Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern

Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern
Rotiert eine Fläche in der xy-Ebene um die x- oder die y-Achse, so entsteht ein Körper, der
rotationssymmetrisch bzgl. der entsprechenden Achse ist, daher der Name Rotationskörper.
Es soll nun darum gehen, wie man Volumen und Mantelfläche von solchen Körpern berechnen
kann.
Rotation um die x-Achse
Gegeben sei eine Funktion y = f(x) und ein Intervall [a,b]. Der Funktionsgraph von f(x)
begranzt mit der x-Achse sowie den senkrechten Geraden x = a und x = b eine Fläche.
Diese rotiere im Intervall [a,b] um die x-Achse. Dann kann man das Volumen Vx und die
Mantelfläche Fx des entstehenden Rotationskörpers nach folgenden Formeln ausrechnen:
und
Beispiele:
Vx = π b
a y2 dx = π b
a (f(x))2 dx
Fx = 2π b
a y 1+(y ′ ) 2 dx = 2π b
a f(x) 1+(f ′ (x)) 2 dx.
(a) Der Graph der Funktion y = f(x) = e x , die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen
x = 0 und x = ln2 schließen eine Fläche ein. Diese rotiere um die x-Achse. Berechnen
Sie Volumen und Mantelfläche des entstehenden Rotationskörpers.
Die folgende Abbildung zeigt die Fläche, die um die x-Achse rotieren soll.
Für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers gilt nach unserer Formel:
ln2
Vx = π (e x ) 2 ln2
dx = π e 2x dx = π · 1
2 e2x
ln2
= π · 1
2 (22 −1) = 3
2 π.
0
Für die Mantelfläche ist folgendes Integral zu berechnen:
ln2
Fx = 2π e x 1+(e x ) 2 dx.
0
0
1
0

(Man beachte, dass die Ableitung von f(x) wieder e x ist.) Wir substituieren:
Für die Grenzen ergibt sich:
Daraus folgt
z = e x ⇒ dz
dx = ex ⇒ dx = e x dz.
z(0) = 1, z(ln2) = 2.
2√
Fx = 2π 1+z 2 dz
1
= 2π · 1
z
2
√ 1+z 2 +ln|z + √ 1+z 2 2 |
1
= π 2 √ 5+ln(2+ √ 5)− √ 2−ln(1+ √
2)
≈ 11.37.
(Das Integral √ 1+z 2 dz wurde dabei aus dem Tafelwerk entnommen.)
(b) Betrachtet werde die Fläche, die nach oben durch den Kreis mit der Gleichung x 2 +
y 2 = 4 und nach unten durch die Hyperbel mit der Gleichung y 2 − x 2 = 2(y ≥ 0)
begrenzt wird. Diese Fläche rotiere um diex-Achse. Welches Volumen hat der entstehende
Rotationskörper?
Die folgende Abbildung verdeutlicht die Situation, es geht um die schraffierte Fläche.
Wir sollten zuerst die x-Werte der Schnittpunkte von Kreis und Hyperbel berechnen.
Dazu setzen wir y 2 = x 2 +2 in die Kreisgleichung ein und erhalten
x 2 +x 2 +2 = 4 ⇒ 2x 2 = 2 ⇒ x1/2 = ±1.
Das gesuchte Volumen kann bestimmt werden als Differenz zweier einfach zu berechnender
Volumina. Man überlegt sich nämlich:
Vx = [Vol. (Kreis) für x ∈ [−1,1]] minus [Vol. (Hyperbel) für x ∈ [−1,1]].
2

Dabei sind mit Vol. (Kreis) bzw. Vol. (Hyperbel) die Volumina der Körper gemeint, die bei
Rotation des Kreises bzw. der Hyperbel um diex-Achse entstehen. Aus Symmetriegründen
können wir uns außerdem auf das Intervall [0,1] beschränken und das Volumen dieses
Körpers dann verdoppeln:
Vx = 2·([Vol. (Kreis) für x ∈ [0,1]] minus [Vol. (Hyperbel) für x ∈ [0,1]]).
Für die beiden einzelnen Volumina können wir jeweils die Volumenformel anwenden. Um
das zu tun, müssen wir die beiden Gleichungen jeweils nach y2 auflösen: y2 = 4−x 2 bzw.
y2 = x2 +2. Dann erhalten wir für das gesuchte Volumen:
1
Vx = 2· π (4−x
0
2 1
) dx−π (x
0
2
+2) dx
= 2π 4x− 1
3 x3
1
1
−
0 3 x3
1
+2x
0
= 2π 4− 1 1
−
3 3 −2
= 8
3 π.
Rotation um die y-Achse
Die Kurve sei nun in der Form x = g(y) beschrieben (d.h. die Gleichung muss nach x aufgelöst
sein) und es wird die Fläche betrachtet, die diese Kurve mit der y-Achse sowie den waagerechten
Begrenzungsgeraden y = c und y = d einschließt. Rotiert diese Fläche um die y-Achse ,
so entsteht ein Rotationskörper. Dessen Volumen und Mantelfläche lassen sich gemäß folgenden
Formeln berechnen:
Vy = π d
c x2 dy = π d
c (g(y))2 dy
und
Fy = 2π d
c x 1+(x ′ ) 2 dy = 2π d
c g(y) 1+(g ′ (y)) 2 dy.
Es soll noch einmal betont werden, dass die Kurvengleichung nach x aufgelöst sein muss, also
in der Form x = g(y) gegeben sein muss, andernfalls muss man die Gleichung vorher nach x
umstellen.
Beispiele:
(a) Der Graph der Funktion y = f(x) = e x , die y-Achse und die waagerechten Geraden y = 1
und y = 2 schließen eine Fläche vollständig ein. Diese Fläche rotiere um die y-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
Wir skizzieren den Sachverhalt. Man beachte, dass es (im Gegensatz zu Beispiel (a) von
Seite 1) nicht um die Fläche geht, die der Graph mit der x-Achse einschließt, sondern um
die, die er mit der y-Achse einschließt.
3

