Elementare Algebra - Aklimex.de

Elementare Algebra
(Arithmetik, Schulmathematik)
Seite
Betrag reeller Zahlen 10
Binome 4
Intervalle 10
Lineare Funktionen 8
Lineare Gleichungen 8
Mittelwerte 4
Potenzgesetze 6
Quadratische Funktionen 9
Quadratische Gleichungen 9
Teilbarkeitsregeln 5
Vorzeichenregeln 4
Wurzelgesetze 7
Zahlenbereiche 2
Zahlennamen, Zahlwörter 3
Ausgabe 2007-09

natürliche Zahlen
natürliche Zahlen und 0
ganze Zahlen
positive ganze Zahlen
nichtnegative ganze Zahlen
rationale Zahlen
Zahlenbereiche
komplexe Zahlen ℂ
imaginäre Zahlen reelle Zahlen ℝ
rationale Zahlen ℚ irrationale Zahlen II
ganze Zahlen ℤ Brüche
negative Zahlen natürliche Zahlen ℕ
ℕ = {1; 2;3 ; 4;5;6 ;7;...}
ℕ 0 = {0 ;1;2; 3;4;5; 6;7;...}
ℤ = {...;−5;−4 ;−3;−2 ;−1;0 ;1 ;2;3 ; 4;5;...}
ℤ = {1; 2;3 ;4 ;5 ;6 ;7;...}
ℤ0 = {0 ;1;2 ;3 ;4 ;5; 6;7 ;...}
ℚ = { a
b ∣ a ∈ ℤ; b ∈ ℤ; b≠0}

Zahlennamen und die Benennung von Zahlen im Dezimalsystem (Auswahl)
Hinweis: die Angabe eine Billion US-Dollar in der amerikanischen Literatur entspricht
einer Milliarde US-Dollar in der deutschen Literatur.
USA, Brasilien,
teilw. Türkei,
Großbritannien
Deutschland und
alle anderen
Länder
Herleitung Zehnerpotenz
Eins Eins 10 6*0 10 0 1
Zahl
Tausend Tausend 10 3 1 000
Million Million 10 6*1 10 6 1 000 000
Billion Milliarde 10 9 1 000 000 000
Trillion Billion 10 6*2 10 12 1 000 000 000 000
Quadrillion Billiarde 10 15 1 000 000 000 000 000
Quintillion Trillion 10 6*3 10 18 1 000 000 000 000 000 000
Sextillion Trilliarde 10 21 1 000 000 000 000 000 000 000
Septillion Quadrillion 10 6*4 10 24 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Oktillion Quadrilliarde 10 27 auf die weitere Angabe wird verzichtet
Nonillion Quintillion 10 6*5 10 30
Dezillion Quintilliarde 10 33
Sextillion 10 6*6 10 36
Sextilliarde 10 39
Septillion 10 6*7 10 42
Septilliarde 10 45
Oktillion 10 6*8 10 48
Oktilliarde 10 51
Nonillion 10 6*9 10 54
Nonilliarde 10 57
Dezillion 10 6*10 10 60
Dezilliarde 10 63
Undezillion 10 6*11 10 66
Undezilliarde 10 69
Dodezillion 10 6*12 10 72
Dodezilliarde 10 75
Tredezillion 10 6*13 10 78
Tredezilliarde 10 81
Quattuordezillion 10 6*14 10 84
Quattuordezilliarde 10 87
Quindezillion 10 6*15 10 90
Die 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, das höchste Organ der Meterkonvention, also des SI-Systems,
empfiehlt seit 1960 international den Gebrauch der Zahlnamen entsprechend der Spalte 2 der Tabelle.
Hinweis zur Größenvorstellung: Das Gesamtgewicht der Erde beträgt etwa 5,974 . 10 24 kg.

