Beispiele von Kurvendiskussionen

5.3. f ( x)
x ⋅ ln x
= x > 0
1. Nullstellen: f ( x)
x ⋅ ln x = 0
= ln x = 0 x = 1 einzige Nullstelle wegen x > 0.
1
2. Ableitungen: f ′ ( x)
= 1⋅
ln x + x ⋅ = ln x + 1
x
1
f ''
( x)
= > 0 d.h. er Graph von f hat eine Linkskurve
x
3. Hoch-, Tief-, Wendepunkte des Graphen
1
f ′ ( x)
= 1+
ln x = 0 ln x = −1
x = .
e
Da eine Linkskurve des Graphen vorliegt,
1 1
handelt es sich um einen Tiefpunkt T( ,- ).
e e
Da der Graph linksgekrümmt ist, existiert
kein Wendepunkt.
4. Verhalten in einer Umgebung der Stelle x = 0
x ⋅ ln x = 0 lim f ′ x = lim 1+
ln x =
lim+ x→0
5.
Graph
expf5_kd 28.11.2011/ul
und ( ) ( ) −∞
+
x→0
+
x→0
2
2
2
x
x x
6. Zeige F(
x)
= ( 2ln
x −1)
= ⋅ ln x − ist eine Stammfunktion von f ( x)
= x ⋅ ln x :
4
2 4
Beweis direkt mit partieller Integration oder
2
x 1 x
F′
( x)
= x ⋅ ln x + ⋅ − = x ⋅ ln x (Produktregel)
2 x 2
7. Inhalt I(ε) des Flächenstücks, das der Graph von f, die x-Achse und die Parallele zur y-
Achse x = ε
0 < ε < 1 im 4. Quadranten einschliessen.
ε
2
2
⎛ x x ⎞
∫ x ⋅ ln x dx = ⎜ ⋅ ln x −
2 4 ⎟
1 ⎝
⎠ 1
1 2 1 2 1
= ε ⋅ ln ε − ε +
2 4 4
Wegen ε ⋅ ln ε = 0 existiert das uneigentliche Integral
0
∫
1
x
lim+ ε→0
ln x dx = lim
ε
∫
ε
⎛ 1
x ⋅ ln x dx = lim⎜
ε
ε→0
⎝ 2
⋅ +
ε→0
1
+
2
⋅ ln ε −
1
4
ε
2
1 ⎞
+ ⎟ =
4 ⎠
1
4
19