Wir wollen unsere Volumen- und Mantelflächenformel anwenden und müssen dazu die
Funktionsgleichung in der Form x = g(y) darstellen. Aus y = ex folgt offenbar x = ln(y).
Daher folgt für das Volumen
2
Vy = π (ln(y)) 2 dy = π y(ln(y)) 2 −2yln(y)+2y 2 1 = 2π((ln2)2 −2ln2+1) ≈ 0.5916.
1
Das Integral (ln(y)) 2 dy wurde dabei aus dem Tafelwerk entnommen.
(b) Wir betrachten die Situation des Beispiels (b) von Seite 2 (siehe dort für eine Skizze), das
heißt betrachtet wird die Fläche, die die Kurven x 2 +y 2 = 4 und y 2 −x 2 = 2 einschließen.
Diese Fläche soll dieses Mal um die y-Achse rotieren. Der Kreis schneidet die y-Achse
bei y = 2, die Hyperbel bei y = √ 2. Dadurch sind die äußeren Begrenzungen der Fläche
in y-Richtung festgelegt. Wir benötigen noch den y-Wert der Schnittpunkte von Kreis
und Hyperbel. Dazu setzen wir x = ±1 in eine der beiden Gleichungen ein und erhalten
y = √ 3. Nun kann man sich überlegen, dass man das Volumen des Rotationskörpers als
Summe zweier Volumina darstellen kann:
Vy = [Vol. (Hyperbel) für y ∈ [ √ 2, √ 3]] plus [Vol. (Kreis) für y ∈ [ √ 3,2]].
Dabei sind mit Vol. (Hyperbel) bzw. Vol. (Kreis) die Volumina der Körper gemeint, die
bei Rotation des Kreises bzw. der Hyperbel um die y-Achse entstehen. Für die beiden
Teilvolumen haben wir eine Formel, müssen dazu aber die Gleichungen der Kurven noch
nach x = g(y) umstellen. Da wir für die Volumenformel nur x 2 = (g(y)) 2 benötigen, reicht
es, Kreis- und Hyperbelgleichung nach x 2 aufzulösen. Wir erhalten
x 2 = 4−y 2 bzw. x 2 = y 2 −2.
Nun können wir das gesuchte Volumen ausrechnen:
Vy = π
√ 3
(y √
2
2 2
−2) dy +π (4−y √
3
2 ) dy
1 = π ·
3 y3
−2y
√ 3
+ 4y −
√
2
1
3 y3
2
√
3
= π −4 √ 3+ 4
√ 16
2+
3 3
≈ 0.9134
4

Bisher wurden zwei Situationen betrachtet: Der Graph einer Funktion y = f(x) schließt mit der
x-Achse eine Fläche ein, die um die x-Achse rotiert oder der Graph einer Funktion x = g(y)
schließt mit der y-Achse eine Fläche ein, die um die y-Achse rotiert. Es kann aber auch der Fall
vorliegen, dass die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion y = f(x) und der x-Achse
im Bereich x ∈ [a,b] betrachtet wird, diese aber um die y-Achse rotiert. Für den entstehenden
Rotationskörper gibt es eine weitere Volumenformel:
Vy = 2π b
xf(x) dx. a
Beispiel: Wir betrachten die Funktion y = f(x) = e x im Bereich x ∈ [0,ln2] aus dem Beispiel
(a) von Seite 1 und die Fläche, die der Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt (siehe auf
Seite 1 für eine Skizze). Diese Fläche rotiere dieses Mal aber um die y-Achse. Dann gilt für das
Volumen des entstehenden Rotationskörpers:
ln2
Vy = 2π
0
xe x dx = 2π(x−1)e x | ln2
0
5
= 2π((ln(2)−1)·2+1) ≈ 2.4272