3 Algorithmen Algorithmen sind eine der ältesten ...

Peter Hubwieser Ablaufmodellierung WS 2002/03 

KAPITEL 3: Algorithmen LERNINHALTE V 1.0 Seite 1 

3 Algorithmen 

Algorithmen sind eine der ältesten Modellierungsformen für Abläufe. Bereits in der Antike 

kannte man informelle Beschreibungen für Rechenverfahren, wie den berühmten 

Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung der Primzahleigenschaft: 

„Nimmt man beim Vorliegen zweier ungleicher Zahlen abwechselnd immer die kleinere von 

der größeren weg, so müssen, wenn niemals ein Rest die vorangehende Zahl genau misst, bis 

die Einheit übrigbleibt, die ursprünglichen Zahlen gegeneinander prim sein“ (aus Euklids 

Buch VII, §1, zitiert nach Gericke H.: Mathematik in Antike und Orient – Mathematik im 

Abendland. Fourier, Wiesbaden, 3. Aufl. 1994). In §2 wird nach dieser Methode der größte 

gemeinsame Teiler der zweier Zahlen ermittelt (nämlich der o.g. Rest). Von diesem 

Algorithmus wird im Folgenden noch mehrfach die Rede sein. Der Name „Algorithmus“ 

weist (wie schon in Kapitel 1 erwähnt) auf Al-Khwarizmi hin, der viele Elemente der antiken 

und altindischen Mathematik im Nahen Osten verbreitete, u.a. auch viele solcher 

Rechenverfahren. 

Dem hohen Alter dieser Entwicklung gemäß gibt es eine Vielzahl von unterschiedlichen 

Methoden, Algorithmen darzustellen, wie etwa Zustandsdiagramme, Textersetzungssysteme, 

Termersetzungssysteme, Programme für abstrakte Maschinen (Turingmaschinen, 

Registermaschinen), Programme für reale Maschinen (Programmiersprachen), z.B. im 

funktionalen oder im imperativen Stil oder Pseudosprachen („wenn A dann B“). 

Wir werden in diesem Kurs u.a. die letztgenannten zwei Methoden kennen lernen. 

3.1 Der Begriff „Algorithmus“ 

„Ein Algorithmus ist ein Verfahren mit einer präzisen (d.h. in einer genau festgelegten 

Sprache abgefassten) endlichen Beschreibung unter Verwendung effektiver (d.h. tatsächlich 

ausführbarer) elementarer (Verarbeitungs-) Schritte.“ (nach Broy, M.: Informatik: Eine 

grundlegende Einführung, Band 1. Springer-Verlag, Berlin, 2. Auflage, 1998 ) 

Beispiel (Bubblesort): Alphabetische Sortierung einer endlichen Liste von Namen: 

Algorithmus „Bubblesort“: 

Wiederhole (Anzahl der Elemente der Liste – 1) mal 

Wiederhole für alle Namen vom ersten bis zum vorletzten 

Falls der betrachtet Name alphabetisch hinter den folgenden gehört 

Vertausche die beiden Namen 

Ende Falls 

Ende Wiederhole 


Ende Algorithmus 

Dieses Verfahren ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, da es ziemlich ineffizient ist. Eine 

nähere Betrachtung verschiedener Sortieralgorithmen und ihrer Effizienz erfolgt übrigens im 

Modul „Algorithmen und Datenstrukturen“ des 2. Ausbildungsjahres.



Ein exemplarischer Ablauf von „Bubblesort“ könnte so aussehen: 

Erste äußere Wiederholung 

Hans Emma Yuri Anna Erste innere Wiederholung 

Emma Hans Yuri Anna 

Emma Hans Yuri Anna Letzte innere Wiederholung 

Emma Hans Anna Yuri Ergebnis der ersten äußeren Wiederholung 

Zweite äußere Wiederholung 

Emma Hans Anna Yuri Erste innere Wiederholung 

Emma Hans Anna Yuri 

Emma Anna Hans Yuri Letzte innere Wiederholung 

Emma Anna Hans Yuri Ergebnis der zweiten äußeren Wiederholung 

Dritte äußere Wiederholung 

Emma Anna Hans Yuri Erste innere Wiederholung 

Anna Emma Hans Yuri 

Anna Emma Hans Yuri Letzte innere Wiederholung 

Anna Emma Hans Yuri Ergebnis der dritten äußeren Wiederholung 

Ende des Algorithmus 

Ein Algorithmus stellt eine bestimmte Lösung für eine ganze Klasse von Aufgaben dar, in 

unserem Fall die Sortierung einer endlichen Reihe von Namen. Zu dieser Klasse gehört meist 

eine Vielzahl konkreter Aufgaben, hier z.B.: 

• Sortiere („Emil“, „Anna“, „Theo“) oder 

• Sortiere („Kokodil“, „Falter“, „Pferd“, „Elefant“). 

