Epsilon-Entfernung in NEAs - TAGH

Entfernung von ε-Übergängen aus endlichen Automaten
Thomas Hanneforth
Institut für Linguistik
Universität Potsdam
May 31, 2013
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 1 / 6
Algorithmus
ε-Entfernungsalgorithmus
Eingabe: Ein NEA A = 〈Q, Σ, q0, F, δ〉
Ausgabe: Ein ε-freier NEA A ′ = 〈Q ′ , Σ, q0, F ′ , δ ′ 〉 mit
1: A ′ ← A
2: δ ′ ← δ ′ \ {q ε −→ q | q ∈ Q ′ }
3: for ∀p ε −→ q ∈ δ ′ mit q ∈ F ′ do
4: F ′ ← F ′ ∪ {p}
5: end for
6: for ∀p, q, r ∈ Q ′ , a ∈ Σ : p ε −→ q ∈ δ ′ ∧ q a −→ r ∈ δ ′ do
7: δ ′ ← δ ′ ∪ {p a −→ r}
8: end for
9: δ ′ ← δ ′ \ {p ε −→ q | p, q ∈ Q ′ }
10: Entferne alle nicht erreichbaren Zustände und Übergänge aus A ′
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 3 / 6
Einführung
Die Entfernung von ε-Übergängen aus nichtdeterministischen endlichen
Automaten (NEAen) ist eine wichtige Optimierungstransformation und
Voraussetzung der Determininisierung von NEAen.
Es gibt eine ganze Reihe von Verfahren hierzu:
1 ε-Entfernung auf der Basis von ε-Hüllen
2 ε-Entfernung durch Schleifenreduktion
3 ε-Entfernung durch “Überbrücken” von ε-Übergängen.
Im folgenden wird das letzte Verfahren näher beschrieben.
Notation
Wir verwenden die Schreibweise p a −→ q wenn q ∈ δ(p, a) (für a ∈ Σ ∪ {ε}).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 2 / 6
Erläuterung des ε-Entfernungs-Algorithmus’
Zeile 1 setzt A ′ gleich A
Zeile 2 entfernt alle direkten ε-Schleifen q ε −→ q aus A ′
Die Schleife in den Zeilen 3 bis 5 “vererben” den Endzustandsstatus
weiter nach vorne:
p
ε
q
p
ε
q
wird zu
−−−→
Die Schleife in den Zeilen 6 bis 8 “überbrückt” die noch vorhandenen
ε-Übergänge:
p
ε
q
a
r
p
ε
q
a
wird zu r −−−→
(Man beachte, dass q = r oder p = r gelten kann).
Zeile 9 entfernt nun alle ε-Übergänge aus A ′
Zeile 10 entfernt alle nicht vom Startzustand aus erreichbaren Zustände
(samt Übergängen).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 4 / 6
a

Erläuterung des ε-Entfernungs-Algorithmus’
Zeile 1 setzt A ′ gleich A
Zeile 2 entfernt alle direkten ε-Schleifen q ε −→ q aus A ′
Die Schleife in den Zeilen 3 bis 5 “vererben” den Endzustandsstatus
weiter nach vorne:
p
ε
q
p
ε
q
wird zu
−−−→
Die Schleife in den Zeilen 6 bis 8 “überbrückt” die noch vorhandenen
ε-Übergänge:
p
ε
q
a
r
p
ε
q
a
wird zu r −−−→
(Man beachte, dass q = r oder p = r gelten kann).
Zeile 9 entfernt nun alle ε-Übergänge aus A ′
Zeile 10 entfernt alle nicht vom Startzustand aus erreichbaren Zustände
(samt Übergängen).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 4 / 6
Erläuterung des ε-Entfernungs-Algorithmus’
Zeile 1 setzt A ′ gleich A
Zeile 2 entfernt alle direkten ε-Schleifen q ε −→ q aus A ′
Die Schleife in den Zeilen 3 bis 5 “vererben” den Endzustandsstatus
weiter nach vorne:
p
ε
q
p
ε
q
wird zu
−−−→
Die Schleife in den Zeilen 6 bis 8 “überbrückt” die noch vorhandenen
ε-Übergänge:
p
ε
q
a
r
p
ε
q
a
wird zu r −−−→
(Man beachte, dass q = r oder p = r gelten kann).
Zeile 9 entfernt nun alle ε-Übergänge aus A ′
Zeile 10 entfernt alle nicht vom Startzustand aus erreichbaren Zustände
(samt Übergängen).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 4 / 6
a
a
Erläuterung des ε-Entfernungs-Algorithmus’
Zeile 1 setzt A ′ gleich A
Zeile 2 entfernt alle direkten ε-Schleifen q ε −→ q aus A ′
Die Schleife in den Zeilen 3 bis 5 “vererben” den Endzustandsstatus
weiter nach vorne:
p
ε
q
p
ε
q
wird zu
−−−→
Die Schleife in den Zeilen 6 bis 8 “überbrückt” die noch vorhandenen
ε-Übergänge:
p
ε
q
a
r
p
ε
q
a
wird zu r −−−→
(Man beachte, dass q = r oder p = r gelten kann).
Zeile 9 entfernt nun alle ε-Übergänge aus A ′
Zeile 10 entfernt alle nicht vom Startzustand aus erreichbaren Zustände
(samt Übergängen).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 4 / 6
Erläuterung des ε-Entfernungs-Algorithmus’
Zeile 1 setzt A ′ gleich A
Zeile 2 entfernt alle direkten ε-Schleifen q ε −→ q aus A ′
Die Schleife in den Zeilen 3 bis 5 “vererben” den Endzustandsstatus
weiter nach vorne:
p
ε
q
p
ε
q
wird zu
−−−→
Die Schleife in den Zeilen 6 bis 8 “überbrückt” die noch vorhandenen
ε-Übergänge:
p
ε
q
a
r
p
ε
q
a
wird zu r −−−→
(Man beachte, dass q = r oder p = r gelten kann).
Zeile 9 entfernt nun alle ε-Übergänge aus A ′
Zeile 10 entfernt alle nicht vom Startzustand aus erreichbaren Zustände
(samt Übergängen).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 4 / 6
a
a

