Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik

Grundlagen
Musterbeispiele
Trainingsaufgaben mit Lösungen
Klasse 9/10
Datei Nr. 12310
Zu diesem Thema gibt es noch folgende Texte:
12321 Lernprogramm
12333 Übung 4
12335 Lernblatt
12500 Aufgabensammlung
12510 Sammlung von Tests
Demo: Mathe-CD
Stand 12. Januar 2008
Friedrich W. Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
ALGEBRA
Potenzen und Wurzeln

12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 2
Inhalt
Vorbemerkung - Potenzen zum Auswendiglernen 2
§ 1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 3
5 Potenzgesetze
§ 2 Potenzen mit negativen ganzen Exponenten 5
Die 5 Potenzgesetze gelten auch hier 7
§ 3 n-te Wurzeln 9
Dritte Wurzeln 9
Vierte Wurzeln und n-te Wurzeln 10
§ 4 Wurzeln als Potenzen schreiben 12
§ 5 Beliebige Bruchexponenten 15
Umwandlung von Bruchexponenten größer als 1 17
Und wenn der Exponent negativ ist 18
§ 6 Rechnen mit Wurzeln 22
1. Multiplikation von gleichartigen Wurzeln 22
2. Division von gleichartigen Wurzeln 23
3. Potenzieren von Wurzeln 24
4. Verschachteln von Wurzeln 25
5. Teilweises Ziehen von Wurzeln 26
6. Addition von Vielfachen gleichartiger Wurzeln 27
7. Binomische Formeln mit Wurzeln 28
8. Rationalmachen des Nenners 29
9. Multiplikation verschiedenartiger Wurzeln 34
10. Division verschiedenartiger Wurzeln 35
11. Vermischtes – Unangenehmes – Unverschämtes 36
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Lösungen aller Aufgaben ab Seite 37 bis 63

12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 3
Vorbemerkung:
Potenzrechnen erfordert einen Grundschatz
an Potenzen, die man auswendig wissen muss.
Dies sollte jeder ohne Nachdenken wissen:
Alle Quadratzahlen bis 20 2
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25
6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
11 2 =121 12 2 = 144 13 2 =169 14 2 = 196 15 2 = 225
16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400
und diese weiteren Potenzen
2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128
2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1024 3 3 = 27 3 4 = 81
4 3 = 64 4 4 = 256 5 3 = 125 5 4 = 625 6 ´3 = 216
Mit diesem „Grundpotenzschatz“ kommt man sehr weit!
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12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 4
Beispiele:
Beispiele:
§ 1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
Definition:
a heißt die Basis, n der Exponent oder die Hochzahl.
Weil n eine Anzahl darstellt, muß n eine natürliche Zahl sein !
( ) 5
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 2 2 32
3 3 3 3 3 3 243
( ) 4
3
5⋅2 bedeutet 5 8 40
a n =a⋅a⋅a ⋅... ⋅a
2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4
= 2 = 2
nFaktoren
Vereinbarung
Um Klammern zu sparen gelte die Vorschrift:
1. Punkt vor Strich
2. Potenz von Punkt
⋅ = und nicht ( ) 3 3
POTENZGESETZE
5 ⋅ 2 = 10 = 1000 !!!!
1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
m n m n
a a a +
⋅ =
z.B. ( ) ( )
2. Division von Potenzen mit gleicher Basis:
⎧ >
m−n a falls m n
m ⎪
a ⎪ 1
= falls m n
n ⎨
<
n−m a ⎪ a
⎪
⎩
1 falls m= n
9 ⋅ 9 = 9⋅9 ⋅ 9⋅9⋅ 9 = 9 = 9
4
+
⋅ 4 = ( 4⋅4⋅4⋅4⋅4) ⋅ 4 = 4 = 4
2 3 2+ 3 5
5 5 1 6
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5
9 9⋅9⋅9⋅9⋅9 3
= = = =
9 9⋅9⋅9 Achtung: Der 1. Fall liefert für m = n: m
a
m
a
= a
−
= a
Daher ist folgende Definition sinnvoll:
0
a = 1
m m o
5−3 2
9 9 81
3
9 9⋅9⋅9 1 1 1
= = = =
5 5−3 2
9 9⋅9⋅9⋅9⋅9 9 9 81

