Soldner-Koordinaten - Institut für Astronomische und Physikalische ...

Inst. für Astronomische und Physikalische Geodäsie
Technische Universität München
Dipl.-Ing. Claudia Stummer
Tel. 089 – 289 23182, Zi. 2614
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Übungen zur Vorlesung:
Landesvermessung
Blatt 3: Soldner-Koordinaten
Wintersemester 2012/2013
Gegeben sind die amtlichen Soldner-Koordinaten (x, y) bzw. die sphärisch-geographischen
Koordinaten (φ, λ) folgender Punkte:
# Name x [m] bzw. φ y [m] bzw. λ
50 Hochstein (bei Passau) 74 254.41 −163 825.66
51 Hochvogel (Allgäuer Alpen) 47 ◦ 22 ′ 57 ′′ .7849 10 ◦ 26 ′ 03 ′′ .5170
61 Johannesberg (bei Aschaffenburg) 213 124.95 174 458.75
Das auf die Soldnerkugel reduzierte Azimut von Hochstein zum Punkt 54 (Hohenpeißenberg)
beträgt A50 54 = 241 ◦ 30 ′ 53 ′′ .2569 und die Distanz auf der Kugeloberfläche ist
s50 54 = 234 114.726 m.
3.1 Soldner-Rechenkoordinaten
Korrektur des Fehlers in der Orientierung und Spiegelung auf Linkssystem.
i) Wie lauten die Formeln zur Umrechnung zwischen Soldner-Koordinaten und
Soldner-Rechenkoordinaten ausmultipliziert für beide Richtungen?
ii) Geben Sie die Soldner-Rechenkoordinaten für die Punkte 50 (Hochstein) und 61
(Johannesberg) an.
3.2 Erste geodätische Hauptaufgabe
Berechnung der Koordinaten eines Zielpunktes und des Gegenrichtungswinkels aus gemessenen
Größen.
i) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion zur 1. Hauptaufgabe auf der Kugel unter
Verwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie.
ii) Berechnen Sie die 1. Hauptaufgabe für den Punkt 54: Hohenpeißenberg (Achtung:
A ̸= α).
iii) Wie unterscheidet sich in diesem Fall die Berechnung mit Hilfe der Näherungsformeln
nach Soldner von der sphärischen Rechnung (Zahlenwerte angeben)?

3.3 Zweite geodätische Hauptaufgabe
Berechnung der Strecke und der beiden Richtungswinkel zwischen zwei Punkten.
i) Schreiben Sie eine entsprechende Matlab-Funktion.
ii) Berechnen Sie die gesuchten Größen zwischen den beiden Punkten 50 und 61.
iii) Wie lauten die entsprechenden Azimute in den beiden Punkten?
iv) Wie unterscheidet sich die Näherungsrechnung nach Soldner von der sphärischen
Rechnung in diesem Fall (Zahlenwerte angeben)?
3.4 Transformationen
i) Geben Sie für die Punkte 51 und 54 die Soldner-Koordinaten an.
ii) Wie lauten die sphärisch-geographischen Koordinaten (in [dms]) für die Punkte
50, 61 und 54?
Meridian durch P
Abszisse X
P f
P 0
Meridian durch P 0
N
Y
Ordinate Y
X’
P
Q =
Querpol
Abgabetermin: 05.12.2012 Punkte: 20 Viel Erfolg !

Formeln zur 3. Übung in Landesvermessung
Allgemeines zu Soldner-Koordinaten (vgl. Abb.)
Radius der Soldnerkugel : R = 6 388 172 m
Koordinaten des Nullpunktes : φ0 = 48 ◦ 08 ′ 20 ′′ N, λ0 = 11 ◦ 34 ′ 15 ′′ E
Parallelkoordinaten in Bogenmaß : ¯x = x y
, ¯y =
R R
Abszissenverjüngungsfaktor : n = cos ¯y
Radius der geodätischen Parallelkreise : p = n · R
Meridiankonvergenz : tan γ = sin ¯y · tan φf = sin φ · tan(λ − λ0)
Transformation: Parallelkoordinaten → Sphärisch-geographisch
φf = φ0 + ¯x
sin φ = sin φf · cos ¯y
tan(λ − λ0) =
tan ¯y
cos φf
Transformation: Sphärisch-geographisch → Parallelkoordinaten
tan φf =
tan φ
cos(λ − λ0)
¯x = φf − φ0
sin ¯y = cos φ · sin(λ − λ0)
1. Hauptaufgabe
Gegeben: x1, y1, s, α1
Gesucht: x2, y2, α2
a) Näherung durch Reihenentwicklung nach Soldner
(
y2 = y1 + s sin α1 − s2 cos 2 α1
2 R 2
y1 +
)
s sin α1
+ . . .
3
)
+ . . .
x2 =
s cos α1
x1 + s cos α1 +
2 R2 (
3
α2 =
s cos α1
α1 ± π −
R2 (
)
s sin α1
y1 + + . . .
2
b) exakte sphärische Trigonometrie (¯s = s/R)
y2 2 − s2 sin 2 α1
sin ¯y2 = cos ¯s sin ¯y1 + sin ¯s cos ¯y1 sin α1 (Kosinussatz)
sin(¯x2 − ¯x1) = sin ¯s ·
tan(¯x2 − ¯x1) =
cos α1
cos ¯y2
cos α1
cot ¯s cos ¯y1 − sin ¯y1 sin α1
tan(α2 ± π) = cos ¯s sin α1 − tan ¯y1 sin ¯s
cos α1
(Sinussatz) oder
(Kotangentensatz)
(Kotangentensatz)

2. Hauptaufgabe
Gegeben: x1, y1, x2, y2
Gesucht: s, α1, α2
a) Näherung durch Reihenentwicklung nach Soldner (∆x = x2 − x1, ∆y = y2 − y1)
s =
tan α1 =
∆y − (y)
sin α1
∆y − (y)
∆x − (x)
= ∆x − (x)
α2 = α1 ± π + (α)
cos α1
mit: (y) = − ∆x2y1 2 R2 − ∆x2∆y 6 R2 − . . .
∆x y2 2
b) exakte sphärische Trigonometrie (¯s = s/R)
(x) = +
2 R2 ∆x ∆y2
−
6 R2 + . . .
(α) = − ∆x
R2 (
y1 + ∆y
)
+ . . .
2
cos ¯s = sin ¯y1 sin ¯y2 + cos ¯y1 cos ¯y2 cos(¯x2 − ¯x1) (Kosinussatz)
tan α1 = tan ¯y2 cos ¯y1 − sin ¯y1 cos(¯x2 − ¯x1)
sin(¯x2 − ¯x1)
tan(α2 ± π) = sin ¯y2 cos(¯x2 − ¯x1) − tan ¯y1 cos ¯y2
sin(¯x2 − ¯x1)
(Kotangentensatz)
(Kotangentensatz)