Aehnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke - mathekurs.ch
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9. Ähnli<strong>ch</strong>keit <strong>re<strong>ch</strong>twinkliger</strong> <strong>Dreiecke</strong><br />
Re<strong>ch</strong>twinklige <strong>Dreiecke</strong>, die in einem weiteren Winkel übereinstimmen, sind s<strong>ch</strong>on<br />
zueinander ähnli<strong>ch</strong>.<br />
Aus der Ähnli<strong>ch</strong>keit folgt die Glei<strong>ch</strong>heit entspre<strong>ch</strong>ender Seitenverhältnisse.<br />
Um herauszufinden, wel<strong>ch</strong>e Seiten si<strong>ch</strong> entspre<strong>ch</strong>en, betra<strong>ch</strong>tet man z.B. die gegenüber<br />
liegenden Winkel im betreffenden Dreieck.<br />
Die Höhe hc zerlegt das Dreieck in zwei ähnli<strong>ch</strong>e Teildreiecke.<br />
Weil ∆ABC ∼ ∆BCD, gilt:<br />
h p = h<br />
2 = pq (1) Höhensatz<br />
q h<br />
Jedes Teildreieck ist ähnli<strong>ch</strong> zum ganzen Dreieck<br />
Aus ∆ABC ∼ ∆CBD folgt:<br />
a p = a<br />
2 = pc<br />
c a<br />
Aus ∆ABC ∼ ∆ACD folgt:<br />
b q = b<br />
2 = qc (2) Kathetensatz<br />
c b<br />
Addiert man die linken und die re<strong>ch</strong>ten Seiten der beiden Glei<strong>ch</strong>ungen, so erhält man:<br />
2 2 2<br />
a + b = pc + qc = ( p + q)<br />
⋅ c = c c 2 = a 2 + b 2 (3) Pythagoras.<br />
Der Kathetensatz kann als<br />
Flä<strong>ch</strong>enverwandlungsaufgabe interpretiert<br />
werden:<br />
Das Re<strong>ch</strong>teck mit den Seiten p und c ist<br />
inhaltsglei<strong>ch</strong> zum Kathetenquadrat über a.<br />
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Das re<strong>ch</strong>twinklige Dreieck mit den Seiten 6, 8, 10 hat den Inkreisradius 2 und Umfang bzw.<br />
Flä<strong>ch</strong>eninhalt 24 stimmen überein.<br />
Das re<strong>ch</strong>twinklige Dreieck mit den Seiten 5, 12, 13 hat den Umfang bzw. Flä<strong>ch</strong>eninhalt 30.<br />
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Beispiele zur Satzgruppe des Euklid<br />
a) Pythagoras:<br />
Aufgabe:<br />
Wie weit kann ein Beoba<strong>ch</strong>ter B sehen, der si<strong>ch</strong> h m über dem Meer befindet?<br />
Erdradius: 6367 km<br />
Für die Aussi<strong>ch</strong>tsweite d = BH gilt<br />
na<strong>ch</strong> Pythagoras (Variante: Tangentensatz):<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
d = ( r + h)<br />
− r = 2rh<br />
+ h<br />
2<br />
d = 2rh + h ≈ 2rh = 2r ⋅ h<br />
≈ 2⋅6367 ⋅ h ≈ 112⋅<br />
h<br />
h in m, d in km<br />
Der zweite Summand, der erhebli<strong>ch</strong> kleiner als<br />
der erste ist, kann verna<strong>ch</strong>lässigt werden.<br />
Beispiele: Höhe h Si<strong>ch</strong>tweite d<br />
Beoba<strong>ch</strong>ter am Meerufer 1.7 m ≈ 4.6 km<br />
Beoba<strong>ch</strong>ter am Meerufer (auf Zehenspitzen) 1.81 m ≈ 4.7 km<br />
Beoba<strong>ch</strong>ter auf Eiffelturmhöhe 0.3 km ≈ 61.8 km<br />
Vesuv 1.3 km ≈ 147 km<br />
2 km ≈ 160 km<br />
Flugzeug 6 km ≈ 276 km<br />
Apollo 11 (16.7.99) 200 km ≈ 1600 km<br />
Übungsaufgaben:<br />
a)<br />
