Definitionsbereich von Funktionen mehrerer Variablen

Definitionsbereich von Funktionen mehrerer Variablen
Wir betrachten Funktionen, die von zwei Variablen x und y abhängen. Der (natürliche) Definitionsbereich
Df einer Funktion f ist die Menge, die aus allen Paaren (x,y) besteht, für
die die Funktion definiert ist. Die wichtigsten Regeln dafür, welche Paare (x,y) für den Definitionsbereich
stets ausgeschlossen werden müssen, sind:
• Der Nenner eines Bruches muss = 0 sein.
• Der Ausdruck, der unter der Wurzel steht, muss ≥ 0 sein.
• Der Ausdruck, der in einem Logarithmus steht, muss > 0 sein.
Zu diesen Fällen gibt es im Folgenden einige Beispiele. Vorher wollen wir noch eine Bemerkung
machen: Der Definitionsbereich einer Funktion, die von zwei Variablen abhängt, ist stets ein
Bereich in der xy-Ebene. In den folgenden Beispielen soll nicht nur der größtmögliche Definitionsbereich
bestimmt werden, sondern jeweils auch eine Skizze von Df angefertigt werden.
• Der Nenner eines Bruches muss = 0 sein.
Beispiele:
(a) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) = 1
x−y .
Der Nenner darf nicht Null werden, das heißt es muss x = y sein. Also gilt
Df = {(x,y) | x = y}.
Es sind also alle Punkte der xy-Ebene zugelassen, nur die Gerade mit der Gleichung
y = x muss ausgeschlossen werden. Der Definitionsbereich hat also folgende Gestalt:
(Der schmale weiße Bereich soll andeuten, dass die Gerade y = x nicht zum Bereich
gehört.)
(b) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) =
1
x 2 +y 2.
Der Nenner darf nicht Null werden, es muss alsox 2 +y 2 = 0 sein. Der Ausdruckx 2 +y 2
wird aber nur Null, wenn sowohl x als auch y Null sind. Für den Definitionsbereich
muss also nur der Nullpunkt ausgeschlossen werden, also:
Zeichnen wir Df, so ergibt sich:
Df = {(x,y) | (x,y) = (0,0)} = R 2 \{(0,0)}.
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(Der kleine leere Kreis soll andeuten, dass der Nullpunkt nicht zum Bereich gehört.)
• Der Ausdruck, der unter der Wurzel steht, muss ≥ 0 sein.
Beispiele:
(a) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) = 9−x 2 −y 2 .
Da der Ausdruck unter der Wurzel stets ≥ 0 sein muss, muss gelten:
Also ist
9−x 2 −y 2 ≥ 0 ⇒ x 2 +y 2 ≤ 9.
Df = {(x,y) | x 2 +y 2 ≤ 9}.
Wie sieht die Menge Df in der xy-Ebene aus? Wir wissen, dass die Gleichung x 2 +
y 2 = 9 einen Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius 3 beschreibt. Bei der
Ungleichung x 2 + y 2 ≤ 9 gehören nun nicht nur alle Punkte der Kreislinie dazu,
sondern auch alle Punkte im Inneren des Kreises. Df hat also folgende Gestalt:
(b) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) =
2
1
x 2 +y 2 −9 .

Wir wissen, dass der Ausdruck unter der Wurzel≥ 0 sein muss. Hier steht die Wurzel
aber im Nenner, sodass zusätzlich gewährleistet werden muss, dass sie ungleich Null
ist. Das heißt, der Ausdruck unter der Wurzel muss sogar echt > 0 sein, das heißt es
ergibt sich die Bedingung
Also ist
x 2 +y 2 −9 > 0 ⇒ x 2 +y 2 > 9.
Df = {(x,y) | x 2 +y 2 > 9}.
Die Ungleichung x 2 +y 2 > 9 beschreibt nun gerade (im Gegensatz zur Aufgabe (a))
das Äußere des Kreises mit Radius 3. Wegen dem echten Ungleichheitszeichen „>“
gehört die Kreislinie selbst nicht dazu. Df hat demnach folgende Gestalt:
(Die Kreislinie selbst ist gestrichelt, was andeuten soll, dass sie nicht zum Bereich
gehört.)
