Übungen zum Präsenzmodul Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität München SIGNAL-Kurs 2002/2004
Fakultät für Informatik Lösungsvorschläge zu Blatt 4
Prof. Dr. P. Hubwieser,
G. Aiglstorfer, A. Staller
17. Februar 2004
Übungen zum Präsenzmodul Algorithmen und Datenstrukturen
Aufgabe 13 Java-Implementierung des binären Suchbaums
Die Lösung wird Ihnen auf dem BSCW zur Verfügung gestellt.
Aufgabe 14 AVL-Baum
a) Durch das Einfügen des Schlüssels 1 entsteht zunächst folgender Baum:
1
0
2
1
4
7
1 12 0
6
0
1
9
0
Ein binärer Suchbaum ist genau dann ein AVL-Baum, wenn neben jedem Knoten 0,1 oder
-1 steht. An der Wurzel wird die AVL-Ausgeglichenheit verletzt. Da das Einfügen im linken
Teilbaum des linken Teilbaums der Wurzel erfolgt ist, kann sie durch eine Rotation nach
rechts wiederhergestellt werden. Dabei wird der Knoten mit dem Schlüssel 7 nach oben
rotiert und zur neuen Wurzel des Baums. Der gesamte Teilbaum mit der Wurzel 12 wird
zum linken Teilbaum des Knotens mit dem Schlüssel 15:
1
0
2
1
4
1
6
0
7
0
13
9
15
0
0
2
12
0
13
15
0
0
18
18
-1
-1
19
19 0
0

) Durch das Einfügen des Schlüssels 11 entsteht zunächst folgender Baum (*):
2
0
4
0 12 1
6
0
7
-1
9
-1
11 0
13
15
0
18
Lösung 4/ Seite 2
An der Wurzel wird die AVL-Ausgeglichenheit verletzt. Nun ist das Einfügen im rechten
Teilbaum des linken Teilbaums der Wurzel erfolgt. Eine Rotation nach rechts führt diesmal
nicht zum Ziel. Es würde folgender Baum entstehen, bei dem die AVL-Ausgeglichenheit an
der Wurzel wieder verletzt wird:
2
0
4
0
6
0
7
-2
9
-1
12
2
1
11 0
13
15
0
1
18
-1
-1
19
19 0
0

Lösung 4/ Seite 3
Stattdessen muss im Baum (*) die AVL-Ausgeglichenheit durch eine Doppelrotation linksrechts
wiederhergestellt werden. Im ersten Schritt erfolgt eine Rotation nach links im linken
Teilbaum der Wurzel. Dabei wird der Knoten mit dem Schlüssel 12 das neue linke Kind der
Wurzel, und der Teilbaum mit der Wurzel 9 wird zum rechten Teilbaum des Knotens mit
dem Schlüssel 7:
2
0
4
0
7
6
12
0 13 0
0
9
-1
2
11 0
Im zweiten Schritt erfolgt eine Rotation nach rechts analog zur Teilaufgabe a). Der Knoten
mit dem Schlüssel 12 wird zur neuen Wurzel des Baums, und der Teilbaum mit der Wurzel
13 wird zum linken Teilbaum des Knotens mit dem Schlüssel 15:
2
0
4
0
7
6
0
0
9
-1
11 0
12
0
15
2
13 0
15
-1
18
18
-1
-1
19
19 0
0

Aufgabe 15 Fibonacci-Heap
Ausgangszustand des Fibonacci-Heaps
Minpointer
45 13 5
36 99 75
79 82
33
61
49
52 91
71
Lösung 4/ Seite 4
insert(42): Erzeugung eines einelementigen Binomialbaumes, der in die Wurzelliste eingehängt
wird. Der Minpointer bleibt unverändert.
Minpointer
45 13 5
36 99 75
79 82
33
61
49
52 91
deleteMin (Schritt 1): Löschen des minimalen Elements und Einhängen der Unterbäume dieses
Elements in die Wurzelliste. Eine neue Wurzel verliert die Markierung. Der Minpointer wird ungültig.
Minpointer = NIL
45 13 36 99 75
79 82
33
61
71
49
52 91
deleteMin (Schritt 2): Paarweises Zusammenfassen der Bäume mit Rang 0 unter Beachtung der
Heap-Bedingung.
13 36
45
Minpointer = NIL
42
75
79 99 82
33
61
71
49
52 91
71
42
42