Formeln der elementaren Algebra (Arithmetik)
Kommutatives Gesetz ab=ba a⋅b=b⋅a
Distributives Gesetz a⋅bc=a⋅ba⋅c
Assoziatives Gesetz abc=abc a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
Vorzeichenregeln
a−b=a−b a−−b=ab a⋅−b=−a⋅b
−a⋅−b=a⋅b −a⋅b=−a⋅b −a÷b=− a
b
a÷−b=− a
b
−a÷−b= a
b
Rechnen mit Null a⋅0=0 0÷a=0 Division durch 0 verboten.
Produkte algebraischer Summen, Binome
a±b 0 =1
ab⋅cd=acadbcbd
a±b 1 =a±b abc 2 =a 2 b 2 c 2 2 ab2 ac2 bc
a±b 2 =a 2 ±2 abb 2
a±b 3 =a 3 ±3a 2 b3 ab 2 ±b 3
a±b 4 =a 4 ±4a 3 b6 a 2 b 2 ±4 ab 3 b 4
Mittelwerte
Arithmetisches Mittel
ab
2
Geometrisches Mittel a⋅b ;
Harmonisches Mittel
2ab
ab
;
abc
3
3
a⋅b⋅c ;
a 2 −b 2 =ab⋅a−b
a 3 ±b 3 =a±b⋅a 2 ∓abb 2
a 4 −b 4 =a 2 −b 2 ⋅a 2 b 2
;
abcd
4
4
a⋅b⋅c⋅d ;
;
abcde
5
5
a⋅b⋅c⋅d⋅e ; usw.
; usw.

Eine natürliche Zahl ist teilbar durch
Teilbarkeitsregeln
2, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist,
3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist,
4, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 4 teilbar ist,
5, wenn ihre letzte Ziffer ein 0 oder 5 ist,
6, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist,
8, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 8 teilbar ist,
9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist,
10, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist,
11, wenn ihre Querdifferenz * durch 11 teilbar ist,
12, wenn diese durch 3 und durch 4 teilbar ist,
15, wenn diese durch 3 teilbar ist und mit 0 oder 5 endet,
24, wenn diese durch 3 und durch 8 teilbar ist,
25, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 25 teilbar ist,
33, wenn diese durch 3 und durch 11 teilbar ist,
125, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 125 teilbar ist.
(125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000)
* Querdifferenz (Wechselsumme) wird gebildet, indem man die Summe von jeder zweiten
Ziffer bildet, dann eine Summe der ausgelassenen Ziffern bildet und die kleinere Zahl von
der größeren Zahl abzieht, die Differenz ist die Querdifferenz.

Addieren a m ±a n =a m ±a n
Subtrahieren
Multiplizieren a m ⋅a n =a mn
Dividieren für m > n
Dividieren für m < n
a m
a −n=amn
a m ⋅a −n =a m−n
a m
=am−n
n
a
a m
1
= n
a a
Potenzieren a m n =a mn =a n m
Radizieren
a −m −n =a mn
n
a m = n a m
m
=a
Vorzeichen ±a 2n =a 2n
Potenzen
a m ±b m =a m ±b m
a m ⋅b m =a⋅b m
a −m ⋅b −m =a⋅b −m
n−m a−m
n =a m
1
n
b
−m= b
a m m
a
b m= b
m
a
[a m n ] p =a mnp
a m a m =2 a m
2 a m −a m =a m
a m ⋅a m =a 2m
a m ⋅a −m =a 0 =1
am
a −m=a2m
a m −n =a m−n =a −mn
±a 2n1 =±a 2n1
Achtung: −4 2 = −4⋅−4 = 4 2 = 16 aber: −4 2 = −4 2 = −16
Null und negative Exponenten
a 0 =1
a −1 = 1
a a −2 = 1
a 2
a −m ⋅a −n = 1
= a−mn
mn
a
Gebrochene Exponenten
Sonderfälle
m
p
a
n
p
a
m
n n
a = a m = n a m
−m
n 1
a = n
a m
m−n
p p
= a = a m−n
a −n = 1
a n
1
n n
a = a
a 1
n
n = a 1
n ⋅n
= a 1 = a
a
1
n
1
n
b
= a
1
n n
= b
1 n = 1 −1 2 = 1 −1 3 = −1
a
b =
n
a
n
b
a m
a m=a0 =1
1
a −n=an

