1. Boolesche Algebra und Schaltalgebra - Technische Informatik
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Universität Duisburg-Essen Prof. Dr. -Ing. A. Hunger<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
WS 09/10<br />
Übung: Gr<strong>und</strong>lagen der technischen <strong>Informatik</strong> Übung 3<br />
<strong>1.</strong> <strong>Boolesche</strong> <strong>Algebra</strong> <strong>und</strong> <strong>Schaltalgebra</strong><br />
3) Minimieren von Schaltfunktionen mit Hilfe von KV-Diagramen<br />
Eigenschaften eines KV-Diagramms<br />
• Das KV-Diagramm ist die graphische Darstellung einer Wahrheitstabelle in<br />
Matrixform.<br />
• Jedes Feld der Matrix entspricht einem Minterm der Eingangsvariablen.<br />
• Bei n Eingangsvariablen hat das KV-Diagramm 2 n Felder.<br />
• Benachbarte Felder eines KV-Diagramms unterscheiden sich nur in einer<br />
Eingangsvariablen, die in dem einen Feld negiert <strong>und</strong> in dem anderen Feld nicht<br />
negiert auftritt.<br />
Übungsleiter: Dipl.-Ing. Michail Lebedev<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
http://ti.uni-due.de/ti/de/education/teaching/ws0910/gti/index.php<br />
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Universität Duisburg-Essen Prof. Dr. -Ing. A. Hunger<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
WS 09/10<br />
Übung: Gr<strong>und</strong>lagen der technischen <strong>Informatik</strong> Übung 3<br />
Minimierung mit einem Karnaugh-Veitch Diagramm<br />
• Es ist zweckmäßig, die zu minimierende Funktion in der Disjunktiven Normalform<br />
(DNF) vorliegen zu haben, da jedem Feld im KV-Diagramm genau ein Minterm<br />
zugeordnet werden kann.<br />
• Jedes Feld im KV-Diagramm wird mit dem Funktionswert ("0" oder "1") des<br />
zugehörigen Minterms gefüllt.<br />
• Bei einer unvollständig definierten Funktion werden die "don't care"-Terme mit einem<br />
"X" im KV-Diagramm eingetragen. Die "don't care"-Felder können bei der<br />
Minimierung als Funktionswert "1" betrachtet <strong>und</strong> verwendet werden.<br />
• Bei der Minimierung sucht man im KV-Diagramm nach möglichst großen <strong>und</strong><br />
möglichst wenigen Rechtecken bestehend aus benachbarten Feldern, deren<br />
Funktionswert jeweils "1" bzw. "X" ist.<br />
• Zwei benachbarte Felder lassen sich minimieren, denn: Zwei Terme, die sich in nur<br />
einer Variable unterscheiden, wobei diese Variable in dem einem Term negiert <strong>und</strong> in<br />
dem anderen Term nicht negiert auftritt, können durch das Weglassen dieser<br />
Variable minimiert werden (Anwenden von Distributivgesetz, Definition des<br />
Komplements <strong>und</strong> Definition des neutralen Elements).<br />
• Die Kantenlängen der gesuchten Rechtecke dürfen bei n Eingangsvariablen nur 2 m<br />
mit m = 0, 1, ..., (n-2) betragen.<br />
• Minterme mit dem Funktionswert "1" dürfen mehrfach benutzt werden, d.h. in<br />
mehreren Rechtecken gleichzeitig auftreten (Anwenden des Idempotenzgesetzes).<br />
• Diese allgemeine Beschreibung gilt für Funktionen mit bis zu n = 4 Eingangsvariablen.<br />
Übungsleiter: Dipl.-Ing. Michail Lebedev<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
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Universität Duisburg-Essen Prof. Dr. -Ing. A. Hunger<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
WS 09/10<br />
Übung: Gr<strong>und</strong>lagen der technischen <strong>Informatik</strong> Übung 3<br />
<strong>1.</strong>3 Aufgabe<br />
Minimieren Sie die Funktion f mit Hilfe eines KV-Diagramms!<br />
f= ABC ⋅ ⋅ ⋅ D+ ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ +<br />
A⋅BCD ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅ + ABCD ⋅ ⋅ ⋅<br />
<strong>1.</strong>4 Aufgabe<br />
Minimieren Sie die Funktion Y aus Aufgabe <strong>1.</strong>1 mit Hilfe eines KV-Diagramms!<br />
( BD<br />
+ BD)<br />
+ A C ⋅ ( B + D)<br />
+ CD<br />
⋅ ( A + B)<br />
+ AD<br />
⋅ ( B + C)<br />
AB<br />
Y = C ⋅<br />
+<br />
<strong>1.</strong>5 Aufgabe<br />
Minimieren Sie die VDNF der Funktion Y = ABD + C + ACD + B aus Aufgabe <strong>1.</strong>2<br />
ergänzt um den Term A B C D = X (don’t care) mit einem KV-Diagramm!<br />
Übungsleiter: Dipl.-Ing. Michail Lebedev<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
http://ti.uni-due.de/ti/de/education/teaching/ws0910/gti/index.php<br />
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Universität Duisburg-Essen Prof. Dr. -Ing. A. Hunger<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
WS 09/10<br />
Übung: Gr<strong>und</strong>lagen der technischen <strong>Informatik</strong> Übung 3<br />
Zusatz(Haus-)aufgabe<br />
<strong>1.</strong>6 Gegeben ist das folgende Schaltbild:<br />
A<br />
B<br />
C<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1) Stellen Sie die Funktionstabelle des Schaltbildes auf!<br />
2) Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionstabelle, dass die folgende Gleichung<br />
F = A ⊕ B ⊕ gilt!<br />
( ) C<br />
<strong>1.</strong>7 Gegeben sei nun folgende Schaltfunktion.<br />
X = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D<br />
+ A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D<br />
Wie lautet die vereinfachte Form der Schaltfunktion? (KV-Diagramm)<br />
Übungsleiter: Dipl.-Ing. Michail Lebedev<br />
<strong>Technische</strong> <strong>Informatik</strong><br />
http://ti.uni-due.de/ti/de/education/teaching/ws0910/gti/index.php<br />
2<br />
3<br />
1<br />
F<br />
4
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