Markov--Ketten und Bonus - Technische Universität Dresden

Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Markov–Ketten und
Bonus–Malus Systeme
Klaus D. Schmidt
Lehrstuhl für Versicherungsmathematik
Technische Universität Dresden
TU Wien
19. Mai 2010
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Wir betrachten ein Bonus–Malus System mit vier Klassen
i ∈ {1, 2, 3, 4} und den Prämienniveaus h(i) bezogen auf die
Grundprämie µ:
Notation:
i 1 2 3 4
h(i) 120% 100% 80% 60%
h :=
⎛
⎜
⎝
120%
100%
80%
60%
Wir bezeichnen h als Prämienstruktur.
⎞
⎟
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Übergangsmatrix und Anfangsverteilung:
⎛
0, 3 0, 3 0 0
⎞
Q :=
⎜ 0, 7
⎝ 0
0
0, 7
0, 3
0
0 ⎟
0, 3 ⎠
0 0 0, 7 0, 7
Interpretation:
q :=
◮ qi ist die Wahrscheinlichkeit, sich im Jahr 0 in der Klasse i
zu befinden.
◮ qij ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Jahr von Zustand j
nach Zustand i zu gelangen.
◮ Malus Klasse: 1
◮ Einstiegsklasse: 2
◮ Bonus Klassen: 3 und 4
⎛
⎜
⎝
0
1
0
0
⎞
⎟
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Verteilung auf die Klassen in den Jahren n ∈ {0, 1, 2, 3}:
q (n)
:= Q n q =
⎛
⎜
⎝
0
1
0
0
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
0, 3
0
0, 7
0
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
0, 09
0, 42
0
0, 49
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
0, 153
0, 063
0, 441
0, 343
Erwartetes Prämienniveau in den Jahren n ∈ {0, 1, 2, 3}:
h ′ q (n) = 100% 92% 82, 2% 80, 52%
Normierter Eigenvektor von Q zum Eigenwert 1:
⎛ ⎞
27
q :=
1 ⎜ 63 ⎟
580 ⎝ 147 ⎠
343
≈
⎛ ⎞
0, 0466
⎜ 0, 1086 ⎟
⎝ 0, 2534 ⎠
0, 5914
Es gilt h ′ q ≈ 72, 21%.
⎞
⎟
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Aufgaben:
◮ Ableitung der Übergangsmatrix Q aus einem
stochastischen Modell für die Anzahl der Schäden pro
Jahr.
◮ Berechnung der Grundprämie µ für eine gegebene
Prämienstruktur h.
◮ Wahl der Prämienstruktur h.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
Notation
Wir betrachten Vektoren a ∈ R m und Matrizen A ∈ R m×m .
Notation:
ei
1 :=
i–ter Einheitsvektor
m i=1 ei
I
Einsvektor
Einheitsmatrix
E := 11 ′ Einsmatrix
Für eine Matrix A ∈ Rm×m und n ∈ N0 ist die n–te Potenz von A
durch
A n
I falls n = 0
:=
An−1A sonst
definiert.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
Stochastische Vektoren und Matrizen
Ein Vektor q ∈ R m heißt stochastischer Vektor,
wenn 0 ≤ q und 1 ′ q = 1 gilt.
Eine Matrix Q ∈ R m×m heißt stochastische Matrix,
wenn für alle j ∈ {1, . . . , m} der Vektor Qej ein stochastischer
Vektor ist.
Lemma. Sei Q ∈ R m×m eine stochastische Matrix. Dann gilt:
◮ 1 ′ Q = 1 ′ .
◮ Ist q ∈ R m ein stochastischer Vektor,
so ist auch Qq ein stochastischer Vektor.
◮ Ist R ∈ R m×m eine stochastische Matrix,
so ist auch QR eine stochastische Matrix.
◮ Für alle n ∈ N ist auch Q n eine stochastische Matrix.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
Invarianz
Sei Q ∈ R m×m eine stochastische Matrix.
Ein stochastischer Vektor q ∈ R m heißt invariant unter Q,
wenn
gilt.