Für die Anwendung auf eine konkrete Aufgabe müssen die entsprechenden Daten (hier die 

Liste der Namen) dem Algorithmus als Eingabe übergeben werden. Das Endergebnis wird 

vom Algorithmus dann wiederum in Form einer Ausgabe an den Benutzer zurückgeliefert. 

Diesen Vorgang kann man mit Hilfe einer Funktion Bubblesort, die jeweils eine Liste von 

Namen (Eingabe) auf eine andere Liste (Ausgabe) abbildet, beschreiben: 

Bubblesort(“Hans”, “Emma“, “Yuri”, “Anna”) = („Anna“, “Emma”, “Hans”, “Yuri”). 

Eine nähere Beschreibung dieser Sichtweise (Algorithmen als Funktionen) finden Sie in der 

mathematischen Fundierung. 

Eine solche Beschreibung durch eine Funktion ist übrigens nur dann zulässig, wenn der 

Algorithmus zu jeder Eingabe eine eindeutige Ausgabe liefert (s.a. mathematische Fundierung 

zu diesem Kapitel). Ab Kapitel 6 werden wir uns eingehender mit dieser funktionalen 

Sichtweise beschäftigen. 

Andererseits gibt es für eine bestimmte Klasse von Aufgaben meist auch eine Vielzahl 

verschiedener Algorithmen, für die Sortierung einer Liste von Namen z.B.: Bubblesort, 

Sortieren durch Einfügen, Quicksort, usw. Im Lauf dieses Weiterbildungskurses wird im 

Modul „Algorithmen und Datenstrukturen“ (im 2. Jahr) davon noch ausführlich die Rede sein. 

Einen bestimmten Algorithmus kann man auf eine Vielzahl verschiedener Arten darstellen. 

Wir haben zur Beschreibung von „Bubblesort“ oben z.B. eine informelle Notation in 

Pseudocode verwendet. Dabei symbolisiert die Einrückung eine Blockbildung, d.h. alle 

innerhalb eines zusammengesetzten Verarbeitungsschrittes (Wiederholung, bedingter 

Verarbeitungsschritt) auszuführenden elementaren Verarbeitungsschritte stehen auf derselben



Einrückungsebene. Wir könnten denselben Algorithmus „Bubblesort“ aber auch mit Hilfe 

eines Struktogramms darstellen (s. Abschnitt 3.5). 

3.2 Struktur von Algorithmen 

Alle Algorithmen weisen gewisse strukturelle Gemeinsamkeiten auf (die allerdings in den 

verschiedenen Darstellungsarten oft sehr unterschiedlich beschrieben werden). Alle durch 

Algorithmen beschreibbaren Berechnungen kann man durch elementare 

Verarbeitungsschritte, bedingte Verarbeitungsschritte sowie Folgen bzw. Wiederholungen 

von elementaren Verarbeitungsschritte darstellen. Diese Klassen von Bausteinen werden 

daher auch oft als Strukturelemente von Algorithmen bezeichnet. 

3.2.1 Elementare Verarbeitungsschritte 

Es gibt elementare, unteilbare Verarbeitungsschritte, die unbedingt ausgeführt werden. 

Beispiel: 

schalte rotes Licht aus 

Neben elementaren Verarbeitungsschritten benötigt man zur Beschreibung von Abläufen drei 

Arten von zusammengesetzten Verarbeitungsschritten: Sequenzen, bedingte 

Verarbeitungsschritte, Wiederholungen. 

3.2.2 Sequenzen 

Hintereinander auszuführende elementare Verarbeitungsschritten können zu Sequenzen 

zusammengefasst werden (jeder Schritt übernimmt dabei das Ergebnis seines Vorgängers),. 

Beispiel: 

schalte gelbes Licht aus 

schalte grünes Licht ein 

Für die Trennung der einzelnen Komponenten einer solchen Sequenz wird ein festes 

Trennzeichen vereinbart, z.B. ein Strichpunkt und/oder ein Zeilenwechsel. 

In Programmiersprachen ergibt sich oft der Bedarf, Sequenzen mit Hilfe von 

Begrenzungssymbolen zu einem Block zusammenzufassen. Gebräuchlich sind z.B. begin 

und end bei Pascal-ähnlichen Sprachen oder geschweifte Klammern { und } in C, C++ oder 

Java. An vielen Stellen können solche Blöcke anstatt einzelner Verarbeitungsschritte 

verwendet werden. 

