5 Grenzwertregel von Bernoulli und de L'Hospital

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-1
5 Grenzwertregel von Bernoulli
und de L’Hospital
Oft muss man den Grenzwert einer Funktion berechnen. Ist die Funktion ein Quotient zweier Funktionen,
so kann die Grenzwertbildung auf unbestimmte Ausdrücke führen. In diesem Kapitel gehen
wir speziell auf zwei Typen ein:
fx ( )
fx ( )
lim ---------- und lim ---------- .
x → x0gx ( ) x → ± ∞ gx ( )
Dabei können folgende unbestimmte Ausdrücke auftreten:
1. Falls f( x0) = 0 und gx ( 0)
= 0 folgt
2. Falls lim fx ( ) = 0 und lim gx ( ) = 0 ist, dann folgt
3. Falls lim fx ( ) = ∞ und lim gx ( ) = ∞ ist, dann folgt
4. Falls f( x0) = ∞ und gx ( 0)
= ∞ folgt
Beispiel 1
x → ± ∞
x → ± ∞
Der Grenzwert
ist zunächst noch unbestimmt.
x → ± ∞
x → ± ∞
lim
x → x0 lim
x → ± ∞
lim
x → ± ∞
lim
x→x0 lim fx ( )
fx ( ) x → x0 0
---------- = --------------------- = -- .
gx ( ) lim gx ( ) 0
x→x0 lim fx ( )
fx ( ) x → ± ∞ 0
---------- = ------------------------ = -- .
gx ( ) lim gx ( ) 0
x → ± ∞
lim fx ( )
fx ( ) x → ± ∞ ∞
---------- = ------------------------ = --- .
gx ( ) lim gx ( ) ∞
x → ± ∞
lim fx ( )
fx ( ) x→x0 ∞
---------- = --------------------- = --- .
gx ( ) lim gx ( ) ∞
x → x0 ex e
– 1
lim -----------x
→ 0 x
x lim – 1
x → 0 0
= ----------------------- =
--
lim x 0
Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004
x → 0

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-2
Beispiel 2
Der Grenzwert
ist ebenfalls noch unbestimmt.
Aufgabe 1
Bestimme die obenstehenden Grenzwerte mit Hilfe des Taschenrechners und einer entsprechenden
Zahlenfolge.
Es können noch weitere unbestimmte Ausdrücke auftreten, welche aber durch geschickte Umfor-
0 ∞
mungen auf die zwei Haupttypen -- und --- zurückgeführt werden können. Es sind die folgenden
0 ∞
Ausdrücke:
Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004
und
0 ⋅∞, ∞ – ∞,
1 , , .
∞ 00 ∞0 0 ∞
Wir leiten nun eine Formel her, mit der die unbestimmten Ausdrücke -- und --- berechnet werden
0 ∞
können.
Seien f( x)
und gx ( ) zwei stetige Funktionen mit f( x0) = 0 und gx ( 0)
= 0 , d.h. lim fx ( 0)
= 0
und lim ( ) = 0 , dann gilt
gx0 x→x0 x → ∞
Wir entwickeln nun beide Funktionen in eine Taylorreihe um die Stelle :
Weil f( x0) = 0 und gx ( 0)
= 0 ist, folgt
lim ln(
x)
ln(
x)
x → ∞
lim ----------ex
= ----------------------- =
lim
Jedes Glied der rechten Seite wird mit dem Term x –
x0dividiert: e x
ex lim
– 1
------------- = …
x → 0 x
lim
x → x0 x → ∞
∞
---
∞
lim
ln(
x)
------------ = …
x → ∞
e x
lim fx ( )
fx ( ) x → x0 0
---------- = --------------------- = -- .
gx ( ) lim gx ( ) 0
x→x0 f '( x0) f ''( x0) fx ( 0)
------------- ( x – x0) -------------- ( x– x0) fx ( )
1!
2!
----------
.
gx ( )
2 + +
+ …
g'( x0) g''( x0) gx ( 0)
------------- ( x – x0) -------------- ( x – x0) 1!
2!
2 = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ +
+ …
f '( x0) f ''( x0) ------------- ( x– x0) -------------- ( x – x0) fx ( ) 1!
2!
----------
.
gx ( )
2 +
+ …
g'( x0) g''( x0) ------------- ( x – x0) -------------- ( x – x0) 1!