12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 5
3. Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten:
( ) n
n n
a ⋅ b = a⋅b z.B. ( ) ( ) ( ) 4
1 ( ) 1 1 1 1 1 ( 1)
2 ⋅ 3 = 2⋅2⋅2⋅2 ⋅ 3⋅3⋅3⋅ 3 = 2⋅ 3 = 6
4 4 4
5 5 5 5
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 3
4. Division von Potenzen mit gleichen Exponenten:
n
a a
n
⎛ ⎞
=
b
⎜
b
⎟
⎝ ⎠
z.B..
oder
oder
5 5 5 5
2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 1
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5
4 4 2 2 32
4
4 4
8 ⎛ 8 ⎞ ⎛2⎞ = =
4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝12 ⎠ ⎝3⎠ Man muss also genau darauf achten, welcher dieser 5 Fälle vorliegt:
12
3
144 144
3
9
Ist die Basis gleich, werden die Hochzahlen addiert bzw. subtrahiert
Ist der Exponent gleich, darf er ausgeklammert werden.
Wird eine Potenz potenziert, werden die Exponenten multipliziert!
3
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ = 16
⎝ 9 ⎠
In der 1. Rechnung wurde das 4. Potenzgesetzt gleich zweimal angewandt: Beim ersten und beim dritten
Gleichheitszeichen.
5. Potenzieren von Potenzen:
( ) n
n
a a ⋅
=
m mn
4
z.B.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 2
3 3 3 3 3 3+ 3+ 3+ 3 3⋅4 oder ( ) 5
oder
5 4 4⋅5 20
16 = 2 = 2 = 2
3
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ = =
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2 2
4 4 4 4 43 ⋅ 12
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12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 6
§ 2 Potenzen mit negativen ganzen Exponenten
Lesestoff und Hintergrundwissen: Notwendigkeit einer weiteren Definition
Die folgenden Zeilen setzen voraus, dass man weiß, dass Potenzen so definiert sind,
dass der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt. Anzahlen können aber nur
natürliche Zahlen sein. Also kann man damit 2 -4 nicht erklären, denn der Exponent
ist keine natürliche Zahl und kann keine Anzahl angeben! Dennoch gelingt es,
diesem Ausdruck 2 -4 ein sinnvolles Ergebnis zuzuweisen. Bitte mitdenken:
Verwendet man nur natürliche Exponenten, dann erfordert das 2. Potenzgesetz eine
Fallunterscheidung, denn die Aufgaben
6
2
2 6−2 4 2 1 1
= 2 = 2 und = =
2
6 6−2 4
2
2 2 2
verlangen zunächst verschiedene Rechenwege.
Wenn man jedoch die zweite Aufgabe genauso löst wie die erste:
2
2 2−6 −4
= 2 = 2
6
2
erhält man eine Potenz, die bisher sinnlos war, denn es entsteht ein negativer
Exponent . Da des Exponent bisher die Anzahl der Faktoren angegeben hat, konnte
er keine negative Zahl sein, denn - 4 Faktoren gibt es nicht.
Also muss man den Ausdruck 2 -4 neu definieren und festlegen, was er bedeuten
soll, indem man verlangt: Beide Rechnungen müssen zum gleichen Ergebnis führen:
2
2
2 1 1 2 2−6 −4
= = und = 2 = 2
6 6−2 4
6
2 2 2 2
Also legt man fest:
Analog dazu bedeuten:
Hier die neue
− 1 1
= = 4 .
2 16
4 2 :
3
9
1 1
− 2
= = ;
2
3 9
1 1
9 81
− 2
= = ,
2
12
Definition:
1 1
12 144
− 2
= = ,
2
5
7
− 3
= = 3
− 1
=
Man muss sich merken: a -n ist der Kehrwert von a n !
a
2
1
a
:= heißt „sei“
und besagt, dass hier
etwas festgelegt wird.
1 1
5 125
1
7
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1 1
2 1024
− 10
= = usw.
10
− n
= für n ∈N
n
-n
a ist also der Kehrwert von n
a

12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 7
1
Was ergibt dann 3
2
− =
?
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