Wie weit muss man über dem Meer aufsteigen, um d km (z.B. 50 km) weit sehen zu können ?<br />
b)<br />
Wie ho<strong>ch</strong> muss ein Leu<strong>ch</strong>tturm sein, der einen Rundblick von 15 km gestattet?<br />
c)<br />
In wel<strong>ch</strong>er Entfernung s sieht ein Beoba<strong>ch</strong>ter B auf<br />
einem S<strong>ch</strong>iff in der Höhe h2 einen Leu<strong>ch</strong>tturm L der<br />
Höhe h1 auftau<strong>ch</strong>en?<br />
Lösung: s = s + s ≈ 2rh<br />
+ 2rh<br />
= r ⋅ ( r + r )<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
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b) Höhensatz:<br />
Interpretation als Flä<strong>ch</strong>enverwandlungsaufgabe:<br />
Das Re<strong>ch</strong>teck mit den Seiten p und q ist<br />
inhaltsglei<strong>ch</strong> zum Höhenquadrat.<br />
Arithmetis<strong>ch</strong>es, geometris<strong>ch</strong>es und harmonis<strong>ch</strong>es Mittel<br />
p + q<br />
Arithmetis<strong>ch</strong>es Mittel m a<br />
=<br />
2<br />
Geometris<strong>ch</strong>es Mittel m g<br />
= pq<br />
Harmonis<strong>ch</strong>es Mittel<br />
m<br />
h<br />
2 pq<br />
=<br />
p + q<br />
Der Höhensatz besagt, dass die Höhe in einem re<strong>ch</strong>twinkligen Dreieck das geometris<strong>ch</strong>e<br />
Mittel der beiden Hypotenusen abs<strong>ch</strong>nitte ist. Da der Radius des Thales Kreises das<br />
arithmetis<strong>ch</strong>e Mittel der beiden Hypotenusen abs<strong>ch</strong>nitte ist, folgt unmittelbar:<br />
Das geometris<strong>ch</strong>e Mittel ist kleiner oder glei<strong>ch</strong> dem arithmetis<strong>ch</strong>en Mittel.<br />
Wä<strong>ch</strong>st eine Grösse im 1. Jahr um 21%, ans<strong>ch</strong>liessend im 2.Jahr um 44 %, so wä<strong>ch</strong>st sie<br />
jährli<strong>ch</strong> um 32%.<br />
Begründung:<br />
Dem Gesamtwa<strong>ch</strong>stum entspri<strong>ch</strong>t der Wa<strong>ch</strong>stumsfaktor r 2 = 1.21⋅1.44 = 1.32 2<br />
r ist also das geometris<strong>ch</strong>e Mittel der beiden Wa<strong>ch</strong>stumsfaktoren.<br />
Dem harmonis<strong>ch</strong>e Mittel von p und q entspri<strong>ch</strong>t geometris<strong>ch</strong> die Länge der Strecke CE.<br />
Na<strong>ch</strong>weis:<br />
Da die <strong>Dreiecke</strong> EDC und MCD ähnli<strong>ch</strong> sind gilt für das Verhältnis der entspre<strong>ch</strong>enden<br />
Strecken:<br />
2<br />
CD mg<br />
mg<br />
pq 2 pq<br />
=<br />
CD = = = = m<br />
1 h<br />
m m<br />
m 2<br />
⋅ ( p + q)<br />
p + q<br />
g<br />
a<br />
a<br />
Dazu ein Beispiel:<br />
Fährt man eine Strecke der Länge l mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit p und ans<strong>ch</strong>liessend eine Strecke<br />
glei<strong>ch</strong>er Länge mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit q, dann ist die Dur<strong>ch</strong>s<strong>ch</strong>nittsges<strong>ch</strong>windigkeit das<br />
harmonis<strong>ch</strong>e Mittel von p und q.<br />
Zahlenbeispiel:<br />
p = 20 km/h, q = 30 km/h<br />
Dur<strong>ch</strong>s<strong>ch</strong>nittsges<strong>ch</strong>windigkeit: 24 km/h.<br />