2!
2 = -----------------------------------------------------------------------------------------
+
+ …
x 0
x→x0

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-3
Wir bilden nun den Grenzübergang x→x0: lim
x → x0 Also
f '( x0) ------------- .
g'( x0) Für den Fall, wo lim fx ( ) = ∞ und lim gx ( ) = ∞ gilt, und damit
bildet man die Funktionen Fx ( ) =
1
-------- und Gx ( ) =
fx ( )
1
---------- . Mit diesen Funktionen gilt dann
gx ( )
lim Fx ( ) =
x→x0 1
lim ------x
→ x0fx ( )
= 0 und lim Gx ( ) =
x → x0 1
lim --------x
→ x0gx ( )
= 0 .
Also
Die Auflösung nach dem zweiten Faktor ergibt
und damit
fx ( )
---------- =
gx ( )
Wir fassen in einem Satz zusammen.
f '( x0) f ''( x0) ------------- + -------------- ( x – x0) + …
1! 2!
------------------------------------------------------------------- .
g'( x0) g''( x0) ------------- + -------------- ( x – x0) + …
1! 2!
f '( x0) f ''( x0) f '( x0) f ''( x0) ------------- + -------------- ( x– x0) + … lim ------------- + -------------- ( x – x0) + …
fx ( ) 1! 2!
x→x 1! 2!
0
---------- = lim ------------------------------------------------------------------- = ------------------------------------------------------------------------------------gx
( ) x → x0g'( x0) g''( x0) g'( x0) g''( x0) ------------- + -------------- ( x – x0) + … ------------- + -------------- ( x – x0) + … .
1! 2!
1! 2!
lim
x → x0 lim
x → x0 x→x0 lim
x→x0 lim
x → x0 x→x0 Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004
=
fx ( )
---------- =
gx ( )
lim
x→x0 f '( x0) ------------g'(
x0) lim fx ( )
fx ( ) x→x0 ∞
---------- = --------------------- = --- ,
gx ( ) lim gx ( ) ∞
x → x0 1
---------fx
( ) gx ( ) Gx ( ) G '( x)
---------- = lim ---------- = lim ----------- = lim ------------- =
gx ( ) x → x01 x → x0Fx ( ) x → x0F'( x)
-------fx
( )
=
lim
x → x0 lim
x → x0 [ gx ( ) ] 2 – – g'(
x)
[ fx ( ) ] 2 – -----------------------------------
– f '( x)
[ fx ( ) ] 2
[ gx ( ) ] 2
----------------- ⋅
fx ( )
lim --------g'(
x)
x→x0gx ( )
---------f
'( x)
[ fx ( ) ] 2
[ gx ( ) ] 2
fx ( )
--------gx
( )
-----------------------------lim
[ fx ( ) ]
---------------x→x0
2
[ gx ( ) ] 2
fx ( ) [ gx ( ) ]
lim -----------------x
→ x0 -----------------
2
gx ( ) [ fx ( ) ] 2
= = = lim --------------------------- =
x → x0 lim
x→x0 fx ( )
---------- =
gx ( )
lim
x→x0 f '( x0) ------------- .
g'( x0) lim
x→x0 lim
x→x0 g'( x)
---------f
'( x)
gx ( )
--------f(
x)

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-4
Satz 9
Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital
0 ∞
Für Grenzwerte, die auf den unbestimmten Ausdruck -- oder --- führen, gilt die folgende Regel:
0 ∞
fx ( ) f '( x)
f '( x0) lim ---------- = lim ----------- = ------------- ,
x→x0gx ( ) x → x0g'( x)
g'( x0) falls f '( x)
und g'( x)
stetig sind und f '( x)
≠ 0 , g'( x)
≠ 0 in einer Umgebung von x0 .