Erläuterung des ε-Entfernungs-Algorithmus’
Zeile 1 setzt A ′ gleich A
Zeile 2 entfernt alle direkten ε-Schleifen q ε −→ q aus A ′
Die Schleife in den Zeilen 3 bis 5 “vererben” den Endzustandsstatus
weiter nach vorne:
p
ε
q
p
ε
q
wird zu
−−−→
Die Schleife in den Zeilen 6 bis 8 “überbrückt” die noch vorhandenen
ε-Übergänge:
p
ε
q
a
r
p
ε
q
a
wird zu r −−−→
(Man beachte, dass q = r oder p = r gelten kann).
Zeile 9 entfernt nun alle ε-Übergänge aus A ′
Zeile 10 entfernt alle nicht vom Startzustand aus erreichbaren Zustände
(samt Übergängen).
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 4 / 6
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
q4 q6
b
q3 q5
Entfernung der ε-Schleife an q5 (Zeile 2 des Algorithmus)
ε
ε
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
a
c
ε
ε
ε
q7
q8
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
q4
q3
Gegebener ε-NEA
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
b
q6
ε
q5
ε
q4 q6
b
q3 q5
q5 wird Endzustand (Schleife 3–5 des A.)
ε
ε
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
c
ε
ε
c
ε
ε
ε
q7
q8
ε
q7
q8

Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
q4 q6
b
q3 q5
q7 wird Endzustand (Schleife 3–5 des A.)
ε
ε
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
b
ε
q4 q6
q3
q5
p = q1, q = q2, r = q5 (Schleife 6–8 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
b
b
c
ε
ε
c
ε
ε
ε
ε
q7
q8
q7
q8
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
ε
q4 q6
b
q3 q5
p = q2, q = q3, r = q5 (Schleife 6–8 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
b
b
q4
q3
p = q4, q = q6, r = q7 (Schleife 6–8 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
b
ε
b
q6
c
q5
c
ε
ε
c
ε
ε
ε
q7
q8
ε
q7
q8

Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
b
q4
q3
p = r = q7, q = q6 (Schleife 6–8 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
b
b
c
ε
b
q6
c
q5
ε
q4 q6
q3
q5
p = q1, q = q2, r = q7 (Schleife 6–8 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
b
c
b
c
c
ε
ε
c
ε
ε
ε
c
q7
q8
ε
c
q7
q8
Example
a
q0 q1
ε
q2
ε
ε
b
ε
q4 q6
q3
b
c
b
c
q5
p = q2, q = q4, r = q7 (Schleife 6–8 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
Example
a
q0 q1
q2
b
c
q4 q6
q3
q5
Entferne alle ε-Übergänge (Zeile 9 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
b
c
b
c
ε
c
ε
c
ε
c
q7
q8
c
q7
q8

Example
a
q0 q1
b
Entferne alle nicht erreichbaren Zustände (Zeile 10 des A.)
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 5 / 6
c
q5
c
q7
Versionen
25.05.2013: Erste Version 0.1.
Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 31, 2013 6 / 6