Wurzeln
Hinweis: x 2 =∣x∣
Addieren oder
Subtrahieren a⋅ m c ± b⋅ m c = a±b⋅ m c nur gleiche Exponenten und gleiche Radikanten
Multiplizieren m a⋅ m b = m a⋅b m
a⋅ n
a = m⋅n mn m
a a⋅ m
a = m
a 2
Dividieren
Potenzieren
Radizieren
Brüche
Sonderfälle
a
m
b
m
a : m
m
b =
m
= a
b
m
a : m
m
a
a = = 1 ax
m
a x = ax
x
−a⋅−a = −a 2
m
a : n
m
a m⋅n
a = = n a
a n−m
= a
m a n
= m
a n n
m
= a
m⋅x a n⋅x
a 2 = a m
a m
= m
a m = a
1
a =
= m
x
a n
x
= m
a n
3
a 6 = a 2
m
n
a = m⋅n
a m
a⋅ n b = m
n
a n ⋅b = m⋅n
a n ⋅b
m
a b =
a
a⋅ a
a
b−c =
x
4
x
x
3
x
3 = x
x
4 = x
0 = 0
n⋅p
a m⋅p = n
a m
x
3
4
4
3
= a
a
m⋅a− b
a b ⋅ a− b
a⋅ b c
b−c⋅ b c
= x
4
4
x
3
4
= x
3
3
x
4
3
= x
= x
4 3
−
4
4 = x
3 4
− −
3 3
= x 1
= m⋅a−b
a 2 −b
= a⋅ b c
b−c
1
4 4
=
x
3 = 1
x
1
3
= 1
3
x
n
0 = 0 −m 1
−
m a = a
= 1
m
a

Lineare Gleichungen
Normalform axb=0 x∈ℝ ; a≠0 Lösung: x = − b
a
Lineare Funktionen
y=f x=mxn m,n ∈ ℝ; m≠0
Nullstelle: x 0 =− n
m
Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse: S (0;n)

Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form ax 2 bxc=0 a, b, c ∈ ℝ ;a≠0
Lösungen, falls b 2 −4ac≥0 : x 1,2 =− b
2a ± b2 −4ac
4a 2
Normalform x 2 pxq=0 p,q ∈ ℝ
Mitternachtsformel
Diskriminante D = p
Lösungen, falls p 2 −4 q≥0 : x 1,2 =− p
2
2
2
− q
± p
2
2
PQ-Formel;
D > 0 : zwei Lösungen; D = 0 : genau eine Lösung; D < 0 : keine Lösung
Sonderfälle x 2 px = 0 x1 = 0; x2 = -p
−q
x 2 q = 0 q≤0 x 1 =−q ; x 2 =−−q
Quadratische Funktionen
Allgemeine Form y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)
Normalform y = f(x) = x² + px + q
Sonderfälle und deren Scheitelpunkte
Nullstellen der Funktion : x 1,2 =− b
2a ± b2 −4ac
4a 2
b
Scheitelpunkt der Graphen : S− 2a ; 4ac−b2 4a
Nullstellen der Funktion : x 1,2 =− p
2
S p
Scheitelpunkt der Graphen : −
2
Diskriminante : D = p
2
− q 2
2
p ± −q PQ-Formel; Mitternachtsformel
2
2
p
; q− 2
D > 0 : zwei Nullstellen; D = 0 : eine Nullstelle; D < 0 : keine Nullstelle
y = x² S(0;0) y = (x + d)² S(-d;0) y = (x + d)² + e S(-d;e)
y = x² + d S(0;d) y = (x - d)² S(d;0) y = (x - d)² + e S(d;e)

Intervalle
Man unterscheidet zwischen endlichen Intervallen und unendlichen Intervallen.
Endliche Intervalle
...bestehen aus allen reellen Zahlen, die zwischen zwei Grenzen liegen. Dabei können die
Randpunkte dazugenommen (= abgeschlossenes Intervall) oder weggelassen (= offenes Intervall)
werden. (Es gilt a < b.)
[a;b] = {x|a