Lösung 4/ Seite 5
deleteMin (Schritt 3): Paarweises Zusammenfassen der Bäume mit Rang 1 unter Beachtung der
Heap-Bedingung.
13
Minpointer = NIL
36 45 75
99
79 82
42
33
61
49
52 91
deleteMin (Schritt 4): Paarweises Zusammenfassen der Bäume mit Rang 2 unter Beachtung der
Heap-Bedingung. Aktualisierung des Minpointers.
36
75 99 79
82
42
Minpointer
13
45
33
61
71
49
52 91
decreaseKey(91,31): Zuerst delete(91) (da der Vater dieses Elements eine Wurzel ist, wird diese
nicht markiert) und danach insert(31), also Erzeugung eines neuen einelementigen Binomialbaumes,
der in die Wurzelliste eingehängt wird. Der Minpointer bleibt unverändert.
36
75 99 79
82
42
Minpointer
13
45
33
61
71
52
71
49
31

Lösung 4/ Seite 6
decreaseKey(71,10): Zuerst wird delete(71) ausgeführt, danach insert(10), also Erzeugung eines
neuen einelementigen Binomialbaumes, der in die Wurzelliste eingehängt wird. Da der Knoten mit
dem Schlüssel 52 markiert ist, wird er unmarkiert mit insert(52) in die Wurzelliste eingehängt.
Der Knoten mit dem Schlüssel 49 ist eine Wurzel und braucht nicht markiert zu werden. Der
Minpointer wird aktualisiert und zeigt nun auf die 10.
52 10
13
33
49 31
36
75 99 79
82
Minpointer
Aufgabe 16 Beispiel für einen (a,b)-Baum
42
a) Durch das Einfügen eines Blattes mit dem Schlüssel 7 entsteht zunächst folgender Baum:
3 5
1 4 6 7 8
45
1 3 4 5 6 7 8 9
Der rechte Teilbaum besitzt nun vier Blätter und muss in zwei Bäume aufgeteilt werden.
Die Verwaltungseinheit 7 wandert dabei in die Wurzel:
1 4
1 3 4 5
61
3 5 7
6
6 7
8
8 9

Lösung 4/ Seite 7
Nun hat die Wurzel vier Kinder, so dass der gesamte Baum in zwei Teilbäume aufgeteilt
werden muss. Es wird eine neue Wurzel mit der Verwaltungseinheit 5 erzeugt:
1 4
1 3 4 5
5
3 7
6
6 7
8
8 9
b) Durch das Löschen des Blattes mit dem Schlüssel 4 muss das Blatt mit dem Schlüssel 5
mit anderen Blättern zusammengeschlossen werden. Die erste Möglichkeit ist das Zusammenschließen
mit den Blättern im linken Teilbaum. Dabei wird die Verwaltungsinformation
folgendermaßen aktualisiert: Die Verwaltungseinheit 4 wird gelöscht und die Verwaltungseinheit
3 wandert von der Wurzel in das linke Kind:
1 3
5
6 8
1 3 5 6 8 9
Die zweite Möglichkeit ist das Zusammenschließen mit den Blättern im rechten Teilbaum.
Dabei wird die Verwaltungsinformation folgendermaßen aktualisiert: Die Verwaltungseinheit
4 wird gelöscht und die Verwaltungseinheit 5 wandert von der Wurzel in das rechte
Kind:
1
3
5 6 8
1 3 5 6 8 9

Lösung 4/ Seite 8
Nun besitzt der rechte Teilbaum vier Blätter und muss in zwei Bäume aufgeteilt werden.
Die Verwaltungseinheit 6 wandert dabei in die Wurzel:
1
3 6
5 8
1 3 5 6 8 9