Bemerkung 1
Die Grenzwertregeln gelten nur für die obenstehenden unbestimmten Ausdrücken. Alle anderen unbestimmte
Ausdrücke lassen sich jedoch durch spezielle elementare Umformungen auf eine dieser
speziellen Ausdrücke zurückführen:
Beispiel 3
e
Berechne .
x – 1
lim -----------x
→ 0 x
0
Der Limes liefert -- . Also nach Bernoulli de L’Hospital gilt:
0
e
.
x – 1
lim -----------x
→ 0 x
ex ( – 1)'
lim -----------------x
→ 0 x'
ex = = lim --x
→ 0 1
= 1
Beispiel 4
Funktion f( x)
lim fx ( )
elementare Umformung
ux ( ) vx ( )
f( x)
= ux ( ) ⋅ vx ( ) 0 ⋅ ∞ oder ∞⋅0 ---------- oder ----------
1 1
--------- ---------vx
( ) ux ( )
ln(
2x – 1)
Berechne lim
------------------------ .
x→x0 f( x)
= ux ( ) – vx ( )
∞ – ∞
f( x)
ux ( ) vx
x → ∞
= ( )
00∞01∞ e x
, , e vx
1 1
--------- – ---------vx
( ) ux ( )
---------------------------
1
------------------------ux
( ) ⋅ vx ( )
( ) ( ux ( ) ) ln ⋅
Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-5
∞
Der Limes liefert --- . Also nach Bernoulli de L’Hospital gilt:
∞
Beispiel 5
1 1
Berechne lim -- – -------------- .
x sin(
x)
Der Limes liefert ∞– ∞.
Also ist die Regel von Bernoulli de L’Hospital nicht unmittelbar anwendbar.
Wir formen zuerst gemäss der obenstehenden Tabelle um:
1 1
lim -- – -------------x
→ 0 x sin(
x)
=
sin(
x)
– x
lim ---------------------x
→ 0 x⋅sin( x)
=
0
-- .
0
Nun ist die Regel von Bernoulli de L’Hospital anwendbar:
sin(
x)
– x
lim ---------------------x
→ 0 x ⋅ sin(
x)
=
[ sin(
x)
– x]'
lim ---------------------------x
→ 0 [ x⋅sin( x)
]'
=
cos( x)
– 1
lim ------------------------------------------x
→ 0sin(
x)
+ x⋅cos( x)
=
0
-- .
0
Wir müssen die Regel nochmals anwenden:
lim
cos( x)
– 1
------------------------------------------x
→ 0sin(
x)
+ x⋅cos( x)
Also
= lim
[ cos( x)
– 1]'
------------------------------------------------x
→ 0[
sin( x)
+ x⋅cos( x)
]'
= lim
– sin(
x)
---------------------------------------------x
→ 02
cos(
x)
– x⋅sin( x)
=
0
--
2
= 0.
Beispiel 6
ln(
2x – 1)
[ ln(
2x – 1)
]'
lim ------------------------
.
→
ex 2
--------------
2x – 1
lim ----------------------------x
→ ∞ [ ]'
ex 2
lim ------------x
→ ∞
( 2x – 1)ex
= = = lim ------------------------ = 0
x → ∞
x ∞
x → 0
e x
1
Berechne lim ⎛a+ --⎞ln(
1 + ax)
.
⎝ x⎠
x → 0
1 1
lim -- – -------------- = 0 .
x sin(
x)
x → 0
Der Limes liefert ∞ ⋅ 0 . Also ist die Regel von Bernoulli de L’Hospital ebenfalls nicht unmittelbar
anwendbar. Wir formen zuerst gemäss der obenstehenden Tabelle um:
lim
x → 0
⎛ 1
a + --⎞ln(
1 + ax)
⎝ x⎠
Mit der Regel von Bernoulli de L’Hospital gilt:
ln(
1 + ax)
0
= lim ------------------------- =
-- .
x → 0 1 0
-----------
1
a + --
x
Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-6
Also
Beispiel 7
Berechne ⎛ 1
1 + --⎞
.
⎝ x⎠
x
lim
a
-------------lim
[ ln(
1 + ax)
]'1+
ax
-------------------------------
.
x → 0 x
1
--------------'
ax + 1 ( ax + 1)
2
= = lim ---------------------- = lim a( 1 + ax)
= a
x → 0
x → 0
---------------------
1
lim ⎛a+ --⎞ln(
1 + ax)
= a .
⎝ x⎠
Der Limes liefert 1 . Also gemäss der obenstehenden Tabelle zuerst umformen:
∞
Der Exponent muss gemäss Tabelle umgeformt werden, damit die Regel angewendet werden kann:
Die Regel kann nun angewendet werden:
Somit ist
Beispiel 8
⎛ ⎞
⎜ 1
----------- ⎟ 1
⎛ 1
ln 1 + --⎞
⎜
'
1⎟
⎝ x⎠
1 + --
x
⎝ ⎠
x
lim -----------------------------
.
x → ∞ 1
--'
x
2
⎛– ---- ⎞
⎝ ⎠
1
= = lim ------------------------------- = lim ----------- = 1
x → ∞ ⎛ 1
– ---- ⎞ x → ∞ 1
1 + --
⎝ ⎠
x
⎛ 1
1 + --⎞
.