(c) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) = (2x−y)(x+y).
Der Ausdruck unter der Wurzel muss ≥ 0 sein, also ergibt sich die Bedingung
(2x−y)(x+y) ≥ 0.
Ein Produkt ist ≥ 0, wenn entweder beide Faktoren ≥ 0 sind oder beide Faktoren
≤ 0 sind. Also muss gelten entweder
oder
2x−y ≥ 0 und x+y ≥ 0
2x−y ≤ 0 und x+y ≤ 0.
Fassen wir die Bedingungen jeweils etwas zusammen, muss somit gelten:
−x ≤ y ≤ 2x oder 2x ≤ y ≤ −x.
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Also ist
Df = {(x,y) | −x ≤ y ≤ 2x oder 2x ≤ y ≤ −x}.
Zum Zeichnen von Df zeichnen wir am besten die Begrenzungsgeraden y = −x und
y = 2x und schauen dann, welche der umrandeten Flächen zu Df gehören. Es ergibt
sich:
• Der Ausdruck, der in einem Logarithmus steht, muss > 0 sein.
Beispiele:
(a) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
Es muss gelten:
Also ist
f(x,y) = ln(9−x 2 −y 2 ).
9−x 2 −y 2 > 0 ⇒ x 2 +y 2 < 9.
Df = {(x,y) | x 2 +y 2 < 9}.
Aus Beispiel (a) von den Wurzelfunktionen wissen wir schon, dass die Ungleichung
x 2 +y 2 < 9 das Innere des Kreises um den Ursprung mit Radius 3 beschreibt. Dieses
Mal steht aber ein echtes Ungleichheitszeichen, das heißt die Kreislinie selbst gehört
nicht dazu. Es ergibt sich folgende Zeichnung von Df:
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(b) Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) = ln(9−x 2 −y 2 )+ x 2 +y 2 −4.
Hier sind zwei Bedingungen zu erfüllen. Der Ausdruck im Logarithmus muss > 0
sein und der Ausdruck unter der Wurzel ≥ 0. Also:
was sich auch umformen lässt zu
Es ergibt sich
9−x 2 −y 2 > 0 und x 2 +y 2 −4 ≥ 0,
4 ≤ x 2 +y 2 < 9.
Df = {(x,y) | 4 ≤ x 2 +y 2 < 9}.
Die Ungleichung 4 ≤ x 2 + y 2 beschreibt das Äußere eines Kreises mit Radius 2
(inklusive Kreislinie), die andere Ungleichung x 2 +y 2 < 9 beschreibt das Innere eines
Kreises mit Radius 3 (ohne Kreislinie). Insgesamt ergibt sich somit ein Kreisring,
wobei die innere Linie dazugehört, die äußere nicht.
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• Es gibt noch weitere Funktionen, die Einschränkungen an den Definitionsbereich erfordern.
Als Beispiele seien hier genannt:
– Der Ausdruck in einem Tangens darf kein ungeradzahliges Vielfaches von π
2 sein.
– Der Ausdruck in arcsin und arccos darf nur im Bereich [−1,1] liegen.
Ein Beispiel noch dazu.
Beispiel: Gesucht ist der Definitionsbereich der Funktion
f(x,y) = arccos(x+y).
Wie gerade erwähnt, muss der Ausdruck, der im Arcus Cosinus steht, im Bereich [−1,1]
liegen. Also lautet die Bedingung:
Also ist
−1 ≤ x+y ≤ 1 ⇒ −x−1 ≤ y ≤ −x+1.
Df = {(x,y) | −x−1 ≤ y ≤ −x+1}.
Df besteht aus allen Punkten, die zwischen den beiden Geraden mit den Gleichungen
y = −x−1 und y = −x+1 liegen. Somit ergibt sich folgende Skizze:
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