
– Wenn λ = 5i keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, dann lautet der Ansatz für eine partikuläre
Lösung
yp(x) = (Ax+B)cos(5x)+(Cx+D)sin(5x).
– Wennλ = 5i eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit 1 ist, dann lautet der Ansatz
für eine partikuläre Lösung
Usw.
yp(x) = x(Ax+B)cos(5x)+x(Cx+D)sin(5x) = (Ax 2 +Bx)cos(5x)+(Cx 2 +Dx)sin(5x).

4. s(x) ist das Produkt einer e-Funktion mit einer Cosinus- oder Sinus-Funktion, ggf. multipliziert
mit einem Polynom
Wir betrachten den Fall, dass s(x) die folgende Gestalt hat:
oder
s(x) = (cmx m +...+c1x+c0)·e αx ·cos(βx)
s(x) = (cmx m +...+c1x+c0)·e αx ·sin(βx).
• Falls λ = α+βi keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, lautet der Ansatz:
yp(x) = (Amx m +...+A1x+A0)·e αx cos(βx)+(Bmx m +...+B1x+B0)·e αx sin(βx)
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A0,...,Am sowie B0,...,Bm. Wir wollen betonen, dass in der
Ansatzfunktion Cosinus- und Sinusterme vorkommen, auch wenn in s(x) nur eines von beiden auftritt.
• Falls λ = α + βi eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit v ist, dann liegt der
sogenannte Resonanzfall vor und obiger Ansatz muss noch mit x v multipliziert werden:
yp(x) = x v ·(Amx m +...+A1x+A0)·e αx cos(βx)+x v ·(Bmx m +...+B1x+B0)·e αx sin(βx).
Beispiel: Es sei s(x) = 2xe 7x sin(5x).
– Wenn λ = 7 + 5i keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, dann lautet der Ansatz für eine
partikuläre Lösung
yp(x) = (Ax+B)e 7x cos(5x)+(Cx+D)e 7x sin(5x).
– Wenn λ = 7+5i eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung mit der Vielfachheit 1 ist, dann lautet der
Ansatz für eine partikuläre Lösung
yp(x) = x(Ax+B)e 7x cos(5x)+x(Cx+D)e 7x sin(5x) = (Ax 2 +Bx)e 7x cos(5x)+(Cx 2 +Dx)e 7x sin(5x).
Usw.

Wenn die Störfunktion die Summe mehrerer unterschiedlicher Funktionen ist, dann muss für die
Ansatzfunktion jeder Summand einzeln betrachtet werden, siehe auch nachfolgendes Beispiel.
Hat man den Ansatz für yp(x) bestimmt, sind stets noch gewisse Koeffizienten A,B,C,... zu
berechnen. Dazu bildet man die Ableitungen von yp(x) und setzt sie in die Ausgangsgleichungen
ein. Dann sortiert man am besten nach gleichartigen Funktionen (z.B. Potenzen von x,
e-Funktion,...) und führt einen Koeffizientenvergleich durch. Ein Beispiel soll das ganze verdeutlichen,
ansonsten sei auch auf die Übungsaufgaben verwiesen, insbesondere Aufgabe 25.9
zur Bestimmung von geeigneten Ansätzen und Aufgabe 25.7 zur Bestimmung der allgemeinen
Lösung von inhomogenen Differentialgleichungen.
Beispiel: Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y ′′ −4y ′ −5y = 3x−1+2xe 5x .
Zunächst ist die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung zu bestimmen. Die
charakteristische Gleichung lautet
λ 2 −4λ−5 = 0.
Mittels der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir λ1 = −1 und λ2 = 5. Die
allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet also
yh(x) = C1e −x +C2e 5x , C1,C2 ∈ R.
Als nächstes ist eine partikuläre Lösung der Ausgangsgleichung zu bestimmen. Die Störfunktion
s(x) ist hier die Summe aus einem Polynom, nämlich s1(x) = 3x − 1 und einer e-Funktion
multipliziert mit einem Polynom, nämlich s2(x) = 2xe 5x . Beide Summanden müssen getrennt
voneinander betrachtet werden.
– Der erste Summand s1(x) = 3x − 1 ist eine lineare Funktion, also ein Polynom ersten
Grades. Da λ = 0 keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, liegt keine Resonanz
vor, sodass der Ansatz für diesen Summanden auch nur eine lineare Funktion ist:
yp1(x) = Ax+B.
– Der zweite Summand s2(x) = 2xe 5x ist das Produkt eines Polynom ersten Grades mit
einer e-Funktion. Prinzipiell wäre der Ansatz somit (Cx+D)e 5x . Da λ = 5 aber eine Nullstelle
der charakteristischen Gleichung ist, müssen wir diesen Term noch mitxmultiplizieren,
sodass sich für den zweiten Summanden als Ansatz ergibt: yp2(x) = x(Cx+D)e 5x =
(Cx 2 +Dx)e 5x .
Insgesamt ergibt sich der Ansatz für die partikuläre Lösung als Summe von yp1 und yp2:
Die Ableitungen von yp sind
yp(x) = Ax+B +(Cx 2 +Dx)e 5x .
y ′ p(x) = A+(5Cx 2 +(2C +5D)x+D)e 5x ,
y ′′
p(x) = (25Cx 2 +(20C +25D)x+2C +10D)e 5x .
Setzen wir alles in die Ausgangsgleichung ein und fassen geeignet zusammen, ergibt sich die
folgende Gleichung:
−5Ax−4A−5B +12Cxe 5x +(2C +6D)e 5x = 3x−1+2xe 5x .
(Man beachte, dass sich die Terme mit x 2 e 5x wegheben.) Nun führen wir einen Koeffizientenvergleich
durch und erhalten dadurch Bedingungen für die Unbekannten A,B,C,D:

(I) −5A = 3 ⇒ A = − 3
5 ,
(II) −4A−5B = −1 ⇒ B = 1
5
(III) 12C = 2 ⇒ C = 1
6 ,
4 17 − A = (durch Einsetzen von A = − 5 25 3
5 ),
(IV) 2C +6D = 0 ⇒ D = −1 1 C = − (durch Einsetzen von C = 3 18 1
6 ).
Wir haben alle Unbekannten bestimmt und erhalten als partikuläre Lösung
yp(x) = − 3 17
x+
5 25 +
1
6 x2 − 1
18 x
e 5x .
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist die Summe aus yp(x) und yh(x), also
y(x) = − 3 17
x+
5 25 +
1
6 x2 − 1
18 x
e 5x +C1e −x +C2e 5x , C1,C2 ∈ R.