3.2.3 Bedingte Verarbeitungsschritte 

Es existiert die Möglichkeit, Verarbeitungsschritte nur unter einer bestimmten Bedingung 

auszuführen. Oft kann man zusätzlich eine alternative Verarbeitung angeben, die auszuführen 

ist, falls die Bedingung nicht erfüllt ist. 

Beispiel 1: 



Ende Falls 

Ebenso wie elementare können auch zusammengesetzte Verarbeitungsschritte einer bedingten 

Verarbeitung unterzogen werden. 

Beispiel 2:



Falls die PIN akzeptiert wurde 

Wiederhole bis die Netzverbindung steht 

Warte 


Sonst 

Meldung „Abbruch: 3x falsche PIN!“ 

Schalte das Telefon aus 

Ende Falls 

3.2.4 Wiederholung 

Sequenzen von Verarbeitungsschritten können wiederholt werden. Die Anzahl der 

Wiederholungen wird wiederum durch eine bestimmte Bedingung geregelt. Auch die 

Wiederholung von zusammengesetzten Verarbeitungsschritten ist möglich. 

Beispiel: 

Wiederhole für alle Namen vom ersten bis zum vorletzten 



Ende Falls 


Dabei macht es einen erheblichen Unterschied, ob die Anzahl der Wiederholungen schon vor 

dem ersten Durchlauf feststeht oder ob sie sich erst im Lauf der einzelnen Wiederholungen 

ergibt, da es im zweiten Fall nicht unbedingt klar ist, ob die Wiederholung auch irgendwann 

wieder abbricht („terminiert“, s. Abschnitt 3.4). Diese Unterscheidung ist sogar so wesentlich, 

dass man die Menge der Funktionen, die überhaupt maschinell berechenbar sind, nach diesem 

Merkmal unterscheidet. Wir unterscheiden daher zwischen 

1. Wiederholungen mit Anfangs- (bzw. End-)bedingung und 

2. Wiederholungen mit fester Wiederholungszahl. 

Erstere sind flexibler und erlauben die Berechnung einer größeren Vielfalt von Funktionen, 

letztere terminieren sicher. 

3.3 Umsetzung in Programmiersprachen 

Die im letzten Abschnitt beschriebenen Strukturelemente von Algorithmen werden in den 

zahlreichen Programmiersprachen auf unterschiedliche Weise umgesetzt. Insbesondere kann 

man zwei wichtige Programmierstile unterscheiden: den imperativen (zuweisungsorientierten) 

und den funktionalen. 

Strukturelement Typische imperative 

Umsetzung 

El. Verarbeitungsschritte Zuweisung (von Werten an 

Variable), Ein- und 

Ausgabeoperationen. 

Sequenz Anweisungsfolgen, wobei die 

Datenübergabe zwischen 

aufeinanderfolgenden 

Anweisungen durch 

Zwischenspeicherung von 

Ergebnissen in Variablen erfolgt. 

Typische funktionale 

Umsetzung 

Funktionsanwendung 

(-applikation) 

Verkettung von Funktionen, 

das Ergebnis der aufgerufenen 

Funktion wird als Argument 

an die aufrufende Funktion 

übergeben.



Auswahl Bedingte Anweisung 

Wiederholung Iteration 

Bedingter Term 

Rekursion 

Auf diese beiden Programmierstile gehen wir in Kapitel 5,6 (imperativ) und 7 (funktional) 

näher ein. 

3.4 Eigenschaften von Algorithmen 

Für die Umsetzung und Beurteilung von Algorithmen sind einige Eigenschaften von 

besonderem Belang: 

Ein Algorithmus heißt 

terminierend, wenn seine Ausführung für jede mögliche Eingabe nach einer endlichen 

Anzahl von Schritten endet, 

deterministisch, wenn jede Eingabe für jede seiner auszuführenden Anweisungen jeweils 

eindeutig die Folgeanweisung festlegt (mit Ausnahme der letzten Anweisung, nach der er 

endet), 

determiniert, wenn er für eine bestimmte Eingabe bei allen Abläufen immer dieselbe 

Ausgabe liefert. 

