Teil 4/3

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de
Übungsaufgaben
4. Übung SS 13: Woche vom 29. 4. 12 - 3. 5. 2013
PDGL 2. Ordnung (Sep.-ansätze, Fourierreihenmethode)
Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow
http://www.math.tu-dresden.de/
∼vanselow/Lehre SoS13/Uebungen SoS13/U 4 IJ11.html
Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/
Raumveränderungen
Informationen zur Klausureinsicht:
Am 2. 5. 13, WIL C 307, 17.00-18.00 Uhr

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Wdhlg.: Superposition bei (lin.) AWA 2. Ordnung
Allgemeines Wärmeleitproblem im (endl.) Stab: ut − a 2 uxx = f,
u(0, t) = g1(t), λux(l) = α(u(l) − g2(t)), u(x, 0) = u0(x)
Superposition: u(x, t) = u 1 (x, t) + u 2 (x, t) + u 3 (x, t), mit:
u 1 t − a 2 u 1 xx = f, u 1 (0, t) = 0, λu 1 y(l) = αu 1 (l), u 1 (x, 0) = 0
u 2 t −a 2 u 2 xx = 0, u 2 (0, t) = g1(t), λu 2 x(l) = α(u 2 (l)−g2(t)), u 2 (x, 0) = 0
u 3 t − a 2 u 3 xx = 0, u 3 (0, t) = 0, λu 3 x(l) = αu 3 (l), u 3 (x, 0) = u0(x)
Analog für Lösung der Laplacegleichung - z.B. Dirichlet-RWA:
∆u = f, u|Γ = g ⇒ u(x) = u 1 (x) + u 2 (x)
∆u 1 = f, u 1 |Γ = 0, ∆u 2 = 0, u 2 |Γ = g

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Separationsansätze für PDGL
Wärmeleitung: θt = kθxx, θ(x, t) = T (t) · X(x) ⇒
θ(x, t) =
e −ν2kt [Aν cos νx + Bν sin νx]
ν
Wellengleichung: utt = a 2 uxx, u(x, t) = T (t) · X(x) ⇒
u(x, t) =
[A cos νat + B sin νat][C cos νx + D sin νx]
ν
∆u = uxx + uyy = 0, in Polarkoordinaten:
∆u = 1 ∂
r ∂r
u(r, φ) =
∂u 1
[r ] +
∂r r2 uφφ = urr + 1
r ur + 1
r2 uφφ = 0
λ
[Cr λ + Dr −λ ][A cos(λφ) + B sin(λφ)]

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Wdhlg.: Randwertaufgaben für GDGL
Erinnerung (VL Dr. Schneider, SS 12): Ein linearer
Differentialoperator L[y] ist eine Abbildung
Funktion: y → L[y] (auch Funktion)
Lineare RWA 2.Ordnung (x ∈ [a, b], a0 > 0): (DGL + RB(!))
L[y] = −a0(x)y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = h(x),
β1y(a) + α1y ′ (a) = d1, β2y(b) + α2y ′ (b) = d2
Nichtentartung: α 2 1 + β 2 1 > 0, α 2 2 + β 2 2 > 0
Homogene Randbedingung: d1 = d2 = 0

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Wdhlg.: Lösbarkeit von RWA
Wiederholung: AWA (2. Ordnung - 2AB) besitzt eindeutige
Lösung; dagegen:
Für RWA sind folgende 3 Fälle möglich (speziell auch 2.O.):
• genau eine • keine • unendlich viele Lösungen
Das hängt vom Differentialoperator L[y], von der rechten Seite
h(x), von den RB und von der Intervalllänge ab.
Bemerkung: Auch für GDGL höherer (z.B., 4. Ordnung)
existieren RWA (Balkengleichungen)
und auch Eigenwertaufgaben (s. nächste Folie)

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Wdhlg.: Das Eigenwertproblem
Untersuchung des Randwertproblems:
L[y] = −a0(x)y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = λy, x ∈ (a, b)
β1y(a) + α1y ′ (a) = 0, β2y(b) + α2y ′ (b) = 0
Dabei ist λ ∈ R frei wählbar.
Definition: Falls für ein ¯ λ ∈ R die obige RWA eine nichttriviale
Lsg. ¯y(x) = 0 besitzt, so heißt ¯ λ Eigenwert der RWA und ¯y(x)
Eigenfunktion zum EW ¯ λ.
• analog zum EW-Problem für Matrizen
• y(x) ≡ 0 ist immer eine Lösung (aber uninterssant)
• (homogene) RW gehören mit zum EW-Problem!