Qq = q
Lemma. Ist q ∈ R m ein stochastischer Vektor, für den die Folge
{Q n q}n∈N 0 konvergiert, so ist der stochastische Vektor
invariant unter Q.
q := lim
n→∞ Q n q
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
Schwache Ergodizität (1)
Eine stochastische Matrix Q ∈ R m×m heißt schwach ergodisch,
wenn es einen stochastischen Vektor q ∈ R m gibt mit
für alle j ∈ {1, . . . , m}.
lim
n→∞ Qnej = q
Lemma. Ist Q schwach ergodisch, so gibt es einen
stochastischen Vektor q ∈ R m mit
und
lim
n→∞ Qnq = q
1 n−1
lim Q
n→∞ n
k q = q
k=0
für jeden stochastischen Vektor q ∈ R m .
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
Schwache Ergodizität (2)
Folgerung. Zu jeder schwach ergodischen Matrix gibt genau
einen invarianten Vektor.
Beispiel. Sei
Q :=
0 1
1 0
und q :=
1/2
1/2
Dann ist Q eine stochastische Matrix und q ist invariant unter
Q. Andererseits gilt für alle n ∈ N0
Q n
I falls n = 2k mit k ∈ N0
=
Q falls n = 2k + 1 mit k ∈ N0
Daher ist Q nicht schwach ergodisch.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
(Starke) Ergodizität (1)
Eine stochastische Matrix Q ∈ R m×m heißt (stark) ergodisch,
wenn es einen stochastischen Vektor q ∈ R m gibt mit
für alle j ∈ {1, . . . , m} und
für alle i ∈ {1, . . . , m}.
lim
n→∞ Qnej = q
e ′ iq > 0
Lemma. Ist Q ∈ Rm×m ergodisch und q ∈ Rm invariant unter Q,
so gilt e ′ iq > 0 für alle i ∈ {1, . . . , m}.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität
(Starke) Ergodizität (2)
Satz. Für eine stochastische Matrix Q ∈ R m×m sind äquivalent:
◮ Q ist ergodisch.
◮ Es gibt ein n ∈ N mit e ′ i Qn ej > 0 für alle i, j ∈ {1, . . . , m}.
Beispiel. Sei Q eine stochastische Matrix mit
q1,1 > 0
Dann ist Q ergodisch.
qi,i+1 > 0 für i ∈ {1, . . . , m−1}
qi,i−1 > 0 für i ∈ {2, . . . , m}
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität
Sei M := {1, . . . , m} eine endliche Menge mit m ∈ N und
m ≥ 2. Wir bezeichnen M als Zustandsraum.
Sei ferner {Yn}n∈N 0 eine Folge von Zufallsvariablen mit
P[Yn ∈ M] = 1 für alle n ∈ N0. Dann ist die Verteilung von Yn
durch die Wahrscheinlichkeiten
q (n)
i := P[Yn = i]
mit i ∈ M und damit durch den stochastischen Vektor
⎛ ⎞
bestimmt.
q (n)
:=
⎜
⎝
q (n)
1.
q (n)
m
⎟
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität
Die Folge {Yn}n∈N heißt (homogene) Markov–Kette,
0
wenn es eine stochastische Matrix Q ∈ Rm×m und einen
stochastischen Vektor q ∈ Rm gibt derart, dass für alle n ∈ N0
und i0, i1, . . . , in ∈ M
n
n
gilt.
P
j=0
{Yj = ij}
=
j=1
In diesem Fall gilt q (0) = q und wir nennen
◮ Q die Übergangsmatrix und
◮ q die Anfangsverteilung
der Markov–Kette {Yn}n∈N 0 .
qi j ,i j−1
qi 0
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität
Lemma. Sei {Yn}n∈N 0 eine Markov–Kette mit Übergangsmatrix
Q und Anfangsverteilung q. Dann gilt:
◮ Für alle n ∈ N0 gilt
Insbesondere gilt q (0) = q.
q (n) = Q n q
◮ Für alle n ∈ N0 und i, j ∈ M gilt
P[{Yn+1 = i} ∩ {Yn = j}] = qi,j P[Yn = j]
Insbesondere gilt im Fall P[Yn = j] > 0
P[Yn+1 = i|Yn = j] = qi,j
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität
Satz. Für die Folge {Yn}n∈N 0 sind äquivalent:
◮ {Yn}n∈N 0 ist eine Markov–Kette.