Ein Beispiel zur (sicher nicht unbedingt empfehlenswerten) Personalführung soll diese 

Eigenschaften verdeutlichen: 

Algorithmus „Personalführung1“: 

Wiederhole solange Mitarbeiter vorhanden 

Wiederhole für alle Mitarbeiter 

Führe willkürlich einen der folgenden Verarbeitungsschritte aus: 

Belobige den Mitarbeiter 

Tadle den Mitarbeiter 

Entlasse den Mitarbeiter 

Ende Willkür 


Gib eine Liste aller Mitarbeiter aus mit allen Lob- und Tadelvorgängen aus 



Dieser Algorithmus ist offensichtlich nichtdeterministisch („Führe willkürlich eine der 

folgenden Anweisungen aus:“). Er terminiert auch nicht unbedingt, da evtl. (sehr 

unwahrscheinlich, aber möglich) immer eine der ersten beiden willkürlichen Anweisungen 

ausgeführt werden könnte und sich so die Zahl der Mitarbeiter niemals verringern würde. 

Eine kleine Änderung sorgt für sichere Terminierung (vermutlich gegen den berechtigten 

Protest der Gewerkschaften): 






Tadle den Mitarbeiter



// Hier entfernt: Entlasse den Mitarbeiter 

Ende Willkür 


Entlasse einen beliebigen Mitarbeiter 

Gib eine Liste aller Mitarbeiter aus mit allen Lob- und Tadelvorgängen aus 



Nun wird die Anzahl der Mitarbeiter bei jedem Durchlauf um eins verringert, damit ist das 

Ende der äußeren Wiederholung „Wiederhole .. solange Mitarbeiter vorhanden“ gesichert. 

Die innere Wiederholung terminiert ja aufgrund der von vorneherein festgelegten Anzahl von 

Mitarbeitern auf jeden Fall. Insgesamt terminiert dieser Algorithmus also. 

Hier wird auch der in Abschnitt 3.2.4 bereits beschriebene Unterschied zwischen den beiden 

Typen von Wiederholungen nochmals deutlich: Bei der ersten Wiederholungsstruktur 

(„solange Mitarbeiter vorhanden“) in „Personalführung2“ wird die Anzahl der 

Wiederholungen erst während ihres Ablaufs festgelegt (je nachdem, wann alle Mitarbeiter 

entlassen sind), bei der zweiten („für alle Mitarbeiter“) steht sie vor dem ersten Durchlauf 

bereits fest (Anzahl der Mitarbeiter zu diesem Zeitpunkt). 

Natürlich ist unser Algorithmus „Personalführung 2“ immer noch nichtdeterministisch und 

auch nichtdeterminiert, da er sehr unterschiedliche Folgen von Listen liefern kann. Mit der 

dritten Änderung wird der Algorithmus determiniert, da er immer nur die leere Liste ausgibt: 







Ende Willkür 



// Hier entfernt: Gib eine Liste aller Mitarbeiter .. 


Gib eine Liste aller Mitarbeiter aus 


Alternativ zur letzten Änderung können wir unseren Algorithmus Nr. 2 auch deterministisch 

machen: 


Wiederhole jeden Freitag solange Mitarbeiter vorhanden 


Falls Mitarbeiter im Büro anwesend 


Sonst 


Ende Falls 



Gib eine Liste aller zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch beschäftigten 

Mitarbeiter mit allen Lob- und Tadelvorgängen aus 

Ende Wiederhole




Allerdings ist Personalführung damit immer noch nicht determiniert, da die ausgegebenen 

Listen bei jedem Durchlauf unterschiedlich ausfallen können (je nachdem, welche Mitarbeiter 

entlassen werden). 

3.5 Pseudocode und Struktogramme 

Wie oben bereits mehrfach ausgeführt, gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, einen 

bestimmten Algorithmus darzustellen. Da wir im nächsten Kapitel eine bestimmte Art der 

Programmierung kennen lernen wollen, führen wir hier zwei Techniken der 

Algorithmusdarstellung ein, die dafür besonders geeignet ist: Programmiersprachenähnlicher 

Pseudocode und Struktogramme (Nassi/Shneiderman, 1973). 

Strukturelement Pseudocode Struktogramm-Element 

elementarer 

Verarbeitungsschritt 

Sequenz 

 

 

; 

 

; 

... 

; 

 

... 

 

Bedingter 

Verarbeitungsschritt 

Wiederholung 

Wenn 

Dann 

Sonst 

Ende Wenn 

Wiederhole solange 

< Verarbeitungsschritt > 


 

wahr (erfüllt) falsch (nicht erfüllt) 

 

Wiederhole solange 



Ein Beispiel: 



Mitarbeiter anwesend 

wahr falsch 




Gib eine Liste aller zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch 

beschäftigten Mitarbeiter mit allen Lob- und Tadelvorgängen 

aus 

Abbildung 1: Der Algorithmus „Personalführung 4“ als Struktogramm

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