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Eigenwertaufgaben bei Randwertproblemen
Beispiel 1: −y ′′ = λy, y(0) = y(π) = 0,
Fallunterscheidung: λ = 0, > 0, < 0
a) λ = 0 : y(x) = c1x + c2, RB: y ≡ 0 ⇒ λ = 0 kein EW
b) λ < 0 : y = c1e √ −λx + c2e −√ −λx , RB: y ≡ 0
λ < 0 kann kein EW sein (nur triviale Lösung möglich.)
c) λ > 0 : y(x) = c1 cos √ λx + c2 sin √ λx, ⇒ . . .
Das RW-Problem besitzt die Eigenwerte λn = n 2 (aus Fall c) und
die Eigenfunktionen yn(x) = sin nx.
Beispiel 2: −y ′′ = λy, y(0) = y ′ (1) = 0 (andere RW!)
Das EW-Problem 2 besitzt die EW λn = (n + 1
2 )2π2 und die EF
yn(x) = sin[n + 1
2 ]πx

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Aussagen zu Sturm-Liouvill-EWP
Sturm-Liouville: L[y] = −(p(x)y ′ ) ′ + q(x)y(= λy)
Satz 1 Eigenwertverhalten: Falls p > 0 gilt, so bilden alle EW
des Sturm-Liouvillschen EW-Problems eine monoton und
unbeschränkt (gg. ∞) wachsende unendliche Folge
λ1 < λ2 < . . . < λn < . . . , λn → ∞
Satz 2 (Orthogonalität der Eigenfunktionen): Sind yn(x) und
ym(x) Eigenfunktionen des Sturm-Liouvillschen EW-Problems zu
unterschiedlichen EW λn und λm, so sind diese Eigenfunktionen
orthogonal bzgl. des Integralskalarprodukts, d.h. ∀n = m ∈ N
gilt
b
b
yn(x) · ym(x)dx = 0, 〈u, v〉 := u(x)v(x)dx
a
a

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Die Orthogonalitäet spezieller Systeme
Bzgl. der Beispiele 1 -3 gilt also:
π
0
1
0
1
0
sin mx · sin nxdx = 0, ∀n = m ∈ N
cos(m + 1
2
1
)πx · cos(n + )πxdx = 0,
2
cos µmx · cos µnxdx = 0, ∀n = m ∈ N
Diese Eigenschaft ist automatisch erfüllt!
Analogie bei symmetrischen Matrizen: EV x1 und x2 zu
unterschiedlichen EW λ1 = λ2 stehen senkrecht aufeinander:
〈x1, x2〉 = 0, (〈x, y〉 =
n
xiyi)
i=1

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Die Vollständigkeit der EF-Systeme
Fourierreihen: Die Funktionen {1, cos nx, sin nx} bilden ein
vollständiges Orthonormalsystem auf [−π, π] (oder [0, 2π],
s. Fourierreihen, 3. Sem.), d.h., jede Funktion f(x) mit
2π
0 f 2 (x)dx < ∞ kann mit ihrer Fourierreihe identifiziert werden
f(x) = a0
2 +
2π
∞
an cos nx + cn sin nx
n=1
2π
an = 1
f(x) cos nx, cn =
π 0
1
f(x) sin nx
π 0
Das System der Eigenfunktionen eines Sturmschen EW-Problems
hat gleiche Bedeutung und Eigenschaften (bzgl. des jeweiligen
Intervalls [a, b]): 1.) orthogonal (s. letzte Folie);
2.)vollständig ⇒ jede ( vernünftige“) AB läßt sich in
”
Eigenfunktionen des zugeordneten RW-Problems entwickeln!