◮ Es gibt eine stochastische Matrix Q derart, dass für alle
n ∈ N0 und i0, i1, . . . , in, in+1 ∈ M mit P n
j=0 {Yj = ij} > 0
gilt.
P
Yn+1 = in+1
n
{Yj = ij}
j=0
= qi n+1,in
In diesem Fall gilt für alle n ∈ N und i0, i1, . . . , in, in+1 ∈ M mit
P n j=0 {Yj = ij} > 0
n
P Yn+1 = in+1 {Yj = ij} = P[Yn+1 = in+1|Yn = in]
j=0
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität
Ist {Yn}n∈N 0 eine Markov–Kette mit Übergangsmatrix Q,
so heißt eine Verteilung q stationär unter Q, wenn
gilt.
Qq = q
Beispiel. Sei {Yn}n∈N 0 eine Markov–Kette mit
Übergangsmatrix Q mit
q1,1 > 0
qi,i+1 > 0 für i ∈ {1, . . . , m−1}
qi,i−1 > 0 für i ∈ {2, . . . , m}
Dann besitzt die Markov–Kette eine stationäre Verteilung.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (1)
Zur Konstruktion eines Bonus–Malus Systems für einen
homogenen Bestand betrachten wir
◮ eine Folge von Zufallsvariablen {Nn}n∈N 0 mit
P[Nn ∈ N0] = 1,
◮ einen Zustandsraum M := {1, . . . , m} und eine Abbildung
ϕ : N0 × M → M sowie
◮ eine Abbildung h : M → (0, ∞).
Wir interpretieren
◮ Nn als die zufällige Anzahl der Schäden im Jahr n,
◮ M als die Menge der möglichen Bonus–Malus Klassen und
◮ h(M) als die Menge der möglichen Prämienniveaus
und bezeichnen ϕ als Übergangsfunktion.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (2)
Wir betrachten ferner eine Zufallsvariable Y0 mit P[Y0 ∈ M] = 1
und setzen für n ∈ N
Wir interpretieren
Yn := ϕ(Nn−1, Yn−1)
◮ Yn als zufällige Bonus–Malus Klasse und
◮ h(Yn) als zufälliges Prämienniveau
im Jahr n in Abhängigkeit von der Anzahl der Schäden und der
Bonus–Malus Klasse im Jahr n − 1.
Wir nehmen an, dass die Folge {Nn}n∈N 0
◮ i.i.d. mit α := E[N] > 0 und
ist.
◮ unabhängig von Y0
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (3)
Für k ∈ N0 und i, j ∈ {1, . . . , m} sei
q (k)
i,j :=
1
0
falls ϕ(k, j) = i
sonst
und für i ∈ {1, . . . , m} sei
qi := P[Y0 = i]
Dann ist jede der Matrizen Q (k) und damit auch
Q :=
∞
P[N = k] Q (k)
k=0
eine stochastische Matrix und
ist ein stochastischer Vektor.
q
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (4)
Satz. Die Folge {Yn}n∈N 0 ist eine Markov–Kette mit
Übergangsmatrix Q und Anfangsverteilung q.
Notation:
h :=
⎛
⎜
⎝
h(1)
.
h(m)
⎞
⎟
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Kollektives Modell
◮ Wir nehmen an, dass für jedes Jahr n ∈ N0 ein kollektives
Modell
〈Nn, {Xn,k}k∈N〉
vorliegt. Dies bedeutet, dass die Folge der Schadenhöhen
{Xn,k}k∈N i.i.d. und unabhängig von Nn ist, und für den
Gesamtschaden Sn := Nn
k=1 Xn,k gilt dann
E[Sn] = E[Nn] E[Xn,1]
◮ Wir nehmen an, dass die kollektiven Modelle voneinander
unabhängig sind.