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10. Ähnli<strong>ch</strong>keit am Kreis<br />
Sehnensatz:<br />
Zei<strong>ch</strong>net man dur<strong>ch</strong> einen Punkt innerhalb eines Kreises Sehnen, so sind die Re<strong>ch</strong>tecke aus<br />
den Sehnen inhaltsglei<strong>ch</strong>.<br />
Beweis:<br />
Die <strong>Dreiecke</strong> ∆APC und ∆DPB sind ähnli<strong>ch</strong><br />
Begründung:<br />
• Die Peripheriewinkel in B und C über dem<br />
Bogen AD sind glei<strong>ch</strong> gross<br />
• Die S<strong>ch</strong>eitelwinkel in P sind glei<strong>ch</strong> gross<br />
Aus der Ähnli<strong>ch</strong>keit folgt die Glei<strong>ch</strong>heit<br />
der Streckenverhältnisse:<br />
PA PC = und daraus die Behauptung<br />
PD PB<br />
PA⋅ PB = PC ⋅ PD .<br />
Der Höhensatz kann als Spezialfall des Sehnensatzes aufgefasst werden:<br />
Analog gilt der sogenannte<br />
Sekantensatz<br />
Zei<strong>ch</strong>net man dur<strong>ch</strong> einen Punkt ausserhalb eines Kreises Sekanten, so sind die Re<strong>ch</strong>tecke aus<br />
den Sekantenabs<strong>ch</strong>nitten inhaltsglei<strong>ch</strong>.<br />
Die <strong>Dreiecke</strong> ∆APD und ∆CPB sind ähnli<strong>ch</strong><br />
Begründung:<br />
- Die Peripheriewinkel in B und D über dem<br />
Bogen AC sind glei<strong>ch</strong> gross<br />
- Sie stimmen in α überein<br />
Aus der Ähnli<strong>ch</strong>keit folgt die Glei<strong>ch</strong>heit<br />
der Streckenverhältnisse:<br />
PA PC = und daraus die Behauptung<br />
PD PB<br />
PA⋅<br />
PB = PC ⋅ PD<br />
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Tangentensatz:<br />
Zei<strong>ch</strong>net man dur<strong>ch</strong> einen Punkt ausserhalb eines Kreises eine Tangente und eine Sekante, so<br />
ist das Quadrat über dem Tangentenabs<strong>ch</strong>nitt inhaltsglei<strong>ch</strong> dem Re<strong>ch</strong>teck aus den<br />
Sekantenabs<strong>ch</strong>nitten.<br />
2<br />
PA ⋅ PB = PC<br />
Die <strong>Dreiecke</strong> ∆PAC und ∆PBC sind ähnli<strong>ch</strong><br />
Begründung:<br />
- Die Sehnen-Tangentenwinkel in B und C<br />
sind glei<strong>ch</strong> gross (siehe Bem.)<br />
- Sie stimmen im Winkel bei P überein<br />
Aus der Ähnli<strong>ch</strong>keit folgt die Glei<strong>ch</strong>heit<br />
der Streckenverhältnisse:<br />
PA PC = und daraus die Behauptung<br />
PD PB<br />
PA⋅<br />
PB = PC ⋅ PD<br />
PA PC = und daraus die Behauptung<br />
PC PB<br />
2<br />
PA ⋅ PB = PC<br />
Bem.:<br />
Der Kathetensatz kann als Spezialfall des<br />
Sekanten-Tangentensatzes aufgefasst werden<br />
Ergänzungen:<br />
Zu den Sehnen-Tangentenwinkeln:<br />
Addiert man in den Dreiecksecken alle Winkel<br />
so erhält man:<br />
2α ′ + 2β′ + 2γ ′ + α + β + γ = 540°<br />
also wegen der Winkelsumme im Dreieck:<br />
2α ′ + 2β′ + 2γ<br />
′ = 360° oder<br />
α′ + β′ + γ ′ = 180°<br />
Andrerseits gilt für die Winkelsumme bei A:<br />
α + β′ + γ ′ = 180° und daraus<br />
folgt α′ = α und analog β′ = β bzw. γ ′ = γ<br />
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