⎝ x⎠
x
x ⋅ ln 1 + -- lim x ⋅ ln 1 + --
⎝ x⎠
x → ∞ ⎝ x⎠
lim lim e e
e1 = = = = e
Wir wollen die Steigung der Kurventangente an der Stelle ϕ = π der Kardioide mit der Gleichung
berechnen.
lim
x → 0
x → ∞
lim
x → ∞
ln(
1 + ax)
-------------------------
1
-----------
1
a + --
x
x → ∞
x → 0
x → ∞
⎛ 1⎞
Drücken wir die parametrisierte Kurve als Funktion aus, dann gilt:
⎛ 1⎞
⎛ 1
1 + --⎞
⎝ x⎠
x
x ⋅ ln 1 + -- lim x ⋅ ln 1 + --
⎝ x⎠
x → ∞ ⎝ x⎠
lim = lim e = e
= e
1
ln⎛1+
--⎞
⎝ x⎠
----------------------
1
--
x
x → ∞
lim
x → ∞
1
x ⋅ ln⎛1+
--⎞
⎝ x⎠
x → ∞
1
ln⎛1+
--⎞
⎝ x⎠
0
= lim ---------------------- = -- .
x → ∞ 1 0
--
x
⎛ 1⎞
Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004
x 2
r =
1 + cos(
ϕ)
, 0 ≤ ϕ < 2π
⎛ 1⎞
∞ 0 ⋅
.

Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital Seite 5-7
y = ( 1 + cos(
ϕ)
) ⋅ sin(
ϕ)
und x = ( 1 + cos(
ϕ)
) ⋅ cos(
ϕ)
.
Ferner gilt:
y'
dy
---dxdy-----dϕ
.
Mit
und
folgt
.
Berechnet man damit die Steigung der Kurventangente an der Stelle
nen unbestimmten Ausdruck:
, dann bekommt man ei-
.
Wir verwenden also die Regel von Bernoulli de L’Hospital:
dϕ
= = ⋅ -----dx
=
dy 1
------ ⋅ -----dϕ
dx
-----dϕ
dy
-----dϕ
sin ( ϕ)
2 – + ( 1+ cos(
ϕ)
) cos(
ϕ)
cos( ϕ)
ϕ sin ϕ 2 cos – 2 + 2cos ϕ 2 = = = – 1 + cos(
ϕ)
dx
-----dϕ
= – sin(
ϕ)
cos(
ϕ)
– ( 1 + cos(
ϕ)
) sin(
ϕ)
= – 2sin( ϕ)
cos(
ϕ)
– sin(
ϕ)
= – sin(
2ϕ)
– sin(
ϕ)
y'
dy
---dxdy-----dϕ
dϕ
⋅ -----dx
dy 1
------ ⋅ -----dϕ
dx
-----dϕ
2cos ϕ 2 = = = =
– 1 + cos(
ϕ)
--------------------------------------------------
– sin(
2ϕ)
– sin(
ϕ)
ϕ = π
y'( π)
=
0
--
0
y'( π)
Die Kardioide besitzt an der Stelle ϕ =
π eine waagrechte Tangente.
y
y = r( ϕ)
⋅ sin(
ϕ)
Zürcher Hochschule Winterthur Bernoulli.fra Maz 19.10.2004
r( ϕ)
x = r( ϕ)
⋅ cos(
ϕ)
2cos ϕ 2 lim
– 1 + cos(
ϕ)
--------------------------------------------------
ϕ → π – sin(
2ϕ)
– sin(
ϕ)
2cos ϕ 2 = = lim
[ – 1 + cos(
ϕ)
]'
--------------------------------------------------------
ϕ→π [ – sin(
2ϕ)
– sin(
ϕ)
]'
=
– 4cos( ϕ)
sin(
ϕ)
– sin(
ϕ)
lim --------------------------------------------------------------
ϕ→π – 2cos( 2ϕ)
– cos(
ϕ)
=
0
-----
– 1
= 0
x