◮ Wir nehmen weiterhin an, dass die Folge {Nn}n∈N 0
◮ identisch verteilt mit α := E[N] > 0 und
ist.
◮ unabhängig von Y0
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Grundprämie
Für das weitere nehmen wir an, dass
und damit
gilt. Für die Grundprämie µ ist
E[Xn,1] = 1
E[Sn] = E[Nn]
Zn := µ h(Yn)
die zufällige Prämie in Jahr n und es gilt
E[Zn] =
m
i=1
µ h(i) P[Yn = i] = µ h ′ q (n) = µ h ′ Q n q
Zu bestimmen ist die Grundprämie µ.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Äquivalenzprinzip für Jahr n
Das Äquivalenzprinzip für Jahr n besteht in der Forderung
E[Zn] = E[Nn]
Für die Grundprämie µ gilt daher
und damit
µ h ′ Q n q = α
µ = α(h ′ Q n q) −1
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre (1)
Das Äquivalenzprinzip für die ersten n Jahre besteht in der
Forderung
n−1
E[Zk] =
k=0
n−1
E[Nk]
k=0
Für die Grundprämie µn auf der Grundlage der ersten n Jahre
gilt daher
und damit
n−1
k=0
µn h ′ Q k q = n α
1 n−1
µn = α
n
k=0
h ′ Q k q
−1
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre (2)
Ist Q schwach ergodisch und ist q stationär, so gilt
lim
n→∞ µn = α (h ′ q) −1
Dies liefert eine Approximation für die Grundprämie auf der
Basis der ersten n Jahre bei langem Planungshorizont.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Beispiel (1)
Ein Bonus–Malus System besteht aus den drei Klassen 1, 2, 3
mit den Prämienniveaus 100%, 90%, 80%. Die Anzahl der
Schäden pro Jahr besitzt die folgende Verteilung:
k 0 1 2
P[N = k] 0,7 0,2 0,1
◮ Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in die
niedrigste Klasse eingestuft.
◮ Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird
er im folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder
bleibt in der höchsten Klasse).
◮ Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird
er im folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder
bleibt in der niedrigsten Klasse).
◮ Meldet der Versicherungsnehmer zwei Schäden, so wird er
im folgenden Jahr in die niedrigste Klasse eingestuft.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Beispiel (2)
Standard–Tableau:
k 1 2 3 P[N = k]
0 2 3 3 0,7
1 1 1 2 0,2
2 1 1 1 0,1
h(i) 100% 90% 80%
Übergangsmatrix und Anfangsverteilung:
⎛
⎞
0, 3 0, 3 0, 1
⎛
Q = ⎝ 0, 7 0 0, 2 ⎠ q = ⎝
0 0, 7 0, 7
Stationäre Verteilung:
q = 1
⎛
⎝
86
16
21
49
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0, 1860
0, 2442
0, 5698
⎞
⎠
1
0
0
⎞
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Beispiel (3)
Dynamik:
Q =
Q 2 =
Q 4 =
Q 8 =
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
0, 3000 0, 3000 0, 1000
0, 7000 0 0, 2000
0 0, 7000 0, 7000
0, 3000 0, 1600 0, 1600
0, 2100 0, 3500 0, 2100
0, 4900 0, 4900 0, 6300
0, 2020 0, 1824 0, 1824
0, 2394 0, 2590 0, 2394
0, 5586 0, 5586 0, 5782
0, 1864 0, 1860 0, 1860
0, 2441 0, 2445 0, 2441
0, 5695 0, 5695 0, 5699
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Beispiel (4)
Verteilung auf die Klassen in den Jahren n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}:
⎛
⎞ ⎛ ⎞
0, 3000 0, 3000 0, 1000 1, 0000
⎝ 0, 7000 0 0, 2000 ⎠ ⎝ 0 ⎠
0 0, 7000 0, 7000 0
⎛ ⎞
0, 3000
⎝ 0, 7000 ⎠
0
⎛ ⎞
0, 3000
⎝ 0, 2100 ⎠
0, 4900
⎛ ⎞
0, 2020
⎝ 0, 3080 ⎠
0, 4900
⎛ ⎞
0, 2020
⎝ 0, 2394 ⎠
0, 5586
35 / 46

Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Beispiel (5)
Erwartete Prämienniveaus in den Jahren n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}:
⎛ ⎞
1, 0000
1, 00 0, 90 0, 80 ⎝ 0 ⎠ = 1, 00
0
⎛ ⎞
0, 3000
⎝ 0, 7000 ⎠
0
⎛ ⎞
0, 3000
= 0, 93
⎝ 0, 2100 ⎠
0, 4900
⎛ ⎞
0, 2020
= 0, 881
⎝ 0, 3080 ⎠
0, 4900
⎛ ⎞
0, 2020
= 0, 8712
⎝ 0, 2394 ⎠
0, 5586
= 0, 86434
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Beispiel (6)
Erwartete Anzahl der Schäden pro Jahr:
α = E[N] = 0, 4
Durchschnittliches erwartetes Prämienniveau über die ersten n
Jahre und Grundprämie µn:
n Durchschnitt µn
1 1,0000 0,4000
2 0,9650 0,4145
3 0,9379 0,4269
4 0,9206 0,4345
5 0,9093 0,4398
∞ 0,4753
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (1)
Die Bausteine eines Bonus–Malus Systems für einen
homogenen Bestand werden auch für einen inhomogenen
Bestand verwendet, aber geeignet erweitert:
Aufgrund der Inhomogenität des Bestandes nehmen wir an,
dass es einen Risikoparameter Θ gibt und dass die Folge
{Nn}n∈N 0 unter Θ
ist.
◮ bedingt i.i.d. mit α := E[N] > 0 und
◮ bedingt unabhängig von Y0
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (2)
Für k ∈ N0 und i, j ∈ {1, . . . , m} sei
q (k)
i,j :=
1
0
falls ϕ(k, j) = i
sonst
und
Dann ist
qi(Θ) := P(Y0 = i|Θ)
Q(Θ) :=
∞
P(N = k|Θ) Q (k)
k=0
eine zufällige stochastische Matrix und
q(Θ)
ist ein zuflliger stochastischer Vektor.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Konstruktion (3)
Satz. Die Folge {Yn}n∈N 0 ist eine unter Θ bedingte
Markov–Kette mit bedingter Übergangsmatrix Q(Θ) und
bedingter Anfangsverteilung q(Θ).
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Grundprämie
Für die Grundprämie
und die zufällige Prämie
in Jahr n gilt
und damit
E(Zn|Θ) =
m
i=1
µ
Zn := µ h(Yn)
µ h(i) P(Yn = i|Θ) = µ h ′ Q n (Θ)q(Θ)
E[Zn] = µ E[h ′ Q n (Θ)q(Θ)]
41 / 46

Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand
Äquivalenzprinzip
Aus dem Äquivalenzprinzip für die ersten n Jahre ergibt sich
1 n−1
µn = α
n
k=0
E[h ′ Q k (Θ)q(Θ)]
−1
Ist Q(Θ) bedingt schwach ergodisch und ist q(Θ) bedingt
stationär, so gilt
lim
n→∞ µn
= α E[h ′ −1 q(Θ)]
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Probleme
◮ Wahl der Planungshorizonts für die Grundprämie.
◮ Diskontierung.
◮ Monotonie des Prämienniveaus.
◮ Inhomogener Bestand: Bestimmung der Struktur des
Bestandes und der bedingten Verteilung der Schadenzahl.
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Übersicht
Bonus–Malus Systeme: Die Grundstruktur
Stochastische Vektoren und Matrizen
Grundlagen
Invarianz
Ergodizität
Markov–Ketten
Definition
Charakterisierung
Stationarität
Bonus–Malus Systeme
Homogener Bestand
Beispiel
Inhomogener Bestand
Probleme
Literatur
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Grund Stoch Markov–Ketten Bonus–Malus Probleme L
Literatur
DAA & DAV:
Klausuraufgaben Grundwissen Schaden.
Schmidt [2010]:
Bonus–Malus Systeme. In Vorbereitung.
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